Intra propositum cubum corpus habens quatuor bases triangulas equalium laterum designare.

Sit cubus cuius basis est quadratum a b c d, suprema vero eius superficies quadratum e f g h. Ipsum autem hac arte fabricare convenit. Quadrato basis secundum quamlibet lineam ex 45 primi descripto super singulos eius angulos ex 12 undecimi catheti secundum mensuram lateris ipsius quadrati erigantur quos ex 6 undecimi constat esse equidistantes. Quia ergo eorum bini et bini corausto eis imposito equidistanter lateribus quadrati continuentur, constat igitur esse compositum cubum. Nam 4 eius laterales superficies sunt quadrate ex 33 primi et 34 eiusdem et diffinitione quadrati. De suprema autem superficie manifestum est quoque quod ipsa est quadrata ex 10 undecimi et hac communi scientia que equalibus sunt equalia sibi quoque sunt equalia, et ex diffinitione quadrati. Si itaque huic cubo libeat corpus 4 basium triangularium et equilaterarum inscribere, in basi et in eius superficie suprema protrahantur due diametri quarum una continuet duas extremitates infimas duorum cathetorum et alia continuet supremas aliorum duorum quas animo intelliges esse a c et h f. Dehinc a duobus punctis h et f terminantibus diametrum superficiei supreme dimitte ypothenusaliter binas et binas diametros que 4 laterales superficies dividant, quas imagineris esse ab h quidem h a et h c, at vero ab f, f a et f c. Has autem diametros in hac plana figura protrahere contempsi ne multitudo linearum confunderet intellectum. Si igitur figuram hanc ut oportet actu vel animo compleveris, videbis ex sex diagonalibus lineis sex superficies ipsius cubi dividentibus piramidem 4 basium triangularium esse perfectam quam cubo proposito ex diffinitione constat esse inscriptam. Huius autem piramidis bases equilateras esse constat eo quod ex 4 primi omnes iste sex diagonales sunt ad invicem equales.

Intra datum corpus habens quatuor bases triangulas atque equilateras corpus octo basium triangularium equalium laterum distinguere.

Si intra piramidem 4 basium triangularium et equilaterarum octocedron libeat inscribere, prius convenit piramidem ipsam fabricare que ratione certa hoc modo componitur. Statuatur secundum cuiuslibet linee trigonus quantitatem equilaterus qui sit a b c cui circumscribatur circulus supra centrum d et exeat d e perpendicularis ad superficiem ipsius trigoni ex 12 undecimi, que ponatur dupla esse in potentia ad semidiametrum circuli circumscribentis trigonum a b c. Et a puncto e cadent tres ypothenuse super tria puncta a, b, c. Est itaque completa piramis 4 basium trilaterarum et equilaterarum. Protrahantur enim d a, d b, d c. Cum igitur anguli quos continet linea e d cum singulis lineis d a, d b, d c sint recti ex diffinitione perpendicularis ad superficiem, cumque quadratum linee e d sit ex ypothesi duplum ad quadratum semidiametri circuli a b c, erit ex penultima primi quadratum uniuscuiusque trium ypothenusalium linearum [f.157r] e a, e b, e c triplum ad quadratum semidiametri circuli a b c. Sed ex 8 tertiidecimi quadratum quoque cuiusque trium laterum trianguli a b c triplum est ad quadratum semidiametri eiusdem circuli. Igitur omnia latera statute piramidis sunt ad invicem equalia, quare ipsa est equilaterarum basium. Cum itaque sibi octocedron includere voluerimus, dividemus unumquodque sex laterum eius in duo media equalia et continuabimus medium punctum cuiusque lateris cum mediis punctis cunctorum reliquorum laterum cum quibus ipsum continet et angulum superficialem. Verbi gratia: Dividam latera basis in punctis f, g, h et ypothenusas cadentes ab e in punctis k, l, m et continuabo punctum f cum puncto g et cum h et cum k et cum l punctumque m cum eisdem g, h, k, l et g cum h et cum l et k cum eisdem h et l. Ecce itaque perfectum est corpus 8 basium triangularium hiis 12 lineis media puncta laterum fabricate piramidis iungentibus contentum. Has autem 8 bases ex 4 primi quotiens oportet repetita equilateras esse manifestum est, ipsum quoque corpus statute piramidi ex diffinitione inscriptum quemadmodum iussi eramus efficere.

Intra cubum assignatum figuram octo basium triangularium equalium laterum constituere.

Qualiter autem cubum componere oporteat in prima huius sufficienter dictum est, igitur ut ibi fabricato cubo piramis 4 basium triangularium et equalium laterum in eo ex prima huius designetur ac intra ipsam piramidem ex premissa octocedron distinguatur. Quo facto simul etiam factum erit quod voluimus. Constat enim ex ratiocinatione prime latera cuncta inscripte piramidis esse diagonos basium cubi et ex ratiocinatione premisse liquet cunctos angulos octocedri in hac piramide distincti esse in lateribus ipsius piramidis. Quare manifestum est omnia angularia puncta huius octocedri esse in basibus assignati cubi, igitur ex diffinitione habemus propositum.

Aliter idem. Centris cunctarum basium cubi, quemadmodum in 9 quarti fit, repertis a centro supreme superficiei eius ad centra 4 lateralium superficierum 4 ypothenusas demitte et a centro infime ad earundem lateralium superficierum centra 4 alias ypothenusas eleva, centra quoque 4 lateralium 4 rectis lineis continua ita videlicet quod centra earum tantum que se invicem secant continues. Verbi gratia: Iunges centrum anteriorum cum centro dextre et cum centro sinistre, centrum quoque ultime iunges cum eisdem, hoc est, cum centro dextre et cum centro sinistre. Habes itaque corpus 8 basium triangularium hiis 12 lineis, que centra superficierum cubi continuant, complexum. Si igitur has bases equilateras esse probare volueris, a centris basium cubi ad cuncta ipsius latera perpendiculares protrahe quas necesse est omnia latera ipsius cubi per equalia dividere ex secunda parte 3 tertii. Quod planum erit si unicuique basium cubi circulum circumscripseris atque ideo binas et binas super idem punctum in lateribus basium cubi constat concurrere easque ex secunda parte 13 tertii patet ad invicem esse equales et equidistantes lateribus cubi ex secunda parte 28 primi ideoque etiam singulas esse equales dimidio lateris cubi. Igitur ex 10 undecimi manifestum est binas et binas earum super idem latus cubi in medio eius puncto concurrentes rectum angulum continere eo quod omnes superficies cubi sunt quadrate. Quare igitur ille 12 linee centra superficierum cubi continuantes que et angulis quos hee linee super media puncta laterum cubi concurrentes bine et bine continent subtenduntur, ipse erunt ex 4 primi vel etiam si maius ex penultima primi ad invicem equales, ergo est in proposito cubo designatum corpus 8 basium triangularium et equilaterarum. Quod oportebat facere etcetera.

Intra datum corpus octo basium triangularium [f.157v] atque equilaterarum cubum figurare.

Non dubites quin corpus 8 basium triangularium atque equalium laterum certo dogmate fabricabis hoc modo. Qualibet recta linea super aliquod planum sursum orthogonaliter erecta eam per equalia divide et a puncto eius medio duas lineas hincinde perpendiculares extrahe que componant lineam unam eruntque hee due linee se invicem secantes, videlicet prima que super positum planum est orthogonaliter erecta et alia que ipsam super eius medium punctum orthogonaliter secat, in eadem superficie site per primam partem 2 undecimi. Ad superficiem igitur in qua ipse sunt site super communem punctum sectionis earum (quemadmodum docet 12 undecimi) perpendicularem erige quam facias eandem superficiem in utramque partem penetrare. Et pone cunctas 6 portiones harum trium linearum a puncto in quo se invicem secant equales. Sic enim quelibet quamlibet per equalia et orthogonaliter dividet ita quod cum sint tres queque due salutifere crucis venerandum signum ad angulos rectos continebunt. A supremo igitur erecte linee super positum planum puncto 4 ypothenusas ad extremitates duarum linearum ipsam secantium demitte. Deinde ab infimo eiusdem erecte puncto 4 alias ypothenusas ad easdem duarum secantium linearum extremitates eleva. Postremoque harum ypothenusarum extremitates 4 rectis lineis quadratum continentibus continua. Erunt enim hee 12 linee videlicet 4 ypothenuse a supremo puncto erecte perpendicularis descendentes quatuorque postreme ab eius infimo puncto sursum elevate et relique 4 linee harum ypothenusarum extremitates continuantes ex penultima primi sine nugationis peccato pluries repetita ad invicem equales. Quare constat corpus ab eis terminatum 8 basibus triangularibus equilaterisque contineri. Si igitur huic corpori cubum inscribere delectat, centra 8 triangulorum ipsum ambientium invenire ex 5 quarti labora. Eaque reperta 12 rectis lineis hac lege continua ut centrum cuiusque eorum triangulorum cum centro cuiusque trium ipsius ad latera terminatorum per rectam lineam copuletur. Non est autem huius rei idoneum figuram in plano depingere. Ideoque restat ut quod dicitur mente concipias ipsumque si placet actu et opere compleas. Videbis enim 12 lineas horum triangulorum centra posita lege continuantes cubum continere quem restat ut equilateris rectangulisque superficiebus demonstres esse conclusum. Non enim erit cubus nisi omnes eius superficies sint quadrate. Ducito ergo a quolibet angulo trigonarum superficierum octocedri perpendicularem ad latus illi angulo oppositum. Has autem perpendiculares ex 11 quartidecimi constat esse ad invicem equales et dividere latera quibus perpendiculariter insistunt per equalia ideoque binas et binas super idem punctum lateris cui superstant convenire. Easdemque constat ex hiis que in 17 quartidecimi demonstrata sunt transire per centra triangulorum ideoque per extremitates laterum inclusi corporis transire ac earum portiones que inter centra trigonorum et latera ipsorum intercipiuntur ex hiis que in eadem demonstrata sunt constat esse equales, angulos quoque ab hiis perpendicularibus binis et binis coeuntibus contentos ex 8 primi patet esse equales. Et quia hee perpendiculares sueque portiones inter centra et latera intercepte eosdem angulos ambiunt, erunt quoque anguli quos linee a centris trigonorum ad latera perpendiculariter cadentes bine et bine continent ad invicem equales. Cumque latera illius corporis de quo disputamus hos angulos subtendunt, sequitur ex 4 primi frequenter sumpta corpus inclusum esse equilaterum. At quoque rectangulum. Protrahantur enim diagoni in singulis eius superficiebus, hos diagonos ex 4 primi omnes ad invicem equales esse convinces mediantibus angulis a duabus perpendicularibus per ipsarum diagonorum extremitates transeuntibus contentis si prius hos angulos ex 8 primi equales sibi invicem esse probaveris. Cum igitur diametri tetragonarum basium huius corporis sint ad invicem equales, latera quoque earundem basium equalia, necesse est ex 8 primi multotiens repetita ipsas tetragonas bases [f.158r] esse equiangulas. At quia ex 32 primi omnes anguli cuiusque earum sunt equales 4 rectis, sequitur eas esse rectangulas, itaque ex diffinitione quadrati ipse sunt quadrate. Igitur inscriptum corpus manifestum est esse cubum sicut intendimus.

Piramidem quatuor basium triangularium atque equilaterarum assignato corpori octo basium triangularium quoque atque equilaterarum inscribere.

Assignato corpori 8 basium inscribe secundum precepta premisse cubum cuboque inscripto inscribe (ut docet prima huius) piramidem qualis proponitur. Cum igitur huius piramidis anguli sint etiam anguli cubi quemadmodum ex demonstratione prime manifestum est, cuncti autem anguli cubi sunt ex premissa in superficiebus assignati octocedri, erunt quoque cuncti anguli piramidis huius in superficiebus corporis 8 basium cui eam iubemur inscribere, quare ex diffinitione manifestum est nos fecisse quod queritur.

Intra datum corpus viginti basium triangularium et equalium laterum corpus duodecim basium pentagonalium equalium laterum atque equalium angulorum figuraliter componere.

Corpus 20 basium non docemus hic fabricare quoniam ex 16 tertiidecimi qua convenit arte hoc fieri, satis evidens est. Eo igitur ut ibi docetur composito sibique corpus 12 basium pentagonarum atque equilaterarum includere delectat, hac via procedendum est. Manifestum enim est 20 triangulos 60 superficiales angulos habere. Et quia ad constitutionem uniuscuiusque anguli solidi corporis ycocedri quinque superficiales conveniunt sicut ex demonstratione 16 tertiidecimi colligitur, constat illud corpus 12 solidis angulis compleri. Inventis igitur ut in antepremissa centris cunctorum triangulorum datum ycocedron terminantium ea 30 rectis lineis continua ita quod cuiusque centrum centris omnium circumiacentium cum quibus communicat in latere per rectas lineas iungas. Cum hoc ergo feceris, videbis ex illis 30 lineis duodecim pentagonos constitui 12 solidis angulis dati ycocedri oppositos. Hos itaque pentagonos, quemadmodum in antepremissa fecisti de basibus cubi, equilateros esse probabis. Necesse est enim ut quorumlibet triangulorum duorum idem latus habentium centra eodem spatio distent. Restat ergo ut eos etiam equiangulos esse sillogises. Manifestum est autem ex ratiocinatione 16 tertiidecimi datum corpus 20 basium ab ea spera cuius diameter est tamquam diameter huius corporis videlicet linea, que duos eius angulos oppositos continuat, esse circumscriptibile. Si igitur hec diameter per medium secetur, punctus sectionis erit centrum spere ipsum circumscribentis. Ab eo itaque ad superficies cunctorum pentagonorum perpendiculares ex 11 undecimi libri ducito et a puncto in quo singulis pentagonis obviaverint ad singulos eorum angulos rectas lineas dirigito. Deinde centrum spere cum singulis angulis ipsorum pentagonorum continuato. Age ergo eos proba esse equiangulos hoc modo. Cum enim omnes circuli circumscribentes trigonos ycocedri sint equales, erunt omnes perpendiculares a centro spere ad ipsos venientes et in eorum centra cadentes equales. Omnes ergo linee a centro spere ad angulos cuiuslibet pentagoni venientes sunt equales. Nam anguli [f.158v] pentagonorum sunt centra circulorum trigonos ipsos ycocedri circumscribentium ex ypothesi. Igitur ex penultima primi eodem argumentationis genere quo superius in quartodecimo sillogisavimus sectorem provenientem in superficie spere cum aliqua plana superficies speram secat non super centrum eius esse circumferentiam continentem circulum, necesse est quinque lineas venientes a concursu perpendicularis ducte a centro spere ad superficies omnium pentagonorum ad quinque angulos cuiusque pentagoni esse ad invicem equales. Itaque omnibus hiis 12 pentagonis est circulus circumscriptibilis. Cum igitur ipsi sint equilateri, convincitur eos esse etiam equiangulos. Quod oportebat ostendere.

Intra datum corpus duodecim basium pentagonarum equilaterarum atque equiangularum corpus viginti basium triangularium atque equilaterarum fabricare.

Qualiter corpus 12 basium pentagonarum equilaterarum et equiangularum componere oporteat, ex 17 tertiidecimi require. Sed qualiter corpus 20 basium triangularium et equilaterarum sibi conveniat inscribi, hic addisce. Suorum pentagonorum centris (ut in 14 quarti fit) repertis ea ad invicem 30 lineis hac lege continua ut uniuscuiusque pentagoni centrum centro cuiusque pentagoni secum in latere communicantis iungatur ita videlicet quod uniuscuiusque pentagoni centrum centris 5 pentagonorum circumiacentium continetur. Cum igitur hoc feceris, obvient tibi 20 trianguli ab hiis 30 lineis centra pentagonorum continuantibus contenti eruntque hii 20 trianguli 20 solidis angulis ipsius duodecedri oppositi amplectentes corpus 20 basium triangularium quas equilateras esse demonstrabimus, et erunt 12 solidi anguli huius corporis 20 basium in centris 12 pentagonorum corpus dati duodecedri terminantium. Hos itaque 20 triangulos equilateros esse sic proba. A centris pentagonorum ducito perpendiculares ad latera eruntque omnes perpendiculares equales. Binas ergo et binas probabis ex 8 primi equos angulos continere. Et quia linee continuantes centra pentagonorum hiis angulis a binis et binis perpendicularibus contentis subtenduntur, cum omnes perpendiculares sint equales, erunt ex 4 primi omnes linee continuantes centra pentagonorum equales. Quod est propositum. Perpendiculares autem binas et binas equales angulos continere et omnes eas ad invicem esse equales sic collige. Ex 5 primi et 26 eiusdem constat singulas earum dividere latera pentagonorum super que cadunt per equalia, easque esse ad invicem equales ductis lineis a centris pentagonorum ad singulos angulos eorum. Quare bine et bine super idem latus cadentes in eodem ipsius lateris puncto coibunt eo quod utraque dividit illud latus duobus pentagonis a quorum centris veniunt commune per equalia. Has igitur perpendiculares binas et binas usque ad angulos quibus commune latus in quo coeunt oppositum per centra pentagonorum producito et eisdem angulis duas lineas subtendito quas ex demonstratione 17 tertiidecimi manifestum est esse tamquam latus cubi ab eadem spera cum proposito duodecedro circumscriptibili. Ideoque patet eas esse equales eo quod omnia latera cubi sint equalia. Easdemque liquet ex 9 undecimi esse equidistantes propter hoc quod ambe equidistant communi lateri in quo bine et bine perpendiculares conveniunt. At vero ipsas easdem constat ex hiis perpendicularibus per equalia dividi. Itaque per 33 primi cuncte linee continuantes puncta in quibus bine et bine perpendiculares super has lineas quas tamquam cubi latera fore diximus concurrunt, sunt ad invicem equales. Nam omnes sunt tamquam latus cubi. Igitur ex 8 primi anguli contenti a binis et binis perpendicularibus sunt equales. Quare per 4 eiusdem linee quoque continuantes centra pentagonorum sunt sibi invicem equales. Inscriptum est ergo proposito duodecedro corpus 20 basium triangularium et equalium laterum sicut iussi eramus. [f.159r]

Solido duodecim basium pentagonarum atque equilaterarum proposito intra ipsum cubum distinguere.

Cum duodecedron super cubi latera fabricetur ut constat ex 17 tertiidecimi minimum eo fabricato sibi convenit cubum inscribi. Nam cum 12 sint pentagoni si uniuscuiusque eorum uni angulo (prout cubi figuram videbis exigere) cordam unam subtenderis, ex eis 12 cordis sex equilateras rectangulasque superficies cubicum corpus amplexantes perficies. Equilateras quidem eas esse constat ex 4 primi, rectangulas autem eodem argumentationis genere quo in sexta huius bases duodecedri dato ycocedro inscripti demonstravimus esse equiangulas. Constat quidem ex 17 tertiidecimi propositum duodecedron spere esse inscriptibile. A centro ergo illius spere ad omnes has quadrilateras superficies perpendiculares, ut docet 11 undecimi, protrahe et a puncto concursus ad singulos angulos illarum quadrilaterarum superficierum rectas lineas dirige. Ac eosdem angulos quadrilaterarum superficierum cum centro spere iunge eruntque hee linee centrum spere cum angulis quadrilaterarum superficierum continuantes semidiametri spere de quarum quadratis (quia dempto quadrato perpendicularis remanent ex penultima primi quadrata linearum continuantium punctum concursus perpendicularium cum angulis quadrilaterarum superficierum) necesse est omnibus hiis quadrilateris superficiebus circulos esse circumscriptibiles ideoque necesse est eas esse equiangulas cum sint equilatere. Et quia ex 32 primi anguli cuiusque earum pariter accepti sunt equales 4 rectis angulis, sequitur eas esse equiangulas. Nihil ergo deest inscripto corpori de ratione cubi.

Dato duodecedro sibi demum octocedron includere.

Composito duodecedro ut in 17 tertiidecimi sex latera suarum superficierum, ea videlicet que cathetos super sex lineas opposita latera superficierum cubi per equalia secantes erectos tamquam eorum corausti iungunt, per equalia divide. Eaque bina et bina ad invicem composita continua per tres lineas que se invicem super medium punctum diametri cubi ex 40 undecimi per equalia secabunt eruntque ut queque due earum trium se invicem quoque ad angulos rectos dividant. Si igitur harum trium linearum extremitates per 12 lineas rectas continuaveris, provenit tibi corpus 8 basium triangularium et equilaterarum ex 4 primi vel si maius ex penultima primi. Quod oportebat ostendere.

Intra assignatum duodecedron piramidem quatuor basium triangularium et equilaterarum adhuc restat distinguere.

Assignato duodecedro inscribe cubum ex 8 huius cuboque piramidem ex prima. Cum igitur anguli piramidis sint in angulis cubi ut patet ex ratiocinatione prime et anguli cubi in angulis duodecedri ex ratiocinatione 8, erunt quoque anguli piramidis in angulis duodecedri. Itaque constat quod volumus.

Proposito ycocedro in eo cubum figurare.

Ycocedro inscribe duodecedron ex 6 ac duodecedro cubum ex 8. Constat autem ex demonstratione sexte quod omnes anguli duodecedri cadunt super centra basium ycocedri et anguli cubi sunt in angulis duodecedri. Itaque anguli cubi sunt in centris basium ycocedri. Habemus ergo propositum. [f.159v]

Ycocedron datum piramidem quatuor basium triangularium et equilaterarum sibi postulat inscribi.

Si in dato ycocedro ex premissa cubum inscripseris cuboque ex prima piramidem incluseris quin postulationi ycocedri fas satisfeceris hesitandum non erit.

Scire autem oportet quod cum sint 5 regularia corpora, de quorum mutua ab invicem inscriptione in hoc quintodecimo libro determinatur, si unumquodque cuilibet ceterorum esset inscriptibile, 20 eorundem inscriptiones acciderent. Quippe cuilibet eorum 5 essent cetera 4 inscriptibilia. Ideoque quater quinque inscriptiones, quod est 20, necessario provenirent. At vero piramidi solum octocedron conveniens est inscribi. Non enim sunt in piramide bases aut anguli aut latera in quibus anguli cubi aut ycocedri aut etiam duodecedri possint extrema ipsius piramidis contingere. Cubum quoque solius piramidis et octocedri, at octocedron solius piramidis et cubi receptioni sunt apta. Qualiter enim in eorum alterutro 12 angulos ycocedri aut 20 angulos duodecedri ita ut singuli in eorum ultimis cadant collocabis. Ycocedron autem cum cetera convenienti ambitione possit complecti, solius octocedri nequit esse receptaculum. Nam octocedri sex anguli semidiametrali se invicem bini et bini oppositione respiciunt lineeque eos continuantes sese per equalia orthogonaliter dividunt itaque quod illud gloriosum signum ad cuius intuitum consternantur demones sub rectis angulis triplicatum reddunt. Hos itaque triangulos neque bases neque anguli neque latera ycocedri possunt sub suo situ recipere. Neque in eo reperies sex bases aut sex angulos aut sex latera hac diametrali orthogonalique oppositione se contuentes. Duodecedron autem nulli ceterorum sue ambitionis denegavit hospitium, immo cunctorum receptor existit. Unde non inconvenienter duodecedri figuram antiqui Platonis discipuli ascribere celo quemadmodum piramidis formam igni eo quod sursum sub piramidali figura evolet, ac octocedri aeri. Quippe sicut aer ignem motus parvitate sequitur, sic octocedri forma piramidis formam ad motum habilitate comitatur. Viginti vero basium figuram aque dicaverunt. Nam cum ipsa basium pluralitate plus ceteris circuletur in speram, fluentis rei motui magis quam scandentis convenire visa est. Cubum vero figuram quidam dedere terre. Quid enim in figuris maiori ad motum violentia indiget quam thessera, at in elementis quid fixius constantiusque reperitur terra. Si igitur ex 20 inscriptionibus 3 quas piramis non sustinet binasque a quibus natura cubi et octocedri aliena est rursusque unam cui repugnat ycocedri figura reieceris, erunt relique tantum 12 inscriptiones: piramidis quidem sola, cubi vero octocedrique bine, ycocedri autem tres, duodecedri autem quatuor de quibus omnibus ut arbitror sufficienter disputatum est.

Fabricato quovis quinque regularium corporum sibi speram inscribere.

Ex tertiodecimo libro manifestum est unumquodque horum 5 corporum esse spere inscriptibile. Nunc itaque constabit vice versa speram unicuique ipsorum esse inscriptibilem. A circumscribentis enim spere centro ad bases universas cuiuslibet eorum perpendiculares exeant, quas intra centra circulorum bases illas circumscribentium cadere necesse est. Cumque omnes circuli eas circumscribentes sint equales, eruntque hee perpendiculares equales. [f.160r] Itaque si secundum quantitatem unius earum circulum super centrum circumscribentis spere descripseris eiusque semicirculum quousque ad locum unde moveri ceperit redeat circumduxeris, quia ipsum per extremitates cunctarum perpendicularium necesse est transire, convinces ex corollario 15 tertii speram istius semicirculi motu descriptam universas bases assignati corporis in concursibus perpendicularium contingere. Non enim plus potest spera de basibus corporis contingere quam circumductus semicirculus (dum movebatur) contingit. Quare assignato corpori constat nos speram, quemadmodum propositum erat, inscripsisse etcetera.

Istam geometriam scripsit Robertus Magnus Anglicus et finivit eam anno domini 1259, elapsis de maio 10 diebus et tribus horis sole existente in 25^o gradu tauri et 43^o minuto illius.