Laurea Triennale

Di seguito sono indicati alcuni esempi di possibili argomenti per una tesi triennale sotto la mia supervisione.

Teorema di Gabriel

Descrizione: il teorema di Gabriel rappresenta uno dei risultati classici che lega la teoria delle algebre di Lie alla teoria dei quivers e delle loro rappresentazioni. Nella tesi verrebbero discussi i risultati di base riguardanti le rappresentazioni finito-dimensionali di quivers e le proprietà della categoria abeliana che essi formano; inoltre verrebbero introdotti tutti gli strumenti al fine di provare il teorema.

Prerequisiti: conoscenze di base di algebra lineare, algebra omologica (la nozione di gruppi Ext) e geometria algebrica.

Referenza: il libro di Schiffler, Quiver Representations.

Classificazione delle superfici toriche lisce

Descrizione: la tesi riguarda lo studio dei fondamenti della geometria torica ed in particolare lo studio della geometria e della classificazione delle superfici toriche lisce utilizzando il loro corrispettivo combinatorio, chiamato fan.

Prerequisiti: conoscenze di base di algebra commutativa e geometria algebrica.

Referenza: parte dei capitoli 1, 6 e 10 del libro di Cox, Little e Schenck, Toric varieties.

Varietà quiver di Nakajima

Descrizione: le varietà quiver di Nakajima sono un esempio di spazio di moduli di rappresentazioni finito-dimensionali di un quiver fissato, che sono stabili. Tale spazio di moduli è costruito combinando tecniche di geometria algebrica (la cosiddetta Geometric Invariant Theory) e tecniche di geometria differenziale (tramite la riduzione Hamiltoniana). La loro geometria è molto interessante: ad esempio, esse sono varietà simplettiche lisce.

Prerequisiti: conoscenze di base di geometria algebrica e di geometria differenziale.

Referenza: le note di Ginzburg, arXiv:0905.0686, e il libro di Kirillov Jr., Quiver Representations and Quiver Varieties.

Categorie derivate e coppie di torsione

Descrizione: la categoria derivata di una categoria abeliana rappresenta un "invariante" estremamente fine della categoria abeliana. Lo studio delle categorie abeliane ha avuto ed ha un impatto significativo in geometria algebrica e teoria delle rappresentazioni. La tesi si occuperebbe dello studio delle categorie derivate di categorie di moduli su un'algebra (finito-dimensionale), in particolare lo studio delle cosiddette coppie di torsione e le t-strutture indotte da esse.

Prerequisiti: conoscenze di base di algebra (commutativa e omologica).

Referenza: alcuni capitoli del libro di Happel, Reiten e Smalø, Tilting in Abelian Categories and Quasitilted Algebras.