[C:134r]

Propositio 53^a

287 Omnes duae quantitates, quarum quadrata sunt adinvicem sicut quadrati numeri, vel quarum cubi sunt adinvicem sicut cubi numeri, vel quarum secunda quadrata sunt adinvicem sicut bis quadrati numeri, sunt inter se commensurabiles.

Exempli gratia, sint duae quantitates ab quarum quadrata cd et quarum cubi ef et quarum secunda quadrata gh. 288 Aio, quod, si cd fuerint adinvicem sicut quadrati numeri, vel si ef²⁵³ fuerint adinvicem sicut cubi numeri, vel si²⁵⁴ gh fuerint adinvicem sicut bis quadrati numeri; tunc in omni tali casu abquantitates erunt adinvicem commensurabiles. Nam si cd sint inter se sicut quadrati numeri, cum talibus numeris intersit unus medius numerus proportionalis, intererit ipsis cd una media quantitas proportionalis, quae sit k eruntque ckd quantitates talibus tribus numeris proportionales. 289 Cumque quadrata sint in dupla ratione radicum, erit sicut c ad k sicut a ad b. Sed c ad k sicut numerus ad numerum, igitur a ad b sicut numerus ad numerum; quare per secundam partem quadragesimae tertiae huius, ab invicem commensurabiles. Quod est propositum. 290 Si autem ef sint inter se sicut cubi²⁵⁵ numeri, tunc, quia talibus numeris intersunt duo numeri medii proportionales, intererunt ipsis ef duae mediae quantitates proportionales, quae sint [S:136] lm eruntque [C:134v] elmf quantitates talibus quatuor numeris proportionales. Et quoniam cubi sunt in tripla proportione radicum, erit sicut a ad b sic e²⁵⁶ ad l. Sed e ad l sicut numerus ad numerum. Igitur sicut numerus ad numerum sic a ad b et ideo per secundam partem quadragesimae tertiae ab invicem commensurabiles. 291 Si demum gh sint inter se sicut bis quadrati numeri, tunc quoniam talibus numeris intersunt tres numeri medii proportionales intererunt et ipsis gh tres mediae proportionales quantitates, quae sint nop eruntque gnoph quantitates talibus quinque numeris proportionales: et quoniam secunda quadrata sunt in quadrupla ratione radicum, erit iam a ad b sicut g ad n. Sed g ad n sicut numerus ad numerum. Igitur sicut numerus ad numerum, sic a ad b. Quare per secundam partem quadragesimae tertiae ab invicem commensurabiles; sicut fuerat a principio demonstrandum.

Corollarium

292 Ex his manifestum est, quod omnium duarum quantitatum invicem incommensurabilium²⁵⁷, neque quadrata sunt adinvicem sicut quadrati numeri, neque cubi sicut cubi²⁵⁸ numeri, neque secunda quadrata sicut bis quadrati numeri.

Corollarium

293 Contra, et omnes duae quantitates, quarum quadrata non sunt ad invicem, sicut quadrati numeri, vel [C:135r] quarum cubi non sunt ad invicem, sicut cubi numeri, vel quarum secunda quadrata non sunt adinvicem, sicut bis quadrati numeri; sunt inter se incommensurabiles²⁵⁹. Nam haec duo corollaria constant ex duabus praecedentibus propositionibus, a destructione²⁶⁰ contrariorum.

Corollarium

294 Praeterea manifestum est, quod quantitates inter se commensurabiles sunt omnino etiam tam quadrato, quam cubo, quamque secundo quadrato commensurabiles; non autem e converso. Nam quantitates, sive quadrato, sive cubo, sive secundo quadrato commensurabiles, non sunt omnino inter se commensurabiles.

Corollarium

295 Unde sequitur, ut quantitas rationalis sit etiam potentia, et cubo, et quadrato secundo, et sic in infinitum rationalis; et non e converso. Nam quantitas sive potentia, sive cubo, sive quadrato secundo rationalis non omnino est magnitudine rationalis. [S:137]

Corollarium

296 Contra, quantitates inter se incommensurabiles²⁶¹ non omnino sunt et potentia, aut cubo, aut quadrato secundo in[C:135v]commensurabiles. At quantitates²⁶² potentia, vel cubo, vel quadrato secundo incommensurabiles omnino sunt et magnitudine inter se incommensurabiles²⁶³.

Corollarium

297 Unde sequitur, ut quantitas irrationalis non omnino sit et potentia, aut cubo, aut quadrato secundo irrationalis. Quantitas vero potentia, vel cubo, vel quadrato secundo irrationalis omnino sit et magnitudine irrationalis. Quae corollaria gradatim sequuntur alterum ex altero, ut etiam per exempla numeralium terminorum constat.