Cenni di logica: proposizioni e connettivi logici, l'implicazione, l'equivalenza,
il teorema, la dimostrazione diretta, la dimostrazione per assurdo; il quantifica-
tore universale, il quantificatore esistenziale;
negazione di una proposizione in cui compaiono i quantificatori.
Principio di induzione: enunciato e relativi esercizi.
Il simbolo di sommatoria: proprieta'. Il fattoriale. I coefficienti
binomiali. La formula di Newton della potenza ennesima di un binomio.
Diseguaglianza di Bernoulli.
I numeri reali. Assiomi algebrici. Assiomi di ordinamento.
Definizione di insieme limitato, massimi e minimi, maggioranti e
minoranti di un insieme. Definizione e proprieta' dell'estremo
superiore ed inferiore di un insieme. Assioma di completezza dei reali.
I numeri razionali non soddisfano l'assioma di completezza (dim.)
Insiemi contigui: definizione e proprieta'. Esistenza ed unicita'
dell'elemento di separazione di due insiemi contigui (dim.)
Funzioni reali: dominio, immagine, grafico. Esempi di funzioni reali.
Il prodotto di composizione tra funzioni.
Definizione di funzione iniettiva. Definizione di funzione inversa.
Funzioni monotone. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo.
Proprieta' e grafici. Equazioni e disequazioni con gli esponenziali ed i logaritmi. Estremo superiore ed inferiore di funzioni. Massimi e minimi di funzioni.
Le successioni numeriche: estremo superiore, inferiore, massimi e minimi.
Il valore assoluto: la diseguaglianza triangolare. Intorni nella retta reale.
La distanza tra due punti di R. Proprieta' della distanza. Intorno di un punto.
Punto interno, esterno, di frontiera, isolato. La retta reale estesa. Punto di
accumulazione.
Definizione generale di limite di funzione. Definizione di limite nel caso che
L ed x_0 siano reali. Definizione di funzione continua in un punto. Esempi di funzioni
continue: la radice, l'esponenziale, il logaritmo, le funzioni trigonometriche.
Definizione di limite nel caso in cui L sia infinito e x_0 sia reale e viceversa.
Definizione di limite destro e sinistro.
Teoremi sulle operazioni con i limiti (dim).
Definizione di limite nel caso in cui L ed x_0 sono entrambi infinito. Esempi
di indeterminazione.
Teoremi sui limiti: unicita' del limite (dim.), permanenza del segno (dim.),
passaggio al limite in una disequazione (dim.), confronto (dim.), limite di funzioni
composte. Esempi di limiti notevoli.
Teorema di regolarita' delle funzioni monotone (dim). Calcolo di limiti mediante
i limiti notevoli.
I limiti di successioni: definizioni e teoremi. Alcuni esempi di calcolo del limite
delle successioni definite per ricorrenza.
Teorema di collegamento tra i limiti di funzioni e quelli di successioni (dim.).
Successioni estratte. Esempi di funzioni e di successioni che non hanno limite.
Le funzioni trigonometriche inverse. Limiti con le funzioni trigonometriche inverse.
L'artificio di Bernoulli per il calcolo dei limti.
Il corpo dei numeri complessi. Forma algebrica: modulo, complesso coniugato e
loro proprieta'. Operazioni con i numeri complessi. Significato geometrico:
il piano di Gauss.
Forma trigonometrica dei numeri complessi. Operazioni con i numeri c. in forma
trigonometrica. La formula di De Moivre. Il teorema fondamentale dell'algebra.
Formula della radice n-esima di un numero complesso (dimostrazione).
Risoluzione di equazioni nel campo complesso. Forma esponenziale di un numero complesso.
FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Classificazione dei punti di discontinuita'.
Richiami dei teoremi sui limiti, dimostrazione del teorema ponte tra limiti di funzione
e limite di successione. Funzioni continue in un intervallo. Richiamo della definizione
e delle proprieta' di sup e di inf di una funzione.
Il teorema di Weierstrass (dim.)
Continuta' della somma, del prodotto, del rapporto di funzioni continue. Teorema sulla
composizione di funzioni continue (dim.). Continuita' della funzione valore assoluto.
Esempi di funzioni continue.
Teorema degli zeri (dim.). Teorema dei valori intermedi (dim.). Teorema sulla monotonia delle
funzioni continue e iniettive, Teorema sulla continuita' delle funzioni inverse.
DERIVATE. Definizione di derivata di una funzione. Una funzione derivabile e' continua (dim.)
Esempio di una funzione continua ma non derivabile. Primi esempi di calcolo di derivate di
funzioni notevoli: x^n.
Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile.
Formule di derivazione della somma, del prodotto e del rapporto di funzioni (dim.)
Calcolo della derivata di alcune funzioni notevoli: esponenziali,
logaritmi e funzioni trigonometriche.
Formula di derivazione delle funzioni composte (dim.). Formula di derivazione della funzione
inversa (dim.). Esempi di calcolo di derivata di funzione inversa (arcsen, arctan, ecc.).
Approssimanzione di una funzione derivabile con la sua retta tangente. Il simbolo di Landau.
Definizione di massimo e di minimo relativo. Il teorema di Fermat (dim.). Ricerca dei massimi
e dei minimi (assoluti) di una funzione in un intervallo.
Il teorema di Rolle (dim.). Il teorema di Lagrange (dim.). Conseguenze del Teo. di Lagrange:
studio della monotonia di una funzione mediante lo studio del segno della derivata prima (dim.).
Teo. Se una funzione ha la derivata nulla su di un intervallo allora e' costante (dim.).
Il teorema di Cauchy. Definizione di funzione convessa e sua caratterizzazione mediante la
derivata prima (retta tangente al grafico) e la derivata seconda. Relazione tra derivata seconda
e convessita' (condizioni sufficienti). Punti di flesso. Schema per lo studio di funzione.
Asintoti all'infinito: formula. Esercizi sugli studi di funzione.
Operazioni con gli "o-piccoli". Principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.)
Formula di Taylor con resto di Peano. Sviluppi di Taylor delle principali funzioni,
esempi di calcolo di limiti mediante la formula di T.
Teorema dell'Hospital. Criterio di derivabilita' di una funzione continua (dim.).
Formula di Taylor con resto di Lagrange ed applicazione al calcolo approssimanto di e.
INTEGRALI
Definizione di primitiva di una funzione. Due primitive di un stessa funzione differiscono
per una costante (dim.) Integrali indefiniti: definizione, proprieta' di linearita'.
Integrali indefiniti di funzioni notevoli.
Formula di integrazione per parti (dim.). Cambiamento di variabile negli integrali indefiniti (dim.).
Integrali di funzioni razionali con polinomio al denominatore di primo grado o di secondo grado.
Calcolo delle primitive di funzioni razionali con il Metodo di Hermitte. Integrazioni di funzioni
irrazionali, integrali di funzioni trigonometriche.
Definizione di integrale definito. Proprieta' degli integrali definiti. Teorema della media integrale
(dim.). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.).
Definizione di integrale in senso improprio di funzioni non limitate nell'intorno di un punto.
Definizione di integrale in senso improprio su di una semiretta. Proprieta' dell'int. in s.i.
Criteri di convergenza: del confronto (dim.), del limite (dim.). Def. di funzione assolutamente
integrabile. Criterio dell'assoluta integrabilita' (dim.). Esempi di funzioni integrabili in s.i.
SERIE
Serie numeriche. Definizione e proprieta'. Condizione necessaria per la convergenza (dim.).
Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza: del confronto (dim.),
del limite (dim.), del rapporto (dim.), della radice ennesima (dim.), del 2^k.
Serie assolutamente convergenti (def). Criterio della convergenza assoluta (dim.).
Criterio per le serie termini di segno alterno (dim.).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Equazioni differenziali. Generalita'. Equazioni differenziali lineari del primo ordine:
formula risolutiva.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Il polinomio
caratteristico. Risoluzione dell'omogenea. Ricerca di una soluzione particolare nel caso
di secondo membro di tipo polinomiale e di tipo polinomio per esponenziale.
Risoluzione di una soluzione particolare nel caso di secondo membro "A sen x + B cos x".
Equazioni differenziali a variabili separabili.
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