PROPOSITIO XXV

184 Quod si sinus arcuum dictum angulum continentium proportionales fuerint sinibus factarum basis portionum: tunc arcus descendens angulum ipsum per aequalia secare probabitur.

185 Hoc est in eadem descriptione ponatur sinus arcus ab⁴²ad sinum arcus bc sicut sinus arcus ad ad sinum arcus dc: dico tunc quod arcus bd per aequalia secat angulum abc. 186 Nam si anguli ad d sint recti, constat propositum per 8^m praemissi libelli. 187 Secus autem erit angulorum ad d obtusus alter et alter acutus, acutus esto bdc. Productoque arcu bd et ad eum perpendiculari arcu circuli maioris ae, fiat ef arcus aequalis ipsi de et ducatur arcus circuli magni af. 188 Eritque per 28^m 2 Sphaericorum Elementorum, arcus af aequalis arcui ad. Et per 8^m praecedentis, angulus f aequalis angulo ade eiusque contraposito bdc. 189 Et quoniam sup[S:58r]ponitur sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus ad ad sinum arcus dc. Ideo erit et sinus arcus ab ad sinum arcus bc sicut sinus arcus af ad sinum arcus dc. 190 Suntque anguli f bdc aequales acuti. Igitur per 23^m praecedentem, anguli oppositi arcubus af cd, hoc est anguli abd dbc aut aequales erunt, aut simul iuncti duobus rectis aequales: sed duobus rectis aequales esse non possunt (quandoquidem angulum faciunt ab bc arcus) aequales ergo erunt. Sicut proponitur demonstrandum. Hoc idem ab impossibili per praecedentem demonstrari potest.