PROPOSITIO XIV.

Conicae superficies segmenti, quod sumitur a vertice solidi descripti a semipolygonio aequilatero ad unum circulorum ab angulis descriptorum coniunctae sunt aequales ei, quod fit ex ductu peripheriae circuli, cuius diameter ex axis ipsius segmenti in lineam, quae cum diametro circuli continentis polygonium, et latere polygonii in ipso circulo constituit triangulum orthogonium.

Quid verbis opus erit? Assumo totam nonae descriptionem, sed de solido, quod describit semipolygonium AEB, assumo segmentum, cuius vertex est A, basis vero aliquis circulorum ab angulis polygonii descriptorum, utpote circulus, cuius diameter DM, quod segmentum vocetur DAM, aio itaque quod conicae superficies segmenti DAM, quae scilicet a lineis AG, GD describuntur, aequales simul sunt ei, quod fit ex linea BG in peripheriam circuli, cuius diameter AO, quem voco axem segmenti DAM: Quae demonstratio fere eadem est cum demonstratione nonae: nam, sicut ibi, triangula GAX, NQX, DQO similia sunt triangulo BGA, hoc est aequiangula: quare per 4. sexti sicut BG ad GA. sic GX ad AX, sic etiam XN ad XQ, sic et DO ad QO: et ideo per 13.5. sicut BG ad GA, sic aggregatum ex GN, DO ad totam AO. Itaque per corollarium sextae huius. Sicut BG ad GA, sic peripheria, cuius diameter [S:57] est aggregatum ex GN, DO ad peripheriam, cuius diameter AO; sed peripheria cuius diameter est aggregatum ex GN, DO per corollarium sextae aequalis est aggregatum peripheriarum, quarum diametri GN, DO. Igitur sicut BG ad GA, sic aggregatum peripheriarum, quarum diametri GN, DO ad peripheriam, cuius diameter est AO. Peripheria autem, cuius diameter DO per corollarium sextae, aequalis est dimidio peripheriae, cuius diameter DM, cum diameter DO sit dimidium diametri DM: ergo sicut BG ad GA, sic aggregatum ex peripheria, cuius diameter GN, et ex dimidio peripheriae, cuius diameter DM ad peripheriam, cuius diameter AO. Unde per 15. sexti elementorum, quod fit exBG in peripheriam, cuius diameter AO aequale est ei, quod fit ex GA in aggregatum ex peripheria, cuius diameter GN, et ex dimidio peripheriae, cuius diameter DM. Sed per praemissam, quod fit ex GA in aggregatum ex peripheria, cuius diameter GN, et ex dimidio peripheriae, cuius diameter DM aequale est conicis superficiebus segmenti solidi DAM. Igitur quod fit ex BG in peripheriam, cuius diameter AO aequum est conicis superficiebus segmenti solidi DAM: quod erat demonstrandum. Non aliter ostendam quod id, quod fit ex BG linea in peripheriam, cuius diameter AP aequale est conicis superficiebus segmenti solidi EAL. Nec secus concludam id quod fit ex linea BG in peripheriam, cuius diameter AR aequale esse conicis superficiebus segmenti ZAK. quandoquidem segmenti EAL axis est ipsa AP, segmenti vero ZAK ipsa AR linea. Verum est ergo quod proponitur. Hoc idem ostendetur etiam si chorda AG non sit latus polygonii aequilateri circulo AB inscripti, modo latera segmenti sint aequalia.

COROLLARIA.

Igitur et quod fit ex linea AO in peripheriam circuli, cuius diameter BG aequale est conicis superficiebus DAM. quod sequitur ex corollario 3.1. Nec non circulus, cuius semidiameter est media proportionalis inter lineas AO, BG aequalis est iisdem conicis superficiebus segmenti DAM. quod sequitur ex 4. corollario primae.