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\centerline{\bf SOLUZIONI}
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{\bf1.}
La funzione $x\rightarrow e^x$ \`e bigettiva da ${\cal R}^+$ in ${\cal R}$, e quindi
${\cal R}^+$ ed ${\cal R}$ hanno la stessa cardinalit\`a,  cio\`e quella del continuo, $c$.

L'intervallo $[0,1]$ ha la cardinalit\`a $c$. Il cerchio $S((0,0),1)$ \`e contenuto
in ${\cal R}^2$ che ha la stessa cardinalit\`a di ${\cal R}$ e quindi $\#S((0,0),1)\le c$. D'altra parte \`e ovviamente $\#S((0,0),1)\ge c$ poich\`e il cerchio contiene tra
l'altro un suo raggio che ha cardinalit\`a $c$. Quindi $\#S((0,0),1) = \#[0,1] = c$ .

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{\bf2.} Verifichiamo che $d' = {d \over {1+d}}$ \`e una distanza su ${\cal M}$:
\item {a)} positivit\`a:

Sappiamo che $\forall x,y \in {\cal M}, \quad  d(x,y)\ge 0$. Quindi $\forall x,y \in {\cal M}, \quad d'(x,y) = {d(x,y) \over {1+d(x,y)}} \ge 0$

Inoltre $d'(x,y) = {d(x,y) \over {1+d(x,y)}} = 0$ sse $d(x,y) = 0$ sse $x=y$.
\item {b)} simmetria:

Sappiamo che $\forall x,y \in {\cal M}, \quad  d(x,y)=d(y,x)$. Quindi $$\forall x,y \in {\cal M}, \quad d'(x,y) = {d(x,y) \over {1+d(x,y)}} = {d(y,x) \over {1+d(y,x)}} = d'(y,x)$$

\item {c)} disuguaglianza triangolare:

Consideriamo la funzione $f(t)= {t \over {1+t}}$ definita su $[0,+\inf)$. Scrivendo
$f(t)= 1 - {1 \over {1+t}}$ \`e evidente che $f$ \`e monotona crescente.

Abbiamo per ipotesi $\forall x,y,z \in {\cal M}, \quad d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$
e quindi \`e:
$\eqalign {d'(x,z) &= {d(x,z) \over {1+d(x,z)}} = f(d(x,z)) \le f(d(x,y) + d(y,z)) = \cr &= {{d(x,y) + d(y,z)}\over { 1 + d(x,y) + d(y,z)}} = {d(x,y)\over { 1 + d(x,y) + d(y,z)}} +{d(y,z)\over { 1 + d(x,y) + d(y,z)}} \le \cr &\le {d(x,y)\over { 1 + d(x,y) }} +{d(y,z)\over { 1 + d(y,z)}} = d'(x,y) + d'(y,z)}$$
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{\bf3.} Possiamo dire:
\item {a)} Se $\{x_n\}_{\cal N}$ \`e una successione convergente a $\overline{x}$ in 
$({\cal M},d_2)$, allora $d_2(x_n,\overline{x}) \rightarrow 0$ e quindi \`e anche
$d_1(x_n,\overline{x}) \rightarrow 0$, e la successione risulta convergente a $\overline{x}$ in $({\cal M},d_1)$.
\item {b)} Indichiamo $S_1(x_0,r)=\{x|d_1(x,x_0) < r\}$ e $S_2(x_0,r)=\{x|d_2(x,x_0) < r\}$. Allora $S_2(x_0,r) \subseteq S_1(x_0,r)$, perch\`e se un punto $x \in S_2(x_0,r)$, allora
\`e $d_2(x,x_0)\le r$ e quindi \`e pure $d_1(x,x_0)\le d_2(x,x_0)\le r$.

Se ora prendiamo un insieme $A$ aperto in $({\cal M},d_1)$, abbiamo che per ogni $x 
\in A$ esiste un $r > 0$ per cui $S_1(x_0,r) \subset A$; quindi \`e anche $S_2(x_0,r) \subseteq S_1(x_0,r) \subset A$, e dunque $A$ risulta aperto anche in $({\cal M},d_2)$.

\item {c)} Se $A$ \`e un insieme chiuso in $({\cal M},d_1)$, e se $\{x_n\}_{\cal N}$ \`e una successione convergente a $\overline{x}$ in $({\cal M},d_2)$, allora per quanto
visto nel punto a), la successione risulta convergente a $\overline{x}$ in 
$({\cal M},d_1)$, e quindi essendo $A$ chiuso in $({\cal M},d_1)$, \`e $\overline{x} \in A$, e possiamo
concludere che $A$ \`e chiuso anche in $({\cal M},d_2)$.

\item {d)} Se $f$ \`e continua su $({\cal M},d_1)$, allora per ogni successione 
$\{x_n\}_{\cal N}$ convergente a $\overline{x}$ in $({\cal M},d_1)$ si ha che 
$f(\overline{x})= lim_{n}f(x_n)$. Proviamo che $f$ \`e
continua su $({\cal M},d_2)$. Per ogni successione $\{x_n\}_{\cal N}$ convergente 
a $\overline{x}$ in $({\cal M},d_2)$, per quanto visto nel punto a), accade che
la stessa successione \`e pure convergente in $({\cal M},d_1)$, e quindi 
$f(\overline{x})= lim_{n}f(x_n)$, e questo prova la continuit\`a di $f$ su 
$({\cal M},d_2)$.



\end