The course is an introduction to the regularity theory of harmonic maps. The focus is on the regularity theory for energy-minimizing harmonic maps with values in smooth manifolds and in singular spaces. Several applications will also be discussed.

Martedì 16:00 - 18:00 e mercoledì 16:00 - 18:00

Prima lezione: Martedì 04/03/2025 (Aula Magna).

Durata: 15 lezioni da due ore.

Esame a seminario.

Harmonic maps and existence of two-dimensional minimal surfaces with prescribed boundary - the theorem of Douglas and Rado.

Inner and outer variation of the Dirichlet energy funcitonal. Monotonicity formula for energy-minimizing maps. Regularity of area-minimizing harmonic maps with two-dimensional domains. Examples of area-minimizing harmonic maps with singularities in zero. Federer's dimension reduction principle for energy-minimizing maps - estimate on the dimension of the singular set. Existence and non-existence of homogeneous energy-minimizing maps - the role of the curvature of the co-domain.

Energy-minimizing maps with values in singular negatively curved spaces. Segregation and optimal partition problems. Lipschitz regularity, Almgren's frequency function, and structure of the nodal sets.

L. Simon. Regularity Theory for Harmonic Maps

F.H. Lin, C. Wang. The Analysis of Harmonic Maps and Their Heat Flows

Lezione 1 (G.B.) - martedì 04/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Formulazione del problema di Plateau alla Douglas-Radò, funzionale di Dirichlet invariate per trasformazioni conformi, Teorema di Courant-Lebesgue, trasformazioni di Mobius.

Lezione 2 (G.B.) - martedì 11/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di compattezza sul bordo del disco, applicazione del metodo diretto per minimizzare il funzionale di Dirichlet, conformità della soluzione. Considerazioni finali sulla regolarità e possibili estensioni.

Lezione 3 (G.B.) - mercoledì 12/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Introduzione alle mappe armoniche tra varietà Riemanniane, approccio intrinseco per definire il funzionale di Dirichlet, approccio estrinseco per studiare la regolarità. Esistenza del minimo, variazione interna e formula di monotonia.

Lezione 4 (G.B.) - martedì 18/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Variazione esterna, definizione della nearest point projection map con le sue proprietà. Classificazione delle mappe armoniche: minimizzanti, stazionarie e debolmente armoniche.

Lezione 5 (G.B.) - mercoledì 19/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
La mappa x/|x| ha energia infinita in dimensione 2. In dimensione 2 non ci sono singolarità. Inizio dimostrazione della regolarità in dimensione 2 - se u è energy minimizing map, allora u è C^0,a per qualche a < 1/2.

Lezione 6 (G.B.) - martedì 25/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Continuazione dimostrazione della regolarità in dimensione 2: se u è energy minimizing map, allora u è C^{0, a} per ogni a minore di 1.

Lezione 7 (G.B.) - mercoledì 26/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Conclusione dimostrazione della regolarità in dimensione 2: se u è energy minimizing map e u è C^0,a(B₁) per ogni a minore di 1, allora u è C^1,b(B_1/2) per qualche b minore di 1. Enunciato del teorema di epsilon-regolarità in dimensione m maggiore o uguale a 3 e differenze con dimensione 2. Se la varietà target è una curva liscia, ogni mappa u energy-minimizing è regolare per ogni dimensione m.