PROPOSITIO XX.

Omnis portio minor, quam dimidia sphaeroidis figurae plano ad axem recto sectae ad conum eiusdem basis, axisque, est sicut linea, quae constat ex dimidio axis sphaeroidis, et ex axe maioris portionis ad ipsum axem maioris portionis.

Esto sphaeroides solidum ABCD, cuius centrum E, de quo abscindatur portio ABC minor dimidia, plano ad axem recto per punctum G ducto; sitque ABCD ellipsis in solido facta plano per axem, per 16. praemissi; cuius plani cum plano ad axem recto communis sectio sit AGC, quae diameter est circuli in solido facti, per 17. praemissi; producto autem axe BD ponatur ipsi ED aequalis DF. Dico itaque quod portio solida sphaeroidis ABC ad conum, cuius basis circulus AC, axisque BG est sicut linea FG ad lineam GD: ponatur sicut FG ad GD, sic conus Z ad conum ABC. Et demonstrandum erit, quod conus Z aequalis est portioni sphaeroidis ABC, secus enim, portio erit aut maior, aut minor, cono Z. Sit primum maior aliquo excessu, et per 8. huius, eiusque corollarium inscribatur figura portioni ABC; itaut portio addat super figuram minus dicto excessu: et proinde figura inscripta erit maior cono Z. Posthaec sit BM tertia pars ipsius BG; cumque BE sit tertia pars ipsius BF, sequitur ut EM relicta sit, et tertia pars ipsius GF relictae; quare sicut GF, ad EM, sic cylindrus ABC ad conum ABC: fuit autem sicut DG ad GF, sic iam conus ABC ad conum Z. Ergo per inordinatam proportionem aequalitatis, sicut est DG ad EM, sic cylindrus ABC ad conum Z: sint autem partes axis BG iuxta divisionem cylindri ABC factae quatuor GL, LK, KH, HB; totidemque lineae exponantur singulae ipsi BG aequales: et super eas singula quadrata N, OP, QR, ST. Et a tribus postremis auferantur per ordinem quadrata P, R, T, quae sunt quadrata linearum BH, BK, BL per ordinem: relictis gnomonibus O, Q, S. Item producatur latus quadrati N et caeterorum; sitque crementum duplum ipsius GE: et perinde tota latitudo aequalis ipsi DG: atque ita quadrato N, spatium V, et quadratis OP, QR, ST, singulis spatia ipsi V singula aequalia accedant: de quibus partes I, Y, X, seiunctae accedant quadratis P, R, T; relicta vero gnomonibus O, Q S, accrescant. Unde spatium NV, et gnomones O, Q, S; sic iam adaucti aequales erunt [S:265] his rectangulis, videlicet spatium NV rectangulo BGD, gnomon O rectangulo BLD, gnomon Q rectangulo BKD, gnomon S rectangulo BHD; quando quidem ipsae lineae BH, BK, BL sunt latitudines gnomonum S, Q, O; sicut eaedem lineae contrario ordine sumptae fuerunt latera quadratorum T, R, P: verum ipsa rectangula BGD, BLD, BKD, BHD per ordinem sunt proportionalia quadratis linearum A, G, et reliquarum trium a punctis L, K, H, ad peripheriam ellipsis ordinatarum per 21. primi conicorum elementorum quadrata autem ductarum ordinatarum sunt circulis, quorum ipsae sunt diametri proportionalia; circuli quoque ipsi cylindris, quorum sunt bases proportionales; quandoquidem aequales sunt cylindrorum axes. Igitur et quatuor cylindri, quorum bases dicti circuli ordinatas pro semidiametris habentes erunt proportionales spatio NV, gnomonibusque O, Q, S: unde sequitur, ut quadruplum cylindri ALC, hoc est totalis cylindrus ABC ad cylindros constituentes figuram portioni inscriptam sit sicut quadruplum spatii NV ad aggregatum gnomonum O, Q, S; cum autem GE sit semissis crementi gnomonum in spatiorum descriptione; BM autem sit tertia pars ipsius BG, quod est latus quadrati N maximi in ordine quadratorum P, R, T, N. Iam per 2. praemissi minorem rationem habebit quadruplum spatii NV ad aggregatum spatiorum NV, TX, RY, PI, quam linea DG ad lineam compositam ex GE, BM. Quare et eversim per 5. additarum in quinto Euclidis maior erit ratio quadrupli spatii NV ad aggregatum gnomonum O, Q, S, quam lineae DG ad lineam EM; fuit autem dictum quadruplum ad dictum aggregatum, sicut cylindrus ABC ad figuram inscriptam; sicut autem linea DG ad lineam EM, sic erat cylindrus ABC ad conum Z. Ergo maior erit ratio cylindri ABC ad figuram inscriptam, quam eiusdem cylindri ABC ad conum Z: itaque maior est conus Z, quam figura inscripta: fuerat vero minor, quod est absurdum, non est igitur maior portio ABC cono Z.

Ponatur deinde minor; et tunc per eadem, quae prius quadruplum cylindri ALC totus inquam cylindrus ABC ad aggregatum quatuor cylindrorum constituentium figuram circumscriptam portioni minorem cono Z; per eadem, quae prius fabricatam, erit sicut quadruplum spatii NV, ad aggregatum NV, O, Q, S, gnomonum: sed per 3. praecedentis libelli ratio quadrupli spatii NV ad aggregatum spatiorum TX, RY, PI, maior est, quam lineae DG ad lineam compositam ex GE, BM. Igitur eversim per 6. additarum in quinto Euclidis minor erit ratio quadrupli spatii NV ad aggregatum NV, O, Q, S gnomonum, quam lineae D, G ad lineam EM; fuit autem dictum quadruplum ad dictum aggregatum, sicut cylindrus ABC ad figuram circumscriptam: sicut autem linea DG ad lineam EM, sic cylindrus ABC ad conum Z. Ergo minor erit ratio cylindri ABC ad figuram circumscriptam, quam eiusdem cylindri ABC ad conum Z; itaque minor erit conus Z, quam figura circumscripta: fuerat vero maior, quod est absurdum. Non est ergo minor portio ABC cono Z, sed nec maior esse potuit; aequalis ergo erit, quod fuit demonstrandum.