PROPOSITIO XXIX.

Si sphaera, et sphaeroides, sive duae sphaeroides figurae inter aequidistantia plana positae plano illis aequidistante secentur: abscissae solidorum portiones proportionales erunt.

Quod 15. huius ostendit de figuris communem axem habentibus, haec id ipsum de figuris huiusmodi inter tangentia plana positis concludit; in eadem itaque descriptione incedat planum aequidistans tangentibus planis figuras secans; cuius cum plano per centra solidorum, et tactuum puncta ducto communis sectio sit linea MON, PRQ. Dico itaque quod portio solidi MBN ad portionem MDN est sicut portio solidi PGQ ad portionem PKQ: intelligantur enim duo coni MBN, PGQ, quod axes BO, GR bases autem factae in solidis sectiones a plano, quod per lineam MQ ducitur planis tangentibus aequidistans: eritque per 32. libri de sphaera, et cylindro et per 20. et 21. huius portio MBN ad conum MBN, sicut portio PGQ ad conum PGQ: illa enim ratio est lineae compositae ex ED, DO ad lineam DO, haec autem lineae compositae, ex LK, KR ad lineam KR; quae rationes sunt eaedem propter aequidistantiam linearum: igitur permutatim portio MBN ad portionem PGQ est sicut conus MBN ad conum PGQ; sed conus MBN ad conum PGQ, sicut basis ad basim, hoc est, ut sectio MN ad sectionem PQ, hoc est per 8, et 9 praemissi, sicut rectangulum sectionis MN ad rectangulum sectionis PQ: sed haec rectangula sunt proportionalia rectangulis sectionum AC, FH a plano per centra solidorum tangentibus aequidistante factarum: quandoquidem per 26, et 27. praecedentis, sectiones ab aequidistantibus planis in sphaeroidibus factae sunt similes: et per 21. primi conicorum ipsae MN, AC sunt ipsis PQ, FH proportionales. Igitur sicut rectangulum sectionis ad rectangulum sectionis FH, sic portio MBN ad portionem PGQ. Verum per praeceden[S:273]tem, solidum ABCD ad solidum FGHK sicut rectangulum sectionis AC ad rectangulum sectionis FH. Ergo solidum ABCD ad solidum FGHK totum ad totum, sicut portio MBN ad portionem PGQ abscissa ad abscissam, quare per 29. quinti Euclidis et portio MDN relicta ad portionem PKQ relictam erit sicut solidum ABCD ad solidum FGHK: et permutatim portio MBN ad portionem MDN erit sicut portio PGQ ad portionem PKQ: quod erat demonstrandum.

COROLLARIUM.

Hinc, et illud sequitur, quod si sphaera, et sphaeroides, sive duae sphaeroides solidae figurae inter duo plana utrinque solidum utrumque tangentia positae plano per centra tangentibus aequidistante ducto secentur, factaeque sectiones fuerint inter se aequales; ipsa solida aequalia erunt ad invicem: et solidorum portiones a quolibet plano tangentibus aequidistante abscissae ad invicem aequales erunt. Tunc autem sectiones aequales sunt, quando earum rectangula, quae scilicet a diametris fiunt aequalia sunt; ut in 9. praemissi eiusque corollario dictum est, et tunc planum tangentibus aequidistans semper facit in solidis aequales sectiones.