Omnium duarum superficierum similium multiangularum inter duos circulos descriptarum est proportio alterius ad alteram tamquam proportio quadratorum que ex diametris circulorum eas circumscribentium proveniunt etcetera.

Sint duo circuli a b c, d e f quibus inscribantur due quelibet figure poligonie que ponantur ad invicem similes. Sintque nunc pentagone inscripte ut docet 11 quarti et ipse sint a b g h k, d e l m n, diametri quoque circulorum sint a c et d f. Dico itaque quod proportio pentagoni a b g h k ad pentagonum d e l m n est sicut quadrati diametri a c ad quadratum diametri d f. Protrahantur enim in utroque circulo due linee ab extremitate diametri ad extremitatem unius lateris pentagoni diametro non conterminalis se invicem cancellantes infra ipsum pentagonum. In hoc quidem a g et c b, in illo autem d l et f e. Eritque ex 6 sexti triangulus a b g equiangulus triangulo d e l. Nam cum pentagoni ponantur ad invicem similes, erit ex diffinitione similium superficierum angulus a b g equalis angulo d e l et latera ipsos continentia proportionalia videlicet proportio a b ad d e sicut b g ad e l. Cum sint autem ex 20 tertii duo anguli a c b et a g b sibi invicem equales itemque duo alii d f e et d l e sibi invicem equales, erunt duo qui sunt c et f ad invicem equales ex hac communi scientia: que equalibus sunt equalia, sibi quoque equa esse necesse est. Et quia ex prima parte 30 tertii uterque duorum angulorum a b c, d e f est rectus, sequitur ex 32 primi duos triangulos a b c, d e f esse equiangulos. Quare per 4 sexti proportio diametri a c ad diametrum d f est sicut lateris a b ad latus d e. Cum itaque ex secunda parte [f.124r] 18 sexti proportio duorum pentagonorum sit sicut proportio lateris a b ad latus d e proportio duplicata et per eandem proportio quadrati diametri a c ad quadratum diametri d f sit sicut diametri a c ad diametrum d f duplicata per hanc communem scientiam: quorum dimidia sunt equalia, ipsa quoque ad invicem esse equalia, manifestum est quod propositum est.

Omnium duorum circulorum est proportio alterius ad alterum tamquam proportio quadrati sue diametri ad quadratum diametri alterius.

Sint duo circuli a b et c d quorum diametri quoque dicantur a b et c d. Dico itaque quod proportio circuli a b ad circulum c d est sicut quadrati diametri a b ad quadratum diametri c d. Manifestum enim est ex hac communi scientia: quanta est quelibet magnitudo ad aliquam secundam tantam necesse est esse quamlibet tertiam ad aliquam quartam, quod proportio quadrati diametri a b ad quadratum diametri c d est sicut circuli a b ad superficiem aliquam que sit e cuiuscumque figure aut forme ponatur. Hanc autem impossibile est maiorem esse aut minorem circulo c d. Si enim possibile est ipsam esse minorem circulo c d, sit itaque minor in superficie f ita quod circulus c d sit equalis duabus superficiebus e et f pariter acceptis. Constat igitur ex 1 decimi quod totiens possit ex circulo c d suisque residuis subtrahi maius dimidio quousque relinquatur quantitas aliqua minor f. Inscribatur ergo sibi ut docet 6 quarti quadratum c g d h de quo constat quod ipsum sit maius medietate circuli. Quadratum enim quod est duplum ad ipsum est circulum circumscribens ut patet ex penultima primi et 7 quarti. Si igitur portiones circuli existentes super latera quadrati pariter accepte fuerint minus superficie f, sufficit. Sin autem, quatuor arcus existentes super dicta latera per equalia dividantur et puncta dividentia ipsos arcus cum extremitatibus laterum continentur per lineas rectas. Verbi gratia: Arcus c g dividatur per equalia in puncto k et protrahantur linee k c, k g sicque de ceteris. Eritque quilibet triangulorum descriptorum super latera quadrati maior medietate portionis in qua existit eo quod omnis triangulus ysocheles est medietas paralellogrami sue basis per 41 primi. Sint itaque portiones existentes super latera octogoni inscripti pariter accepte minus superficie f. Si enim nondum hoc esset, non cessarem dividere arcus (quorum latera ultime descripte figure sunt corde) per equalia et inscribere figuram equilateram duplo plurium laterum prime semper subtrahendo ab ipsis portionibus circuli maius dimidio quousque per 1 decimi portiones super latera alicuius talis figure circulo inscripte existentes pariter accepte erunt minus superficie f. Sint ergo nunc que dicte sunt eritque ex conceptione octogonum c d maius superficie e. In circulo igitur a b eadem via inscribatur simile octogonum quod dicatur a b sitque ex premissa proportio octogoni a b ad octogonum c d sicut quadrati diametri a b ad quadratum diametri c d, ideoque per 11 quinti sicut proportio circuli a b ad superficiem e. Itaque permutatim poligonii a b ad circulum a b sicut poligonii c d ad superficiem e. Cumque sit poligonium c d maius superficie e, erit poligonium a b maius circulo a b. Hoc autem impossibile. Non est ergo superficies e minor circulo c d. Sed nec maior. Esto enim si possibile sit. Cum igitur sit proportio quadrati diametri a b ad quadratum [f.124v] diametri c d sicut circuli a b ad superficiem e, erit econverso quadrati diametri c d ad quadratum diametri a b sicut superficiei e ad circulum a b. Et constat ex communi scientia in principio huius demonstrationis posita quod eadem est circuli c d ad aliquam superficiem que sit f eritque ex 14 quinti superficies f minor circulo a b. Itaque proportio quadrati diametri c d ad quadratum diametri a b erit sicut circuli c d ad superficiem f minorem circulo a b. Sed ex hoc demonstravimus paulo ante sequi impossibile videlicet poligonium inscriptum circulo maius esse circulo sicut ergo superficies e non potest esse minor circulo c d ita nec maior, erit ergo necessario equalis. Quare per secundam partem 7 quinti liquet quod propositum est. Et talia sunt multa etcetera.

Omnis piramis, cuius basis triangula, dividi potest in duas equas piramides sibi invicem totique piramidi similes et in duo corpora serratilia equalia, que ambo pariter accepta dimidio totius piramidis necesse est esse maiora.

Sit piramis a b c d super basim triangulam b c d eiusque vertex solidus angulus a a quo dimittantur tres ypothenuse a b, a c, a d ad tres angulos basis et dividantur omnia latera basis per equalia in tribus punctis e, f, g. Tres quoque ypothenuse per equalia in tribus punctis h, k, l et protrahantur in basi due linee e f et e g. Eritque basis eius divisa in tres superficies quarum due duo sunt trianguli b e f, e g d quos ex secunda parte secunde sexti et diffinitione similium superficierum constat esse similes sibi invicem et toti basi et equales ad invicem ex 8 primi, tertia est tetragona paralellograma et ipsa est e f g c quam constat esse duplam ad triangulum e g d ex 40 et 41 primi. Dimittantur ergo rursus a puncto h due ypothenuse h e et h f, a puncto k ypothenusa k g et protrahantur linee h k, k l et l h. Divisa est itaque tota piramis a b c d in duas piramides que sunt h b e f, a h k l et duo serratilia quorum unum est e h f g k c et est super basim quadrangulam c f g e et aliud est e g d h k l et est super basim triangulam e g d. De duabus autem piramidibus h b e f, a h k l quod ipse sunt equales ad invicem sibique et toti piramidi a b c d similes constat ex diffinitione corporum equalium et similium et 10 undecimi libri et secunda parte 2 sexti. De duobus autem serratilibus quod sint equalia, constat ex ultima undecimi libri. Quod autem duo serratilia pariter accepta sint maius medietate totius piramidis, ex hoc manifestum est quod utrumque illorum divisibile est in duas piramides quarum altera triangula equalis uni duarum in quas et serratilia totalis piramis dividitur, altera quadrangula que dupla est ad reliquam quare patet ambo serratilia pariter accepta tres quartas esse piramidis totalis divise. Hanc proportionem si scire desideras, sextam huius duodecimi libri consule. [f.125r] Sed sufficit tibi scire (quantum ad propositum) illa duo serratilia pariter accepta duas partiales piramides in quas et serratilia totalis dividitur pariter acceptas quantalibet quantitate excedere.

Si due piramides eque alte, quarum bases triangule, singule in binas piramides equales sibi invicem ac toti similes binaque serratilia equalia dividantur, erit proportio basis unius ad basim alterius tamquam proportio duorum serratilium suorum ad duo serratilia alterius. Eritque palam omnia serratilia que fuerint in utralibet illarum piramidum pariter accepta ad cuncta serratilia que in altera piramide fuerint, eandem habere proportionem quam basis eius piramidis ad basim alterius etcetera.

Sint due piramides, quarum bases triangule, eque alte: Hec quidem a b c d cuius conus punctus a, basis triangulus b c d, ypothenuse a b, a c, a d. Illa vero e f g h cuius conus punctus e, basis triangulus f g h, ypothenuse e f, e g, e h. Hee due piramides dividantur sicut in premissa. Sintque bases earum divise: Hec quidem protractis lineis latera basis ipsius per equalia dividentibus que sint k l et k m, illa vero protractis lineis que sint n p et n q. Dico ergo quod proportio basis b c d ad basim f g h est sicut duorum serratilium piramidis a pariter acceptorum ad duo serratilia piramidis e pariter accepta. Manifestum est autem ex 18 sexti secunda parte quod proportio trianguli b c d ad triangulum k m d est sicut linee b d ad lineam k d duplicata. Per eandem quoque est proportio trianguli f g h ad triangulum n q h sicut linee f h ad lineam n h duplicata. Cumque sit linea b d ad lineam k d sicut linea f h ad lineam n h (utrobique enim est dupla proportio) erit triangulus b c d ad triangulum k m d sicut triangulus f g h ad triangulum n q h. Et permutatim triangulus b c d ad triangulum f g h sicut triangulus k m d ad triangulum n q h. Triangulus autem k m d ad triangulum n q h est sicut serratile existens super ipsum ad serratile existens super illum per 33 undecimi. Huius quoque serratilis ad illud est sicut amborum serratilium piramidis a pariter acceptorum ad ambo serratilia piramidis e pariter accepta ex 15 quinti. Necesse est enim ut sit duplum ad duplum quemadmodum simplum ad simplum. Itaque conclude ex 11 quinti quod propositum est.

Dormitas autem si dubitas serratilia [f.125v] unius harum piramidum eque alta esse serratilibus piramidis alterius. Cum sint piramides eque alte, sit quoque utraque harum divisa in duas piramides equales sibi totique similes et in duo serratilia equalia et sint due partiales piramides eque alte eo quod similes et equales (quod facile patebit demissis a verticibus partialium piramidum perpendicularibus ad bases ipsarum, de quibus perpendicularibus ex 37 undecimi constat esse equales). Cumque altitudines ambarum partialium piramidum pariter accepte componant altitudinem totalis piramidis divise sintque ambo serratilia eque alta uni partialium piramidum ei videlicet que super partialem triangulum basis totalis piramidis componitur, non est fas ambigere serratilia unius istarum piramidum esse eque alta serratilibus alterius earum.

Corollarium vero ex eo manifestum est quod similiter bases partialium piramidum sic se habent ad invicem sicut bina serratilia unius ad bina serratilia alterius. Et quia bases partialium sic se habent ad invicem sicut bases totalium ex secunda parte 18 sexti et permutata proportione constat ex 13 quinti verum esse quod corollario proponitur etcetera.

Omnes due piramides eque alte, quarum bases triangule, suis basibus sunt proportionales.

Quod 33 undecimi proposuit de solidis paralellogramis et in fine 36 undecimi verum esse demonstravimus de serratilibus, hec 5 duodecimi proponit de piramidibus triangulis. Intelligantur enim due piramides eque alte quarum bases sint duo trigoni a et b. Dico quod proportio piramidis a ad piramidem b est sicut basis a ad basim b, quod eodem argumentationis genere demonstrandum est quo secundam huius demonstravimus. Sit enim ut basis a ad basim b ita piramis a ad corpus c de quo dico quod ipsum non erit minus neque maius piramide b. Nam si possibile est ut sit minus, esto minus in solido d ut piramis b sit equalis duobus corporibus c et d pariter acceptis. Divisa itaque piramide b ut proponit 3 huius detrahantur ab ea duo serratilia que ex premissa sunt maius medietate ipsius piramidis. Item ex utraque duarum partialium residuarum piramidum duo earum predicto modo divisarum serratilia demantur et fiat hoc totiens quousque ex piramide b cogatur adversarius per 1 decimi confiteri relinqui minus solido d eruntque ex communi scientia serratilia detracta maius c. Fiat igitur a piramide a similis serratilium detractio et intelligantur tot serratilia detracta esse ex piramide a quot detraxerimus de piramide b eritque ex corollario premisse sicut basis a ad basim b ita serratilia detracta a piramide a ad serratilia detracta a piramide b. Sed sic erat piramis a ad corpus c itaque serratilia piramidis a ad serratilia piramidis b sicut piramis a ad corpus c et permutatim serratilia piramidis a ad piramidem a sicut serratilia piramidis b ad corpus c. Cumque sint serratilia piramidis b maius corpore c, erunt serratilia piramidis a maius piramide a. Et quia hoc est impossibile, non erit corpus c minus piramide b. Sic nec maius. Hoc enim posito cum sit proportio basis a ad basim b sicut piramidis a ad corpus c, erit econverso basis b ad basim a sicut corporis c ad piramidem a. Eademque erit ex communi scientia piramidis b ad aliquod corpus quod sit d sequeturque ex 14 quinti quod corpus d [f.126r] sit minus piramide a eo quod piramis b ponitur minor corpore c. Erit igitur basis b ad basim a sicut piramis b ad corpus minus piramide a. Ex hoc autem demonstratum est sequi impossibile videlicet serratilia detracta ab aliqua piramide maius esse ea piramide a qua detrahuntur. Ideoque relinquitur corpus c esse equale piramidi b, cum nec minus ea possit esse nec maius, et proportionem piramidis a ad piramidem b esse sicut basis a ad basim b. Hoc autem erat demonstrandum etcetera.

Omne corpus serratile in tres piramides equales basesque triangulas habentes est divisibile.

Sit serratile a b c d e f, ipsum dico esse divisibile in tres piramides triangulas equales. Protrahatur enim in unaquaque trium superficierum paralellogramarum linea diagonalis ita quod una harum diagonalium sit conterminalis reliquis duabus ut si protrahas lineas b d, b f, f a quas propter confusionem protrahere contempsi eritque totum serratile in tres piramides triangulas divisum quas ex premissa bis assumpta facile constat esse equales.

. Quoniam autem Euclides nihil demonstrandum proponit de piramidibus lateratis exceptis solis hiis quarum sunt bases triangule ut omnium cognitionem ex elementis, que ponit, sufficienter elicere possimus, quedam arbitramur non inutile demonstrationibus hic positis adiungere. Solis enim elementis contentus Euclides multa ex eis pretermittit que quamvis ex eis consequantur, non tamen sine difficultate patent studentibus. Horum primum est hoc:

Si duo solida (quorum alterum serratile, alterum piramis cuius basis triangula) super eandem basim aut super equales trigonas aut serratile super quadrangulam, piramis autem super trigonam que quadrangule basis serratilis sit dimidium constituta fuerint eque alta, serratile piramidi triplum esse conveniet.

Si serratile propositum fuerit super basim trigonam, tunc ex piramide proposita super basim propriam perficiatur serratile piramidi proposite eque altum. Si vero serratile fuerit super basim quadrangulam, tunc basi piramidis adiiciatur triangulus ex quo et basi piramidis perficiatur superficies equidistantium laterum super quam ex ipsa piramide compleatur serratile piramidi eque altum. Quia igitur istud serratile serratili priori est eque altum et utrorumque bases sunt equales [f.126v] ex ypothesi, sequitur ipsa esse equalia. Hoc enim demonstratum est in 36 undecimi. At quoniam ex 6 huius duodecimi libri serratile secundum triplum est ad piramidem propositam, nam ipsa est una ex tribus piramidibus in quas ipsum serratile dividitur, erit quoque per communem scientiam propositum serratile triplum ad propositam piramidem. Quod est propositum etcetera.

Si quotlibet piramides quarum bases triangule super unam eandemque basim sive super equales constitute fuerint eque alte, eas esse ad invicem equales necesse est.

Fabricato enim uno serratili eque alto piramidibus propositis super basim triangulam equalem basibus propositarum piramidum aut super basim quadrangulam duplam basibus earundem, erit ipsum serratile triplum ad singulas piramides. Hoc enim constat ex premissa addita. Igitur ex communi scientia cuncte proposite piramides sunt ut diximus ad invicem equales.

Omnes piramides, quarum bases triangule, eque alte suis basibus sunt proportionales.

Fiant super bases propositarum piramidum aut super alias trigonas equales aut super paralellogramas duplas serratilia ipsis piramidibus eque alta eruntque ob hoc serratilia sibi ad invicem eque alta. Et quia serratilia suis basibus sunt proportionalia ut probatum est in 36 undecimi 33 ipsius mediante cumque ex prima harum additarum manifestum sit hec serratilia tripla esse ad propositas piramides unumquodque videlicet ad suam relativam basesque ipsorum equales aut duplas esse basibus ipsarum, sit autem ex 15 quinti ut triplum ad triplum ita simplum ad simplum, erunt quoque proposite piramides suis basibus proportionales.

Si fuerint due quelibet piramides eque alte fueritque alterius basis trigona, relique autem tetragona aut plurilatera, piramides suis basibus proportionales esse conveniet.

Exempli gratia: Intelligantur due piramides eque alte super duas bases a et b. Sitque basis a triangula, b vero pentagona. Et dicantur hee piramides a et b. Dico itaque proportionem piramidum a et b esse sicut basium a et b. Distinguatur quidem pentagonus b in tres triangulos c, d, e eritque tota piramis b distincta in tres piramides eque altas quarum bases sunt trianguli c, d, e que etiam dicantur nominibus suarum basium. Quia igitur ex premissa interposita proportio piramidis c ad piramidem a est sicut trigoni c ad trigonum a et piramidis d ad piramidem a sicut trigoni d ad trigonum a [f.127r] itemque piramidis e ad piramidem a sicut trigoni e ad trigonum a, sequitur ex 24 quinti bis assumpta quod sit proportio aggregati ex omnibus piramidibus c, d, e (et ipsum est piramis b) ad piramidem a sicut aggregati ex omnibus trigonis c, d, e (et ipsum est pentagonus b) ad trigonum a. Constat igitur quod volumus.

Omnes laterate piramides eque alte suis basibus proportionales esse probantur.

Si altera earum fuerit super basim trigonam, ex premissa interposita constat quod dicitur. Si autem basis utriusque fuerit poligonia, utralibet ipsarum basium resoluta in triangulos et ipsa piramide in piramides triangulas, erit ex premissa interposita proportio uniuscuiusque earum triangularum piramidum in quas altera propositarum dividitur ad reliquam sicut sue basis ad basim alterius. Itaque per 24 quinti, quotiens oportet assumptam, constat verum esse quod diximus etcetera.

Si due piramides triangularum basium fuerint equales, earum bases earundem altitudinibus mutue erunt. Si vero bases et altitudines fuerint mutue, easdem piramides sibi invicem equales esse necesse est.

Quod 34 et 35 undecimi proposuerunt de solidis paralellogramis et nos in 36 eiusdem demonstravimus de serratilibus, hec 7 duodecimi proponit de piramidibus habentibus bases triangulas. Intelligantur enim due piramides equales super duos trigonos a et b que dicantur a et b. Dico itaque quod proportio basis a ad basim b est sicut proportio altitudinis piramidis b ad altitudinem piramidis a. Et si hoc fuerit, dico piramides a et b esse equales. Adhibeantur quidem duobus trigonis a et b alii duo qui sint c et d ut fiant ambe superficies a c et b d equidistantium laterum et ex ipsis piramidibus super bases a c et b d compleantur solida paralellograma piramidibus propositis eque alta que similiter dicantur a c et b d. Manifestum igitur est ex 6 huius duodecimi quod piramis a est sexta pars solidi a c et piramis b sexta solidi b d. Itaque ex 35 undecimi argue propositum: Primam quidem partem ex prima, secundam autem ex secunda.

.

Quod si due quelibet piramides laterate fuerint equales, earum bases earundem altitudinibus mutue erunt. Si vero bases earum altitudinibus ipsarum mutue fuerint, easdem piramides equales esse oportet.

Si bases utrarumque fuerint triangule, [f.127v] demonstratum est verum esse quod diximus. Si altera tantum, sit igitur a basisque alterius piramidis sit b et sumatur trigonus c equalis poligonio b fiatque super c piramis eque alta piramidi que est super b et sint a, b, c equivoca nomina piramidum et basium. Quia igitur ex ypothesi due piramides a et b sunt equales et ex ultima additarum ad 6 huius due quoque piramides b, c sunt equales, erunt ex communi scientia due piramides a et c equales, igitur bases earum sunt mutue ad altitudines ipsarum ex prima parte 7 huius. Cumque bases b et c sint equales, altitudines quoque piramidum b et c equales, erunt ex prima parte et secunda 7 quinti bases a et b mutue altitudinibus piramidum a et b. Secunda pars converso modo probatur. Nam si fuerit basis a ad basim b ut altitudo piramidis b ad altitudinem piramidis a, erit ex secunda parte et prima 7 quinti basis a ad basim c sicut altitudo piramidis c ad altitudinem piramidis a.Itaque ex secunda parte huius 7 due piramides a et c sunt equales, quare per communem scientiam due quoque piramides a et b sunt equales.

Si vero neutra basium propositarum piramidum fuerit trigona, sed utraque poligonia (verbi gratia altera pentagona, altera exagona) que adhuc dicantur a et b. Sumatur similiter triangulus c equalis exagono b super quem fiat piramis eque alta piramidi b eruntque due piramides b et c equales.Ideoque due que sunt a, c etiam per conceptionem equales, quare basis a ad basim c sicut altitudo piramidis c ad altitudinem piramidis a. Hoc enim nuper demonstratum est. Est igitur ex 7 quinti basis a ad basim b sicut altitudo piramidis b ad altitudinem piramidis a. Conversa converso modo constat. Si enim basis a ad basim b fuerit ut altitudo piramidis b ad altitudinem piramidis a, erit quoque ex 7 quinti basis a ad basim c ut altitudo piramidis c ad altitudinem piramidis a. Ideoque (ut patet ex prioribus) erunt due piramides a et c equales, quare etiam ex communi scientia et due que sunt a et b erunt etiam equales etcetera.

Omnium duarum piramidum similium, quarum bases triangule, est proportio alterius ad alteram tamquam lateris ad latus eius relativum proportio triplicata.

Propositis duabus piramidibus bases triangulas habentibus similibus ex ipsis perfice duo solida paralellograma quemadmodum dictum est in demonstratione premisse eruntque hec duo solida paralellograma similia eo quod piramides ponuntur similes ad invicem. Nam duo solidi anguli qui sunt communes piramidibus et solidis paralellogramis superficialibus angulis numero et quantitate equalibus continentur et latera quoque illos superficiales angulos continentia sunt proportionalia. Quare per 34 primi tres superficies solidorum paralellogramorum communes angulos solidos constituentes sunt equiangule et laterum proportionalium ideoque similes ex diffinitione superficierum similium, quare per 24 undecimi cuncte 6 superficies horum duorum solidorum paralellogramorum sunt ad invicem similes. Igitur a diffinitione corporum similium erunt ipsa solida paralellograma similia. Quare cum proportio solidorum et piramidum sit una ex 15 quinti (nam solida sunt sexcupla piramidibus ex 6 huius) cumque sit proportio solidorum sicut suorum relativorum laterum triplicata ex 36 undecimi libri, sunt autem latera solidorum eadem que latera piramidum, erit quoque ex 11 quinti proportio positarum piramidum sicut suorum relativorum laterum triplicata. Quod est propositum.

.

Quod si fuerint due piramides laterate [f.128r] similes, erit proportio alterius ad alteram sicut sui lateris ad sibi relativum latus alterius proportio triplicata.

Sint due laterate piramides quarum coni a et b similes sintque super bases pentagonas que sunt c d e f g, h k l m n. Dico quod proportio earum est sicut suorum relativorum laterum triplicata. Constat enim ex diffinitione similium superficierum et corporum quod pentagoni qui sunt bases propositarum piramidum sibi invicem cunctique relativi trianguli ipsas ambientes sibi invicem sunt similes. Dividantur itaque bases ambarum in triangulos similes et numero equales prout 18 sexti proponit esse possibile. Protractis in hac quidem lineis c e et c f, in illa vero h l et h m dico igitur istas piramides esse divisas in piramides triangulas similes et numero equales. Conferantur enim ad invicem due piramides a c d e, b h k l quarum coni sunt a et b. Constat autem ex ypothesi triangulum c a d esse similem triangulo h b k et triangulum d a e triangulo k b l. Et quia etiam ex ypothesi angulus d est equalis angulo k et latera c d et d e continentia angulum d sunt proportionalia lateribus h k et k l continentibus angulum k, erunt ex 6 sexti duo trianguli c d e et h k l equianguli. Ideoque per 4 sexti erit proportio c d ad h k sicut c e ad h l. Cumque ex ypothesi sit proportio c a ad h b et etiam a e ad b l sicut c d ad h k, eritque ex 11 quinti c a ad h b et a e ad b l sicut c e ad h l. Igitur ex 5 sexti et diffinitione similium superficierum triangulus c a e erit similis triangulo h b l. Manifestum est itaque ex diffinitione similium corporum quod piramis a c d e est similis piramidi b h k l. Similiter quoque constat piramidem a c e f esse similem piramidi b h l m et piramidem a c f g piramidi b h m n. Quia ergo ex hac 8 proportio piramidis a c d e ad piramidem b h k l est sicut lateris c d ad latus h k triplicata et piramidis a c e f ad piramidem b h l m sicut e f ad l m triplicata, ac etiam piramidis a c f g ad piramidem b h m n sicut c g ad h n triplicata, cum sit ex ypothesi proportio e f ad l m et c g ad h n sicut c d ad h k, sequitur ex 13 quinti ut proportio totalium piramidum a et b sit sicut unius harum partialium ad aliam unam. Igitur ex hac 8 et 11 quinti constat verum esse quod diximus.

Omnes columne laterate eque alte suis basibus sunt proportionales.

Verum est quod dicitur: Super qualescumque bases poligonias sint columne. Columnas autem lateratas vocamus solida laterata quorum bases et superficies supreme sunt similes et equales, cuncte vero relique superficies ipsa solida circumstantes sunt equidistantium laterum. Talium autem solidorum prima species est serratile cum super unam suarum trilaterarum superficierum intelligitur esse statutum. Secunda vero species est columna cuius basis sit quadrilatera quam ex duobus serratilibus necesse est esse compositam. Et tertia est cuius basis est pentagona et ipsa ex tribus serratilibus perficitur. Simpliciter autem dico quod omnis laterata columna in tot corpora serratilia potest distingui in quot triangulos sua basis. Intelligantur itaque due columne laterate a et b constitute super duas bases a et b eque alte. Dico quod proportio columnarum a et b est sicut basium a et b. Distinguantur namque hee bases in triangulos et hee columne in serratilia, basis quidem a que ponatur esse quadrangula in duos trigonos c et d et columna a in duo serratilia c et d, basis vero b que sit pentagona distinguatur in tres trigonos [f.128v] e, f, g et columna b in tria serratilia que similiter vocentur e, f, g. Manifestum est igitur ex hiis que in 36 undecimi dicta sunt quod proportio serratilis c ad serratile e est sicut basis c ad basim e et iterum serratilis d ad serratile e sicut basis d ad basim e. Quare per 24 quinti erit columne a ad serratile e sicut basis a ad basim e. Eadem ratione erit columne a ad serratile f sicut basis a ad basim f. At rursus columne a ad serratile g sicut basis a ad basim g. Igitur ex 24 quinti quotiens necesse fuerit assumpta facile concludes propositum. Constat itaque ex hoc quod:

Omnes columne laterate super eandem basim, vel super equales constitute si fuerint eque alte, erunt equales.

Cum enim (ut proximo probatum est) eque alte columne laterate sint suis basibus proportionales, ponantur autem bases esse aut easdem aut equales, necesse est ex 24 quinti ut etiam columne sint equales. Constat quoque quod:

Si fuerint quelibet solida paralellograma, serratilia et laterate columne eque alta, ipsa quoque suis basibus proportionalia necessario esse comprobantur.

Omnia enim hee species sunt lateratarum columnarum de quibus paulo ante universaliter probatum est esse verum quod dicitur in istis verbis etcetera.

Omnis laterata columna tripla est ad suam piramidem.

Distinguatur basis columne in triangulos et secundum numerum illorum triangulorum distinguatur columna in serratilia et piramis columne in piramides habentes bases triangulas que videlicet sunt bases serratilium. Constat itaque unumquodque serratile ad eam piramidem que super eandem basim cum ipso serratili existit triplum esse. Hoc enim demonstratum est in sexta huius duodecimi libri. Igitur ex 13 quinti omnia serratilia pariter accepta ad omnes piramides pariter acceptas necesse est esse triplum. Cumque ex omnibus serratilibus pariter acceptis columna et ex omnibus piramidibus pariter acceptis piramis columne perficiantur, constat veram esse hanc nostram propositionem.

Si fuerint due quelibet columne laterate equales, earum bases earundem altitudinibus mutue erunt. Si vero bases [f.129r] earum et altitudines mutue fuerint, easdem columnas equales esse necesse est.

Si enim columne sint equales, earum piramides erunt equales eo quod omnis laterata columna est tripla ad suam piramidem. Si autem fuerint piramides equales, sue bases suis altitudinibus mutue erunt quemadmodum demonstratum est in 7 huius. Quia igitur columnarum suarumque piramidum eedem sunt bases et eedem altitudines, constat prima pars propositi.

Sint igitur bases et altitudines propositarum columnarum lateratarum mutue, dico quod columne erunt equales. Cum enim eedem sint bases eedemque altitudines columnarum suarumque piramidum, erunt bases et altitudines piramidum propositarum columnarum mutue. Si hoc, ut positum est, verum fuerit de columnis, erunt itaque piramides equales prout in 7 huius demonstratum est. Igitur et columne equales cum ipse triple sint ad suas piramides. Quare patet secunda pars eius quod propositum est etcetera.

Omnium duarum columnarum lateratarum similium est proportio alterius ad alteram tamquam lateris ad suum relativum latus proportio triplicata etcetera.

Si columne fuerint similes, erunt ex diffinitione similium corporum bases earum cetereque eas superficies ambientes similes. Dividantur itaque bases earum in triangulos similes et numero equales quemadmodum 18 sexti proponit esse possibile. Et ipse columne dividantur in serratilia super hos triangulos consistentia. Stude igitur probare serratilia unius suis relativis serratilibus alterius esse similia. Quod facile probabis ex ypothesi et 6 et 4 et 5 sexti et diffinitione similium superficierum et diffinitione similium corporum. Hoc autem probato erit per 36 undecimi proportio uniuscuiusque serratilis unius ad suum relativum serratile alterius sicut sui lateris ad latus illius proportio triplicata. Et quia omnium laterum est proportio una cum cuncta serratilia unius sint similia suis relativis serratilibus alterius, sequitur ex 11 quinti ut cunctorum serratilium unius ad sua relativa serratilia alterius sit proportio una. Quare per 13 quinti que est proportio unius serratilis ad suum serratile relativum alterius eadem est omnium pariter acceptorum ad omnia pariter accepta. Et quia utrobique omnia serratilia pariter accepta componunt columnas et relativa latera serratilium sunt relativa latera columnarum, necesse est ex 11 quinti ut proportio columnarum sit sicut suorum relativorum laterum proportio triplicata. Quod est propositum.

Omnis columna rotunda piramidi sue triplex esse probatur etcetera.

Supra circulum a intelligantur una columna et una piramis secundum eandem altitudinem erecte dicanturque equivoce ipse circulus et columna et piramis nomine a. Dico itaque quod columna a est tripla ad piramidem a. [f.129v] Cuius probatio est: Quoniam neque maior ponitur esse neque minor quam tripla. Sit enim primum (si possibile est) maior quam tripla quantitate corporis b ita quod si b corpus dematur de columna a, erit residuum eius triplum ad piramidem a. Inscribatur ergo quadratum circulo a super quod erigantur duo serratilia eque alta columne a de quibus duobus serratilibus pariter acceptis constat quod ipsa sunt plus medietate columne a quemadmodum quadratum ipsum constat esse plus medietate circuli a. Si enim ex ipsis serratilibus perficias solida paralellograma quorum ipsa sint medietates, erit ipsa columna pars horum duorum solidorum pariter acceptorum. Deinde super latera quadrati inscripti perfice quatuor triangulos duum equalium laterum in portionibus circuli quarum portionum latera quadrati sunt corde divisis arcubus illarum portionum per equalia et sint illi trianguli c, d, e, f super quos etiam erige serratilia ad altitudinem columne a. Et manifestum est quod hec serratilia sunt maius medietate portionum columne super portiones circuli consistentium quemadmodum et ipsi trianguli sunt maius medietate portionum circuli. Fiat autem hoc totiens quousque per primam decimi cogatur adversarius confiteri portiones columne pariter acceptas esse minus corpore b. Erit igitur laterata columna quam componunt omnia serratilia pariter accepta quorum bases sunt trianguli dividentes poligonium inscriptum circulo a maius triplo piramide a. Et quia ipsa laterata columna est tripla ad suam piramidem sicut demonstratum est in hiis que premissa sunt, sequitur ex secunda parte 10 quinti libri ut rotunda piramis a sit minor laterata piramide laterate columne cuius basis est poligonium inscriptum basi rotunde piramidis a. Quod est impossibile. Est enim piramis laterata pars ipsius piramidis rotunde. Non est igitur piramis a minus tertia parte sue columne. Sed nec plus tertia. Si enim possibile est, sit piramis a plus tertia parte columne a quantitate corporis b ita quod detracto corpore b de piramide a sit residuum ipsius piramidis tertia pars columne a. Igitur quemadmodum prius ex piramide a intelligatur detrahi piramis laterata sibi eque alta cuius basis sit quadratum circulo a inscriptum quam lateratam piramidem constat plus esse dimidio piramidis rotunde. Item de residuo piramidis a rursus intelligantur detrahi piramides eque alte statute super triangulos c, d, e, f qui sunt in portionibus basis et hoc totiens fiat ut ex prima decimi relinquatur ex piramide a minus corpore b. Eritque piramis laterata inscripto poligonio superstans quam componunt laterate piramides ex rotunda piramide detracte maius tertia parte rotunde columne a. Et quia ut probatum est in precedentibus hec piramis laterata est tertia pars sue columne laterate, sequitur denuo ex secunda parte 10 quinti libri columnam rotundam a esse minorem columna laterata eiusdem altitudinis cuius basis est poligonium basi rotunde piramidis inscriptum. Hoc autem impossibile. Nam hec columna laterata pars est columne rotunde. Cum igitur columna rotunda non possit esse maius triplo sue piramidis neque minus, erit necessario tripla ad eam. Quod demonstrare volumus.

Omnium duarum rotundarum piramidum similium columnarumve rotundarum similium est proportio alterius ad alteram tamquam diametri sue basis ad diametrum basis alterius proportio triplicata.

Sint duo circuli a et b super quos statuantur due rotunde piramides similes dueque rotunde columne similes et dicantur [f.130r] circuli et piramides et columne et diametri circulorum hiis nominibus a et b equivoce. Dico itaque quod proportio duarum piramidum a et b duarumque columnarum a et b est sicut duarum diametrorum a et b proportio triplicata. Hoc autem si de piramidibus constiterit, de columnis quoque constabit ex 15 quinti cum omnis rotunda columna sit ex premissa tripla ad suam piramidem. De piramidibus autem constabit hoc demonstratione ducente ad impossibile. Est enim per communem scientiam positam in principio secunde demonstrationis huius duodecimi libri que proportio diametri a ad diametrum b triplicata, eadem piramidis a ad aliquod corpus. Illud igitur corpus sit c de quo dico quod ipsum non potest esse minus neque maius piramide b. Sit primo minus (si fuerit hoc possibile) quantitate corporis d ita quod duo corpora c et d pariter accepta sint quantum piramis b. Itaque quemadmodum in secunda parte premisse ex piramide b detrahatur laterata piramis sibi eque alta cuius basis sit quadratum inscriptum circulo b et ex residuo eius detrahantur piramides eiusdem altitudinis consistentes super trigonos portionum circuli b. Fiatque hoc totiens quousque cogente prima decimi sit residuum piramidis b minus corpore d. Eritque ex communi scientia laterata piramis detracta quam componunt partiales piramides detracte maius corpore c. Inscribatur itaque circulo a poligonium simile illi quod est basis laterate piramidis detracte a piramide b et ad angulos huius poligonii inscripti circulo a demitte lineas a cono piramidis a perficiens super illud poligonium lateratam piramidem eque altam rotunde piramidi a. Hanc igitur studeas demonstrare esse similem laterate piramidi detracte a rotunda piramide b. Quod hoc modo facies: In utraque piramide eriges axem ipsius qui erit ex diffinitione linea continuans verticem piramidis cum centro basis et erit perpendicularis ad basim. Dehinc a centris basium protrahes in utroque circulo semidiametros ad omnes angulos utriusque poligonii inscripti. Cumque ex diffinitione similium piramidum rotundarum sit proportio axis unius ad axem alterius sicut diametri basis unius ad diametrum basis alterius ideoque etiam ex 15 quinti et equa proportionalitate sicut semidiametri ad semidiametrum, sint autem utrobique omnes anguli quos axes cum semidiametris continent recti, necesse est ex 6 propositione sexti libri et 4 eiusdem et diffinitione similium superficierum et similium corporum diffinitione ut laterata piramis a sit similis laterate piramidi b. Quare per additam ad 8 huius proportio laterate piramidis a ad lateratam b est sicut lateris unius ad suum relativum latus alterius proportio triplicata. Ideoque etiam sicut diametri a ad diametrum b triplicata, igitur etiam sicut rotunde piramidis a ad corpus c ex 11 quinti, quare permutatim proportio laterate piramidis a ad rotundam piramidem a sicut laterate piramidis b ad corpus c. Et quia laterata piramis b maior est corpore c, erit laterata piramis a maior rotunda piramide a. Quod est impossibile, cum sit pars eius. Non est ergo corpus c minus rotunda piramide b. Restat itaque probandum quod nec maius. Si enim adversarius dicat ipsum maius, tunc arguatur ex conversa proportionalitate proportionem diametri b ad diametrum a triplicatam esse sicut corporis c ad rotundam piramidem a. Sed ex conceptione eadem est rotunde piramidis b ad aliud corpus quod sit d. Et quia ex ypothesi corpus c maius est rotunda piramide b, sequitur ex 14 quinti quod rotunda [f.130v] piramis a sit maior corpore d. Itaque proportio rotunde piramidis b ad corpus quod est minus rotunda piramide a videlicet ad d est sicut sue diametri b ad diametrum alterius proportio triplicata. Hoc autem est impossibile. Nam ex hoc demonstravimus sequi quod pars sit maior suo toto. Cum ergo corpus c non possit esse minus neque maius rotunda piramide b, erit necessario sibi equale. Ideoque ex secunda parte 7 quinti constat propositum.

. Non lateat autem nos huius demonstrationis processum ad eas dumtaxat columnas et piramides rotundas coartari quarum axes suis basibus perpendiculariter insistunt. Tales enim diffinite fuerunt in principio undecimi. Cum tamen passio hic demonstrata communiter conveniat omnibus columnis rotundis similibus piramidibusque rotundis similibus sive earum axes super bases suas fuerint orthogonaliter erecte sive super eas fuerint inclinate (et appellentur quidem differentie causa hee columne rotunde et piramides quarum basibus axes orthogonaliter superstant erecte, relique vero dicantur inclinate) et quia in principio undecimi non sunt diffinite columne aut piramides rotunde nisi ille tantum quas erectas vocamus, hee quidem per motum paralellogrami rectanguli, ille vero per motum trigoni rectanguli, idcirco conveniens arbitramur diffinire primo rotundas columnas et piramides diffinitionibus communiter et univoce convenientibus erectis et inclinatis columnis et piramidibus rotundis. Cum igitur extra superficiem alicuius circuli descripti punctus signatur qui cum circumferentia ipsius circuli per lineam rectam continuatur si linea ipsa signato puncto manente fixo descripto circulo quousque ad locum unde moveri inceperit circumducatur, corpus quod a curva superficie quam motu suo describit hec linea et ab ipso circulo cui circumducitur continetur, voco piramidem rotundam. Et circulum cui linea hec circumducitur voco basim ipsius piramidis. Fixum autem punctum extra circuli superficiem signatum nomino conum piramidis. Lineamque rectam continuantem centrum basis cum cono piramidis appello axem seu sagittam piramidis. Cumque hec sagitta fuerit perpendicularis ad basim, dico piramidem esse erectam. Cum vero inclinata, dico etiam piramidem inclinatam. Cum autem fuerint duo circuli equales descripti in superficiebus equidistantibus quos una plana superficies per eorum centra transiens secuerit fuerintque continuate per lineam rectam due relative sectiones duarum circumferentiarum ipsorum circulorum, si linea hec in circumferentiis ipsorum circulorum equidistanter situi a quo moveri inceperit quousque ad locum suum redeat circumducatur, corpus quod a curva superficie quam motu suo describit hec linea et a duobus propositis circulis continetur, voco columnam rotundam cuius axis sive sagitta est linea recta centra duorum circulorum continuans. Et cum hec sagitta fuerit perpendicularis ad superficiem utriusque duorum circulorum, dico columnam esse erectam. Cum vero fuerit super basim inclinata, dico columnam esse inclinatam. Cum fuerint due rotunde piramides aut columne (a quarum axibus egrediantur due superficies super bases earum orthogonaliter erecte) fuerintque anguli (quos axes et communes sectiones harum superficierum et basium continent) ad invicem equales et fuerit proportio axis unius ad axem alterius sicut semidiametri basis unius ad semidiametrum basis alterius, tunc illas duas piramides ad invicem aut illas duas columnas ad invicem dico esse similes. Hiis diffinitionibus positis demonstrandum est quod omnium duarum piramidum rotundarum similium columnarumve rotundarum similium sive erecte sive inclinate fuerint est proportio unius ad alteram sicut diametri basis unius ad diametrum basis alterius proportio triplicata. Quod de solis erectis demonstratum est. Ad hoc autem premittimus antecedens necessarium. [f.131r]

Si fuerint due piramides rotunde ad invicem similes utramque quarum due plane superficies super axem secent fueritque harum duarum superficierum altera in utraque piramide super basim eius orthogonaliter erecta et arcus basium inter illas duas superficies contenti similes, erunt anguli quos axes et due communes sectiones basium et earum superficierum que super bases non ponuntur orthogonaliter erecte continent ad invicem equales.

Sint due rotunde piramides a b et c d, quarum bases sunt circuli e f g et h k l et axes due linee a b et c d et diametri basium e g et h l, centra basium duo puncta b et d, coni piramidum a et c, similes ad invicem et ab earum conis ad superficies basium protrahantur ut docet 11 undecimi libri due perpendiculares a m et c n et continuentur puncta m et n cum centris basium protractis lineis b m et d n. Erit ex 18 undecimi superficies a b m, que egreditur ab axe a b, erecta super basim piramidis a b orthogonaliter. Eodem modo superficies c d n, que egreditur ab axe c d, erit erecta super basim piramidis c d orthogonaliter. Sint itaque duo arcus f g et k l similes et intelligantur due superficies a b f, c d k egredi ab axibus et secare piramides. Dico igitur duos angulos a b f, c d k esse ad invicem equales. Protrahantur enim due linee f m et k n. Quia igitur due piramides a b et c d sunt similes et due superficies a b m, c d n stantes orthogonaliter super bases egrediuntur ab earum axibus, erit ex diffinitione similium piramidum angulus a b m equalis angulo c d n. Quia ex diffinitione linee supra superficiem perpendiculariter erecte uterque duorum angulorum a m b, c n d est rectus, erunt ex 32 primi et 4 sexti duo trianguli a b m et c d n laterum proportionalium, ut proportio linee a b ad lineam c d sicut b m ad d n et sicut a m ad c n. Et quia ex diffinitione similium piramidum proportio axis a b ad axem c d est sicut semidiametri b f ad semidiametrum d k, erit ex 11 quinti proportio b f ad d k sicut b m ad d n. Cumque sint duo anguli f b m et k d n equales eo quod duo arcus f g et k l sunt similes ex ypothesi, erit ex 6 et 4 sexti proportio f m ad k n [f.131v] sicut b m ad d n ideoque sicut a m ad c n. Et quia iterum ex diffinitione linee super superficiem perpendiculariter erecte uterque duorum angulorum a m f, c n k est rectus, erit ex 6 et 4 sexti proportio a f ad c k sicut a m ad c n ideoque per 11 quinti sicut a b ad c d et sicut b f ad d k. Igitur ex 5 sexti duo anguli a b f et c d k sunt ad invicem equales. Quod est propositum. Idem probabis leviter de rotundis columnis similibus.

Hoc itaque demonstrato dico quod omnium duarum rotundarum piramidum similium quecumque fuerint sive erecte sive inclinate est proportio unius earum ad alteram sicut diametri sue basis ad diametrum basis alterius proportio triplicata.

Sint enim, ut prius, due rotunde piramides a et b quarum bases sint circuli a et b et horum circulorum diametri sint etiam a et b. Sitque proportio piramidis a ad corpus c sicut diametri a ad diametrum b proportio triplicata. Non erit igitur corpus c minus neque maius rotunda piramide b. Sit enim primo (si possibile est) minus quantitate corporis d ita quod duo corpora c et d pariter accepta sint quantum rotunda piramis b. Ab axe igitur piramidis b prodeat superficies que sit orthogonaliter erecta super circulum b sitque communis sectio huius superficiei et circuli b linea e f transiens per centrum b que erit diameter circuli b et protrahatur intra circulum b alia diameter secans hanc orthogonaliter que sit g h. Sicque inscribatur circulo b quadratum e g f h et a rotunda piramide b intelligatur detrahi laterata piramis cuius basis est quadratum circulo b inscriptum que (ut probatum est supra) maius erit dimidio rotunde piramidis. Et ex residuo eius detrahantur piramides eiusdem altitudinis consistentes super trigonos portionum circuli b. Fiatque hoc totiens quousque sit residuum rotunde piramidis b minus corpore d ex prima decimi. Eritque ex conceptione laterata piramis detracta quam componunt laterate partiales piramides detracte maius corpore c. Tunc ergo prodeat ab axe piramidis a superficies alia que sit orthogonaliter erecta super circulum a et sit communis sectio huius superficiei et circuli a linea k l que ob hoc erit diameter circuli a. Protrahatur autem in circulo a alia diameter secans hanc orthogonaliter que sit m n sicque inscribatur in circulo a quadratum k m l n et dividendo arcus portionum circuli a per equalia perficiatur in circulo a poligonium simile illi quod est inscriptum circulo b et ad singulos angulos huius poligonii demitte lineas rectas a cono piramidis a perficiens super illud poligonium lateratam piramidem eque altam piramidi a. Hanc autem lateratam piramidem probabis esse similem laterate piramidi detracte a rotunda piramide b. Quod hoc modo facies: produces axes cogitatione vel actu in utrisque piramidibus a et b et a centris basium protrahes lineas rectas ad omnes angulos inscriptorum poligoniorum. Eruntque ex premisso antecedente omnes anguli quos continet axis piramidis a cum singulis lineis ductis a centro circuli a ad angulos poligonii sibi inscripti equales suis relativis angulis quos continet axis piramidis b cum singulis lineis ductis a centro circuli b ad angulos poligonii sibi inscripti. Et quia ex diffinitione rotundarum piramidum similium proportio axis piramidis a ad axem piramidis b est sicut semidiametri circuli a ad semidiametrum circuli b, sequitur ex 6 et 4 sexti et diffinitionibus similium superficierum et similium corporum quod due laterate piramides a et b sint similes. Cetera argue sicut prius in 10. Constat itaque de omnibus rotundis [f.132r] piramidibus similibus quod proportio earum sit sicut diametrorum suarum basium triplicata. Et quia omnis columna rotunda tripla est ad suam piramidem (hoc enim sufficienter demonstratum est sive columne et sue piramides fuerint erecte sive inclinate) sequitur ex 15 quinti ut etiam quarumlibet columnarum rotundarum similium sit proportio sicut suarum diametrorum triplicata.

Omnes duas rotundas piramides sive columnas eque altas suis basibus proportionales esse necesse est.

Supra duos circulos a et b statuantur, ut prius, due rotunde piramides eque alte que dicuntur similiter a et b et due columne rotunde eque alte eisdem litteris ascripte a et b. Dico itaque quod proportio duarum piramidum a et b duarumque columnarum a et b est sicut duorum circulorum a et b. Quod de columnis manifestum erit, si hoc prius de piramidibus demonstretur. Omnis enim rotunda columna tripla est ad suam piramidem. De piramidibus autem constabit indirecta ratiocinatione hoc modo. Est enim ex communi scientia proportio rotunde piramidis a ad aliquod corpus sicut circuli a ad circulum b. Illud corpus sit c. Dico itaque quod corpus c non potest esse minus neque maius rotunda piramide b. Sit enim primo minus quantitate corporis d. Igitur circulo b inscribatur quadratum et detrahatur a rotunda piramide b piramis laterata cuius sit basis quadratum circulo b inscriptum et ex portionibus piramidibus detrahantur piramides super trigonos portionum circuli consistentes. Fiat quoque hoc totiens quousque sit ex piramide b residuum minus corpore d. Eritque laterata piramis detracta quam componunt partiales piramides detracte maior corpore c. Inscribatur ergo circulo a poligonium simile illi poligonio quod est basis laterate piramidis b et perficiatur super ipsum piramis laterata ductis lineis a vertice piramidis laterate a ad angulos poligonii inscripti. Eruntque due laterate piramides a et b eque alte. Hoc enim est positum de rotundis. Quare proportio laterate piramidis a ad lateratam piramidem b est sicut eius basis ad basim illius videlicet sicut poligonii a ad poligonium b. Hoc enim demonstratum est in 6 huius. At vero poligonii a ad poligonium b est sicut circuli a ad circulum b. Quod manifestum est ex prima et secunda huius. Itaque laterate piramidis a ad lateratam piramidem b sicut rotunde piramidis a ad corpus c, quare permutatim laterate piramidis a ad rotundam piramidem a sicut laterate piramidis b ad corpus c. Cumque sit laterata piramis b maior corpore c, sequitur lateratam piramidem a esse maiorem rotunda piramide a. Hoc autem impossibile, est enim pars eius. Non erit ergo corpus c minus rotunda piramide b. Si vero ponat adversarius quod sit maius, demonstrabimus rursus idem impossibile consequi. Erit enim per conversam proportionalitatem proportio corporis c ad rotundam piramidem a sicut circuli b ad circulum a, sit quoque eadem rotunde piramidis b ad aliquod corpus quod sit d.Cum igitur corpus c sit maius rotunda piramide b per ypothesim, erit ex 14 quinti rotunda piramis a maior corpore d. Itaque proportio circuli b ad circulum a erit sicut rotunde piramidis b ad corpus quoddam minus rotunda piramide a. Sed hoc demonstratum est prius esse impossibile. Sic enim sequitur quod pars sit maior suo toto. Non est igitur corpus c minus neque maius [f.132v] rotunda piramide b, sed tantum equale. Itaque ex secunda parte 7 quinti conclude propositum.

Ut autem facilius inconcussiusque demonstretur quod sequitur, est ad ipsam antecedens utile premittendum quod est:

Si superficies quedam rotundam columnam equidistanter basi eius secuerit, erunt duo partialia corpora que ad illam secantem superficiem terminantur portionibus axis columne proportionalia.

Simile est hoc ei quod proposuit 25 undecimi libri de solidis paralellogramis. Non solum verum est hoc de columnis rotundis, immo simpliciter de omnibus columnis sive laterate fuerint sive rotunde. Quod qui argumentationem prime sexti vel 25 undecimi firmiter tenuerit, facile poterit demonstrare, hic enim non aliter quam ibi ex diffinitione incontinue proportionalitatis posita in prohemio quinti libri arguendum est propositum. Attendere autem oportet quod quecumque superficies secat columnam equidistanter basi ipsius, secat etiam eam equidistanter superficiei basi eius opposite. Nam quecumque superficies uni superficiei sunt equidistantes, ipse quoque sunt equidistantes ad invicem ut ex hiis que dicta sunt ex 16 undecimi libri didicisti. Quare manifestum est quod omnes columne rotunde quarum sunt bases equales, suis altitudinibus sunt proportionales. Idem quoque de lateratis. Idem quoque de piramidibus rotundis sed etiam de lateratis quod de piramidibus constabit si prius de columnis probatur. Est enim omnis columna tripla ad suam piramidem, rotunda quidem ex 9 huius, laterata vero ex hiis que in 8 demonstrata sunt etcetera.

Si due rotunde piramides sive columne fuerint equales, sue bases et altitudines erunt mutue. Si vero sue bases et altitudines mutue fuerint, ipsas piramides sive columnas equales esse necesse est.

Altitudinem piramidum determinant linee a conis ad bases perpendiculariter descendentes, columnarum autem a supremis earum superficiebus ad bases. Sint itaque due rotunde piramides a b et c d equales dueque rotunde columne a b et c d equales, sintque communes bases tam piramidum quam columnarum duo circuli a et c, communes quoque altitudines tam piramidum quam columnarum determinate per lineas a b et c d. Dico quod proportio circuli c ad circulum a est sicut altitudinis a b ad altitudinem c d et econverso. Hoc autem si de columnis probatum fuerit, de piramidibus certum erit, quoniam omnis columna rotunda tripla est ad suam piramidem. Si itaque due altitudines a b et c d fuerint equales, ex premissa constat propositum. Si autem inequales, sit a b maior sumaturque a e equalis c d [f.133r] et secetur columna a b a superficie e equidistanter basi eius a eritque ex premisso antecedente columna a b ad columnam a e sicut altitudo a b ad altitudinem a e. Ideoque ex prima parte 7 quinti columna c d ad columnam a e sicut altitudo a b ad altitudinem a e. Quare per secundam partem 7 quinti sicut altitudo a b ad altitudinem c d, ex premissa autem est columna c d ad columnam a e sicut circulus c ad circulum a. Itaque per 11 quinti est altitudo a b ad altitudinem c d sicut basis c ad basim a. Constat igitur pars prima.

Secunda vero converso modo constabit eadem dispositione manente. Sit enim ut basis c ad basim a sicut altitudo a b ad altitudinem c d. Dico quod due columne a b et c d sunt equales. Erit enim ex secunda parte 7 quinti altitudo a b ad altitudinem a e sicut basis c ad basim a. Et quia ex premissa columna c d ad columnam a e est sicut basis c ad basim a et ex premisso antecedente columna a b ad columnam a e sicut altitudo a b ad altitudinem a e, sequitur ex 11 quinti ut columna c d ad columnam a e sit sicut columna a b ad eandem a e. Igitur ex prima parte 9 quinti due columne a b et c d sunt equales. Quare constat etiam secunda pars.

Cum propositi fuerint duo circuli ab uno centro circumducti, superficiem multiangulam equalium laterum circulum minorem minime tangentium intra circulum maiorem describere.

Sint duo circuli a b c d et e f ab uno communi centro quod sit g circumducti. Dico quod intra maiorem qui sit a b c d possibile est unum poligonium equilaterum describi minorem circulum, qui est e f, nullo suorum laterum tangens. Quadrentur enim hii duo circuli duabus diametris super centrum ipsorum orthogonaliter se invicem secantibus que sint a c et b d sitque e f diameter minoris pars diametri a c que est diameter maioris. Igitur a puncto e ducatur utrinque usque ad circumferentiam maioris linea orthogonaliter super diametrum e f que occurrat circumferentie maioris hinc quidem in puncto h, inde vero in puncto k. Eritque ex corollario 15 tertii linea h e k contingens circulum minorem. Postea quadrantem a b maioris circuli divide per equalia in puncto l secundum doctrinam 29 tertii. Dehinc rursus arcum a l per equalia ad punctum m. Cumque hoc pluries feceris, necessario tandem devenies ad arcum qui minor erit arcu a h sitque hic a m. Hoc autem idcirco necessario est quia, cum fuerint due quantitates inequales si a maiori earum dematur eius dimidium, itemque a residuo dimidium, possibile est hoc totiens fieri quousque tandem minor minore earum relinquatur quemadmodum in 1 decimi demonstratum est. Cum igitur sic dividendo ad arcum quantulumcumque minorem arcu a h fuerit deventum cuius est hic arcus a m, sumatur arcus a n equalis arcui a m ducanturque due linee a m et n m. Quia igitur arcus a k est equalis arcui a h quod ex secunda parte 3 tertii et 4 primi et 28 tertii manifestum est et quia arcus a n est equalis arcui a m, erit ex communi scientia arcus n k equalis arcui m h. Ergo due linee n m et k h sunt equidistantes, ergo linea m n non poterit tangere circulum e f. Quare multo fortius neque linea a m potest ipsum tangere. Quoniam igitur constat circulum a b c d divisibilem esse [f.133v] per arcus equales arcui a m ideoque per 28 tertii simul constat intra ipsum circulum posse cordulas equales cordule a m continue coaptari circulum ipsum poligonie cordantes, manifestum est intra circulum maiorem posse unum poligonium equilaterum, cuius unum latus est linea a m, inscribi. Et quia linea a m non contingit circulum minorem, patet ex prima parte 13 tertii et diffinitione linearum a centro circuli equaliter distantium quod inscriptum poligonium nullo suorum laterum tangit circulum minorem. Quod est propositum.

At quid dubitas duas lineas n m et k h esse equidistantes cum sint duo arcus n k et m h equales?

Hoc enim inconcussam veritatem sortitum est quod due linee circulum unum non autem se invicem secantes, si ex circumferentia equales arcus hinc inde lineis ipsis intersint, erunt equidistantes. Duc quidem a centro g lineam g p perpendicularem ad lineam m n que secet lineam k h in puncto q et protrahe lineas g n, g m, g k, g h et duobus arcubus n k et m h subtende duas cordas que etiam dicantur n k et m h eruntque ex 28 tertii hee corde equales n k et m h eo quod arcus equales, et per secundam partem 3 eiusdem tertii erit linea n p equalis linee p m. Cum igitur uterque duorum angulorum qui sunt ad p sit rectus ex diffinitione perpendicularis, erit ex 4 primi angulus n g p equalis angulo p g m. At vero per 8 primi angulus k g n equalis est angulo h g m. Itaque per communem scientiam (que est: Si equalibus equalia addas, tota erunt equalia) erit angulus k g q equalis angulo q g h ideoque per 4 primi linea k q erit equalis linee q h, quare per primam partem 3 tertii linea g q erit perpendicularis ad lineam k h. Igitur ex prima parte 28 primi due linee n m et k h sunt equidistantes. Et hoc est quod dubitare conquestus es.

Hoc idem aliter demonstrare possibile est. Ducatur enim linea n h eritque ex ultima sexti angulus h n m equalis angulo n h k eo quod arcus h m est equalis arcui n k. Ideo ex 27 primi linea m n erit equidistans linee k h.

Conversam quoque si libet converso modo probabis. Si enim linea m n est equidistans linee h k, erit arcus n k equalis arcui m h. Erunt enim ex prima parte 29 primi duo anguli h n m et n h k equales. Ideoque ex ultima sexti duo arcus n k et m h erunt etiam equales.

Duabus speris unum centrum habentibus propositis intra maiorem earum solidum multarum basium superficiem minoris spere minime tangentium figuraliter constituere.

Quo constituto si in minori spera sive in qualibet alia spera simile corpus intelligibiliter constituatur, erit proportio corporis multarum basium intra [f.134r] maiorem speram constituti ad corpus multarum basium intra minorem speram vel aliam constitutum sicut diametri maioris spere ad diametrum minoris vel alterius spere proportio triplicata.

Sint proposite due spere a b c d et e f unum atque idem centrum, quod sit g, habentes et sit maior earum spera a b c d, minor vero spera e f. Volumus autem intra maiorem earum unum corpus multarum basium constituere de quibus non intendimus quod ipse bases sint equales aut similes, sed quod nulla earum tangat superficiem minoris spere. Cum igitur hoc voluerimus facere, secabimus simul utramque propositarum sperarum una plana superficie per commune centrum earum transeunte, eruntque ex diffinitione spere et diffinitione circuli communes sectiones huius secantis superficiei et superficierum sperarum propositarum linee continentes circulos. Sint itaque duo circuli a b c d et e f quorum centrum est centrum spere de quo positum est quod ipsum sit g. Quadrabimus igitur hos duos circulos duabus diametris se supra commune centrum eorum orthogonaliter secantibus que sint a c et b d. Postea maiori circulo secundum precepta premisse inscribemus unum poligonium equilaterum minorem circulum nullo suorum laterum tangens. Et sufficiat exempli causa inscripsisse duodecagonum equilaterum ita quod in quadrante ipsius maioris circuli, qui est d c, sint tria latera huius duodecagoni que sint corde d h, h k et k c que cum sint equales, erunt quoque ex prima parte 27 tertii arcus earum equales. Dehinc a duobus punctis h et k que sunt extremitates medie corde producemus duas diametros que sunt h m et k l et super centrum g erigemus lineam g n perpendicularem ad superficiem circuli a b c d quam producemus quousque obviet superficiei spere maioris super punctum n. Deinde intelligam 4 superficies secantes speras propositas quarum unaqueque secet eas super lineam g n, scilicet prima earum supra lineam g n et diametrum d b, secunda vero super lineam g n et diametrum h m, tertia vero super lineam g n et diametrum k l, quarta autem super lineam g n et diametrum c a. Eruntque ex diffinitionibus spere et circuli communes sectiones harum superficierum et superficiei spere maioris linee continentes circulos et erunt portiones inscripte inter punctum n et 4 puncta que sunt d, h, k, c quadrantes horum circulorum qui quadrantes sunt d n, h n, k n et c n. Hoc autem ideo evenit quod omnes anguli quos continet linea g n cum unaquaque diametrorum protractarum in superficie circuli a b c d sunt recti ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem, recti vero anguli in centro quarte circumferentie subtenduntur quod ex ultima sexti evidenter apparet. Ex diffinitione autem circulorum equalium manifestum est quod unusquisque horum quatuor circulorum est equalis circulo a b c d. Nam diameter omnium ipsorum est diameter spere maioris. Igitur per 15 quinti quadrantes eorum sunt equales. Quare quinque arcus qui sunt d n, h n, k n, c n, et d c sunt equales. In unoquoque ergo 4 quadrantium [f.134v] circulorum erectorum coaptentur ypothenusales corde quarum quelibet sit equalis corde circuli prostrati que sunt latera poligonii sibi inscripti et est una earum corda d h sintque in primo quidem d q, q r et r n, in secundo vero h s, s t et t n, in tertio autem k u, u x et x n, et in quarto sint c o, o p et p n. Et protrahantur corausti coniungentes capita ypothenusalium cordarum que sint q s, s u et u o et r t et t x, x p. Vides igitur quarte parti superioris emisperii maioris spere que quidem quarta pars est d n c inscriptum esse corpus 9 basium quarum tres que coeunt in puncto n sunt triangule, cetere autem sunt quadrangule. Sunt autem harum quadrangularum superficierum ypothenusalia latera equalia, sed non equidistantia. Corausti autem inter quosque duos circulos intercepti sunt equidistantes ad invicem et corde circuli prostrati, sed non sunt ad invicem equales. Hoc autem scies: si perpendiculares a coraustorum extremitatibus ad superficiem circuli iacentis dimiseris de quibus constat quod ipse cadent super diametros circulorum quos corausti continuant quod ex demonstratis in 13 undecimi facile deprehendes. Verbi gratia: Sint a duobus terminis corausti q, s demisse due perpendiculares q y et s z cadentes in diametris d b et h m et protrahantur linee q g et y z. Eruntque ex 4 sexti duo trianguli q y d et s z h similes, quare proportio duarum perpendicularium q y et s z erit sicut duarum cordarum q d et s h. Cumque sint corde equales, erunt etiam et perpendiculares equales. At ipse sunt equidistantes ex 6 undecimi, ergo ex 33 primi coraustus q s est equalis et equidistans linee y z. Et quia ex secunda parte 2 sexti linea y z est equidistans corde d h ideoque minor ea, sequitur ex 9 undecimi ut coraustus q s sit equidistans corde d h et minor ea ex conceptione. Cum itaque corde que sunt latera poligonii inscripti in circulo iacenti (et ipse sunt omnes equales corde d h) non tangant speram minorem, necesse est ut nullum latus harum basium corporis inscripti sive quadrangule sint sive trigone tangat eandem minorem speram cum omnia hec latera sint ipsis cordis equalia aut minora. Simpliciter autem dico quod nulla harum basium de quibus omnibus manifestum est ex secunda parte 2 undecimi quod ipse sint tote in superficie una potest aliquo sui puncto contingere minorem speram eo quod omnis linea recta ducta per quemlibet punctum cuiusque earum equidistanter corausto minor est necessario corda prostrati circuli. Si igitur convexitates aliarum quartarum maioris spere tam superioris emisperii quam inferioris ad huius similitudinem quadrilateris trilaterisque superficiebus subtexantur, erit maiori spere corpus 72 basium superficiem minoris spere minime tangentium, quemadmodum propositum fuerat, inscriptum.

Dico insuper si in alia qualibet spera simile corpus statuatur, erit proportio unius ad alterum sicut diametri unius spere ad diametrum alterius triplicata. Erunt enim 72 bases utriusque corporis bases totidem lateratarum piramidum quarum omnium vertices erunt in centris ipsarum sperarum. Has autem piramides perficies, si a singulis angulis inscriptorum corporum qui sunt extremitates cordarum et coraustorum lineas ad centra sperarum produxeris. Stude itaque ex diffinitione similium corporum probare cunctas piramides unius esse similes suis relativis piramidibus alterius. Quo probato erit ex 8 huius proportio uniuscuiusque earum unius ad suam relativam alterius sicut proportio semidiametrorum sperarum ipsarum triplicata. Sunt enim semidiametri sperarum latera cunctarum piramidum. At quia semidiametrorum et diametrorum est ex 15 quinti una proportio, ex 13 eiusdem facile concludes propositum etcetera. [f.135r]

Omnium duarum sperarum proportio est alterius ad alteram tamquam sue diametri ad diametrum alterius proportio triplicata.

Sint due spere a b et c d quarum diametri etiam dicuntur a b et c d. Dico quod proportio earum est sicut suarum diametrorum proportio triplicata. Cuius demonstratio est quoniam neque ad minorem speram quam sit spera c d neque ad maiorem est proportio spere a b sicut diametri a b ad diametrum c d triplicata. Esto quidem proportio spere a b ad speram e f sicut diametri a b ad diametrum c d triplicata. Demonstrabo itaque quod spera e f non potest esse minor neque maior quam spera c d. Si enim affirmet eam adversarius esse minorem, imaginabor eam includi a spera c d et circumduci ab eodem centro et inscribam spere c d iuxta precepta premisse unum corpus multarum basium non tangentium superficiem spere e f minoris. Dicaturque istud corpus nomine spere cui inscribitur c d. Postea simile corpus multarum basium inscribam spere a b quod etiam nomine sue spere dicatur a b. Constat itaque ex secunda parte premisse et 11 quinti quod proportio spere a b ad speram e f est sicut corporis multarum basium quod est a b ad corpus multarum basium quod est c d. Utraque enim est sicut diameter a b ad diametrum c d triplicata. Hec quidem ex ypothesi, illa vero ex secunda parte premisse. Quare permutatim proportio spere a b ad corpus multarum basium a b est sicut spera e f ad corpus multarum basium c d. Cum igitur spera a b sit maior corpore multarum basium a b, erit etiam spera e f maior corpore multarum basium c d. Hoc autem est impossibile, nam ipsa est pars eius. Non est ergo spera e f minor spera c d. Si autem dicat adversarius eam esse maiorem, confutabimus ipsum hoc modo: Erit enim per conversam proportionalitatem spera e f ad speram a b sicut diameter c d ad diametrum a b triplicata. Sit itaque eadem spere c d ad speram g h eritque ex 14 quinti spera g h minor spera a b eo quod spera c d posita est minor spera e f. Quare proportio spere c d ad aliquam speram minorem spera a b est sicut diametri c d ad diametrum a b triplicata. At hoc est impossibile, nam ex hoc sequitur quod pars sit maior suo toto ut demonstratum est prius. Itaque spera e f non est maior neque minor quam spera c d. Igitur ex 7 quinti conclude propositam conclusionem que imponit finem libro duodecimo.