(TEORIA ED ESERCITAZIONI)
26/9/2005 Test di controllo della preparazione di base in Matematica
27/9/2005 Cenni di logica: proposizioni e connettivi logici, l'implicazione, l'equivalenza,
il teorema, la dimostrazione diretta, la dimostrazione per assurdo; il quantifica-
tore universale, il quantificatore esistenziale;
negazione di una proposizione in cui compaiono i quantificatori.
29/9/2005 Corso di recupero sulla matematica elementare: i polinomi.
Principio di identita' dei polinomi. L'algoritmo della divisione
tra polinomi. La regola di Ruffini.
3/10/2005 Principio di induzione: enunciato e relativi esercizi.
4/10/2005 Il simbolo di sommatoria: proprieta'. Il fattoriale. I coefficienti
binomiali. La formula di Newton della potenza ennesima di un
binomio.
6/10/2005 Scomposizione di un polinomio in fattori.
Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado.
10/10/2005 Diseguaglianza di Bernoulli. Esercizi sull'induzione.
11/10/2005 I numeri reali. Assiomi algebrici. Assiomi di ordinamento.
Definizione di insieme limitato, massimi e minimi, maggioranti e
minoranti di un insieme. Definizione e proprieta' dell'estremo
superiore ed inferiore di un insieme. Assioma di completezza
dei reali.
13/10/2005 Equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni
e disequazioni con il valore assoluto.
17/10/2005 I numeri razionali non soddisfano l'assioma di completezza (dim.)
18/10/2005 Insiemi contigui: definizione e proprieta'. Esistenza ed unicita'
dell'elemento di separazione di due insiemi contigui (dim.)
Funzioni reali: dominio, immagine, grafico. Esempi di funzioni reali.
Il prodotto di composizione tra funzioni.
20/10/2005 Risoluzione di disequazioni ed equazioni in cui compare il valore
assoluto o le radici.
24/10/2005 Definizione di funzione iniettiva. Definizione di funzione inversa.
Esempi.
25/10/2005 Funzioni monotone. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo.
Proprieta' e grafici. Equazioni e disequazioni con gli esponenziali ed
i logaritmi.
27/10/2005 Esercizi sui campi di esistenza di funzioni. Esercizi su disequazioni
ed equazioni con esponenziali e logaritmi.
31/10/2005 Estremo superiore ed inferiore di funzioni. Massimi e minimi di funzioni.
Le successioni numeriche: estremo superiore, inferiore, massimi e minimi.
3/11/2005 Sospensione delle lezioni per le prove in itinere.
7/11/2005 Il valore assoluto: la diseguaglianza triangolare. Intorni nella retta reale.
La distanza tra due punti di R. Proprieta' della distanza. Intorno di un punto.
Punto interno, esterno, di frontiera, isolato. La retta reale estesa. Punto di
accumulazione.
8/11/2005 Definizione generale di limite di funzione. Definizione di limite nel caso che
L ed x_0 siano reali. Definizione di funzione continua in un punto. Esempi di funzioni
continue: la radice, l'esponenziale, il logaritmo, le funzioni trigonometriche.
10/11/2005 Cenni di geometria analitica: equazione di una retta, distanza tra due punti,
equazione di una circonferenza.
14/11/2005 Definizione di limite nel caso in cui L sia infinito e x_0 sia reale e viceversa.
Definizione di limite destro e sinistro.
15/11/2005 Teoremi sulle operazioni con i limiti (dim).
17/11/2005 Cenni di geometria analitica: calcolo dell'intersezione tra una circonferenza ed
una retta. Richiami di trigonometria: definizione di seno e coseno, prime
proprieta'.
21/11/2005 Definizione di limite nel caso in cui L ed x_0 sono entrambi infinito. Esempi
di indeterminazione.
22/11/2005 Teoremi sui limiti: unicita' del limite (dim.), permanenza del segno (dim.),
passaggio al limite in una disequazione (dim.), confronto (dim.), limite di funzioni
composte. Esempi di limiti notevoli.
24/11/2005 Definizione di tangente e cotangente. Grafici delle funzioni trigonometriche.
Le formule della trigonometria (somma, duplicazione, bisezione, ecc.), esempi del
loro utilizzo. Equazioni trigonometriche.
28/11/2005 Teorema di regolarita' delle funzioni monotone (dim). Calcolo di limiti mediante
i limiti notevoli.
29/11/2005 I limiti di successioni: definizioni e teoremi. Alcuni esempi di calcolo del limite
delle successioni definite per ricorrenza.
1/12/2005 Equazioni e disequazioni trigonometriche.
5/12/2005 Teorema di collegamento tra i limiti di funzioni e quelli di successioni (dim.).
Successioni estratte. Esempi di funzioni e di successioni che non hanno limite.
6/12/2005 Le funzioni trigonometriche inverse. Limiti con le funzioni trigonometriche inverse.
L'artificio di Bernoulli per il calcolo dei limti.
12/12/2005 Il corpo dei numeri complessi. Forma algebrica: modulo, complesso coniugato e
loro proprieta'. Operazioni con i numeri complessi. Significato geometrico:
il piano di Gauss.
13/12/2005 Forma trigonometrica dei numeri complessi. Operazioni con i numeri c. in forma
trigonometrica. La formula di De Moivre. Il teorema fondamentale dell'algebra.
Formula della radice n-esima di un numero complesso (dimostrazione).
Risoluzione di equazioni nel campo complesso. Forma esponenziale di un numero complesso.
15/12/2005 Esercizi di preparazione allo scritto del 19/12.
19/12/2005 Prova scritta.
SECONDO SEMESTRE
13/2/2005 FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Classificazione dei punti di discontinuita'.
Richiami dei teoremi sui limiti, dimostrazione del teorema ponte tra limiti di funzione
e limite di successione. Funzioni continue in un intervallo. Richiamo della definizione
e delle proprieta' di sup e di inf di una funzione.
Il teorema di Weierstrass (dim.)
15/2/06 Ricevimento studenti.
16/2/06 Continuta' della somma, del prodotto, del rapporto di funzioni continue. Teorema sulla
composizione di funzioni continue (dim.). Continuita' della funzione valore assoluto.
Esempi di funzioni continue.
20/2/06 Teorema degli zeri (dim.). Teorema dei valori intermedi (dim.). Teorema sulla monotonia delle
funzioni continue e iniettive, Teorema sulla continuita' delle funzioni inverse.
DERIVATE. Definizione di derivata di una funzione. Una funzione derivabile e' continua (dim.)
Esempio di una funzione continua ma non derivabile. Primi esempi di calcolo di derivate di
funzioni notevoli: x^n.
22/2/06 Ricevimento studenti
24/2/06 Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile.
Formule di derivazione della somma, del prodotto e del rapporto di funzioni (dim.)
Calcolo della derivata di alcune funzioni notevoli: esponenziali,
logaritmi e funzioni trigonometriche.
27/2/06 Formula di derivazione delle funzioni composte (dim.). Formula di derivazione della funzione
inversa (dim.). Esempi di calcolo di derivata di funzione inversa (arcsen, arctan, ecc.).
Approssimanzione di una funzione derivabile con la sua retta tangente. Il simbolo di Landau.
Definizione di massimo e di minimo relativo. Il teorema di Fermat (dim.). Ricerca dei massimi
e dei minimi (assoluti) di una funzione in un intervallo.
1/3/06 Ricevimento studenti
2/3/06 Il teorema di Rolle (dim.). Il teorema di Lagrange (dim.). Conseguenze del Teo. di Lagrange:
studio della monotonia di una funzione mediante lo studio del segno della derivata prima (dim.).
6/3/06 Teo. Se una funzione ha la derivata nulla su di un intervallo allora e' costante (dim.).
Il teorema di Cauchy. Definizione di funzione convessa e sua caratterizzazione mediante la
derivata prima (retta tangente al grafico) e la derivata seconda. Relazione tra derivata seconda
e convessita' (condizioni sufficienti). Punti di flesso. Schema per lo studio di funzione.
8/3/06 Ricevimento studenti.
9/3/06 Asintoti all'infinito: formula. Esercizi sugli studi di funzione.
13/3/06 Operazioni con gli "o-piccoli". Principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.)
Formula di Taylor con resto di Peano. Sviluppi di Taylor delle principali funzioni,
esempi di calcolo di limiti mediante la formula di T.
15/3/06 Ricevimento studenti.
16/3/06 Teorema dell'Hospital. Criterio di derivabilita' di una funzione continua (dim.).
20/3/06 Esercizi.
22/3/06 Ricevimento studenti.
23/3/06 Formula di Taylor con resto di Lagrange ed applicazione al calcolo approssimanto di e.
Definizione di primitiva di una funzione. Due primitive di un stessa funzione differiscono
per una costante (dim.) Integrali indefiniti: definizione, proprieta' di linearita'.
Integrali indefiniti di funzioni notevoli.
27/3/06 Formula di integrazione per parti (dim.). Cambiamento di variabile negli integrali indefiniti
(dim.).
29/3/06 Ricevimento studenti.
30/3/06 Integrali di funzioni razionali con polinomio al denominatore di primo grado o di secondo grado.
3/4/06 Esercizi di ricapitolazione in preparazione dello scritto.
4/4/06 III verifica intermedia.
20/4/06 Calcolo delle primitive di funzioni razionali con il Metodo di Hermitte. Integrazioni di funzioni
irrazionali, integrali di funzioni trigonometriche.
27/4/06 Definizione di integrale definito. Proprieta' degli integrali definiti. Teorema della media integrale
(dim.). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.).
4/5/06 Definizione di integrale in senso improprio di funzioni non limitate nell'intorno di un punto.
Definizione di integrale in senso improprio su di una semiretta. Proprieta' dell'int. in s.i.
Criteri di convergenza: del confronto (dim.), del limite (dim.). Def. di funzione assolutamente
integrabile. Criterio dell'assoluta integrabilita' (dim.). Esempi di funzioni integrabili in s.i.
8/5/06 Serie numeriche. Definizione e proprieta'. Condizione necessaria per la convergenza (dim.).
Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza: del confronto (dim.),
del limite (dim.), del rapporto (dim.), della radice ennesima (dim.), del 2^k.
11/5/06 Serie assolutamente convergenti (def). Criterio della convergenza assoluta (dim.).
Criterio per le serie termini di segno alterno (dim.).
15/5/06 Equazioni differenziali. Generalita'. Equazioni differenziali lineari del primo ordine:
formula risolutiva.
18/5/06 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Il polinomio
caratteristico. Risoluzione dell'omogenea. Ricerca di una soluzione particolare nel caso
di secondo membro di tipo polinomiale e di tipo polinomio per esponenziale.
22/5/06 Risoluzione di una soluzione particolare nel caso di secondo membro "A sen x + B cos x".
Equazioni differenziali a variabili separabili.
25/5/06 Esercizi riassuntivi in preparazione agli scritti d'esame.
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