PROPOSITIO III.

Si quotcumque spatia sumantur sub una longitudine, latitudinibus autem secundum crementum minimae aequale crescentibus; applicenturque quadrata latitudinum ipsis latitudinibus: tunc aggregatum ex maximo spatio, maximoque quadrato toties sumptum, quot fuerunt sumpta spatia, minorem rationem habebit ad congeriem spatiorum, quadratorumque omnium, quam habet linea composita ex longitudine, ac latitudine maxima ad lineam compositam ex dimidio longitudinis, tertiaque parte latitudinis maximae: at vero ad congeriem spatiorum quadratorumque omnium (dempto maximo spatio, maximoque quadrato) habebit maiorem praedicta rationem.

Exempli gratia latitudines quotvis spatiorum puta sex sunto A, B, C, D, E, F, crescentes in A minimam; quarum quadrata sint G, H, K, L, M, N; et spatia totidem sub iisdem latitudinibus sint O, P, Q, R, S, T, applicata ad eamdem longitudinem O; cuius dimidium sit V; at X sit tertia pars maximae latitudinis F. Item Y sit illud quod fit ex V in F, hoc est dimidium spatii T: demum Z sit illud quod ex X in F, videlicet tertia pars quadrati N. Ostendendum est itaque quod totum TN sexcuplicatum (quandoquidem sex sunt assumpta spatia) ad congeriem G, H, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, omnium, minorem rationem habet quam linea composita ex F, et O (ex latitudine scilicet maxima, et longitudine constans) ad lineam VX. At idem TN spatium sexcuplicatum ad congeriem G, H, K, L, M, O, P. Q, R, S, spatiorum maiorem rationem habent, quam eadem summa O, et F linearum ad lineam VX; quod sic ostendetur. Nam per primam huius, spatium T sexcuplicatum minus est quam duplum ipso[S:229]rum O, P, Q, R, S, T, simul sumptorum, plus vero quam duplum ipsorum O, P, Q, R, S; igitur spatium Y, quidem ipsius T dimidium, sexies sumptum, minus est aggregato ipsorum O, P, Q, R, S, T; maius autem aggregato ipsorum O, P, Q, R, S; per 1. autem lemma libelli de lineis spiralibus, sexcuplum quadrati N minus, quam triplum est aggregati ipsorum G, H, K, L, M, N; plus vero quam triplum aggregati ipsorum G, H, K, L, M.

Igitur spatium Z, quod est tertia pars quadrati N, sexcuplicatum minus est aggregato ipsorum G, H, K, L, M, N; maius aggregato ipsorum G, H, K, L, M. Quare et spatium Y, Z simul sexcuplicatum minus est aggregato ipsorum O, P, Q, R, S, T, et G, H, K, L, M, N, omnium simul; maius autem aggregato ipsorum O, P, Q, R, S, cum G, H, K, L, M, simul. Itaque minorem rationem habebit sexcuplum ipsius NT ad singulare NT, quam aggregatum ipsorum O, P, Q, R, S, T, cum G, H, K, L, M, N, omnium ad ipsum YZ; maiorem vero quam aggregatum ipsorum O, P, Q, R, S cum G, H, K, L, M, simul ad ipsum YZ; et permutatim minorem rationem habebit sexcuplum ipsius NT ad aggregatum ipsorum O, P, Q, R, S, T, una cum G, H, K, L, M, N, omnium, quam habet totum NT ad ipsum YZ: at vero idem sexcuplum NT ad aggregatum ipsorum O, P, Q, R, S, cum G, H, K, L, M, simul maiorem habebit rationem, quam dictum NT ad dictum YZ. Sed per 1. sexti elementorum sicut NT spatium ad spatium YZ, sic linea OF ad lineam VX. Igitur sexcuplum NT ad aggregatum ipsorum O, P, Q, R, S, T, cum G, H, K, L, M, N, minorem habebit rationem quam linea OF ad lineam VX. At idem NT sexcuplicatum maiorem rationem habebit ad aggregatum ipsorum O, P, Q, R, S, cum G, H, K, L, M, quam linea OF ad lineam VX. Quod fuit demonstrandum.