Scholia quaedam

259 Notandum, quod quantitatum, alia est rationalis, alia irrationalis: et irrationalium, alia simplex, hoc est unius nominis; alia bimembris. Rursum simplicium, alia potentialiter tantum rationalis, alia cubo tantum, alia quadrato secundo tantum rationalis, quae medialis vocatur. Bimembrium autem duae sunt praecipuae species. Prima species, cuius membra sunt potentialiter tantum commensurabilia. Secunda, cuius portiones sunt etiam potentialiter incommensurabiles. 260 Prima species est triplex, et totuplex secunda. Illa enim continet binomium per compositionem partium et residuum per excessum. Item bimediale primum, cum suo residuo mediali primo. Item bimediale secundum, cum suo residuo mediali secundo. Haec vero species continet maiorem cum minori. Item potentem rationale²²⁸, et mediale; suumque residuum, scilicet cum rationali mediale potentem. 261 Item potentem duo medialia; suumque residuum cum mediali mediale potentem. Praeterea, tam binomium, quam residuum est sex specierum, quae singula iamdudum diffinita sunt. [C:129v] Sed attendendum quod quantitas duorum nominum sive bimembris est²²⁹ quae constat ex duabus portionibus ita ad invicem affectis, ut ad unum nomen redigi nequeant. Secus enim non erit binominis quantitas. 262 Ut autem portiones tales alicuius quantitatis bimembris sint ita affectae, ut ad unum nomen redigi nequeant; opus erit duabus conditionibus²³⁰ , scilicet ut portiones sint invicem incommensurabiles: nam portiones commensurabiles coniuncta conficiunt quantitatem unius nominis et eius speciei, cuius sunt partes, ut ostendemus, et insuper ut congeries quadratorum ipsarum portionum sit incommensurabilis producto earundem: sic enim fiet, ut talis congeries cum duplo talis producti, (quod est quadratum propositae bimembris per quartam secundi) minime faciat quantitatem unius nominis. 263 Nam si dicta congeries dicto producto commensurabilis esset; tunc congeries cum duplo dicto, hoc est, dictum quadratum, esset quantitas unius nominis; et perinde quantitas ipsa esset unius nominis, quia videlicet radix unius nominis quadrati; quae conditiones exprimuntur in praedictis irrationalium diffinitionibus. 264 Quoniam igitur necesse est, portiones, ex quibus bimembris quantitas, sive per compositionem, sive per abscissionem procedit, esse invicem incommensurabiles; et insuper congeriem quadratorum earundem portionum esse incommensurabilem producto ipsarum: idcirco sex²³¹ utrinque irrationalium quantitatum [C:130r] species propagari oportet. Si enim portiones fuerint incommensurabiles in magnitudine tantum, hoc est potentia solum commensurabiles, fient tres species irrationalium, scilicet prima, secunda, et tertia. Si autem portiones fuerint incommensurabiles etiam potentialiter, fient tres reliquae species, scilicet quarta, quinta, et sexta. 265 Deinde si congeries quadratorum ipsarum portionum fuerit rationalis, et productum earum mediale, fiet prima, vel quarta species²³². Si autem congeries medialis, et productum rationale, fiet secunda, vel quinta. Si vero tam congeries, quam productum mediale, et alterutrum incommensurabile, fiet tertia, vel sexta species, tam scilicet per coniunctionem portionum, quam per excessum maioris supra minorem.