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Laboratorio 2
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errori di campionamento: alias (o frequenze fantasma)
Il Teorema di Nyquist assicura che se il segnale da
campionare x(t) non ha componenti armoniche di frequenza superiore alla metà
della frequenza di campionamento, la successione di valori campionati è
sufficiente a ricostruire esattamente il segnale.
Cosa accade se invece ci sono delle frequenze più elevate di quello che
ci si aspettava ?
Il risultato è sorprendente: le frequenze più elevate vengono
viste nel segnale campionato come se invece fossero frequenze molto più
basse !
Queste frequenze, che non erano presenti nel segnale originario, e che sono
un artifatto dovuto alla presenza di frequenze più elevate della frequenza
di Nyquist, si chiamano alias o frequenze fantasma: il grafico
seguente aiuta nel calcolo degli alias:
Per comprendere questo fenomeno, un matematico può semplicemente guardare la
dimostrazione del teorema da cui si capisce chiaramente quello che succede. Un
non matematico può trovare suggestivo il disegno di sin(x) e sin(5x):
se il campionamento è fatto nei punti multipli di pi greco mezzi, si trovano
gli stessi valori campionati e si riscostruisce sin(x) invece di sin(5x).
Fenomeni che si spiegano col teorema del campionamento sono comuni in molte altre situazioni, come per esempio nel caso di illuminazione con luci stroboscopiche di soggetti in movimento, e naturalmente, anche nel campo delle immagini digitali.
Se si esamina con il gimp (dopo averla scaricata sul proprio computer) questa
fotografia digitale di
una pagina del trattato di Ottica dell'Argentieri (manuali Hoeply) in cui compaiono
alcune griglie di Foucault, variando l'ingrandimento (tasti + e -) e contanto il
numero di bande visibili, ci si rende facilmente conto che le poche grosse bande che
sembrano visibili a scarso ingrandimento sono in realtà degli "alias" che
appaiono quando i pixel disponibili sullo schermo non sono sufficienti a riprodurre
il ben maggior numero di righe presenti.
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Laboratorio Didattico di Matematica Computazionale - Sergio Steffè - AA 2017/2018 - PISA |
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