Laboratorio 9

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni e sistemi di grado superiore si riducono a sistemi del primo ordine.

Vediamo degli esempi in matlab/octave; iniziamo con l'attrattore di Lorentz, (i coefficienti come dai lucidi di Meini):

Disegniamo poi la curva parametrica (x(t),z(t)).

Per prima cosa scriviamo il sistema definendo la funzione lorenz. Poi diamo questi comandi:
[tr,xr]=ode45(@lorenz,[0,50],[0,1,0]); plot(xr(:,1),xr(:,3)); plot3(xr(:,1),xr(:,2),xr(:,3));
Si noti che è stato necessario usare la @ davanti alla chiamata della funzione, perchè ad ode45 va passato uno handler, e inoltre ad ogni istante i vettori delle componenti sono delle righe, per cui l'evoluzione temporale viene fatta con il primo indice.

nota: Ci sono molti fenomeni modellizzabili con equazioni del tipo di Lorenz, (oltre alla convezione nei fluidi).
Si provi a confrontare le soluzioni che si ottengono con piccole variazioni sulle condizioni iniziali.

Proviamo ora un classico: la integrazione della equazione del pendolo smorzato:

u''(t)+k*sin(u(t)) +s*u'(t)=0, con assegnati u(0) e u'(0).

In questa equazione u è l'angolo della oscillazione del pendolo, k la costante g/L, ed s un fattore di smorzamento; possiamo assumere per esempio k=1 ed s=0.01 per iniziare.

esercizio:
si calcoli u(t) tra 0 e 65 integrando numericamente l'equazione differenziale.

si usi la funzione di matlab/octave quiver per disegnare le isocline della equazione vista nel precedente lucido.

(Per esempio, per la equazione y'=y si visualizzano le isocline con:
[x, y] = meshgrid (0:0.5:2); h = quiver (x, y, 1, y); set (h, "maxheadsize", 0.33);

Laboratorio Didattico di Matematica Computazionale - Sergio Steffè - AA 2017/2018 - PISA