2-10-07 lezione 1 (Tortorelli)
La struttura dei numeri naturali: operazioni e loro proprieta',
maggiore, minore e maggiore-eguale, minore-eguale, divisibilita'
e
fattorizzazione, allineamenti decimali e in base data, scrivere
centoquindici in base tre. Problemi di conteggio: in quanti modi si
scambiano le maglie i giocatori di due squadre di calcio, quanti numeri
con rappresentazione decimale propria di sette cifre hanno esattamente
tre zeri, in quanti modi si distribuiscono di tre oggetti a due
persone,
numero dei sottoinsiemi, numero coppie ordinate.
Fattoriale, coefficenti binomiale e relazioni induttive: riduzione al
caso precedente, metodo del testimone.
Principio di induzione: se P(k_0) e' vera e se dalla verita' di
P(m) si ottiene quella di P(m+1)
allora P e' vera per tutti numeri naturali maggiori eguali di k_0
e.g. P(k) sia ``il numero di modi di distribuire k oggetti a n
persone e' n^k'' e k_0 sia 1.
Coppie ordinate come concetto primitivo, prodotto cartesiano di insiemi
relazioni e funzioni.
Notazioni: N,
minore
o eguale, n!, C_{n,k} e notazione per il coefficiente binomiale,
a+...+b, (a,b), AxB, f(a)=b
Definizioni: multiplo,
numero primo, divisore, resto, base, fattoriale, 0!, coefficiente
binomiale. Prodotto cartesiano, relazione (binaria) come
sottoinsieme di coppie ordinate, funzioni come relazioni binarie
univoche, dominio di una funzione.
Enunciati: Dati
due numeri naturali a maggiore eguale a b esistono unici due numeri q
ed r con r minore di b per cui a=qb+r.
Ogni numero naturale e' esprimibile come prodotto di potenze di numeri
primi in modo unico.
Dato un numero b ogni altro numero si puo' scrivere in modo unico come
c_k b^k + ... +c_1 b +c_0 con c_k non nullo e gli altri
coefficienti tra 0 e b-1.
I modi di rinominare n oggetti sono n(n-1) ... 2 (dim.), i modi di
scegliere k oggetti tra n sono n!/((n-k)! k!)(dim.), le funzioni con
dominio un insieme di k elementi e valori in un insieme di n elementi
e'
n^k(dim.).
C_n,k =C_(n-1), (k-1) +C_(n-1), k (dim. testimone)
A^2-B^2=(A-B)(A+B)(dim.),
A^n-B^n= (A-B)(A^{n-1} + ... A^{n-k-1} B^k +... B^{n-1})(dim.),
(A+B+ ...+C)^2=A^2+B^2+...+C^2 +2AB+...+2AC+ ...2BC+ ... (dim.)
(A+B)^3=A^3+3A^2B+3 (dim.), (A+B)^n= formula di Newton
4-10-07 lezione
2 (Tortorelli) Richiamo sul principio di
induzione e implicazione matematica. Estensioni di N : le strutture dei numeri interi Z e dei numeri razionali Q. Commensurabilita'
di
grandezze lineari come termine di un processo: incommensurabilita' tra
diagonale e lato del quadrato con costruzione geometrica. Non
risolubilta' di x^2= 2 in Q .
Allineamenti decimali periodici.
La struttura dei numeri reali R in
modo assiomatico: parte algebrica. L'identificazione di N in R.Il
continuo unidimensionale geometrico con origine unita' di misura,
distanza e modulo.
Alla ricerca di una proprieta' che garantisca alcuni desiderata.
Allineamenti decimali infiniti.
Notazioni:
Z, Q, R, |x|
Definizioni: "se A allora B"
vuol dire "non A , o (anche) B", |x|=max{x, -x}, dist (x,y)=|x-y|,
successioni di Cauchy:
per ogni E>0 (tolleranza) vi e' N
naturale per cui se n ed m >N allora -E< a_n -a_m < E
successioni convergenti in R:
vi e' x
reale per ogni E>0 vi e' N naturale per cui se n>N
allora -E< a_n - x< E
se
c_n sono cifre tra 0 e 9 con
0,c_1... c_n .... si intende il limite eventuale di c_1/10 + ...
c_n/10^n per n che tende all'infinito
N come piu' piccolo
sottoinsieme di R a cui
appartiene lo 0 e per cui se x e' un suo elemento anche x+1 lo e'.
Enunciati:
ogni numero razionale si scrive come allineamento decimale finito o
periodico,
|x+y|<_= |x|+|y| (dim), |x-y|<_= |x|+|y| (dim), ||x|-|y||<_=
|x-y|. Vi e' il piu' piccolo sottoinsieme di R che soddisfa le seguenti due
condizioni:
0 gli appartiene, e se gli appartiene un numero x gli appartiene
anche x+1.
Dalla proprieta' di Archimede si deduce la densita' dei razionali nei
reali (dim).
Desiderata
per R: si deve aggiungere qualche proprieta' ad
affinche' si abbia:
1- ogni successione di Cauchy e' convergente (R e' abbastanza grande)
2- per N valga il principio
di induzione
3- per ogni x in vi sia n in per cui n >x
(proprieta' di Archimede) (R e'
abbastanza piccolo in modo che bastino i razionali per approssimare
tutti i real, in particolare le somme parziali degli allineamenti
decimali infiniti convergano)
5-10-07 esercitazione 1 (Caputo)
vedi primo foglio di esercizi (combinatorica, sviluppi in base non
decimale, polinomi ed equazioni, sistemi lineari)
5-10-07 tutorato 1 (Iacopini)
vedi primo Tfoglio (esercizi su: combinatorica elementare, induzione e
ricorrenza, disequazioni, valore assoluto)
9-10-07 lezione 3 (Tortorelli)
L'assioma di completezza e le sue principali conseguenze: realizzazione
dei desiderata, serie geometriche, definizione ed esistenza di radici
aritmetiche, esponenziali, logaritmi e loro proprieta'.
Tasso di interesse composto e numero e
di Nepero.
Piano e spazio cartesiani: prime nozioni, regola del parallelogramma,
translazioni e dilatazioni.
Definizione di insiemi che hanno area o volume, il numero pigreco e le
grandezze trigonometriche.
Notazioni:
{ x in A: F(x)}, A< x, sup, inf, max, min, a_n_k, notazione radice
aritmetica, notazione esponente con frazione di interi, notazione
esponenziale, log_b x (b non 1 e >0), R^2, R^3,
(a,b), (a,b,c), |...|_2, |...|_3, || ... ||, dist_2, dist_3, cos x ,
sin x.
Definizioni:
Serie geometrica.
Sottoinsieme limitato (inferiormente, superiormente), maggiorante,
minorante, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore.
Successioni monotone, sottosuccessioni.
Radici aritmetiche.
Esponenziazione in base reale non negativa ed esponente reale
Logaritmi.
Costante di Nepero e =:
lim_{n-> +oo} (1+ 1/n)^n, e tasso di interesse composto
(1+x/n)^n.
Piano e spazio Cartesiani, prodotto per numero reale e somma per coppie
o terne ordinate, dilatazioni di centro l'origine,
translazioni, regola del parallelogramma.
Distanza tra due punti nel piano e nello spazio Cartesiani.
Norma nel piano e nello spazio Cartesiani come distanza dall'origine, cerchio
e circonferenza nel piano.
Un sottoinsieme A ammette area (volume) nel piano
(spazio Cartesiano) se i seguenti due numeri sono eguali:
inf { somme delle aree (base per altezza) di un numero finito di
rettangoli con lati paralleli agli assi che ricoprano interamente A}
sup { somme delle aree di un numero finito di rettangoli con lati
paralleli agli assi, che hanno in comune al piu' punti dei loro lati e
tutti contenuti in A}
nel caso il valore comune si dice misura a la Peano-Jordan di A.
Pigreco e' per definizione la misura di Peano-Jordan di { (x,y) in R^2: x^2+y^2 <1}.
Grandezze trigonometriche: per x tra 0
e 2 pigreco cos x e sin x sono rispettivamente la prima e la
seconda coordinata del punto sulla circonferenza unitaria che determina
a partire da (0,1) in senso antiorario il settore circolare di area
x/2.
Nel caso y= x + 2n pigreco, con n in N
e x tra 0 e 2 pigreco si pone cos y= cos x e sin y = sin x.
Enunciati:
Le somme delle approssimazioni decimali sono di Cauchy.
Caratterizzazione di estremo superiore ed inferiore con approssimazioni.
Assioma di completezza di R :
ogni sottoinsieme di R non
vuoto
e limitato superiormente ha un estremo superiore.
Validita' del principio di Archimede in R.
Una successione crescente con insieme dei valori limitato superiormente
converge all'estremo superiore.
Da ogni successione si puo' estrarre una sottosuccessione monotona
(enunciato).
Ogni successione di Cauchy ' convergente.
Ogni successione con insieme dei valori limitato ha una
sottosuccessione convergente.
Ogni numero non negativo ha un unica radice aritmetica 2n-sima (enun.).
Proprieta' dell'esponenziale reale (enunc.).
Per ogni base e per ogni numero strettamente positivo vi e' il
logaritmo (en.).
Proprieta' del logaritmo.
Buona definizone delle grandezze trigonometriche (enunc.).
11-10-07 lezione 4 (Tortorelli)
Schema riassuntivo per la lezione precedente: assioma di
completezza e sue conseguenze di base, ed alcune precisazioni. Alcune
identita' e diseguaglianze trigonometriche.
Elementi del piano e dello spazio Cartesiano come punti e come
spostamenti relativi:vettori. Prodotto scalare e determinante:
definizione, relazione con le grandezze trigonometriche ed area di un
parallelogramma. Orientamento di una coppia ordinata di vettori nel
piano e di una terna ordinate nello spazio come nozione relativa.
Notazioni: [x], tan x, v.w , <vw> , det (vw),
Definizioni: parte intera, tangente,
vettori in R^2 R^3, prodotto scalare, matrici,
determinante per coppie ordinate di elementi di R^2, determinante di matrici 2
per 2,
due coppie ordinate (v,w)=((a,b), (c,d)) e (h, k)= ((p,q), (r,s)) di
elementi del piano Cartesiano hanno la stessa orientazione se det (vw) =ad-bc e det (hk)= ps- rq
hanno lo stesso segno.
Enunciati:la
misura diPeano-Jordan e' crescente rispetto all'inclusione,
(1+x/n)^n e' crescente per n>-x (en.), il suo limite e' e^x (argomento euristco
((1+1/a)^a)^x ),
periodicita' di seno e coseno, sin^2 x+cos^2 x=1, formule di addizione
per seno e coseno (en.),
cos x < sin x /x < 1 se 0< x< pigreco/2
(argomento intuitivo con inclusione tra triangoli e settore circolare),
<vw>=<wv>, det (vw)= - det (wv)
v.w = ||v|| ||w||
cos vow , (enun.)
|det (vw)|
= ||v||
||w|| |sin vow| = area parallelogramma di
vertici (0,0), v, w, v+w (enun.)
ove vow e' il doppio della misura dell'area del settore circolare
determinato da v e w nel cerchio unitario di centro l'origine.
12-10-07 esercitazione 2 (Caputo)
vedi secondo foglio (1+x <_= e^x, diseguaglianze con valori
assoluti, valori estremali di 1/n n>0 in N)
12-10-07 tutorato 2 (Iacopini)
vedi secondo Tfoglio.
16-10-07 lezione 5 (Tortorelli)
Caratterizzazione algebrica del determinante (bilinearita' ,
antisimmetria e valore assegnato ), bilinearita' e simmetria del
prodotto scalare. Argomento euristico per l'eguaglianza tra misura di
un
apralelogramma e modulo del determinante.
Dipendenza lineare e basi cambiamenti di base. Rotazioni nel piano.
Trasformazioni lineari
matrici associate interpretazione delle colonne di una matrice. Matrice
trasposta, prodotto righe per colonne.
Determinante in R^3 con
caratterizzazione algebrica. Interpretazione metrica come volume ed
orientazione di parallelepipedo. Determinante del prodotto e
determinante della trasposta.
Prodotto vettoriale sua interpretazione geometrica, formula di Cauchy
Crofton e sua interpretazione geometrica.
Ortogonalita, ortogonalita' e prodotto vettore, dipendenza lineare e
determinante.
Notazioni:
^tM, MN, (MN^1 ... MN^k), vxw
Definizioni:
bilinearita', simmetria, antisimmetria, alternante, multilineare,
dipendenza lineare, base, coordinate, rotazione piana,
ortogonalita', trasformazione lineare, prodotto righe per
colonne,
matrice associata ad una trasformazione lineare, matrice trasposta,
determinante nello spazio, orientazione relativa nello spazio, prodotto
vettore
Enunciati: il prodotto scalare
e' bilineare e simmetrico (dim), il determinante per coppie di
vettori nel piano bilineare ed antisimmetrico (dim), vi e'
un'unica funzione n-lineare alternante che vale uno sui vettori
della base canonica (dim per dimensione 2), il determinante si annulla
se e solo se le colonne sono linearmente dipendenti (punti
allineati con l'origine, vettori paralleli) (dim per dimensione 2), il
determinante della matrice trasposta e' eguale a quello della matrice
(dim per dimensione 2, 3), le rotazioni conservano il prodotto
scalare e quindi la distanza (dim), la misura di Peano Jordan e'
invariante per translazione rotazioni e simmetrie, dimostrazione della
relazione tra prodotto scalare e coseno (dim), relazione tra
determinante e volume del parallelepipedo generato dalle colonne,
formula di Cauchy-Crofton (det ^tMM =( somma dei quadrati delle
sottomatrici 2x2)^2 quadrato dela norma del prodotto vettore) e sua
interpretazione geometrica come generalizzazione del teorma di
Archimede
per l'area di paralleogrammi nello spazio.
esercizio:definire
le simmetrie piane rispetto ad una retta per l'origine
18-10-07 lezione 6 (Tortorelli)
Cambiamenti di coordinate, matrice inversa. Azione tramite prodotto
scalare di coppie, terne ... come trasformazioni
lineari dal piano o spazio nella retta: diversa legge di cambiamento di
coordinate rispetto alla loro interpretazione come posizioni rispetto
all'origine. Invarianza del determinante.
Retta in forma parametrica per un punto parallela ad un vettore,
k-spazio in forma parametrica per un punto con data giacitura.
Segmenti, paralellogrammi, parallelepipedi in forma parametrica,
convessi.
Rette e piani come luoghi di zeri di trasformazioni lineari, direzioni
ortogonali.
Notazioni:
M^{-1}, Id
Definizioni:matrice
identita', matrice inversa, trasformazione inversa, rette e k-piani in
forma parametrica, segmento tra due punti in forma parametrica,
parallelogrammi e parallelepipedi di dati vertici in forma
parametrica.
Convessi.
Enunciati:
t^(MN)=^tNt^M, Mx =(M^1, ..., M^n)t^(x_1
... x_n) = x_1 M^1+ ... x_n M^n : la matrice M se
invertibile trasforma le coordinate rispetto la base delle sue colonne
nelle coordinate del sistema di riferimento canonico (dim),
M^{1} M= M M^{-1}, ^t(M^{-1})=(^tM)^{-1}, (MN)^{-1}= N^{-1}
M^{-1}.
Se N e' una matrice che da le coordinate in una nuova base un' ennupla
v come vettore cambia in Nv, come trasformazione lineare data dal
prodotto scalare per essa (x--> <x,v>) in^tN^{-1}.
Il determinante e' invariante per generici cambiamenti cambamenti di
coordinate contrariamente al prodotto scalare.
Il luogo di zeri nel piano Cartesiano delle coppie (x,y) per cui
ax+by= c con a e b non entrambi nulli e' una retta parallela al
vettore (-b, a), il luogo di zeri nello spazio Cartesiano delle
terne (x,y,z) soluzioni di ax+by+cz= d con (a,b,c) non
nulli
e' un piano parallelo qualsiasi coppia di vettori linearmente
indipendenti ortogonali ad (a, b,c), il luogo di zeri nello spazio
Cartesiano delle terne (x,y,z) soluzioni del sistema
ax+by+cz= d , Ax+By+Cz= D con (a,b,c) e (A,B, C)
linearmente
indipendenti e' una retta di direzione (a,b,c)x(A,B, C).
23-10-07 lezione 7 (Tortorelli)
Terminologia, notazioni e concetti logico insiemistici. Principali
nozioni astratte sulle funzioni con esemplificazioni per funzioni di
una
variabile e funzioni lineari.
Notazioni:/\
, V, => , <=> , --| simbolo di negazione,
simbolo di per ogni , simbolo di esiste, notazione per esiste
unico, simbolo di appartenenza, simbolo insieme vuoto, AUB, A\B, A/\ B,
U_i A_i, /\_i A_i, AxB, P(A),
dom, Im, {x: P(x)}, (a,b), (a,b,c ...), {a,b, c ...}, a=f(b) per
, fog, f^-1,
Definizioni:tavole
di verita' per gli operatori proposizionali, quntificatori, eguaglianza
tra insiemi, eguaglianza di coppie ordinate, prodotto cartesiano,
insieme vuoto, unione ed intersezioni di coppie e di famiglie di
insiemi, complemento di insiemi, funzioni (estensionali) come relazioni
univoche grafici, dominio, immagine, funzioni lineari, funzioni affini,
polinomi, funzioni elementari, funzioni vettoriali, preimmagine
di
una funzione, iniettivita' surgettivita' bigettivita', funzione
composta, funzione inversa,
Enunciati:
leggi di De Morgan per i connetivi logici (dim) per i quantificatori e
per le unioni ed intersezioni di insiemi, per
definizine ogni k-piano e' l'immagine di una funzione affine, ogni
k-piano e' la preimmagine del vettore nullo mediante una funzione
affine, una funzione e' bigettiva tra due insiemi se e solo se ha
un'invera (dim), grafico dell'inversa, grafici di funzioni reali
come luoghi di zeri e come immagini, una funzione lineare
e' iniettiva se e solo se la preimmagine del vettore nullo e' il
vettore
nullo (dim), una funzione lineare e' iniettiva se e solo se le colonne
della matrice associata sono linearmente indipendenti (dim), un sistema
omogeneo e' risolubile con soluzione non nulla se e solo se le colonne
sono linearmente dipendenti (dim)
25-10-07 lezione 8 (Tortorelli)
Iniettivita' esurgettivita' di funzioni lineari. Rette nel piano come
grafici, come luoghi di zeri, come immagini. Pendenza e rapporto
incrementale. Monotonia e rapporto incrementale, definizione di limite
e
derivata in un punto significato geometrico. Monotonia del rapporto
incrementale.
Notazioni: Ker L, R_f(x,y), g(x)
---> L per x --->a, L =lim_{x-->a} g(x), f' (x), df/dx , Df_x
Definizioni:nucleo
di una funzione lineare, coefficiente angolare di una retta nel piano,
funzione monotona, rapporto incrementale, definizione di limite :
sia f una funzione ed a un punto approssimabile con una
successione di punti del dominio di f
da lui diversi ( vi e' x_n in dom f, x_n non = a, ed x_n --> a
per n --->+oo) si dice che L e' limite di f(x) per x-->a se
per ogni e>0 vi e' d per cui se
0< dist(x,a) <d, con x in dom f allora dist(f(x),
L)<e
Definizione di derivata.
Definizione di retta secante ad un
grafico e di rettatangente ad un grafico in un suo punto (a,f(a)):
y= f'(a)x -f'(a)a +f(a).
Enunciati: una funzione lineare e' surgettiva se e solo se
le colonne generano tutto lo spazio (dim), una funzione lineare e'
bigettiva se e solo se il detreminante della matrice associata e' non
nullo, un sistema lineare con tante incognite quante equazioni e'
risolubile se e solo se il determinante della matrice associata e' non
nullo, la soluzione e' data calcolando la matrcie inversa sul
termine noto, il nucleo di una
funzione lineare e' uno spazio vettorile (dim),
dim Ker L + dim ImL = dim Dom L, i grafici di funzioni affini di
una variabile sono luoghi di zeri di funzioni affini di due variabili
ed
immagini di funzioni affini vettoriali di una variabile (dim), le rette
che son funzioni hanno rapporto incrementale costante (dim), una
funzione e' monotona su un intervallo se e solo se i rapporti
incrementali hanno tutti lo stesso segno (dim), significato geometrico
del rapporto incrementale, la funzione x--->|x| non e'
derivabile in 0.
26-10-07 esercitazione 3 (Caputo)
distanza di una retta dall'origine, rotazioni traslazioni e riflessioni
nel piano.
26-10-07 tutorato 3 (Iacopini)
determinante, sistemi lineari dipendenti da parametri, rango,
calcolo inversa, metodo matrice orlata.
30-10-07 lezione 9 (Tortorelli)
A ritroso: dalla definizione di derivata e di tangente ad un
grafico alla dimostrazione del teorema di Lagrange Cauchy per cui le
secanti di una curva grafico sono sempre parallele a qualche
tangente.
Continuita' e principali teoremi.
Tangenza a cammini iniettivi, derivate e monotonia. Funzioni convesse.
Derivate successive, derivate e convessita'. Regole di derivazione e
derivate di alcune funzioni elementari e studio dei loro grafici.
Notazioni: f',
f", v'.
Definizioni:retta
tangente ad un grafico come grafico, derivata di una funzione
vettoriale, retta tangente all'immagine un cammino iniettivo G in un
punto G(s) dell'immagine se la derivata G'(s) non e' eguale
a 0: G'(s) t +G(s).
Continuita' di funzioni di piu' variabili vettoriali, funzioni
limitate, massimo minimo estremo superiore ed inferiore di una
funzione,
punti di massimo e di mininimo.
Sopragrafico.
Funzioni convesse.
Derivata seconda e derivate successive.
Enunciati: Teorema di Weiestrass: una funzione
continua su un intervallo chiuso e limitato assume su di esso valori di
massimo e di minimo (dim.)
Teorema del valore intermedio: una funzione continua su un intervalllo
assuma tutti i valori tra l'estremo superiore e l'estremo inferiore.
Le funzioni derivabili in un punto sono continue in qul punto (dim.).
Le funzioni lineari sono continue.
Composizione di funzioni continue e' continua.
Permanenza del segno nel passaggio al limite (dim.).
Una funzione derivabile in un intervallo ha derivata nulla nei punti
interni all'intervallo nei quali assuma valori di massimo o minimo
(dim.).
Teorema di Rolle: per una funzione continua su un intervallo chiuso e
limitato, derivabile nell'interno, con egual valore agli estremi, vi e'
un punto interno in cui la derivata si annulla (la secante del
grafico orizzonatale e' parallela ad una tangente)(dim.)
Teorema di Lagrange: per
una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, derivabile
nell'interno, vi e' un punto interno in cui la derivata e' eguale al
rapporto incrementale agli estremi (la secante agli estremi del grafico
e' parallela a qualche tangente) (dim.)
Teorema di Cauchy: date due funzioni continue
su un intervallo chiuso e limitato, derivabili nell'interno, vi e' un
punto interno per cui il rapporto dei loro incermenti agli estermi e'
eguale al rapporto delle loro derivate calcolate nel punto (per ogni
curva piana derivabile una secante e' sempre parallela a qualche
tangente).
Una funzione derivabile su un intervallo e' monotona non decrescente se
e solo se la sua derivata e' non negativa (dim.).
Una funzione che ha derivata nulla in ogni punto di un intervallo e'
costante (dim.).
Una funzione e' convessa se e solo se f(ax +(1-a)y) <_= af(x)
+(1-a)f(y) per ogni a tra 0 ed 1 se e solo se il suo grafico sta
sotto le corde se solo se il suo grafico sta sopra i
complementari
delle corde se e solo se i rapporti incrementali sono funzioni monotone
non decrescenti.
Una funzione di piu' variabili e' convessa se e solo le sue restrizioni
alle rette (in forma parametrica affine) parallele agli assi sono
funzioni convesse.
Una funzione derivabile su un intervallo e' convessa se e solo se la
sua derivata e' monotona non decrescente se e solo se il suo grafico
sta
sopra tutte le rette tangenti.
Una funzione derivabile due volte su un intervallo e' convessa se e
solo se la sua derivata seconda e' non negativa.
Regole di derivazione: derivate di polinomi, derivate di funzioni
razionali, inetrpretazione geometrica della derivata dell'inversa di
una
funzione, derivata dell'esponenziale e del logaritmo.
Grafici di funzioni elementari: x^n, 1/x.
6-11-07 lezione 10 (Tortorelli)
Le derivate e i grafici delle funzioni elementari, diseguaglianze
e limiti notevoli, polinomio di Taylor.
Ricerca di massimi e minimi:
-esistenza e.g. funzioni continue su intervalli chiusi e limitati;
-ricerca tra: i punti estremi, i punti di non derivabilita', i punti
interni ove la derivata si annulla
- confronto dei valori assunti in questi punti
Massimi e minimi locali e derivate successive.
Notazioni: o(A),
Definizioni:
B e' o(A) per x-->p se vi sono r ed E per cui
|B(x)|<_= A(x) E(x) 0<dist(x,p)<r ed E(x)-->0;
polinomio di Taylor di grado n; massimo e minimo locale.
Enunciati:
se
A e' maggiore eguale a B ed esistono i limiti lim A e' maggiore
eguale di lim B (dim)
se lim A > lim B per x-->p allora vi e' r per cui se
0< dist(x,p) <r si ha A(x)>B(x) (dim)
se A e' compreso tra c_1 e c_2 che tendono allo stesso limite L
allora anche A tende a L
x<_= e^x -1 <_= xe^x (dim), calcolo delle derivate
di esponenziale, logaritmo, potenza reale, seno coseno e loro grafici
(dim)
confronto asintotico di esponenziale e logaritmo con polinomi (dim)
l'unica funzione f per cui f'(x)=f(x) ed f(0)=1 e' e^x (dim con teorema
di Lagrange)
polinomio di Taylor di grado n e sua unicita', resto di Lagrange.
Se in un punto p interno ad un intervallo f'(p)=0 e la prima derivata
non nulla in p ha ordine pari allora il punto p e' un punto di
massimo locale o un punto di minimo locale rispettivamente nel caso in
cui tale derivata e' negativa o positiva
8-11-07 esercitazione 4 (Caputo)
vedi foglio 4: studi di funzioni, asintoti e limiti
9-11-07 esercitazione 5 (Caputo)
vedi foglio 5: studi di funzioni
13-11-07 lezione
11 (Tortorelli) [cfr.
Teoria1:integrazione1]
La definizione di integrale di Riemann in una e piu'variabili,
relazioni con la misura di Peano Jordan e proprieta', Riemann
integrabilita' su iper-intervalli chiusi delle funzioni continue.
Sommabilita' in senso generalizzato e misura in senso generalizzato per
insiemi e funzioni illimitati.
Riduzione ad integrali iterati, domini scomponibili in unioni di
insiemi compresi tra grafici di funzioni continue.
Integrali in una variabile: la nozione di primitiva di una funzione su
un intervallo, teorema fondamentale del calcolo, cambiamento di
variabile negli integrali in una variabile.
Integrali orientati in una variabile.
15-11-07 lezione 12 (Tortorelli)
[cfr. Teoria1:integrazione1]
Integrazione per parti.
Fattorizzazione di polinomi reali.
Riduzione di funzioni a razionali combinzioni lineari di polinomi,
reciproci di potenze di binomi di primo grado, reciproci di
potenze di ((x-c)^2 +d^2), e degli ultimi moltiplicati per x.
Lunghezza di un cammino continuo.
Se g(t)=(g_1(t), g_2(t) , ... ) e' un cammino derivabile su [a,b]
allora la sua lunghezza e' eguale
all'integrale tra a e b della funzione data dalla norma della derivata
(g_1(t)^2 + g_2(t)^2...)^1/2
16-11-07 esercitazione 6 (Iacopini)
[cfr. colonna appunti]: integrali di funzioni razionali, cenno ai
numeri complessi.
16-11-07 tutorato 4 (Iacopini)
: [cf . foglio 4T] integrali e integrali di funzioni su curve.
20-11-07 lezione 13 (Tortorelli)
[cfr. Teoria1:integrazione1] Invarianza della lunghezza per
riparametrizzazioni monotone.
Integrali di funzioni su cammini e loro invarianza per
riparametrizzazioni monotone. Baricentro di una curva, cammino
iniettivo
a meno di un numero finito di valori.
Integrali di vettori lungo cammini e loro invarianza rispetto a
riparametrizzazioni che conservano l'ordine degli estremi temporali.
Coseno e seno iperbolico, x^2-y^2 =1versus x^2+y^2=1, loro derivate e
loro inverse (parziali), primitive del reciproco della radice di 1+x^2
e
di x^2-1.
[cfr. Teoria2:numeri complessi] Operazioni con i numeri complessi,
identita' di due numeri complessi, interpretazione geometrica della
somma, interpretazione geometrica del prodotto a fattore fissato come
mappa lineare conforme.
Forma trigonometrica e radici n-sime.
Argomento principale.
Forma esponenziale.
Teorema fondamentale dell'Algebra.
22-11-07 lezione 14 (Tortorelli)
Teorema fondamentale dell'Algebra e fattorizzazione di polinomi,
fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali.
Radici ennesime: esempi;
arcotangente e determinazioni dell'argomento di un numero complesso;
calcolo del limite di (1+z/n)^n per n-->+oo: e^z.
Integrali di funzioni complesse di variabile complessa lungo cammini.
27-11-07 lezione 15 (Tortorelli)
Tangenti a grafici: l'esistenza delle derivate in ogni direzione non e'
sufficiente a garantire l'esistenza di un piano tangente,
differenziabilita' ed approssimazione lineare.
Notazioni:per
derivate direzionali, per derivate parziali, d_p f, nabla del gradiente
Definizioni:
insieme aperto, insieme chiuso, connesso per cammini continui, derivate
direzionale, derivata parziale, differenziabilita', piano
tangente
ad un grafico, gradiente
Enunciati: una
funzione
definita su un aperto connesso per cammini continui e' costante se e
solo se ha tutte le derivate parziali nulle in ogni punto;
la matrice associata al differenziale e' la matrice le cui righe sono
le derivate parziali delle funzioni componenti;
se il gradiente non e' nullo in punto allora e' ortogonale all'insieme
di livello per quel punto;
il gradiente se non nullo da la direzione di massima crescita (dim.);
teorema del diffenziale totale (dim. nel caso due variabili);
diffrenzaibilita' di funzioni affini e di prodotti;
differenziale della funzione composta e regola della catena;
differenziale dell'inversa se la matrice del differenziale e'
invertibile;
una funzione in un punto di massimio o minimo relativo se e'
differenziabile
ha differenziale nullo cioe' sono nulle tutte le derivate parziali.
29-11-07 lezione 16 (Tortorelli)
Tangenti ad immagini e tangenti a luoghi di zeri: il teorema del rango
ed il teorema delle funzioni implicite (cfr. Teoria 3).
30-11-07 esercitazione 7 (Caputo)
[cfr. foglio 7]: integrali iterati, numeri complessi, luoghi di zeri.
30-11-07 tutorato 5 (Iacopini)
: [cfr. foglio 5T]: studi di funzioni di piu' variabili.
4-12-07 lezione
17 (Tortorelli) Teorema dell funzioni
implicite in codimensione maggiore di uno, invertibilita' locale. Punti
critici e punti di estermo relativo: verso uno studio con le derivate
seconde. Funzioni due volte differenziabili, forme quadratiche
autospazi, caso delle matrici simmetriche.
Notazioni:per
derivate direzionali seconde, per differenziale secondo e matrice
Hessiana
Definizioni:
punto critico, derivate direzionale seconda, funzione due volte
differenziabile come funzione le cui derivate parziali prime sono
differenziabili, matrice Hessiana, differenziale secondo.
Forma bilineare associata ad una matrice, forma quadratica associata ad
una matrice (polinomi omogenei di grado due), matrici simmetriche.
Autovettori, autovalori , autospazi, polinomio caratteristico relativi
ad una trasformazione lineare, diagonalizzaizone di matrici.
Enunciati:
teorema delle funzioni implicite in codimensione maggiore di uno,
teorema di invertibilita' locale, un punto di estremo relativo interno
e' critico, la matrice Hessiana e' simmetrica, se vi e' una derivata
seconda direzionale continua allora vi e' quella con direzioni di
derivazione scambiate nell'ordine e sono uguali, differenziale secondo
e
derivate direzionali seconde (dim.).
Una forma bilineare individua univocamente una matrice agendo
sulle coppie di elementi della base canonica (dim), una forma
quadratica
individua univocamente una matrice simmetrca (dim), gli auovettori
relativi a diversi autovalori di una matrice simmetrica sono ortogonali
(dim), un trasformazione lineare di C^n ha sempre autovalori
complessi la somma delle cui molteplicita' e' n, una trasformazione
lineare nelle coordinate date da una eventuale base di
autovettori
e' associata ad una matrice diagonale (dim. cenno), un matrice
simmetrica ha una base ortogonale di autovettori, in particolare la
somma delle dimensioni degli autospazi e la dimensione ambiente.
Calcolo del gradiente di una forma quadratica.
6-12-07 lezione 18 (Tortorelli)
Polinomio caratteristico, dimostrazione del teorema spettrale per
induzione, elissoidi e loro confronto, analogia con le serie di Fourier:
le funzioni derivabili due volte con derivate continue, e periodiche di
periodo diciamo 2pi con la somma dei valori e il prodotto per
numeri costituiscono uno spazio vettoriale (di dimensione infinita) si
considera la forma bilineare su questo spazio
(f,g)---> integrale tra 0 e 2 pi f(t) g(t) dt
essa e' un prodotto scalare
si considera l'operatore f---> f'' che ad una di queste
funzioni associa la sua derivata seconda
questo e' un operatore lineare che trasforma funzioni periodiche
derivabili due volte con continuita' in funzioni periodiche continue.
Integrando due volte per parti e considerando che
se una funzione e' periodica e derivabile anche la sua derivata e'
periodica si ha
int_0^2pi f''(t)g(t)dt = f' (2pi) g(2pi) - f'(0)g(0) -
int_0^2pi f'(t) g'(t) dt = int_0^2pi f(t) g''(t)dt
quindi l'operatore in questione e' simmetrico rispetto al prodotto
scalare dato. In analogia con il caso di dimensione finita delle
matrici
simmetriche e del prodotto scalare Cartesiano il problema agli
autovalori associato e'
u''(t)= m u(t)
u(0)=u(2pi)
u'(0)=u'(2pi)
le soluzioni di questo sono date dalle successioni di funzioni
cos nx , sin n x che sono ``autovettori'' per l'autovalore m=-n^2 , n
in N.
In effetti queste funzioni, al variare di n, sono tra loro ortogonali
rispetto al prodotto scalare introdotto e hano norma al quadrato
rispetto al prodotto scalare pi tranne cos 0 t= 1 che l'hga eguale a
2pi.
Con un po piu' di strumenti teorici si puo' provare che molte funzioni
possono essere viste come limite di come limite di somme ortogonali
ovvero per certe f(x) si ha
1/2pi int_0^2pi f(t) dt + cos
x/pi int_0^2pi f(t) cos t dt +sin
x/pi int_0^2pi f(t) sin t dt + ...
... +cos nx/pi int_0^2pi f(t) cos nt dt +sin
nx/pi int_0^2pi f(t) sin n t dt ------> f (x)
per n --> +oo.
Formula di Taylor con resto di Peano al secondo ordine.
Notazioni:S>0,
tr M
Definizioni:
forme o matrici simmetriche definite e semidefinite, traccia.
Enunciati:
Teorema spettrale: una matrice simmetrica ha una base di autovettori
ortonormali
(dim. i punti critici di f(x)= (x,Sx)/ |x|^2 sono tutti e soli gli
autovettori S e i rispettivi autovalori sono i valori critici f(x),
essendo costante sulle semirette per l'origine per Weiestrass f assume
massimo e minimo interni a 1< |x|<2, quindi un punto critico v_1
corrispondente al punto di massimo e' autovettore con autovalore
f(v_1) il massimo di f: si considera l'analogo problema
restringendosi al piano ortogonale a v_1 degli x per cui
(x,v_1)=0, ci si e' cosi ridotti a un problema con una variabile in
meno).
Teorema di Hamilton - Caley: una matrice M annulla il suo polinomio
caratteristico
det (zId -M).
Il polinomio caratteristico non dipende dal sistema di cooordinate
scelto (dim)
quindi il polinomio caratteristico di pende solo dalla trasformazione
lineare che la matrice rappresenta nelle cooordinate.
I coefficienti del polinomio caratteristico non dipendono dalle
coordinate:
nel caso di matrici due per due il polinomio di M e'
z^2 -ztrM +det M (dim)
In generale il coefficiente di z^k di det (zId-M) e' :
(-1)^{n-k}
somma su i_1 < ... < i_{n-k} det(matrice con righe i_1... i_{n-k}
colonne i_1 ...i_{n-k} di M)
(le sotto matrici quadrate con la diagonale contenuta nella diagonale
principale di M)
ovvero enumerando gli autovalori di M con molteplicita' m_1 ... m_n:
(-1)^{n-k} somma su s crescente da {1 ... n-k} in {1... n} dei prodotti
m_s_1 .... m_s_{n-k}
Formula di Taylor con resto di Peano al secondo ordine:
sia f da R^n in R^m , q =(q_1 ... q_n), f=(f_1 ....
f_m)
differenziabile una volta in un aperto e differenziabile due volte in
un punto p dell'aperto
allora
f(q) -f(p) - d_p f [q-p] - 1/2 (H_p f[q-p], [q-p]) = o( |q-p|^2)
per funzioni di due variabili decriptando la notazione si ha quindi
posto q=(x,y), p=(a,b)
f(x,y) =f(a,b) +
+ (x-a)df/dx (a,b) +
(y-b) df/dy(a,b) +
+ 1/2 (x-a)^2 d^2 f/dx^2
(a,b)+1/2 (y-b)^2 d^2 f/dy^2 (a,b)+(x-a)(y-b)d^2f/dxdy (a,b) +
+ o( (x-a)^2 +(y-b)^2)
7-12-07 esercitazione 8 (Caputo)
[cfr. foglio 8]: trasformazioni conformi, proiezione stereografica.
7-12-07 tutorato 6 (Iacopini)
[cfr. foglio 6T]: funzioni implicite,
studio di punti critici grazie alla forma Hessiana,
diagonalizzazione di matrici.
11-12-07 lezione 19 (Tortorelli)
Uso della formula di Taylor al secondo ordine per lo studio dei punti
critici interni. Differenziabilita' e convessita'. Punti di massimo e
minimo relativo non interni: spiegazione geometrica con
parametrizzazioni e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Definizioni:
pi.
Enunciati:
dimostrazione della formula di Taylor al secondo ordine con resto di
Peano, formula di Taylor al primo ordine con resto di Lagrange.
Se in un punto critico la forma Hessiana e' definita strettamente
alllora tale punto e' estremale relativo (dim.), se in un punto critico
interno la forma Hessiana e' sia negativa che positiva allora il punto
non e' ne di massimo ne di minimo (dim.), se un punto interno e'
di minimo [massimo] relativo allora oltre ad essere critico la forma
Hessiana e' definita non negativa [non positiva], se in tutto un
intorno
di un punto critico la forma Hessiana e' definita non negativa
[non positiva] allra il punto e' di minimo [massimo] relativo
(dim.).
Una funzione differenziabile su un insieme convesso e' convessa se e
solo se il suo grafico sta sopra il piano tangente in ogni punto:
f(x)>_= f(x_0) + d_x_0 f[ x-x_0]; una funzione differenziabile due
volte e' convessa se e solo se in ogni punto la forma Hessiana e'
definita non negativa.
Se una funzione ha un punto di estremo relativo su l'immagine di una
parametrizzazione regolare allora il suo gradiente e' ortogonale al
piano tangente nel punto all'immagine (dim.);
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange, caso di funzione e vincolo
omogenei formula di Eulero, esempio con forme quadratiche in tre
variabili.
13-12-07 lezione 20 (Tortorelli)
Cambiamento di variabile negli integrali multipli: enunciato, e sua
esemplificazione con l' approssimazione del volume del trasformato di
un
iperettangolo con il volume dell'iperparallelogramma trasformato dal
differenziale nel punto;
esempi: calocolo dell'integrale di x^2 + y^2 su un ottavo di
cerchio, calcolo dell'integrale di x=y+z su un ottavo della palla in
coordinate sferiche e in coordinate cartesiane.
Enunciati:
Cambiamento
di variabile negli integrali multipli.
14-12-07 esercitazione 9 (Caputo)
[cfr. foglio 9]: esempi per derivate successive, massimi e
minimi, cambiamento di variabile, formula di Green
14-12-07 tutorato 7 (Iacopini)
[cfr. foglio 7T]: .
18-12-07 lezione 21 (Tortorelli)
Area di superificie di rotazione.
Introduzione alle equazioni differenziali ordinari e ai sitemi di
equazioni differenziali ordinarie: equazione di decadimento , equazioni
a variabili separabili, y' -y^2=0 esistenza non globale,
y'-radice
y=0 y(0)=0 non unicita', y' =-1 se y >_= 0 y'=1 se
y<0 e y(0)=0 non esistenza, fattore integrante per le
equazione
lineari del primo ordine, riduzione di equazioni di
ordine maggiore di uno a sistemi del primo ordine
Definizioni:
condizione di Lipschitz, equazione differenziale (del primo ordine in
forma normale), sistema di equazioni differenziali (del primo ordine in
forma normale), equazioni a variabili separabili, sistema differenziale
lineare, sistema autonomo, sistema omogeneo,
soluzione locale di un sistema di equazioni differenziali ordinarie,
problema ai dati iniziali, soluzione particolare;
Enunciati:
Le funzioni vettoriali differenziabili con continuita' soddisfano al
condizione di Lipschitz (dim. Lagrange), teorema di esistenza locale ed
unicita', criterio di esisteza globale con legge dell'equazione a
crescita lienare sulla soluzione, principio di sovrapposizione Duhamel
per le equazioni lineari del primo ordine non omogenee e formula
risolutiva (dim), equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti e loro soluzioni, metodo delle costanti arbitrarie, le
soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n equazioni formano
uno spazio vettoriale di dimensione n .
20-12-07 esercitazione 10
(Caputo) [cfr. foglio 10]: cambio di
variabile negli integrali multipli, massimi e minimi vincolati.
8-1-08 lezione 22 (Tortorelli)
Svolgimeto esercizi D2 e A1 della terza prrova in itinere del 21
dicembre 2007.
Introduzione ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie:
Equazioni e sistemi lineari del primo ordine omogenei e non omogenei,
formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine ed
interpretazione con il principio di Duhamel di sovrapposizione degli
impulsi istantanei, relazioni tra sistemi lineari del primo
ordine
a coefficienti costanti ed equazioni lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti.
Enunciati: detta A(t)
una primitiva di a(t) l soluzioni dell'equazione y'(t)-a(t)y(t0=b(t)
sono tutte e sole le funzioni
c exp A(t) + integrale
indefinito in t di exp (A(t) - A(s)) b(s) ds
(dimostrazione con il metodo del fattore integrante exp (- A(t))).
L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e' uno spazio
vettoriale e l'insieme delle soluzioni di un sistema lienare e il
traslato di questo con una soluzione particolare (dim.),
quindi per trovare le soluzioni di un sistema lineare :
a- si trova lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo
b- si trova una soluzione particolare dedl sistema non omogeneo.
Un equazione lineare del secondo ordine x'' +ax' + bx =c
e' equivalente a un sistema lineare del primo ordine di
dimensione due
x' = z
z' = -bx -az +c
(dim.) un sistema lineare del primo ordine di dimensione due a
coefficienti costanti omogeneo
x' = ax + by
y' = cx + dy
si riduce per derivazione sostituzione all'equazione del secondo
ordine z''-(a+d)z+(ad-bc)z=0
ovvero sia x che y sono soluzioni dell'equazione in questione e nel
caso b non 0 si ricava la y da x, nel caso c non 0 si ricava x da
y, mentre quando son entrambi nulli si risolvono separatamente
x'=ax e y'=dy.
Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea
del secondo ordine a coefficienti x''+ax'+bx = 0 costanti reali e' lo
spazio vettoriale di dimensione due generato
dalle funzioni
exp pt, exp
qt
se p ed q sono radici reali distinte del polinomio z^2+az+b
exp pt , t exp
pt
se p e' l'unica radice reale del polinomio
exp ut cos vt, exp ut sin
vt
se p = u+iv e q=u-iv sono le radici complesse del polinomio
equivalentemente usando la notazione complessa si ha che tutte e sole
le soluzioni a valori complessi dell'equazione sono del
tipo
f exp (pt) + g exp (qt) al variare di f e g tra
i numeri complessi se p e q sono radici distinte
f exp (pt) + g t exp (pt) al variare di f e g tra i numeri
complessi se p e' lunica radice
(dim. dette p e q le radici di z^2 +az +b=(z-p)(z-q)
l'equazione x''+ax'+bx = 0 e'
equivalente
a (d/dt -p)(d/dt -q) x(t)=0 ovvero al sistema
w'(t) - pw(t) = 0
x' (t)- qx(t) = w(t)
la cui
prima equazione si risolve per fattore integrante e la seconda con la
formula di
Duhamel)
Come corollario si ha che lo spazio vettoriale delle soluzioni di un
sistema omogeno di dimensione due primo ordine lineare a
coefficienti costanti ha dimensione due.
10-1-08 lezione 23 (Tortorelli)
Nessun presente in aula.
11-1-08 esercitazione 11
(Caputo) [cfr. foglio 11]: equazioni differenziali a variabili
separabili. Lineari omogenee del secondo ordine, metodo dei
coefficienti
indeterminati per trovare le soluzioni massimi e minimi, studi di
funzione.
15-1-08 lezione 24 (Tortorelli)
Riassunto degli enunciati esposti nelle precedenti lezioni
riguardanti i sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Ulteriori commenti ed esemplificazioni: discretizzazione in tempo di
un'equazione differenziale ordinaria del
primo ordine necessiuta della valutazione del tempo di esistenza
caso della discretizzazione di y'=y^2, cenno all'approssimazione di
soluzioni differenziali del secondo ordine non omogenee con
approssimazione del termine noto mediante polinomi di Taylor o serie
trigonometriche e quindi ricorso al metodo delle costanti
indeterminate.
Il metodo delle costanti arbitrarie per trovare soluzioni particolari
di equazioni differenziali lineari non omogenee.
Enunciati:
un sistema di n equazioni differenziali ordinarie di ordine k e'
equivalente ad un sistema di nk equazioni del primo ordine
(dim), teoremi di Peano e di Cauchy-Lipschitz,
l'ampiezza dell'intervallo di esitenza e' minore eguale della
distanza del vettore dei dati iniziali dal bordo del dominio della
termine noto diviso il massimo della norma del termine noto
(dim),
criterio di crescita lineare di esistenza globale, le equazioni
lineari di ordine k hanno come insieme delle soluzioni uno spazio
vettoriale di dimensione k, lo spazio delle soluzioni di un'equazione
diffrenziale omogenea, calcolo delle soluzioni di un sistema lineare
omogeneo a coefficienti costanti di due equazioni differenziali di
ordine uno (dim.),
data una base dello spazio delle soluzioni di un un sistema lieneare
omogeneo il determinante della matrice che per colonne ha le soluzioni
della base ha determinante sempre non nullo (come esercizio verifica
nel
caso di dimensione due a coefficienti costanti), metodo dei
coefficienti indeterminati :
una soluzione particolare di un equazione differenziale lineare
non omogena
y''(t) + a(t)y'(t) +b(t) y(t)= c(t)
si trova nella forma y^*(t) = c(t) z_1(t) +c_2(t)z_2(t)
ove z_1(t) e z_2(t) sono una base dello spazio vettorilae delle
soluzioni dell'equazione omogenea y''(t) + a(t)y'(t) +b(t) y(t)= c(t)
e c_1(t) e c_2(t) sono funzioni per cui le loro derivate, t per
t, risolvono il sistema numerico
c_1' z_1 + c_2' z_2 = 0
c_1' z_1' + c_2' z_2' = c(t)
17-1-08 lezione 25 (Tortorelli)
Sistemi piani automi del primo ordine e dinamica unidimensionale nello
spazio delle fasi:
y'(t) = f(y(t),z(t))
z' (t) = g(y(t),z(t)), y(0)=y_0 z(0)=z_0
Cenno allo studio locale attorno ad una soluzione stazionaria mediante
linearizzazione,
esempio di instabilita' nel caso di non invertibilita'
y'(t) =
y(t)
y' (t) =
y(t)
z' (t) =
y(t)
versus
z'(t) = y(t) + pz(t)
Classificazione delle traiettorie nei sistemi differenziali piani non
degeneri
y'(t) = ay(t) + bz(t)
z'(t) = cy(t) +
dz(t) ad-bc
nonnullo
Definizioni:
sistemi autonomi, integrali primi, spazio delle fasi, traiettorie, zeri
isolati, soluzioni stazionarie o di equilibrio, nodi, nodi
impropri, selle, stelle, fuochi, stabilita'.
Enunciati:
- Le traiettorie percorse da due soluzioni (y(t),z(t)) t in I=]h,k[
(x(t),w(t)) t in I= ]m,n[, di
y'(t) = f(y(t),z(t))
z' (t) = g(y(t),z(t)),
con f e g regolari si toccano solo al limite negli estremi degli
intervalli di definizione I e J o sono coincidenti.
In particolare se f(y_0,z_0)=g(y_0,z_0)=0 per il punto (y_0,z_0)
(che e' la traiettoria della soluzione stazionaria costantemente
eguale a (y_0,z_0)) non puo' passare la traiettoria di nessun altra
soluzione.
- Le traiettorie percorse da una soluzione (y(t),z(t)) di
y'(t) = f(y(t),z(t))
z' (t) = g(y(t),z(t)), y(0)=y_0 z(0)=z_0
con g(y_0,z_0) diverso da 0 localmente (dist (t, t_0 ) abbastanza
piccola) soddisfano
y(t)= F(z(t)) ove F e' soluzione di dy/dz = f(y,z)/ g(yz) ,
y(z_0)=z_0
ovvero G(y(t),z(t))=G(y_0,z_0) ove G e' soluzione di
f(y,z) dG/dy (y,z) + g(y,z)dG/dz(y,z)=0
-trovare una tale F o G e' quindi equivalente a risolvere per
qualche funzione m
u'(t) = m(t) f(u(t),v(t))
v' (t) = m(t) g(u(t),v(t)), u(0)=y_0 v(0)=z_0
ovvero
u'(t) g(u(t),v(t))- v'
(t)f(u(t),v(t))=0 , y(0)=y_0 z(0)=z_0.
- Nel caso in cui f e g sono funzioni omogenee di egual grado mediante
una delle due sostituzioni w(z)=y(z)/z o w(y)=z(y)/y l'equazione dy/dz
=
f(y,z)/ g(yz) , y(z_0)=z_0
si riduce ad un'equazione a variabili separabili che permette sapendo
trovare primitive di trovare G per cui G(y,z(y)) ovvero G(y(t),z(t)) e'
costante.
- Considerando il sistema lineare omogeneo di ordine uno in due
incognite a coefficienti costanti
a b
y'(t) = ay(t) +
bz(t)
con notazione compatta Y(t)=(y,z), A =
c d
z'(t) = cy(t) +
dz(t) ad-bc nonnullo
Y'(t)=AY(t), det A non 0
-- se S e' la matrice di un cambio di coordinate allora SY(t)=: W(t)
risolve
W'(t) =SAS^{-1} W(t)
-- questioni che riguardano tangenza e parallelismo (questioni
affini cio' invarianti
per cambiamenti di coordinate lineari generici) per le
traiettorie di Y'=AY ricevano
risposta dallo studio dello stesso problema per le
traiettorie di W
-- se m e' autovalore di A di autovettore V allora Y(t) =
exp{mt} V e' soluzione
- Classificazione le traiettorie percorse dalle soluzioni di un sistema
piano lineare omogeneo non degenere
Y'(t)=A Y(t) con det A non 0
La soluzione stazionaria nulla si dice:
-- fuoco e centro se A non ha autovalori reali
--- cambiando coordinate ci si riduce
all'equazione differenziale in campo complesso
(u'(t) +i v'(t)) = (p+iq)(u(t) +i v(t)) le cui soluzioni
exp(B+iC) exp(t(p+iq)) in forma
vettoriale reale sono
del tipo
W(t) = B exp{ pt} (cos ( qt + C), sin (qt +C))
ove p+i q e' una radice complessa del polinomio caratteristico di A
z^2- (a+d) z + ad-bc, B il modulo del dato iniziale C il suo
argomento
--- le traiettorie sono
spirali (fuoco) che si svolgono (p >0) o si avvolgono (p<0),
ellissi
(p=0) (centro)
-- nodo se A due autovalori reali distinti dello stesso segno
--- le traiettorie nel
sistema di coordinate non cartesiano delle direzioni dei
due
autovettori distinti sono grafici di z= y^r etangenti
all'asse di autovalore in
modulo minore
-- nodo improprio se A ha un solo autovalore reale con una sola
direzione di autovettore
--- le traiettorie son tangenti
all'origine a questa direzione e tendono a meno di un
fattore logaritmico ad essre ad essa arallele
all'infinito
-- stella se A e' diagonale
--- le traiettorie sono semirette
dall'origine
-- sella se A ha due autovalori di segno diverso
--- le traiettorie sono tipo
iperboli con asintoti le direzione degli autovettori
18-1-08 esercitazione 12
(Caputo) [cfr. foglio 12]: sistemi differenziali lineari del
primo
ordine, integrali di superficie, massimi e minimi vincolati.
|
foglio
11, 11 gennaio 2008: (Caputo)