1 Cum divisa fuerit linea secundum proportionem habentem medium duoque extrema, si maiori portioni linea in longum addatur equalis dimidio ipsius linee proportionaliter divise, quadratum [f.135v] linee ex eis duabus composite quadrati medietatis eiusdem linee divise quincuplum esse necesse est.

Sit linea a b divisa in puncto c prout docet 29 sexti et sit maior portio eius linea b c cui directe adiungatur linea b d que sit equalis medietati totius a b. Dico quod quadratum linee c d erit quincuplum ad quadratum linee b d. Quadrabo enim lineam b d et sit eius quadratum d e et circumponam huic quadrato gnomonem secundum quantitatem linee b c protracta diametro f b g. Sitque circumpositus gnomo e g d eritque ex 22 sexti superficies inde composita que sit h k tamquam quadratum linee c d. Dico igitur quadratum h k quincuplum esse ad quadratum d e. Sit enim c l quadratum circumpositi gnomonis sibique circumponatur alius gnomo ad quantitatem linee a c protracta diametro f b usque ad m. Sitque hic gnomo c m l et protrahantur linee c n et p l equidistanter lateribus oppositis secantes se super diametrum f m in puncto g. Manifestum est autem ex 22 sexti quod compositum ex hoc secundo gnomone et quadrato c l (et ipsum quadratum sit a q) est quadratum linee a b quod ex 4 secundi necesse est esse quadruplum ad quadratum d e eo quod linea b d est medietas linee a b. Cumque sit ex prima parte 16 sexti superficies a n ideoque per 43 primi superficies m l equalis quadrato c l (provenit enim a n ideoque et m l ex b a in a c et c l provenit ex c b in se) et cum ex prima sexti sit a l dupla ad l d ideoque equalis l d et c e pariter acceptis ex 43 primi, erit ex hac communi scientia (si equalibus equalia addas, tota fient equalia) quadratum a q equale gnomoni e g d. Hic ergo gnomo quadruplus est ad quadratum d e quemadmodum erat quadratum a q. Itaque totum quadratum h k, cum ipsum constet ex simplo et quadruplo, erit ex communi scientia quincuplum ad idem. Quod est propositum.

Idem aliter. Ex 4 secundi constat quod quadratum linee a b est quadruplum ad quadratum linee b d. At per secundam eiusdem quod fit ex a b in b c et in a c est equale quadrato a b. Quod autem ex a b in b c equum est ei quod ex b d bis in b c quod ex prima secundi manifestum est, cum a b sit dupla ad b d. At vero quod ex a b in a c est ex prima parte 16 sexti equale quadrato b c. Itaque per communem scientiam quod fit ex b d bis in b c et quod ex b c in se est equale quadrato a b et ideo est quadruplum ad quadratum b d. Quare superaddito quadrato b d erit totum aggregatum quincuplum videlicet illud quod fit ex b d bis in b c cum quadrato b c et quadrato b d. At quia ex 4 secundi hoc totum est equale quadrato c d, constat verum esse quod diximus.

Si cuilibet linee bipartite, cuius quadratum quadrati alterutrius suarum portionum sit quincuplum, in longum sibi linea addatur, donec eidem portioni reliqua [f.136r] portio cum addita linea fiat duplex, eadem duplex linea secundum proportionem habentem medium duoque extrema divisa erit. Maiorque portio eius erit linea media.

Hec secunda est conversa premisse, duplicique modo sicut illa demonstrabitur via retrograda eadem prorsus manente dispositione. Verbi gratia: Sit quadratum h k quincuplum ad quadratum d e et linea a b dupla ad lineam b d. Dico quod linea a b divisa est in puncto c secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maior portio eius est linea c b. Constat autem ex 4 secundi quod quadratum a q quadruplum est ad quadratum d e. Itaque gnomo d g e equalis est quadrato a q. Quocirca duo supplementa l d et c e pariter accepta sunt quantum gnomo c m l atque eadem supplementa pariter accepta sunt ex 1 sexti quantum a l ideoque quantum c q, sequitur quod c q sit equalis gnomoni c m l. Dempta igitur ab utroque superficie l n erit quadratum c l equale superficiei a n. Cum igitur fiat superficies a n ex a b in a c sit autem quadratum c l quadratum linee c b, erit ex secunda parte 16 sexti proportio a b ad b c sicut b c ad c a. Ex diffinitione ergo linee secundum proportionem habentem medium et duo extrema divise positam in principio sexti libri conclude propositum.

Item aliter. Cum quadratum c d sit ex ypothesi quincuplum ad quadratum b d, quadratum vero a b sit ex 4 secundi quadruplum ad idem, at quadratum c d sit ex eadem equale quadrato c b et quadrato b d et ei quod fit ex b d bis in c b, sequitur ut illud quod fit ex b d bis in c b cum quadrato c b sit equale quadrato a b. Sed ex b d bis in c b tantum est quantum quod ex a b in b c eo quod a b dupla est ad b d. Ergo quod fit ex a b in b c cum quadrato b c est equale quadrato a b. Et quia ex 2 secundi quod fit ex a b in b c et in a c est equale quadrato a b, sequitur ex communi scientia ut quadratum linee b c sit equale ei quod fit ex a b in a c, igitur ex secunda parte 16 sexti et diffinitione constat propositum etcetera.

Cum divisa fuerit linea secundum proportionem habentem medium et duo extrema, si minori portioni tamquam dimidium maioris directe iungatur, erit ut quadratum linee inde composite quincuplum sit quadrati quod ex ipsa maioris medietate portionis describitur.

Sit linea a b divisa in puncto c secundum proportionem habentem medium et duo extrema sitque eius maior portio linea c b que dividatur per equalia in d. Dico quod quadratum [f.136v] linee a d est quincuplum ad quadratum linee c d. Describatur enim quadratum a b quod sit a e in quo protrahantur diameter b f et linee g c et d h itemque k l et m n equidistanter lateribus oppositis secantes se invicem super diametrum in duobus punctis p et q et extra diametrum in duobus aliis locis r et s. Manifestum igitur est ex 22 sexti vel ex corollario 4 secundi quod omnes superficies existentes in quadrato a e quas diameter dividit per medium sunt quadrate. Quatuor autem superficies, que sunt a r, m p, p h et s e, constat ex 43 primi et prima sexti esse ad invicem equales. Nam due postreme p h et s e sunt equales ad invicem ex 1 sexti. Quoniam igitur ex presenti ypothesi et diffinitione linee secundum quod proponitur divise et prima parte 16 sexti quadratum c l est equale superficiei a g ideoque et gnomoni r f s propter id quod superficies a r est equalis superficiei p h. Et quoniam ex 4 secundi quadratum c l est quadruplum ad quadratum r s quod est tamquam quadratum linee c d, sequitur ex communi scientia quod quadratum m h sit quincuplum quadrati r s. Constat enim ex gnomone quadruplo et r s simplo. Hoc autem est propositum.

Aliter idem. Cum sit linea b c divisa per equalia in puncto d et addita est ei linea a c, erit ex 6 secundi quod fit ex a b in a c cum quadrato c d equale quadrato a d. At quia quod fit ex a b in a c equale est quadrato c b ex prima parte 16 sexti, hoc autem est quadruplum ad quadratum c d, manifeste patet veritas eius quod dicitur.

Potes quoque si libet etiam duplici modo ex consequente huius suum antecedens concludere processu retrogrado. Sit enim (eadem dispositione manente) quadratum m h quincuplum ad quadratum r s eritque gnomo r f s equale quadrato c l. Utrumque enim est quadruplum ad quadratum r s. At quia superficies a g est equalis gnomoni predicto, necesse est ut eadem superficies sit equalis quadrato predicto. Quare ex secunda parte 16 sexti et diffinitione linea a b est divisa in puncto c secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maior portio eius est linea c b.

Idem aliter. Cum sit ex ypothesi quadratum linee a d quincuplum ad quadratum linee c d et ex 6 secundi idem ipsum quadratum sit equale ei quod fit ex a b in a c cum quadrato c d, sequitur ut id quod fit ex a b in a c cum quadrato c d sit quincuplum ad idem quadratum c d ideoque eo dempto erit residuum videlicet quod fit ex a b in a c quadruplum ad ipsum. Et quia etiam ex 4 secundi quadratum linee c b est quadruplum ad idem, necesse est ut quod fit ex a b in a c sit equale quadrato c b. Quare iterum ex secunda parte 16 sexti et diffinitione linea a b est divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema in puncto c et maior eius portio est linea c b.

Si secundum proportionem habentem medium et duo extrema quelibet linea fuerit divisa eique in longum directe tamquam maior sectio addita erit, erit totam lineam inde compositam secundum proportionem habentem medium et duo extrema divisam esse et erit eius maior portio linea prima.

Sit linea a b divisa qua supponitur proportione in puncto c et sit eius maior portio c b totique a b adiciatur directe linea b d que sit equalis c b. Dico quod [f.137r] tota a d eadem proportione divisa est in puncto b et maior eius portio est linea a b que est linea prima. Est enim ex diffinitione a b ad b c sicut b c ad c a. At quia ex 7 quinti a b ad b d sicut ad b c, igitur ex 11 eiusdem a b ad b d sicut b c ad c a. Quare per conversam proportionalitatem d b ad b a sicut a c ad c b et coniunctim d a ad a b sicut a b ad b c. Cumque sit ex 7 quinti a b ad b c sicut ad b d, erit ex 11 eiusdem d a ad a b sicut a b ad b d. Itaque ex diffinitione linea a d divisa est in puncto b secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maior portio eius est linea a b. Quod est propositum.

Eodem quoque modo si ex maiori portione cuiuslibet linee secundum predictam proportionem divise tamquam minor portio detrahatur, erit ipsa maior portio secundum eandem proportionem divisa eritque maior portio eius linea detracta. Verbi gratia: Sit linea a b sicut proponitur in puncto c divisa sitque maior portio a c a qua detrahatur c d equalis c b. Dico quod a c est divisa secundum eandem proportionem in puncto d et maior portio eius est linea d c. Cum enim sit ex diffinitione b a ad a c sicut a c ad c b. At ex 7 quinti a c ad c b sicut ad c d, erit ex 11 eiusdem b a ad a c sicut a c ad c d ideoque per 19 quinti sicut c b residuum ad d a residuum. Sed ex 7 eiusdem c b ad d a sicut c d ad d a, itaque a c ad c d sicut c d ad d a. Ex diffinitione ergo constat quod diximus. Nec ea quam auctor proponit additio nec ea quam ex opposito proponimus detractio quantumcumque utralibet in prolixum tendat a proprietate divisionis linee primitive discordat.

Si secundum proportionem habentem medium et duo extrema quelibet linea fuerit divisa, quod ex tota linea quodque ex minori portione producitur ambo quadrata pariter accepta triplum sunt eius quod ex maiore portione quadratum describitur.

Sit linea a b divisa per sepe dictam proportionem in puncto c sitque maior portio eius linea c b. Dico quod quadrata duarum linearum a b et c a pariter accepta triplum sunt ad quadratum linee c b. Hec enim duo quadrata pariter accepta sunt ex 7 secundi quantum quadratum c b et duplum eius quod fit ex a b in a c. Itemque quia quod fit ex a b in a c est equale quadrato c b ex diffinitione et prima parte 16 sexti, manifestum est propositum.

Omnis rationalis linee secundum proportionem habentem medium et duo extrema divise utramque portionem residuum esse necesse est.

Sit linea a b secundum solitam proportionem divisa in puncto c rationalis. Dico quod utraque portio eius est residuum. Sit maior eius portio a c cui directe adiciatur a d equalis dimidio totius a b, erit etiam d a rationalis ex 6 decimi libri et diffinitione. Constat autem ex prima huius [f.137v] quod quadratum linee d c quincuplum est ad quadratum linee d a, igitur linea d c est communicans linee d a in potentia ex diffinitione, sed non in longitudine ex ultima parte 7 decimi. Quare per 68 decimi linea a c est residuum cum due linee c d et d a sint ambe rationales potentialiter tantum communicantes. Et quia iterum si ad lineam rationalem a b adiungatur superficies equalis quadrato linee a c que est residuum, erit latus eius secundum linea c b ex prima parte 16 sexti. Necesse est ex 92 decimi ut linea c b sit residuum primum. Quare constat propositum.

Amplius autem si linee sic divise ut proponitur maior portio fuerit rationalis, erit minor residuum. Verbi gratia: Sit ut prius a b divisa in c secundum dictam proportionem et maior portio eius, que est a c, sit rationalis que dividatur per equalia in d. Eritque ex 3 huius quadratum d b quincuplum ad quadratum d c. At quia d c est rationalis cum ipsa sit dimidium a c, sequitur ut due linee d b et d c sint rationales potentialiter tantum communicantes. Quare ut prius linea c b est residuum.

At vero si linea rationalis in potentia tantum secundum proportionem habentem medium et duo extrema dividatur, adhuc necesse est ut utraque portio eius sit residuum. Sit enim a b rationalis in potentia tantum divisa sicut proponitur in puncto c et sumatur aliqua rationalis in longitudine que sit d e que dividatur in f secundum predictam proportionem. Manifestum est igitur ex 2 quartidecimi libri que sine adminiculo alicuius eorum que sequuntur inconcussa demonstratione roboratur quod proportio a b ad d e est sicut a c ad d f et sicut c b ad f e. Cum ergo a b communicet cum d e in potentia, sequitur ex prima parte 10 decimi quod a c communicet cum d f et c b cum f e in potentia. Et quia utraque portio linee d e est residuum ut patet ex predictis, sequitur ex 98 decimi ut utraque portio linee a b sit etiam residuum, sed non eiusdem speciei ut ibidem demonstratum est. Quare constat quod omnis linee rationalis in longitudine vel in potentia tantum secundum proportionem habentem medium et duo extrema divise utraque portio est residuum.

. Et nota quod prima pars presentis demonstrationis qua demonstratur quod maior portio linee divise secundum proportionem habentem medium et duo extrema sit residuum si tota linea sit rationalis, procedit ex sufficientibus sive tota linea ponatur rationalis in longitudine sive in potentia tantum. Secunda vero pars qua demonstratur hoc de minori portione quod ipsa quoque sit residuum si tota est rationalis, non procedit ex sufficientibus nisi tota sit rationalis in longitudine. Tertia autem pars, qua probatur quod minor portio est residuum, sufficienter procedit sive maior portio sit rationalis in longitudine sive in potentia tantum. Ad concludendum igitur de maiori portione linee predicto modo divise quod ipsa sit residuum, sufficit ponere totam lineam divisam esse rationalem in potentia tantum. Ad concludendum quoque hoc de minori portione mediante maiore, sufficit ponere portionem maiorem similiter rationalem in potentia tantum. Sed ad concludendum hoc de minori portione mediante tota necesse est ponere totam lineam esse rationalem in longitudine aut utendum est 2 quartidecimi libri quemadmodum dictum est.

Si quis pentagonus tres equos angulos habens fuerit equilaterus, equiangulus idem pentagonus esse probatur.

Sit pentagonus a b c d e equilaterus sintque quilibet tres eius anguli [f.138r] sive continue sive incontinue sumantur ad invicem equales et sint prius incontinue sumpti. Sintque anguli a, c, d illi tres qui ponuntur ad invicem equales. Dico totum pentagonum esse equiangulum. His angulis subtendantur corde b e, b d et e c ut totus pentagonus dividatur in trigonum et quadrilaterum cuius due diagonales sint corde duorum proximorum equalium angulorum secantes se intra quadrilaterum ipsum in puncto f eritque per 4 primi basis b e equalis basi b d et angulus a e b equalis angulo c d b. Cumque per 5 primi angulus b e d sit equalis angulo b d e eo quod duo latera b e et b d sunt equalia, erit ex communi scientia totalis angulus e equalis totali angulo d. Similiter probabis totalem angulum b esse equalem totali angulo c. Est enim per 4 primi basis b e equalis basi e c et angulus a b e angulo d c e, per 5 autem eiusdem est angulus e b c equalis angulo e c b, igitur ex communi scientia totalis angulus b est equalis totali angulo c.

Sint itaque tres anguli b, c, d continue sumpti equales et sic quoque erit pentagonus equiangulus. Erit enim ex 4 primi basis b d equalis basi c e et angulus c b d angulo d e c et angulus b d c angulo e c d. Quare per 6 primi due linee c f, f d erunt equales cum duo anguli trianguli f c d qui sunt ad basim c d sunt equales, igitur ex hac communi scientia erit linea f b equalis linee f e. Erat enim tota b d equalis toti c e ideoque per 5 primi erit angulus f b e equalis angulo f e b. Per eandem autem est angulus a b e equalis angulo a e b. Itaque per communem scientiam angulus b totalis est equalis angulo e totali, tres enim partiales anguli componentes unum equales sunt tribus partialibus componentibus alium unusquisque suo relativo. Manifestum est igitur quod tres anguli e, b, c non continue sumpti in proposito pentagono sunt equales. Cum autem sic demonstratum est totum pentagonum esse equiangulum, utrolibet ergo modo constat propositum etcetera.

Omnis trianguli equilateri, quod a latere suo quadratum describitur, triplum est quadrato dimidii diametri circuli, a quo triangulus ipse circumscribitur.

Sit triangulus a b c equilaterus cui circumscribatur circulus a b c supra centrum d quemadmodum docet 5 quarti libri et protrahatur in eo diameter a d e. Dico ergo quod quadratum linee a b triplum est ad quadratum semidiametri a d. Ducantur enim due linee b d et d c et arcui b e subtendatur corda b e. Eritque ex 8 primi angulus b a d equalis angulo c a d, quare per ultimam sexti arcus b e est equalis arcui e c. Et quia ex 27 tertii tres arcus a b, b c et c a sunt ad invicem equales eo quod eorum corde, que sunt latera trigoni, sunt equales ex ypothesi, erit arcus b e sexta pars circumferentie. Ideoque corda b e erit latus exagoni equilateri ipsi circulo inscripti. Quare per corollarium 15 quarti linea e b est equalis semidiametro a d. Manifestum est autem ex prima parte [f.138v] 30 tertii quod angulus a b e est rectus. Ideoque quadratum linee a e est equale quadratis duarum linearum a b et b e pariter acceptis ex penultima primi. At vero quadratum a e quadruplum est ad quadratum b e ex 4 secundi cum linea a e sit dupla b e, relinquitur ergo quadratum a b triplum esse ad quadratum b e et ideo ad quadratum a d. Quod est propositum.

Non lateat autem nos quod linea b c que est latus trigoni dividat semidiametrum d e per equalia. Esto quidem punctus divisionis f. Constat igitur ex 4 primi quod b f est equalis f c. Ideoque per primam partem 3 tertii omnes anguli qui sunt ad f sunt recti. Quare ex penultima primi quadratum b d est equale quadratis duarum linearum d f et f b, quadratum vero b e equale quadratis duarum linearum que sunt b f et f e. Et quia b d est equalis b e, erunt ex communi scientia duo quadrata duarum linearum b f et f d pariter accepta equalia duobus quadratis duarum linearum b f et f e pariter acceptis. Dempto igitur utrinque quadrato b f erit ex communi scientia quadratum f d residuum equale quadrato f e residuo, quare et linea f d linee f e ex hac communi scientia quarum quadrata sunt equalia, eas lineas esse equales. Ex hoc itaque manifestum est quod perpendicularis ducta a centro circuli ad latus trigoni equilateri sibi inscripti equalis est dimidio linee ducte a centro eiusdem circuli ad ipsius circumferentiam.

Si latus exagoni equilateri latusque decagoni equilateri, quos ambos unus idemque circulus circumscribit, sibi invicem in longum directumque coniungantur, tota linea ex eis composita secundum proportionem habentem medium et duo extrema divisa erit, maiorque eius portio latus exagoni.

Sit circulus a b c cuius centrum d et diameter a d c. Sitque arcus c b quinta pars arcus semicirculi a b c cui subtendatur corda c b quam constat esse latus decagoni equilateri proposito circulo inscripti adiungaturque linee c b in continuum et directum linea b e que ponatur esse equalis lateri exagoni equilateri predicto circulo inscripti. Dico totam lineam c e divisam esse in puncto b secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maiorem eius portionem dico esse lineam b e que est latus exagoni. Ducantur enim in centrum due linee e d et b d eritque angulus e equalis angulo b d e ex 5 primi propter hoc quod linea e b est equalis linee b d ex corollario 15 quarti, angulus quoque d b c est equalis angulo c ex 5 primi. Quare ex 32 primi angulus a d b erit duplus ad angulum d b c. Et quia per eandem angulus d b c est duplus ad angulum e, sequitur ut angulus a d b sit quadruplus ad angulum e. Est enim ex communi scientia quadruplum: quicquid fuerit duplum dupli. Cumque sit idem angulus [f.139r] a d b quadruplus ad angulum b d c ex ultima sexti eo quod arcus a b est quadruplus ad arcum b c, necesse est ex communi scientia ut angulus e sit equalis angulo b d c. Si igitur intelligantur duo trianguli d e c totalis et b d c partialis cum angulus e totalis trianguli sit equalis angulo b d c partialis et angulus c sit communis utriusque, necesse est ex 32 primi ut ipsi sint equianguli, quare per 4 sexti proportio duorum laterum e c et c d continentium angulum c in totali triangulo est sicut duorum laterum d c et c b continentium eundem angulum in partiali triangulo. Quia ergo proportio e c ad c d est sicut ad e b ex secunda parte 7 quinti et d c ad c b est sicut e b ad eandem ex prima parte eiusdem, sequitur ex 11 quinti ut sit proportio c e ad e b sicut e b ad b c. Igitur a diffinitione conclude propositum lineam e c esse divisam secundum proportionem habentem medium et duo extrema et maiorem portionem eius esse latus exagoni. Quod oportebat nos demonstrare.

Conversam quoque demonstrare convenit quod facile fiet via retrograda. Eam enim assumit Ptolemeus capitulo 9 prime dictionis Almagesti ad demonstrandum quantitatem cordarum arcuum circuli. Dico itaque quod si linea quelibet secundum proportionem habentem medium et duo extrema dividatur, cuius circuli maior portio fuerit latus exagoni, eiusdem minor erit latus decagoni. At vero cuius minor erit latus decagoni, eiusdem maior erit latus exagoni. Sit enim (priori dispositione manente) linea e c divisa in puncto b secundum predictam proportionem et maior eius portio sit e b. Dico quod cuiuscumque circuli linea e b est latus exagoni, eiusdem est linea b c latus decagoni et cuiuscumque circuli linea b c est latus decagoni, eiusdem est linea e b latus exagoni. Intelligo autem hoc de exagonis et decagonis equilateris. Si enim sit e b latus exagoni circulo a b c inscripti, erit ex corollario 15 quarti e b equalis d c. Et quia proportio c e ad e b est sicut e b ad b c ex ypothesi, erit ex 7 quinti c e ad d c sicut d c ad c b. Igitur ex 6 sexti duo trianguli e d c et d c b sunt equianguli, angulus ergo e est equalis angulo b d c, ipsos enim latera proportionalia respiciunt. Cumque sit angulus a d b quadruplus ad angulum e ex 32 primi bis assumpta et 5 eiusdem bis, sequitur ut etiam idem angulus a d b sit quadruplus ad angulum b d c. Ideoque ex ultima sexti arcus a b quadruplus est ad arcum b c. Linea igitur b c est latus decagoni circulo a b c inscripti. Quod si linea b c fuerit latus decagoni circuli a b c, erit e b latus exagoni eiusdem. Sit enim e b latus exagoni circuli f eritque ex predictis b c latus decagoni eiusdem. Intelligantur igitur inscripti esse decagoni equilateri duobus circulis a b c et f quorum omnia latera erunt equalia linee b c. Et quia omnis figura equilatera circulo inscripta est equiangula ut probatum est in 15 quarti libri, sequitur utrosque decagonos esse equiangulos. Cum omnes anguli unius pariter accepti sint equales omnibus angulis alterius pariter acceptis sicut evidenter apparet ex demonstratis in 32 primi, necesse est ex hac communi scientia (quorumlibet equalium decimas aut quotaslibet partes eiusdem denominationis esse equales) ut unus horum decagonorum sit equiangulus alii. Ideoque similis ex diffinitione similium superficierum. Et quia si due figure similes duobus circulis inscribantur, erit proportio duorum relativorum laterum illarum figurarum sicut duarum diametrorum illorum circulorum ut apparet ex corollario 18 sexti libri et 1 duodecimi. Cum latera decagonorum similium inscriptorum duobus circulis a b c et f sint equalia, sequitur ut diametri eorum sint equales. Ideoque et semidiametri etiam equales. Sunt autem semidiametri [f.139v] et latus exagoni equalia ex corollario 15 quarti. Erit ergo linea e b latus exagoni circuli a b c sicut ipsa est latus exagoni circuli f sibi equalis. Hoc autem est quod demonstrare voluimus.

Ex hac autem 9 huius 13 libri noveris exortam esse 10 quarti libri que duum equalium laterum proponit trigonum describendum cuius uterque duorum angulorum quos basis obtinet ad tertium duplus existat. Talis enim est uterque triangulorum e d c et d c b et simpliciter omnis cuius duo latera sunt equalia maiori portioni alicuius linee divise secundum proportionem habentem medium duoque extrema et tertium quod est basis est equale minori portioni linee eiusdem vel cuius duo latera sunt equalia lateri exagoni equilateri alicui circulo inscripti, basis vero est equalis lateri decagoni equilateri eidem circulo inscripti etcetera. Quod est propositum.

Omne latus pentagoni equilateri tanto potentius est latere exagoni equilateri, quantum potest latus decagoni equilateri, si sint in eodem circulo ambo inscripti.

Sit circulus a b c cuius centrum d et diameter a d c inscribaturque ei pentagonus equilaterus qui sit a b e f g et a centro d protrahatur perpendicularis ad latus a b que producatur usquoque obviet circumferentie in puncto h sitque d h et protrahantur due corde a h et h b que erunt equales ad invicem ex secunda parte 3 tertii et 4 primi. Ideoque etiam duo arcus a h et h b equales ad invicem ex 27 tertii. Est igitur utraque duarum cordarum a h et h b latus decagoni equilateri proposito circulo inscripti. Dico itaque quod quadratum linee a b, que est latus pentagoni, est equale duobus quadratis duarum linearum b d et a h pariter acceptis quarum prima est equalis lateri exagoni ex corollario 15 quarti et secunda est latus decagoni. Protrahatur enim a centro d perpendicularis ad lineam a h que est latus decagoni que producatur usque ad circumferentiam sitque d k que secet lineam a b que est latus pentagoni in puncto l et protrahatur linea h l. Constat autem ex secunda parte 3 tertii et 4 primi et 27 tertii quod linea d k, que est perpendicularis ad cordam a h, simul dividit per equalia cordam et arcum ideoque arcus a k est equalis arcui k h, quare ex ultima sexti angulus a d l erit equalis angulo l d h. Ideoque ex 4 primi basis a l basi l h, igitur ex 5 primi angulus l a h equalis est angulo l h a. Cumque etiam sit ex eadem angulus h a b equalis angulo h b a, sequitur ut angulus l h a sit equalis angulo h b a, ergo ex 32 primi duo trianguli b a h et a h l sunt equianguli. Est enim angulus b maioris equalis angulo h minoris et angulus a est communis utrique. Itaque per 4 sexti proportio b a ad a h est sicut a h ad l a, quare ex prima parte 16 sexti quod provenit ex b a in a l est equale quadrato linee a h que est latus decagoni. Cum sit autem semicirculus a e c equalis semicirculo a f c et arcus a e arcui a f, erit arcus e c residuus equalis arcui f c residuo. Quare arcus e c est medietas arcus e f ideoque equalis arcui a h et duplus ad arcum h k. Et quia arcus e b est duplus ad arcum b h, erit ex 13 quinti totus [f.140r] arcus c e b duplus ad totum arcum b h k ideoque ex ultima sexti angulus c d b est duplus ad angulum b d l. Cumque etiam angulus c d b duplus sit ad angulum b a d ex 32 et 5 primi, sunt enim duo latera d a et d b equalia, erit angulus b d l equalis angulo b a d. Itaque per 32 primi erit triangulus b d l equiangulus triangulo b a d. Est enim angulus d minoris equalis angulo a maioris et angulus b est communis utrique, ergo per 4 sexti proportio a b ad b d est sicut b d ad l b, quare per primam partem 16 sexti quod provenit ex a b in b l est equale quadrato d b. At vero probatum est prius quod illud quod provenit ex a b in l a est equale quadrato a h. Itaque quod provenit ex a b in a l et in l b est equale duobus quadratis duarum linearum a h et b d. Et quia ex 2 secundi quod provenit ex a b in a l et in l b est equale quadrato linee a b, est autem linea a b latus pentagoni equilateri proposito circulo inscripti, linea vero a h est latus decagoni equilateri et linea b d est ex corollario 15 quarti equalis lateri exagoni equilateri proposito circulo inscriptorum. Inconcussa demonstratione astruitur hoc quod dicitur.

Si duobus propinquis angulis pentagoni equilateri intra circulum descripti a terminis suorum laterum due recte linee subtendantur, utraque alteram secundum proportionem habentem medium duoque extrema secabit, maiorque ipsius portio lateri ipsius pentagoni equalis erit.

Sit pentagonus equilaterus a b c d e inscriptus circulo eisdem litteris signato et duobus eius propinquis angulis, qui sunt a et b, subtendantur due recte linee a c et b e secantes se invicem in puncto f. Dico itaque quod utraque harum est divisa in puncto f secundum proportionem habentem medium duoque extrema et quod maior portio utriusque est equalis lateri pentagoni. Manifestum est enim ex 27 tertii quod quinque arcus circuli pentagonum propositum circumscribentis, quorum latera ipsius pentagoni sunt corde, sunt ad invicem equales. Ideoque ex ultima sexti 4 anguli a e b, a b e, b a c et b c a sunt ad invicem equales. Nam arcus a b, a e et b c sunt ad invicem equales. Cumque sit arcus c d e duplus ad arcum b c, erit quoque ex ultima sexti angulus c a e duplus ad angulum c a b. At vero ex 32 primi angulus a f e duplus est ad angulum f a b, igitur angulus a f e est equalis angulo f a e. Quare per 6 primi linea a e est equalis linee f e. Sunt autem duo trianguli a b e et a f b equianguli per ea que dicta sunt et per 32 primi. Est enim angulus e maioris equalis angulo a minoris et angulus b communis utrique, igitur per 4 sexti proportio e b ad b a sicut b a ad f b. Cumque sit e f equalis a b eo quod ipsa (ut probatum est) est equalis a e, sequitur ex 7 quinti ut sit proportio b e ad e f sicut e f ad f b. Quare per diffinitionem linea e b est divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema et eius maior portio est equalis lateri ipsius pentagoni. Si autem hoc est verum de linea e b, erit quoque ex 7 quinti [f.140v] et 5 eiusdem et diffinitione idem verum de linea a c. Nam tota b e est equalis toti a c ex 4 primi et portiones portionibus ex 6 primi et communi scientia. Portiones enim a f et b f sunt equales ex 6 primi ideoque f e et f c residue erunt ad invicem equales ex conceptione. Vel potes si libet de linea a c demonstrare propositum negotiando circa ipsam ut prius circa lineam e b.

Si circuli pentagonum equilaterum circumscribentis fuerit rationalis diametros, eius latus pentagoni erit linea irrationalis, ea scilicet, que dicitur minor.

Sit pentagonus equilaterus a b c d e inscriptus circulo eisdem litteris ascripto cuius centrum f et due diametri b g et a h sitque utraque harum diametrorum linea rationalis in longitudine. Dico tunc quod latus pentagoni inscripti erit linea irrationalis illa videlicet que dicitur minor. Protrahatur enim linea a c que secet diametrum b g in puncto k eritque ex ultima sexti et 4 primi linea a c divisa a diametro b g orthogonaliter et per equalia in puncto k quia cum semicirculus b a g sit equalis semicirculo b c g et arcus b a arcui b c, sicut constat ex 27 tertii, erit arcus a g residuus equalis arcui c g residuo. Ideoque ex ultima sexti angulus a b g equalis etiam angulo c b g. Cum itaque duo latera a b et b k trianguli a b k sint equalia duobus lateribus c b et b k trianguli c b k et angulus b unius angulo b alterius, erit ex 4 primi basis a k equalis basi k c et omnes anguli qui sunt ad k sunt recti ex prima parte 3 tertii. Diameter autem a h secat latus pentagoni c d in puncto l. Eritque similiter linea c d divisa a diametro a h orthogonaliter et per equalia in puncto l. Cum enim sint duo arcus a d h et a c h equales et arcus a c sit equalis arcui a d, erunt duo residui semicirculorum, qui sunt c h et d h, equales quibus si subtendantur due corde, que sunt c h et d h, ipse quoque ex 28 tertii erunt equales. Et quia arcus a c est equalis arcui a d, erit ex ultima sexti angulus c h l equalis angulo d h l. Ideoque per 4 primi basis c l est equalis basi d l et omnes anguli qui sunt ad l recti ex prima parte 3 tertii. Itaque duo trianguli a c l et a f k sunt equianguli ex 32 primi. Est enim angulus l maioris equalis angulo k minoris eo quod uterque est rectus et angulus a est communis utrique. Quare ex 4 sexti proportio l c ad c a est sicut k f ad f a. Sumatur igitur ex diametro b g linea f m equalis quarte parti semidiametri eritque per equam proportionalitatem proportio c l ad quartam partem linee a c que sit c q sicut k f ad quartam partem linee f a que est f m. Et quia per 15 quinti proportio c d ad c k est sicut c l ad c q (sic enim est duplum ad duplum sicut simplum ad simplum) erit per 11 quinti d c ad c k sicut k f ad f m. Et coniunctim linee constantis ex d c et c k ad c k sicut k m ad m f. Et ideo per primam partem 21 sexti proportio quadrati linee composite ex d c et c k ad quadratum linee c k sicut quadrati linee k m ad quadratum linee m f. Constat autem ex premissa quod si linea a c dividatur secundum proportionem habentem medium duoque extrema maior portio eius erit equalis linee d c, igitur linea constans ex d c et c k componitur ex maiori portione linee divise [f.141r] secundum proportionem habentem medium duoque extrema et ex medietate totius linee sic divise. Est enim c k medietas a c. Itaque per primam istius 13 libri quadratum linee composite ex d c et c k quincuplum est ad quadratum linee c k. Ideoque quadratum linee k m quincuplum quoque est ad quadratum linee m f cum sit horum quadratorum et illorum una proportio. Est autem linea b m quincupla ad lineam m f. Erat enim m f quarta pars semidiametri propositi circuli. Ergo quadratum linee k m ad quadratum linee m f est sicut linee b m ad lineam m f. Et quia ex secunda parte 18 sexti quadratum linee k m ad quadratum linee m f est sicut linee k m ad lineam m f duplicata, erit ex 11 quinti linea b m ad lineam m f sicut linea k m ad lineam m f duplicata. Igitur linea k m est medio loco proportionalis inter duas lineas b m et m f. Quod sic constat. Sit enim linea n p medio loco proportionalis inter eas sumpta secundum doctrinam 9 sexti eritque ex diffinitione proportionis duplicate que posita est in principio quinti proportio b m ad m f sicut b m ad n p duplicata. Et quia b m ad n p sicut n p ad m f, erit etiam ex 11 quinti proportio b m ad m f sicut n p ad m f duplicata, igitur ex prima parte 9 quinti due linee k m et n p sunt equales ideoque ex prima parte 7 quinti et ex secunda parte eiusdem linea k m est medio loco proportionalis inter b m et m f. Quare ex corollario 17 sexti proportio quadrati linee b m ad quadratum linee m k est sicut linee b m ad lineam m f. Et quia linea b m est quincupla ad lineam m f, erit quadratum linee b m quincuplum ad quadratum linee m k. Linea autem b m est rationalis in longitudine, ergo per ultimam partem 7 decimi linea m k est rationalis in potentia tantum. Et quia linea b m est potentior linea m k in quadrato linee sibi incommensurabilis in longitudine ut in continuo probabitur, erit linea b k residuum quartum ex diffinitione residui quarti. Quod autem probandum assumpsimus sic patet. Sit numerus r quincuplus ad numerum s sintque t et s quantum r acsi esset r quinque, s unum, t quatuor et sit linea b m potentior linea m k in quadrato linee x. Cum igitur sit quadratum linee b m ad quadratum linee m k sicut numerus r ad numerum s, erit per eversam proportionalitatem quadratum linee b m ad quadratum linee x sicut numerus r ad numerum t. Quare per ultimam partem 7 decimi linea x est incommensurabilis linee b m in longitudine. Non est ergo dubium quin b k sit residuum quartum. Manifestum vero est ex 34 tertii quod illud quod fit ex b k in k g est equale ei quod fit ex a k in k c. Ideoque etiam ipsum idem est equale quadrato k c eo quod a k est equalis k c, ergo quadrato b k addito utrique erit ex penultima primi quod fit ex b k in se et in k g equale quadrato b c. Et quia ex 1 secundi quod fit ex b k in se et in k g est equale ei quod fit ex b k in g b, erit linea b c latus tetragonicum superficiei contente a duabus lineis g b et b k. Et quia linea g b est rationalis, linea vero b k est residuum quartum et quia linea potens in superficiem linea rationali residuoque quarto contentam est linea minor ut constat ex 89 decimi libri, necesse est lineam b c que est latus pentagoni equilateri proposito circulo inscripti esse lineam minorem. Quod erat ex principio demonstrandum. Hoc ergo modo sequitur quod latus pentagoni equilateri circulo inscripti sit linea minor, si diameter circuli cui inscribitur fuerit rationalis in longitudine.

At vero si diameter circuli fuerit rationalis in potentia tantum, adhuc necesse est ut latus pentagoni equilateri sibi inscripti sit linea minor. Esto enim linea a rationalis in potentia tantum supra quam describatur circulus eique descripto inscribatur pentagonus equilaterus cuius unum latus sit b c. Dicanturque pentagonus et circulus a. Dico quod linea b c est linea minor. Sumatur enim linea aliqua rationalis in longitudine que sit d et super eam lineetur circulus cui inscribatur pentagonus equilaterus et sit unum latus ipsius [f.141v] linea e f. Dicanturque pentagonus et circulus d. Constat igitur ex hac 12 quod e f est linea minor cum diameter d sit rationalis in longitudine. Quoniam vero proportio pentagoni a ad pentagonum d est sicut quadrati linee b c ad quadratum linee e f (utraque enim est ex secunda parte 18 sexti sicut linee b c ad lineam e f duplicata) pentagoni autem a ad pentagonum d est sicut quadrati diametri a ad quadratum diametri d ex prima duodecimi, erit ex 11 quinti quadrati linee b c ad quadratum linee e f sicut quadrati diametri a ad quadratum diametri d. Cumque quadrata duarum diametrorum a et d sint communicantia quia ambo sunt rationalia ex ypothesi, erunt quoque ex prima parte 10 decimi quadrata duarum linearum b c et e f communicantia, ergo linea b c communicat in potentia cum linea e f. Et quia e f est linea minor, sequitur ex 100 decimi quod etiam b c sit linea minor. Quod est propositum. Sive ergo diameter alicuius circuli sit rationalis in longitudine sive in potentia tantum, necesse est ut latus pentagoni equilateri sibi inscripti sit linea minor.

Piramidem quatuor basium triangularium et equilaterarum ab assignata spera circumscriptibilem fabricare.

Huius ergo spere diametros ad latus ipsius piramidis sesquialteram proportionem potentialiter habere probatur.

Sit linea a b diameter assignate spere que dividatur in puncto c ita quod a c sit dupla ad b c et lineetur super eam semicirculus a d b et producatur linea c d orthogonaliter super lineam a b et producantur linee d b et d a. Postea fiat circulus f g h super centrum e cuius semidiameter sit equalis linee c d cui ex 2 quarti libri inscribatur triangulus equilaterus qui sit f g h ad cuius angulos protrahantur a centro linee e f, e g, e h. Deinde super centrum e erigatur (secundum quod docet 12 undecimi) linea e k, que ponatur equalis a c, perpendicularis ad superficiem circuli f g h et dimittantur a puncto k ypothenuse k f, k g, k h. Eritque completa piramis 4 basium triangularium et equilaterarum quam dico esse ab assignata spera circumscriptibilem et dico quadratum diametri proposite spere sesquialterum esse ad quadratum lateris fabricate piramidis. Constat enim ex prima parte corollarii 8 sexti quod linea c d est medio loco proportionalis inter a c et c b. Quare ex corollario 17 eiusdem quadratum linee a c ad quadratum linee c d est sicut a c ad c b, ergo coniunctim quadratum a c et quadratum c d ad quadratum c d sicut a b ad b c. Ideoque ex penultima primi quadratum a d ad quadratum d c sicut a b ad b c. Cum ergo linea a b sit tripla ad b c, erat enim a c dupla ad eam, erit quoque quadratum a d triplum ad quadratum d c. Est autem ex 8 huius quadratum f g triplum ad quadratum e f, quare, cum ex ypothesi d c sit equalis e f, erit ex communi scientia a d equalis f g. Et quia ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem linea e k continet cum singulis lineis e f, [f.142r] e g, e h angulos rectos quarum quelibet est equalis linee c d et quia ipsa eadem est equalis linee a c et angulus e est rectus, erit per 4 primi unaqueque trium linearum k f, k g, k h equalis linee a d. Manifestum est igitur fabricatam piramidem esse 4 basium triangularium equilaterarum. Ipsam autem esse circumscriptibilem ab assignata spera sic habeto: Linee e k intelligatur adici secundum rectitudinem linea e l equalis linee c b ut tota k l sit equalis a b que est diameter assignate spere. Hanc autem e l inquam lineam imagineris esse sub circulo f g h perpendicularem quoque ad ipsius superficiem ex parte inferiori sicut est e k ex parte superiori. Erit unaqueque trium linearum e f, e g, e h et simpliciter quelibet semidiameter circuli f g h medio loco proportionalis inter k e et e l quemadmodum est d c inter a c et c b. Nam hee sunt equales illis unaqueque sue relative. Si igitur super lineam l k describatur semicirculus circumducaturque quousque ad locum unde moveri ceperat redeat, erit ex diffinitione sperarum equalium spera descripta motu huius semicirculi equalis spere assignate. Sunt enim spere equales quarum sunt equales diametri quemadmodum de circulis in principio tertii dictum est. Semicirculum hunc vero necesse est transire per tria puncta f, g, h que sunt anguli solidi piramidis fabricate. Similiter autem dico quod semicirculus hic qui super lineam l k fuerit descriptus si circumducatur quousque ad locum redeat unde moveri ceperat, continget circulum f g h super omnia puncta circumferentie ipsius. Quod ex hac vetusta veritate probatur: Si linea recta super lineam rectam perpendiculariter steterit que inter partes eius cui circumstat medio loco proportionalis ponatur fueritque super eam lineam cui perpendicularis superstat semicirculus descriptus circumferentia ipsius per extremitatem linee medio loco proportionalis posite perpendiculariter necessario transibit. Cum igitur cuncte semidiametri circuli f g h sint perpendiculares ad lineam k l et medio loco proportionales inter partes ipsius que sunt k e et e l, sequitur ut semicirculus descriptus super k l si circumducatur, transeat per omnia puncta f, g, h circumferentie et per omnes solidos angulos piramidis fabricate. Itaque a diffinitione eius quod est figuram inscribi figure piramis fabricata est inscriptibilis illi spere quam semicirculus super lineam k l lineatus motu suo describit. Et quia hec spera descripta est assignate spere equalis per diffinitionem equalium sperarum, sequitur ex communi scientia ut hec piramis fabricata sit ab assignata spera circumscriptibilis. Quod est propositum.

Corollarium autem patet sic. Cum enim a b sit tripla ad b c, per eversam proportionalitatem erit a b sesquialtera ad a c. Ideoque ex secunda parte corollarii 8 sexti et corollario 17 eiusdem quadratum linee a b erit etiam sesquialterum ad quadratum linee a d. Et quia linea a d est equalis lateri fabricate piramidis, at vero a b est diameter spere, constat verum esse quod per corollarium dicitur.

\

Ne autem quemquam de vetusta veritate proposita hesitare contingat, eam volumus hoc loco demonstratione firmare. Sit igitur super lineam a b linea c d perpendicularis que ponatur medio loco proportionalis inter partes linee a b que sint a c et c b ita quod sit proportio a c ad c d sicut c d ad c b. Et super lineam a b describatur semicirculus a e b. Dico quod huius semicirculi circumferentia transibit per punctum d qui est extremitas perpendicularis. Sin autem, aut secabit lineam c d aut supertransibit eam totam ipsam transiens et includens et non contingens. Secet ergo primo ipsam in puncto e et ducantur linee [f.142v] e b et e a eritque ex prima parte 30 tertii totalis angulus a e b rectus. Itaque ex prima parte corollarii 8 sexti proportio a c ad c e sicut c e ad c b. At vero ex secunda parte 8 quinti proportio a c ad c e est maior quam a c ad c d eo quod c e est minor quam c d. Cum igitur sit c e ad c b sicut a c ad c e et c d ad c b sicut a c ad c d, erit per 12 quinti e c ad c b maior quam d c ad c b. Itaque per primam partem 10 quinti e c est maior quam d c pars videlicet quam suum totum. Quod est impossibile. Non secabit ergo circumferentia semicirculi lineam c d. Supertranseat igitur et producatur c d usque ad circumferentiam sitque tota c e et protrahantur linee e b et e a sequeturque ut prius lineam c d esse maiorem quam sit linea c e quod est etiam impossibile. Constat ergo propositum.

Similiter autem dicimus quod si fuerit aliquis angulus rectus cui basis subtendatur super quam semicirculus lineetur, ipsius circumferentiam per angulum rectum transire necesse est. Conversam vero huius proponit prima pars 30 tertii. Quod autem dicimus, sic constat: Sit enim angulus a b c rectus cui subtendatur basis a c et super eam lineetur semicirculus. Dico quod ipsius circumferentia transibit per punctum b in quo coeunt linee continentes angulum rectum. Cuius demonstratio est quia neque transibit supra neque infra. Sin autem, transeat primo infra sitque a e c et ab angulo b producatur linea b d perpendicularis ad basim a c que secet circumferentiam semicirculi in puncto e et protrahantur linee e a et e c eritque angulus a e c rectus ex prima parte 30 tertii. At ipse est maior angulo a b c per 21 primi. Hoc autem est impossibile ex tertia petitione: cum uterque sit rectus, hic quidem ex ypothesi, ille vero ex prima parte 30 tertii. Non ergo transibit circumferentia semicirculi infra angulum b. Transeat itaque supra et sit a f c. Producatur autem perpendicularis d b quousque obviet circumferentie semicirculi a f c in puncto f et producantur linee f a, f c eritque ex prima parte 30 tertii angulus a f c rectus. Cumque esset etiam ex ypothesi angulus a b c rectus, sequitur impossibile per 21 primi sicut prius. Relinquitur ergo quod diximus. Hoc autem necessarium est ad cognitionem eorum que sequuntur.

Ab assignata spera circumscriptibilem cubum constituere.

Eiusdem autem spere diametrum lateri ipsius cubi potentialiter triplicem esse manifestum erit.

Assignate spere diameter sit a b super quam lineetur semicirculus a d b dividaturque diameter in puncto c prorsus secundum conditionem premisse videlicet ut linea a c sit dupla ad lineam c b et producatur c d perpendiculariter ad a b et protrahantur d b, d a. Postea fiat unum quadratum cuius omnia latera sint equalia linee b d sitque e f g h super cuius 4 angulos erigantur, ut docet 12 undecimi, 4 linee perpendiculares ad superficiem ipsius quadrati quarum quelibet ponatur etiam equalis linee b d sintque e k, f l, g m, h n. Eruntque hee 4 perpendiculares singule singulis equidistantes ex 6 undecimi et anguli quos continent cum lateribus quadrati recti ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem. Deinde coniungantur extremitates istarum perpendicularium protractis lineis k l, l m, m n, n k eritque completus cubus sex superficiebus quadratis contentus. Constat enim ex 34 primi quod 4 superficies ipsum ambientes (et ipse sunt quarum opposita latera sunt [f.143r] 4 perpendiculares) sunt omnes quadrate. De basi autem hoc positum est. At vero de suprema eius superficie, que est k l m n, quod ipsa quoque sit quadrata, constat ex 34 primi et 10 undecimi. Ideoque ex 4 undecimi manifestum est singula latera huius cubi duabus ipsius oppositis superficiebus orthogonaliter insistere. Ut autem cubum hunc ab assignata spera circumscriptibilem esse demonstremus, in una suarum superficierum protrahatur diagonalis, verbi gratia: in basi eius sitque e g et ab huius diagonalis altera extremitate protrahatur diameter cubi e m eritque ex penultima primi quadratum e g duplum ad quadratum f g ideoque et ad quadratum g m eo quod g m est equalis f g. Sunt enim omnia latera cubi ad invicem equalia. Et quia rursus ex penultima primi quadratum e m est equale quadratis duarum linearum e g et g m propter hoc quod angulus e g m est rectus ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem, erit quadratum e m triplum ad quadratum m g. Constat enim ex duplo et simplo. Cumque ex secunda parte corollarii 8 sexti et ex corollario 17 eiusdem quadratum quoque a b sit triplum ad quadratum b d eo quod linea a b tripla est ad lineam b c, sit autem b d equalis m g, sequitur ex communi scientia ut e m, que est diameter cubi, sit equalis a b que est diameter spere. Itaque si super e m lineetur semicirculus circumducaturque quousque ad locum unde fuit initium motus redeat, spera descripta erit ex diffinitione sperarum equalium equalis spere assignate. At vero quia hic semicirculus transitum faciet per punctum g eo quod angulus e g m est rectus eademque ratione per singulos ceteros rectos angulos cubi quod ex antecedente ante hanc 14 immediate premisso manifestum est, constat constitutum cubum ab assignata spera (eo quod a sua equali) circumscriptibilem esse, quod demonstrare oportebat. Corollarii vero demonstratio in istius demonstrationis processu patuit.

Corpus octo basium triangularium et equilaterarum a spera proposita circumscriptibile componere.

Eritque palam eiusdem spere diametrum lateri ipsius corporis duplicem esse potentialiter.

Diameter spere proposite sit a b que dividatur per equalia in puncto c et super eam lineetur semicirculus a d b et producatur c d perpendicularis ad a b et iungatur punctus d cum a et cum b. Describaturque unum quadratum cuius singula latera sint equalia linee b d sitque quadratum hoc e f g h in quo protrahantur diametri due e g et f h secantes se invicem in puncto k. Constat igitur ex 4 primi quod utraque istarum diametrorum sit equalis linee a b que est diameter spere cum angulus d sit rectus ex prima parte 30 tertii et singuli quoque anguli e, f, g, h recti ex diffinitione quadrati. Constat rursus quod eedem due diametri e g et f h dividunt se invicem per equalia in puncto k. Hoc autem ex 5 primi et 32 et ex 6 eiusdem facile est elicere. Erigatur itaque super punctum k linea k l perpendicularis ad superficiem quadrati que ponatur equalis medietati diametri e g vel f h et dimittantur ypothenuse l e, l f, l g, l h. Eruntque ex hiis que posita sunt et ex penultima primi quotiens oportuerit repetita singule harum ypothenusarum equales sibi invicem [f.143v] et equales lateribus quadrati. Habes ergo piramidem 4 equilaterarum triangulariumque basium super quadratum constitutam. Hinc itaque sub ipso quadrato similem piramidem hoc modo appone. Lineam k l producas perforando quadratum usque ad m ita quod k m existens sub quadrato sit equalis l k existenti supra et iunge punctum m cum singulis angulis quadrati producendo 4 alias ypothenusas que sunt m e, m f, m g, m h de quibus quoque manifestum est ex penultima primi quemadmodum de aliis, que sunt in superiori parte, quod ipse sunt equales ad invicem et lateribus quadrati. Complevimus ergo corpus 8 basium triangularium et equilaterarum. Hoc autem ab assignata spera circumscriptibile esse sic habeto. Constat enim quod linea l m est equalis diametro assignate spere, nam utraque earum est equalis diametro quadrati. Si igitur super l m lineetur semicirculus qui circumvolvatur quousque ad locum suum redeat, spera quam motu suo describet erit equalis assignate spere ut ex diffinitione sperarum equalium colligitur. Hic vero semicirculus transibit per 4 angulos quadrati et simpliciter per omnia puncta circumferentie circuli circumscribentis quadratum eo quod semidiameter quadrati ut linea f k et portiones linee l m que sunt l k et k m sunt ad invicem equales. Quare ex diffinitione eius quod est figuram unam alii figure inscribi fabricatum corpus inscriptibile est spere motu huius semicirculi descripte, itaque et spere assignate ex conceptione cum ipse sint ad invicem equales ex diffinitione. Corollarium vero manifeste constat. Sunt enim due linee d b et d a equales ex 4 primi ideoque quadratum a b duplum est ad quadratum b d ex penultima primi. Latus autem fabricati corporis est equale linee b d. Verum est ergo corollarium etcetera.

Corpus 20 basium triangularium atque equilaterarum a data spera diametrum rationalem habente circumscriptibile fabricare. Eritque palam latus eiusdem corporis esse lineam irrationalem, eam scilicet, que dicitur minor.

Sit hic quoque diameter assignate spere a b que ponatur esse rationalis sive in longitudine sive in potentia tantum et dividatur in puncto c ita quod a c sit quadrupla ad c b et lineetur super eam semicirculus a d b et producatur c d perpendicularis ad a b et protrahatur linea d b. Deinde secundum quantitatem linee d b lineetur circulus e f g h k supra centrum l cui inscribatur pentagonus equilaterus eisdem litteris annotatus ad cuius angulos a centro l ducantur linee l e, l f, l g, l h, l k. Rursus in eodem circulo scribatur decagonus equilaterus, dividantur enim circuli arcus, quorum corde sunt latera pentagoni, per equalia et a punctis mediis ad extremitates cunctorum laterum inscripti pentagoni linee recte dirigantur. Itemque super singulos angulos pentagoni erigatur cathetus secundum quod docet 12 undecimi quorum quilibet etiam sit equalis linee b d et continuentur extremitates horum 5 cathetorum quinque coraustis. Eruntque ex 6 undecimi 5 catheti erecti ad invicem equidistantes. Cumque ipsi sint equales, erunt ex 33 primi 5 corausti eorum extremitates iungentes equales lateribus pentagoni. Dimitte igitur a singulis summitatibus singulorum [f.144r] cathetorum binas et binas ypothenusas ad duos circumstantes angulos inscripti decagoni et harum 10 ypothenusarum a 5 extremitatibus cathetorum ad 5 puncta que sunt singuli anguli medii inscripti decagoni descendentium extremitates continua, alium pentagonum rursus ipsi circulo inscribendo qui quoque erit equilaterus ex 23 tertii. Cum hoc itaque feceris, videbis te perfecisse 10 triangulos quorum sunt latera 10 ypothenuse et 5 corausti et 5 latera huius secundi pentagoni inscripti. Hos ergo 10 triangulos equilateros esse sic collige. Cum enim tam semidiameter descripti circuli quam quilibet erectorum cathetorum sit equalis linee b d ex ypothesi, erit ex corollario 15 quarti quilibet cathetorum equalis lateri exagoni equilateri circulo cuius semidiameter est equalis linee b d inscripti. Quia vero ex penultima primi unaqueque 10 ypothenusarum tanto est potentior catheto quantum potest latus decagoni, at vero ex 10 huius latus quoque pentagoni est tanto potentius eodem quantum potest idem latus decagoni, erit ex communi scientia unaqueque harum ypothenusarum equalis lateri pentagoni. De coraustis autem iam patuit quod ipsi sint equales lateribus pentagoni. Ita cuncta latera horum 10 triangulorum aut sunt latera pentagoni equilateri secunda vice circulo inscripti aut illis equalia. Sunt igitur equilateri trianguli. Amplius autem supra centrum circuli quod est punctum l erige alium cathetum equalem prioribus qui sit l m eiusque superiorem extremitatem que est punctus m iunge cum singulis extremitatibus priorum per 5 coraustos. Eritque ex 6 undecimi hic centralis cathetus singulis cathetorum angularium equidistans ideoque ex 33 primi 5 corausti erunt semidiametro circuli equales et ex corollario 15 quarti quilibet eorum tamquam latus exagoni. Centrali ergo catheto ex utraque parte adiciatur linea una equalis lateri decagoni. Supra quidem adiciatur ei m n, deorsum autem sub circulo adiciatur sibi a centro circuli l p, postea dimittantur a puncto n 5 ypothenuse ad 5 superiores angulos 10 triangulorum qui sunt in circuitu et a puncto p alie 5 ad alios 5 inferiores. Eruntque hee 10 ypothenuse equales ad invicem et lateribus inscripti pentagoni ex penultima primi et 10 huius quemadmodum de aliis 10 prius demonstratum est. Habes ergo corpus 20 basium triangularium atque equilaterarum cuius cuncta latera sunt equalia lateribus pentagoni. Eius vero diameter est linea n p. Horum autem 20 triangulorum 10 consistunt in circuitu supra circulum, 5 autem consurgunt sursum ad punctum n concurrentes atque 5 reliqui deorsum emergunt super punctum p coeuntes.

Hoc autem ycocedron corpus a data spera circumscriptibile esse sic erit manifestum. Cum linea l m sit equalis lateri exagoni et m n lateri decagoni equilaterorum quos circulus e f g circumscribit, tota l n erit ex 9 presentis libri divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema in puncto m et maior portio eius erit linea l m. Dividatur itaque l m per equalia in q eritque ex communi scientia p q equalis q n. Nam linea p l est posita equalis lateri decagoni quemadmodum m n quare q n est medietas n p quemadmodum est q m medietas m l. Cum ergo quadratum q n sit ex 3 huius quincuplum ad quadratum q m, erit ex 15 quinti quadratum p n quincuplum ad quadratum l m. Est enim ex 4 secundi quadratum p n quadruplum ad quadratum q n, quadratum l m quadruplum ad quadratum q m ex eadem, quadruplum autem ad quadruplum est ut simplum ad simplum teste 15 quinti. At vero quadratum a b quincuplum est ad quadratum b d ex secunda parte corollarii 8 sexti et ex corollario 17 eiusdem est enim a b quincupla ad b c eo quod a c fuit ad eandem quadrupla. Quia ergo l m est ex ypothesi equalis b d, erit ex communi scientia a b equalis n p. Itaque si super lineam n p semicirculus describatur qui tamdiu quod locum primum repetat circumvolvatur, spera ipsius motu descripta erit a diffinitione sperarum equalium equalis spere proposite. Et quoniam linea l m est medio loco proportionalis inter l n et n m ideoque inter l n et p l, erit quoque quelibet semidiameter circuli [f.144v] medio loco proportionalis inter l n et l p, cum l m sit equalis semidiametro circuli. Itaque semicirculus super p n descriptus transibit per omnia puncta circumferentie circuli e f g. Ideoque et per singulos angulos solidi fabricati in illa circumferentia consistentes. Et quia eadem ratione singuli corausti continuantes extremitates angularium cathetorum cum extremitate centralis sunt medio loco proportionales inter p m et m n eo quod quilibet eorum est equalis l m, sequitur ut idem semicirculus transeat etiam per reliquos angulos figure ycocedre statute. Est igitur corpus hoc inscriptibile spere cuius diameter p n ideoque et spere cuius diameter a b. Latus autem huius solide figure dico esse lineam minorem. Constat enim quod linea b d est rationalis in potentia cum eius quadratum sit subquincuplum ad quadratum linee a b que posita est rationalis sive in longitudine sive in potentia tantum. Itaque semidiameter atque diameter circuli e f g est etiam rationalis in potentia. Nam eius semidiameter est equalis b d. Igitur ex 12 huius latus pentagoni equilateri huic circulo inscripti est linea minor. At vero (sicut in huius demonstrationis processu patuit) latus huius figure est quantum latus pentagoni, ergo latus huius figure 20 alchaidarum est linea minor quemadmodum proponitur etcetera.

Corpus 12 basium pentagonarum equilaterarum atque equiangularium ab assignata spera circumscriptibile constituere. Eritque palam latus eiusdem corporis irrationale esse, id quod residuum dicitur.

Fiat cubus secundum quod docet 14 huius circumscriptibilis ab assignata spera sintque huius cubi due superficies a b et a c. Imaginemur autem nunc quod a b sit suprema superficies cubi et a c sit una ex lateralibus sitque linea a d communis istis duabus superficiebus. Dividantur itaque in superficie a b duo opposita latera per equalia, videlicet d b, et latus ei oppositum et puncta divisionis continuentur per lineam e f. Latus quoque a d et illud quod sibi opponitur in superficie a c dividantur per equalia et puncta divisionis continuentur linea recta cuius medietas sit g h sitque punctus h medius punctus linee a d. Similiter linea e f dividatur per equalia in k et protrahatur h k. Quamlibet igitur trium linearum e k, k f, g h divide secundum proportionem habentem medium duoque extrema in tribus punctis m, l, q sintque maiores portiones earum l k, k m et g q quas manifestum est esse equales cum tote linee divise sint equales videlicet quelibet earum medietati lateris cubi. Deinde a duobus punctis l et m erige perpendiculares, ut docet 12 undecimi, ad superficiem a b quarum utramque ponas equalem linee k l sintque l n et m p. Similiter a puncto q erige perpendicularem q r ad superficiem a c quam ponas equalem g q. Protrahe itaque lineas a l, a n, a m, a p, d m, d p, d l, d n, a r, a q, d r, d q. Manifestum est igitur ex 5 huius quod due linee k e et e l potentialiter sunt triplum ad lineam k l ideoque etiam ad lineam l n cum k l et l n sint equales. At vero k e est equalis e a, igitur due linee a e et e l sunt potentia triplum ad lineam l n. Quare ex penultima primi a l est potentia tripla ad l n ideoque per eandem a n est potentia quadrupla ad l n. Cumque omnis linea sit potentia quadrupla ad medietatem sui, sequitur ex communi scientia quod a n sit dupla in longitudine ad l n. Et quia l m dupla est ad l k, at l k et l n sunt equales, erit a n equalis l m. Sunt enim earum dimidia equalia. Et quia ex 33 primi l m est equalis n p, erit a n equalis n p. Eodem modo [f.145r] probabis tres lineas p d, d r et r a esse equales sibi invicem et duabus predictis. Habemus itaque ex hiis 5 lineis pentagonum equilaterum qui est a n p d r. Sed fortasse dices ipsum non esse pentagonum quia nec forsan est totus in superficie una, quod esset necessarium ad hoc ut esset pentagonus. Quod ergo sit totus in superficie una sic habeto. Prodeat equidem a puncto k linea k s perpendicularis ad superficiem a b que sit equalis l k. Eritque ob hoc equalis utrique duarum l n et m p. Cumque ipsa sit equidistans utrique earum ex 6 undecimi ideoque cum ambabus in eadem superficie ex diffinitione linearum equidistantium necesse est ut punctus s sit in linea n p et quod dividat eam per equalia. Protrahantur due igitur linee r h et h s, sunt itaque duo trianguli k s h et q h r super unum angulum, videlicet k h q, constituti et est proportio k h ad q r sicut k s ad q h, nam ut g h ad q r sic k h ad q r ex 7 quinti, et ut r q ad q h sic k s ad q h ex eadem, sed g h ad q r ut q r ad q h eo quod q r est equalis g q, ergo per 30 sexti linea r h s est linea una. Quare ex 2 undecimi totus pentagonus de quo disputamus est in superficie una.

Ipsum quoque dico esse equiangulum. Cum enim e k sit divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema et k m sit equalis maiori portioni eius, erit quoque ex 4 presentis tota e m divisa secundum proportionem habentem medium duoque extrema, maiorque portio eius linea e k. Ideoque per 5 due linee e m et m k (ideoque due e m et m p, nam m p est equalis m k) sunt potentia triplum ad lineam e k ideoque et ad lineam a e, nam a e est equalis e k. Itaque tres linee a e, e m et m p sunt potentia quadruplum ad lineam a e. Constat autem per penultimam primi bis assumptam quod linea a p est potentia equalis tribus lineis a e et e m et m p. Itaque a p est potentia quadrupla ad lineam a e. Latus vero cubi, cum sit duplum ad lineam a e, est potentia quoque quadruplum ad ipsam ex 4 secundi, igitur ex communi scientia a p est lateri cubi equalis. Cumque a d sit unum ex lateribus cubi, erit a p equalis a d. Ideoque ex 8 primi angulus a r d est equalis angulo a n p. Eodem modo probabis angulum d p n esse equalem angulo d r a quia probabis lineam d n esse potentialiter quadruplam ad medietatem lateris cubi. Cum igitur ex hiis pentagonus sit equilaterus et habeat tres angulos equales, ipse erit equiangulus ex 7 presentis libri. Si itaque hac via rationeque consimili super unumquodque reliquorum laterum cubi pentagonum equilaterum et equiangulum fabricemus, perficietur solidum 12 pentagonis equilateris et equiangulis contentum cum cubus enim habeat 12 latera.

Reliquum autem est demonstrare solidum hoc esse a data spera circumscriptibile. Protrahantur igitur a linea s k due superficies secantes cubum quarum una secet ipsum super lineam h k et aliam super lineam e f. Eritque ex 40 undecimi ut communis sectio harum duarum superficierum secet diametrum cubi et secetur vice versa ab ipsa diametro per equalia. Sit ergo communis sectio earum usque ad diametrum cubi linea k o ita quod o sit centrum cubi et ducantur linee o a, o n, o p, o d, o r. Constat autem quod utraque duarum linearum o a, o d est semidiameter cubi, ideoque equales. De linea autem o k constat ex 40 undecimi quod ipsa est equalis e k videlicet medietati lateris cubi. Et quia k s est equalis k m, erit o s divisa in puncto k secundum proportionem habentem medium duoque extrema et maior portio eius erit linea o k que est equalis e k. Itaque per 5 huius erunt due linee o s et s k (ideoque o s et s p eo quod s p est equalis k s) triplum in potentia ad lineam o k et ideo ad medietatem lateris cubi. Quare per penultimam primi linea o p est potentia tripla ad medietatem lateris cubi. Ex corollario autem 14 huius constat quod semidiameter spere tripla est in potentia ad medietatem lateris cubi quem circumscribit eadem spera. Itaque o p est quanta semidiameter spere circumscribentis cubum propositum. Eadem ratione cuncte linee ducte a puncto o ad angulos pentagonorum omnium super latera cubi descriptorum ad angulos inquam qui proprii sunt pentagonis, non autem communes eis et superficiebus cubi scilicet proprii quales sunt in pentagono statuto tres anguli n, p, r. De illis autem lineis que veniunt a puncto o ad angulos pentagonorum qui sunt [f.145v] communes pentagonis et superficiebus cubi quales sunt in pentagono presenti duo anguli a et d constat quod ipse sunt equales semidiametro spere circumscribentis cubum. Ipse sunt semidiametri cubi ex 40 undecimi. At vero semidiameter cubi est tamquam semidiameter spere ipsum circumscribentis quemadmodum ex ratiocinatione 14 apparet. Igitur omnes linee ducte a puncto o ad singulos angulos duodecedri erunt equales ad invicem et semidiametro spere. Semicirculus itaque super totam diametrum spere vel cubi lineatus, si circumducatur, transibit per omnes angulos eius. Quare per diffinitionem ipsum est ab assignata spera circumscriptibile.

Dico iterum quod latus huius figure est linea irrationalis ista videlicet que dicitur residuum, si diameter spere ipsum circumscribentis fuerit rationalis in longitudine vel in potentia. Cum enim diameter spere sit ex 14 huius tripla in potentia ad latus cubi, erit latus cubi rationale in potentia si diameter spere fuerit rationalis in longitudine vel in potentia. Constat autem ex 11 quod linea r p dividit lineam a d que est latus cubi secundum proportionem habentem medium duoque extrema et quod portio eius maior est equalis lateri pentagoni. Et quia maior portio est residuum ex 6 huius, manifestum est latus figure duodecedron esse residuum. Quod demonstrare voluimus.

Fabricata ergo sunt per 13 et 4 eam sequentes 5 corpora equilatera atque equiangula quorum unumquodque est circumscriptibile ab assignata spera. Sunt autem hec solida: primum quidem 4 basium triangularium et dicitur tetracedron. Secundum est 6 basium quadratarum et dicitur cubus sive exacedron. Tertium 8 basium triangularium et dicitur octocedron. Quartum autem est solidum ycocedron et est 20 basium triangularium. Quintum vero ex 12 basibus pentagonis consistit diciturque duodecedron. Hec autem 5 solida regularia dicuntur quoniam equiangula sunt atque equilatera et a spera atque ab invicem circumscriptibilia. Plura vero hiis quinque equilatera que sunt et equiangula esse est impossibile. Ad constitutionem cuiuslibet anguli solidi necesse est ad minus tres superficiales angulos concurrere. Ex duobus enim solum superficialibus nequit solidus angulus compleri. Quia ergo tres anguli cuiuslibet exagoni equilateri et equianguli sunt equales 4 angulis rectis, at vero eptagoni et cuiuslibet plurium laterum figure equilatere atque equiangule tres anguli sunt maiores 4 angulis rectis quemadmodum ex 32 primi evidenter elicitur, omnis autem angulus solidus 4 rectis angulis minor est teste 21 undecimi, impossibile est tres angulos exagoni aut eptagoni et simpliciter omnis plurilatere figure equilatere tamen atque equiangule solidum angulum constituere. Ideo nulla solida figura equilatera atque equiangula potest ex superficiebus exagonalibus aut plurium laterum constitui. Si enim tres anguli exagoni equilateri atque equianguli quemlibet solidum angulum excedunt 4 et plures multo fortius eundem excedunt. Tres autem angulos pentagoni equilateri atque equianguli minores esse 4 rectis angulis manifestum est et 4 esse maiores quare ex tribus angulis pentagoni equilateri atque equianguli possibile est solidum angulum constitui. Ex 4 autem aut ex pluribus impossibile. Ideoque unum dumtaxat solidum ex pentagonis equilateris atque equiangulis constitutum est illud videlicet quod duodecedron dicitur in quo anguli pentagonorum terni et terni solidos angulos perficiunt. Eadem quoque est ratio in quadrilateris figuris equilateris et equiangulis que in pentagonis, omnis enim quadrilatera figura si equilatera equiangulaque fuerit, ipsa erit quadrata a diffinitione. Nam omnes eius anguli erunt recti per 32 primi. Ex tribus igitur angulis talis superficialis figure possibile est solidum angulum constitui, ex 4 autem aut ex pluribus impossibile est propter quod ex talibus figuris superficialibus (que cum quadrilatere sint equilatere atque equiangule) unicum solidum quod cubum dicimus fabricatum est. Triangulorum autem equilaterorum [f.146r] 6 anguli sunt equales 4 rectis ex 32 primi. Pauciores ergo minores et plures maiores. Igitur ex 6 angulis talium trigonorum aut ex pluribus impossibile est angulum solidum fieri. Ex 5 et ex 4 et ex tribus possibile. Cum itaque tres anguli trigoni equilateri efficiunt solidum angulum, perficitur ex triangulis equilateris corpus 4 basium triangularium atque equilaterarum. Cum vero 4 consurgunt corpus 8 basium quod octocedron diximus. At vero si 5 triangulorum equilaterorum anguli solidum angulum contineant, fiat corpus ycocedron 20 basium triangularium et equilaterarum. Quare ergo tot et talia sint solida regularia et quare plura hiis non sint dictum est.

Latera 5 corporum premissorum ab eadem spera circumscriptibilium, cuius spere sola diametros nobis proposita fuerit, per ipsam propositam diametrum invenire.

Sit a b diameter alicuius spere nobis proposita ex qua iubemus latera 5 premissorum corporum elicere. Dividamus igitur hanc diametrum in c ita quod a c sit dupla ad c b et per equalia in d et lineemus super eam semicirculum a f b ad cuius circumferentiam protrahantur due linee perpendiculares ad lineam a b que sint c e et d f. Et iungamus e cum a et cum b et f cum b. Manifestum ergo est ex demonstratione 13 quod a e est latus figure 4 basium triangularium et equilaterarum et ex demonstratione 14 quod e b est latus cubi et ex demonstratione 15 quod f b est latus figure 8 basium triangularium et equilaterarum. Prodeat itaque a puncto a linea a g perpendicularis ad a b et equalis eidem a b et iungatur g cum d sitque h punctus in quo g d secat circumferentiam semicirculi et ducatur h k perpendicularis ad a b. Et quia g a est dupla ad a d, erit ex 4 sexti h k dupla ad k d. Sunt enim trianguli g a d et h k d equianguli ex 32 primi eo quod angulus a maioris est equalis angulo k minoris, nam uterque rectus, et angulus d est communis, igitur ex 4 secundi h k est potentia quadrupla ad k d, ergo ex penultima primi h d est potentia quincupla ad k d. Cumque d b sit equalis h d, est enim d centrum semicirculi, erit quoque d b potentia quincupla ad k d. At vero cum tota a b sit dupla ad totam b d quemadmodum a c detracta ex prima a b est dupla ad c b detractam ex secunda b d, erit quoque ex 19 quinti b c residua prime dupla ad c d residuam secunde ideoque tota b d est tripla ad d c. Igitur quadratum b d est nonecuplum ad quadratum d c. Et quia ipsum erat quincuplum tantum ad quadratum k d, erit ex secunda parte 10 quinti quadratum d c minus quadrato k d ideoque d c minor k d. Sit ergo d m equalis k d et prodeat m n usque ad circumferentiam que sit perpendicularis ad a b et iungatur n cum b. Cum igitur d k et d m sint equales, erunt (ex diffinitione eius quod est aliquas lineas a centro equidistare) due linee h k et m n equaliter distantes a centro. Ideoque equales ad invicem ex secunda parte 13 tertii et ex secunda parte tertie eiusdem. Itaque n m est equalis m k, nam h k erat equalis ei. At quia a b dupla est ad b d et k m dupla ad d k et quadratum b d quincuplum ad quadratum d k, erit ex 15 quinti quadratum a b quincuplum similiter ad quadratum k m. Est enim quadratum dupli ad quadratum dupli sicut quadratum simpli ad quadratum simpli. Ex demonstratione autem 16 manifestum est quod diameter spere est potentialiter quincupla ad latus exagoni circuli figure 20 basium,ergo k m est equalis lateri exagoni circuli figure 20 basium. Nam diameter spere, [f.146v] que est a b, est potentialiter quincupla tam ad latus exagoni circuli illius figure quam ad k m. Rursus quoque ex demonstratione eiusdem manifestum est quod diameter spere constat ex latere exagoni et duplici lateri decagoni circuli figure 20 basium. Cum ergo k m sit tamquam latus exagoni, at vero a k sit equalis m b, nam ipsa sunt residua equalium demptis equalibus, erit m b tamquam latus decagoni. Quia igitur m n est tamquam latus exagoni, nam ipsa est equalis k m, erit ex penultima primi et 10 huius n b tamquam latus pentagoni circuli figure 20 basium. Et quia ex demonstratione 16 apparet quod latus pentagoni circuli figure 20 basium est latus eiusdem figure 20 basium, constat lineam n b esse latus istius figure. Dividatur itaque e b, que est latus cubi ab assignata spera circumscriptibilis, secundum proportionem habentem medium duoque extrema in puncto p sitque maior portio eius p b. Constat igitur ex demonstratione premisse quod p b est latus figure 12 basium. Inventa ergo sunt latera 5 premissorum corporum ex diametro spere nobis proposita. Est enim latus a e piramidis 4 basium, e b latus cubi, f b latus octocedri. At vero n b latus ycocedri, linea autem p b latus duodecedri. Que autem horum laterum sint maiora aliis, sic habetur: Constat enim quod a e est maior f b, nam arcus a e est maior arcu f b, item f b maior est e b et e b maior quam n b. At vero n b dico etiam esse maiorem quam p b. Cum enim sit a c dupla ad c b, erit ex 4 secundi quadratum a c quadruplum ad quadratum c b. Constat autem ex secunda parte corollarii 8 sexti et ex corollario 17 eiusdem quod quadratum a b triplum est ad quadratum b e. Sed per 21 sexti quadratum a b ad quadratum b e sicut quadratum b e ad quadratum c b eo quod proportio a b ad b e est sicut b e ad c b ex secunda parte corollarii 8 sexti. Itaque per 11 quinti quadratum b e triplum est ad quadratum c b. Et quia quadratum a c quadruplum est ad idem quadratum ut ostensum est, erit ex prima parte 10 quinti quadratum a c maius quadrato b e ideoque linea a c maior linea b e ideoque a m multo maior b e. Manifestum vero est ex 9 huius quod si linea a m divisa fuerit secundum proportionem habentem medium duoque extrema, erit maior portio eius linea k m que est equalis m n. At cum b e dividitur secundum eandem proportionem videlicet habentem medium duoque extrema, maior eius portio est linea p b. Cum itaque tota a m sit maior tota b e, erit m n que est equalis maiori portioni a m maior quam p b que est maior portio b e. Hoc autem manifestum est ex secunda 14 libri que sine auxilio alicuius earum que sequuntur firma demonstratione solidatur. Ergo per 19 primi a fortiori n b maior est quam p b. Quare patet latera horum 5 corporum premissorum fere eo ordine quo corpora se invicem sequuntur se invicem excedere. In cubo enim dumtaxat et octocedro habet hic instantias. Nam latus octocedri excedit latus cubi quamvis cubus antecedat octocedrum. Cubum autem premittunt idcirco octocedro, quod eadem divisione diametri assignate spere latus piramidis 4 bases triangulas habentis et latus cubi invenitur. Est igitur a e latus piramidis maius lateribus ceterorum corporum, post ipsum autem est f b latus octocedri maius sequentium corporum lateribus. Tertio ordine sequitur in magnitudine e b latus cubi. Quarto vero loco est n b latus ycocedron. Minimum autem omnium est p b latus duodecedri.