Corpus est, quod longitudinem et latitudinem et altitudinem habet. Cuius termini superficies sunt.

Linea erecta supra superficiem est, que cum singulis sibi conterminalibus [f.108v] lineis in ea superficie expansis angulos rectos facit. Linea autem hec supra eam superficiem perpendicularis esse, et ad eandem orthogonaliter insistere dicitur.

Intelligatur enim linea a b exurgere super planum ita quod punctus a imaginetur in aere et b in plano et a puncto b ducantur in eodem plano plures linee ut b c et b d et quotlibet alie. Si igitur ita fuerit quod linea a b cum linea b c et cum linea b d et cum qualibet alia linea protracta a puncto b in plano illo angulum rectum contineat, ipsa dicetur esse perpendicularis ad illam superficiem in qua protracte sunt hee linee, videlicet b c et b d, et alie cum quibus ipsa ponitur continere angulum rectum.

Superficies autem erecta supra superficiem est, quotiens linee que est communis terminus illarum superficierum due perpendiculares conterminales superstant, que rectum angulum continentes in eisdem superficiebus site sunt.

Verbi gratia: Imaginemur superficiem a b c d exurgere, superficiem vero c d e f iacere et intelligamus lineam c d esse communem terminum ambarum. In ea itaque signetur punctus g a quo ad lineam c d extrahantur due perpendiculares, una in superficie a b c d, que sit g h, et alia in superficie c d e f, que sit g k. Si igitur angulus quem continent hee due perpendiculares, videlicet g h et g k, est rectus, superficies a b c d dicitur orthogonaliter erecta supra superficiem c d e f.

Superficies equidistantes sunt, que in utramlibet partem protracte non concurrent, etsi in infinitum producantur.

Intellectum est quod dicitur. Scire tamen debes quod omnes plane superficies aut sunt equidistantes ad invicem aut in omnem partem protracte concurrent alicubi et super rectam lineam se secabunt. Lineas autem rectas non est necessarium vel esse equidistantes vel in utramque partem protractas concurrere, quippe que in eadem superficie non sunt nec equidistantes ad invicem nec quantumlibet protracte concurrent.

Equa corpora sunt atque similia, quorum terminales superficies numero ac quantitate equales unius creationis sunt atque similes.

Similia corpora sunt, [f.109r] que similibus superficiebus numero equalibus continentur.

Si has duas diffinitiones de corporibus equalibus et similibus non intelligis, ad diffinitionem similium superficierum positam in principio sexti recurre.

Corpus serratile dicitur, quod quinque superficiebus quarum tres paralellograme sunt, due vero triangule continetur.

Domui quatuor parietes equidistantes habenti tectum unico fastigio supremis duorum parietum lateribus equali et equidistanti superpositum serratilis corporis expressam similitudinem gerit.

Spera est transitus arcus circumferentie dimidii circuli, quotiens suppremo semicirculo lineaque diametri fixa, donec ad locum suum redeat, arcus ipse circumducitur.

Super quamlibet lineam semicirculo descripto si linea illa fixa semicirculus tota revolutione circumducatur, corpus quod describitur spera nominatur. Cuius centrum constat esse centrum semicirculi circumducti.

Piramis laterata est figura corporea, quam continent superficies ab una quarum relique sunt ad unum oppositum punctum sursum erecte.

In omni laterata piramide cuncte superficies ipsam ambientes ab ipsius basi ad unum punctum sublevantur qui conus piramidis dicitur suntque omnes laterales superficies triangule, basis vero frequenter est non triangula etcetera.

Piramis rotunda est figura solida, estque transitus trianguli rectanguli alterutro suorum laterum rectum angulum continentium fixo et donec ad locum, unde moveri cepit, redeat triangulo ipso circumducto.

Si autem latus fixum [f.109v] lateri circumducto fuerit equale, erit figura rectangula. Si vero longius, acutiangula. Si vero brevius, erit obtusiangula. Axis autem ipsius figure est latus fixum, basisque sua circulus. Diciturque figura hec piramis columne rotunde.

Sit triangulus a b c rectum angulum habens qui sit b figaturque alterum duorum laterum ambientium rectum angulum b sitque latus quod figitur a b quo fixo circumducatur trigonus quousque ad locum unde moveri ceperit redeat. Corporea ergo figura que huius trigoni motu describitur rotunda piramis appellatur. Cuius tres sunt differentie. Alia enim est rectangula, alia acutiangula, tertia est obtusiangula. Et prima quidem est quando latus a b lateri b c fuerit equale. Esto enim ut linea b c cum rotatu trigoni pervenerit ad situm linee b d ita quod punctus c cadat super punctum d fiatque linea una. Hoc est ut ipsa tunc coniungatur situi a quo moveri cepit secundum rectitudinem. Eritque linea hec quasi c b d. Et quia ex 32 primi et 5 eiusdem angulus c a b est medietas recti, erit angulus c a d rectus. Ideoque piramis hec dicitur rectangula. Si autem latus a b sit longius latere b c, erit acutiangula. Erit enim tunc ex 32 primi et 19 eiusdem angulus c a b minor medietate recti. Ideoque totus angulus c a d est minor recto et acutus, quare piramis acutiangula. Quod si latus a b sit brevius latere b c, erit angulus c a b maior medietate recti ex 32 primi et 19 eiusdem et totus c a d qui est duplus ad ipsum c a b maior recto et obtusus. Igitur et piramis convenienter dicitur tunc obtusiangula. Axis autem huius piramidis dicitur linea a b, basis vero eius circulus quem describit linea c b supra centrum b. Dicitur quoque hec piramis columne rotunde illius videlicet quam motu suo describeret paralellogramum proveniens ex a b in b c, latere a b manente fixo etcetera. Quod est propositum etcetera.

Figura rotunda corporea, cuius bases sunt duo circuli plani extremitatibus et crassitudine equales, est transitus paralellogrami rectanguli latere rectum angulum continente fixo ipsaque superficie, donec ad locum [f.110r] suum redeat, circumducta. Diciturque hec figura circumducta columna rotunda. Columne itaque rotunde atque spere circulique unum atque idem est centrum.

Sit paralellogramum rectangulum a b c d figaturque latus a b et eo fixo totum paralellogramum quousque ad locum suum redeat circumducatur. Corporea ergo figura huius paralellogrami motu descripta rotunda columna nominatur cuius bases sunt duo circuli et est unus eorum circulus quem describit motu suo linea b c cuius circuli centrum est punctus b, alter vero est quem motu suo designat linea d a et eius centrum est punctus a. Axis autem huius columne dicitur linea a b que manet fixa in motu paralellogrami. Quod si imaginati fuerimus paralellogramum a b c d cum pervenerit rotatu suo ad situm a b e f coniungi situi a quo moveri cepit secundum continuitatem superficiei plane, ut totum sit unum paralellogramum d c e f et protraximus in eo diametrum d e, erit quoque diameter d e diameter columne. Quod autem dicitur columne et spere et circuli idem esse centrum, intelligi debet cum horum est una eademque diameter. Verbi gratia: Diximus enim quod d e est diameter istius columne. Speram igitur atque circulum quorum diameter est linea d e necesse est idem centrum habere cum centro proposite columne. Sit enim ut linea d e secet lineam a b in puncto g eritque g centrum columne. Dividit enim axem columne per equalia et diametrum columne per equalia, quod patet per 26 primi, nam anguli qui sunt ad g sunt equales ex 15 primi et anguli qui sunt ad a et b recti ex ypothesi, linea quoque a d est equalis linee b e, itaque d g est equalis g e et a g equalis g b. Cumque anguli c et f sint recti, si super punctum g secundum spatium d g ac super lineam d e circulus describatur, transibit ex conversa prime partis 30 tertii per puncta c et f, itaque punctum g est centrum circuli cuius diameter est diameter columne, ideoque et spere. Quare manifestum est omni paralellogramo rectangulo circulum omnique columne rotunde speram esse circumscriptibiles.

Angulus corporeus sive solidus est, quem continent anguli plani plures quam duo, qui haut in una superficie siti ad unum punctum angularem conveniunt.

Duo anguli plani angulum solidum perficere nequeunt sicut nec due recte linee possunt superficiem claudere. Angulos quoque planos solidum angulum componentes in eadem superficie non convenit esse sitos, sed in diversis quemadmodum duas rectas lineas planum perficientes angulum non convenit sibi invicem secundum situm rectitudinis applicari etcetera.

Similes sunt figure corporee rotunde, [f.110v] sive sint columne sive earum piramides, quarum axes diametris suarum basium sunt proportionales etcetera.

Propositis enim duabus columnis rotundis aut duabus piramidibus rotundis si fuerit proportio axis unius earum ad diametrum sue basis sicut axis alterius ad diametrum sue basis, ille due columne sive piramides similes esse dicuntur.

Linee recte partem esse in plano et partem in sublimi est impossibile.

Sit linea a b recta. Dico quod est impossibile ut pars eius sit in plano et pars sursum elevata. Si enim est possibile, sit pars eius que est a c sita in plano et eius pars que est c b in sublimi posita et protrahatur directe a c in plano in quo ipsa sita est usque ad d. Erit ergo ut uni eidemque linee que est linea a c due linee penitus diverse que sunt linee c b et c d ex eadem parte directe adiciantur. Quod est impossibile per 13 primi.

Omnes due linee, quarum altera alteram secat, in una superficie site sunt. Omnisque triangulus in una superficie totus consistit.

Sint due linee recte a b et c d se invicem secantes in puncto e. Dico eas esse in superficie una et omnem triangulum dico totum esse in superficie una. Signetur enim punctum f in linea c d et punctum g in linea a b et ducatur linea f g. Quia igitur impossibile est partem trianguli e f g esse in plano et partem in sublimi quin etiam suarum terminalium linearum unius aut plurium pars similiter sit in plano et pars similiter in sublimi. Cum de lineis sit hoc impossibile per premissam, eritque impossibile de triangulo. Itaque totus triangulus e f g est in superficie una. Cum hac igitur secunda parte et premissa constat prima pars huius secunde propositionis.

Omnium duarum superficierum se invicem secantium communis sectio est linea recta.

De planis superficiebus intellige et verum erit quod dicitur. Sint itaque due plane superficies a b et c d se invicem secantes. Dico quod earum communis sectio est linea recta. Esto enim duo puncta e et f termini communis sectionis earum que continuentur per lineam rectam que sit e f. Si igitur linea e f est in utraque duarum superficierum a b et c d, constat propositum. At vero si in neutra vel si non in altera cum ambo puncta e et f sint in utraque superficierum a b et c d in ea superficie in qua ipsa non fuerit, protrahatur recta linea que sit e h f. Erunt igitur due linee recte e f et e h f habentes [f.111r] duos terminos communes e et f. Quod est impossibile. Sic enim due recte linee concluderent superficiem quod est contra petitionem ultimam primi libri.

Si fuerit linea orthogonaliter erecta ab incisione duarum linearum inter se secantium, ipsa ad earundem superficiem perpendicularis erit.

Sit linea a b orthogonaliter erecta super incisionem duarum linearum c d et e f secantium se in puncto b de quibus constat per antepremissam quod ipse sunt site in una superficie. Dico quod linea a b perpendicularis est ad ipsarum superficiem. Sint enim c b et b d equales, at vero f b et b e equales et protrahantur linee e d et c f que erunt equales ex 4 primi et equidistantes per 27 eiusdem. Signato itaque puncto aliquo in linea e d qui sit g, ducatur linea g b h eritque ex 26 primi e g equalis f h. Igitur a puncto a vel quovis puncto linee a b dimittantur ypothenusaliter linee a c, a d, a e, a f, a g, a h. Eritque ex 4 primi a c equalis a d et a e equalis a f. Et per 8 eiusdem erit angulus a e d equalis angulo a f c, ergo per 4 ipsius erit a g equalis a h ideoque per 8 eiusdem angulus a b g erit equalis angulo a b h. Quare a diffinitione uterque est rectus et linea a b perpendicularis ad lineam g h. Simili quoque modo probabis eandem esse perpendicularem ad omnes lineas protractas a puncto b in superficie duarum linearum c d et e f, igitur ex diffinitione constat lineam a b esse perpendicularem ad superficiem in qua site sunt due linee c d et e f se invicem secantes. Quod est propositum etcetera.

Si super tres lineas conterminales communi earum termino erecta linea quedam orthogonaliter insistat, eedem tres linee in una superficie site erunt.

Sit linea a b orthogonaliter erecta super communem terminum trium linearum b c, b d, b e angulariter se contingentium in puncto b quarum nulla alii directe applicetur quod idem est acsi se invicem secent in puncto b. Protracte enim se secabunt. Dico quod tres linee b c, b d, b e sunt in una superficie site. Constat autem de quibusque duabus earum quod ipse sunt in una superficie site per secundam huius. Si igitur linea b d non fuerit in una superficie duarum linearum b c et b e, sed ille due in plano, hec autem in sublimi, erit ut hec superficies in qua site sunt due linee a b et b d si protrahatur secet illam in qua site sunt b c et b e eritque per 3 huius communis earum sectio linea recta et ipsa sit f b. Quia igitur ex premissa linea a b est perpendicularis ad superficiem duarum linearum b c et b e, sequitur ex diffinitione ut eadem sit perpendicularis ad lineam b f, quare angulus a b f est rectus. Cumque etiam angulus a b d sit rectus ex ypothesi, sequitur impossibile videlicet partem suo toti esse equalem.

Si fuerint due linee super unam [f.111v] superficiem perpendiculares, eas equidistantes esse necesse est.

Sint due linee a b et c d perpendiculares ad unam superficiem. Dico eas esse equidistantes. Protrahatur enim linea b d eruntque ex diffinitione duo anguli a b d et c d b recti. Si igitur due linee a b et c d sint in superficie una, ipse sunt equidistantes per secundam partem 28 primi. Ipsas autem esse in superficie una sic collige: A puncto b super lineam b d in plano cui perpendiculariter insistunt a b et c d protrahe orthogonaliter lineam b f et ex linea c d sume d e equalem b f. Et protrahe lineas e b et e f. Erunt igitur duo latera e d et d b trianguli e d b equalia duobus lateribus f b et b d trianguli f b d et angulus e d b equalis angulo f b d cum uterque sit rectus, itaque per 4 primi linea b e est equalis linee d f. Itemque cum duo latera e b et b f trianguli e b f sint equalia duobus lateribus f d et d e trianguli f d e et basis e f communis, erit per 8 primi angulus e b f equalis angulo f d e. Quia igitur angulus f d e est rectus a diffinitione, erit etiam angulus e b f rectus. Itaque linea f b perpendiculariter est erecta super communem terminum trium linearum b a, b d, b e se contingentium angulariter in puncto b. Quare per premissam ipse sunt in una superficie. Cum igitur ex secunda parte secunde huius linea c d sit in eadem superficie cum utraque linearum e b et b d, sequitur a b et c d esse in superficie una. Constat ergo propositum etcetera.

Si in duabus lineis equidistantibus duobus punctis signatis ab altero ad alterum recta linea ducatur, in qua superficie ille due linee site sunt, eam quoque in eadem sitam esse necessario comprobatur.

Sint due linee a b et c d equidistantes de quibus constat per diffinitionem quod ipse sunt in superficie una. In eis autem signentur duo puncta e et f et producatur linea recta e f. Dico itaque lineam e f esse sitam in superficie linearum a b et c d. Sin autem, sit e f in alia superficie ut in sublimi dependens que superficies si protrahatur, secabit necessario superficiem in qua site sunt due linee a b et c d. Eritque per 3 huius communis earum sectio linea recta eisdem punctis terminata. Quod est impossibile. Sic enim due recte linee concluderent superficiem.

8 Si in idem planum due recte linee equidistanter, altera vero earum orthogonaliter, sistantur, reliquam quoque ad idem planum perpendicularem esse conveniet. [f.112r]

Hec est quasi conversa sexte. Sint enim due linee a b et c d equidistantes et sit earum altera ut c d erecta perpendiculariter super superficiem quamlibet. Dico reliquam earum, que est a b, esse perpendicularem ad eandem superficiem. Fiat enim eadem prorsus dispositio que in sexta eritque ut ibi uterque duorum angulorum f b d, f b e rectus: primus quidem per positionem, secundus autem per 8 primi. Quare per 4 huius linea f b est perpendiculariter erecta super superficiem in qua sunt due linee b d et b e. Cumque per premissam due linee a b et c d sint in eadem superficie cum duabus lineis b d et b e, sequitur lineam f b esse perpendiculariter erectam supra superficiem, in qua est linea b a. A diffinitione igitur erit angulus f b a rectus. Et quia etiam angulus d b a est rectus per ultimam partem 29 primi, sequitur per 4 huius lineam a b esse perpendicularem ad superficiem in qua site sunt due linee b d et b f. Quare constat propositum.

Si due linee uni non in una superficie equidistent, eas quoque sibi invicem equidistare necesse est.

Sit utraque duarum linearum a b et c d equidistans linee e f nec sint omnes in superficie una. Dico quod eedem quoque sunt sibi invicem equidistantes. De hiis quidem, que sunt omnes in una superficie, probatum est per 30 primi. At vero de hiis que in una superficie non sunt ut est hic e f que intelligatur sursum erecta in sublimi, restat hoc loco probandum. Signetur itaque in ea punctum g a quo educantur due perpendiculares ad duas lineas a b et c d que sint g h et g k. Eritque per 4 huius linea e f perpendicularis ad superficiem in qua sunt site due linee g h et g k. Itaque per premissam bis assumptam utraque duarum linearum a b et c d perpendicularis est ad eandem superficiem videlicet ad illam in qua site sunt linee g h et g k, per 6 igitur huius ipse sunt sibi invicem equidistantes. Quod est propositum.

Si due linee se angulariter contingentes duabus aliis se contingentibus oppositis equidistantes fuerint, non autem in una superficie, qui ab eis fiunt duo anguli equi sibi invicem esse probantur.

Sint due linee a b et a c se angulariter contingentes in puncto a equidistantes aliis duabus que sunt d e et d f se quoque angulariter contingentibus in puncto d nec sint cum eis in superficie una. Dico angulum a esse equalem angulo d. Esto enim linea d e equalis linee a b cui ipsa posita est equidistare et d f equalis a c cui etiam et ipsa equidistare posita. Et ducantur linee d a, e b, f c eritque ex 33 primi bis assumpta utraque duarum linearum b e, c f equalis et equidistans linee a d. Per conceptionem igitur et per premissam eedem sunt equales et equidistantes ad invicem. Et itaque per 33 primi denuo repetitam due linee b c et e f sunt etiam equales et equidistantes. Igitur ex 8 primi constat propositum. [f.112v]

Puncto in aere assignato ab eo ad datam superficiem perpendicularem ducere.

Sit punctus a sursum in aere a quo volumus ad superficiem subiacentem perpendicularem protrahere. Ducatur igitur in plano illo linea b c utcumque contigerit ad quam ab ipso puncto a ducatur perpendicularis a d secundum doctrinam 12 primi. Rursusque a puncto d in plano illo ad quod ducenda est illa perpendicularis a puncto a protrahatur linea d e que sit perpendicularis ad lineam b c ut docet 11 primi. Ad hanc quoque lineam d e dimittatur alia perpendicularis a puncto a que sit a f. Hanc dico esse eam quam intendimus. Sit enim linea f g equidistans linee b c. Et quia uterque duorum angulorum b d a, b d f est rectus, erit ex 4 huius linea b d perpendicularis ad superficiem in qua est triangulus a d f. Itemque etiam per 8 huius erit linea g f perpendicularis ad eandem superficiem. Igitur a diffinitione erit angulus g f a rectus. Cumque etiam angulus d f a sit rectus, sequitur ex 4 huius lineam a f esse perpendicularem ad superficiem in qua sunt due linee d f et f g. Quod est propositum etcetera.

Superficie proposita punctoque in ea assignato ab eo puncto super datam superficiem lineam orthogonaliter erigere.

Cum a puncto quolibet in superficie proposita assignato perpendicularem educere libuerit, a quolibet puncto sursum in aere ad libitum posito ad eandem superficiem perpendicularem, quemadmodum premissa docuit, dimitte. Que si in assignatum punctum ceciderit, ipsa est quam queris. Sin autem, ab ipso assignato puncto ad demissam perpendicularem equidistantem ducito eamque per 8 huius probabis esse quam queris.

Duas lineas super punctum unum ad superficiem unam orthogonaliter insistere impossibile est etcetera.

Si enim possibile est ut due linee uni eidemque superficiei super punctum unum perpendiculariter insistant, superficies, in qua ipse perpendiculares site sunt, intelligatur produci quousque secet superficiem cui dicte linee perpendiculariter insistunt. Eritque per 3 huius communis earum sectio linea recta. Et quia ex diffinitione utraque illarum duarum perpendicularium cum communi sectione continet angulum rectum, sequitur ut angulus rectus sit pars anguli recti. Quod est impossibile.

Quemadmodum autem demonstratum est impossibile esse duas lineas super punctum unum ad eandem superficiem esse perpendiculares, ita etiam demonstrabimus impossibile esse duas lineas ab uno eodemque puncto extra superficiem signato ad eandem superficiem protractas ad ipsam esse perpendiculares. Si enim hoc fuerit, ipse erunt equidistantes ex 6 huius. Quod est impossibile ex diffinitione linearum equidistantium. Constat igitur ex hac quod si aliqua superficies plana aliam planam superficiem orthogonaliter secet et ab aliquo puncto secantis superficiei ad superficiem sectam perpendicularis [f.113r] ducatur, in communi earum sectione eam cadere necesse est. Alioquin ab eodem puncto secantis superficiei ad communem earum sectionem perpendicularis protrahatur ut docet 12 primi et a puncto in quo incidit cum communi sectione alia perpendicularis ad eandem communem sectionem in superficie secta educatur ut docet 11 primi. Eritque ex diffinitione superficiei super aliam superficiem orthogonaliter erecte angulus quem continent hee due perpendiculares rectus. Quare per 4 huius prima harum duarum perpendicularium est perpendicularis etiam ad superficiem sectam. Ergo ab uno puncto protracte sunt due perpendiculares ad eandem superficiem. Quod est impossibile. Relinquitur itaque propositum.

Si linea una super duas superficies assignatas orthogonaliter insistat, ille due superficies, si etiam in infinitum in quamcumque partem protrahantur, nunquam concurrent.

Posita enim linea una duabus superficiebus orthogonaliter insistere si possibile est superficies illas concurrere in earum communi sectione, que per 3 huius erit linea recta, punctus quocumque modo signetur a quo due linee in illis duabus superficiebus ad lineam illam que ipsis perpendiculariter superstat protrahantur eritque constitutus triangulus ex hiis duabus lineis et perpendiculari. Huius itaque trianguli uterque duorum angulorum qui supra perpendicularem consistunt est rectus ut patet ex diffinitione linee supra superficiem perpendiculariter stantis. Hoc autem impossibile est per 32 primi.

Econverso. Si super duas superficies equidistantes linea recta ceciderit que ad alteram earum perpendicularis sit, ipsa quoque perpendicularis erit ad reliquam.

Positis enim duabus superficiebus equidistantibus intelligatur linea recta ambas penetrans que alteri earum perpendiculariter secet. Dico quod eadem linea relique superficiei perpendiculariter superstat. Sit enim superficies una secans positas superficies equidistantes super lineam penetrantem eas eritque communis sectio huius superficiei secantis et alterius sectarum videlicet illius cui linea penetrans ponitur perpendiculariter insistere continens angulum rectum cum ipsa linea penetrante ex diffinitione linee perpendicularis ad superficiem. Si igitur alia communis sectio ipsius superficiei secantis et relique duarum sectarum cum eadem linea penetrante non contineat angulum rectum, erit ex ultima petitione primi ut ille due communes sectiones in alterutram partem protracte necessario concurrant, quare et superficies que posite sunt esse equidistantes necessario concurrant. Et quia hoc est impossibile, erit ille angulus rectus. Eodemque modo erit de qualibet alia superficie easdem equidistantes superficies super eandem lineam secante. Igitur ex 4 huius et ex ista 14 constat verum esse quod diximus.

Si fuerint due linee se contingentes [f.113v] equidistantes aliis duabus se contingentibus non autem in superficie una, ab eisdem lineis contente due superficies in nulla parte quantumcumque producantur possunt concurrere.

Sint due linee a b et a c se angulariter contingentes in puncto a equidistantes duabus lineis d e et d f se angulariter contingentibus in puncto d et non sint in superficie una. Dico earum superficies in quamcumque partem et quantumcumque protrahantur nunquam concurrere. Protrahatur etenim a puncto d, prout docet 11 huius, perpendicularis ad superficiem duarum linearum a b et a c sitque d g et a puncto g ducatur g h equidistans a b et g k equidistans a c. Eritque ex diffinitione uterque duorum angulorum d g h, d g k rectus et per 9 erit linea d f equidistans linee g k et linea d e equidistans linee g h. Quare per ultimam partem 29 primi uterque duorum angulorum e d g, f d g erit rectus. Ideoque per 4 huius linea d g erit perpendicularis ad superficiem duarum linearum d e et d f. Cumque ipsa eadem sit etiam ex ypothesi perpendicularis ad superficiem duarum linearum a b et a c, ex premissa liquet quod propositum est.

Si duas superficies equidistantes una superficies secet, communes earum sectiones erunt equidistantes.

Constat quidem ex 3 quod una superficie quascumque duas superficies equidistantes secante communes earum sectiones erunt due linee recte que cum sint ambe site in superficie secante, si ipse non fuerint equidistantes, ponantur ad quodlibet unum punctum concurrere. Erit itaque ut unus atque idem punctus sit in utraque illarum duarum sectionum communium. Cumque una illarum communium sectionum sit in una duarum superficierum sectarum et reliqua in altera, sequitur superficies illas, que posite sunt esse equidistantes, concurrere. Hoc autem impossibile est. Erunt igitur earum communes sectiones equidistantes. Quod est propositum.

Ex hac et premissa potes elicere conclusionem unam similem 30 primi videlicet istam: Si fuerint due superficies uni equidistantes, ipse quoque erunt ad invicem equidistantes.

Positis enim tribus superficiebus, quarum utraque duarum extremarum equidistet medie, dico quod necesse est ipsas extremas equidistare ad invicem. Secentur omnes ille tres superficies duabus superficiebus se quoque invicem secantibus eruntque ex hac 16 communes sectiones duarum extremarum superficierum equidistantes sectionibus medie. Quare ex 30 primi ipse etiam sectiones duarum extremarum superficierum erunt equidistantes ad invicem. Et quia ipse contingunt se in communi sectione duarum superficierum tres positas superficies secantium, ex premissa evidenter constat quod diximus. [f.114r]

Si superficies equidistantes duas rectas lineas secent, illarum linearum portiones proportionales esse probantur.

Intelligantur enim due recte linee penetrantes qualitercumque contigerit tres superficies equidistantes aut etiam plures tribus. Dico itaque duas portiones illarum linearum inter quasque duas superficies interceptas esse proportionales quibusque duabus inter alias duas ex illis equidistantibus superficiebus interceptis. Coniungantur enim due extremitates duarum illarum linearum ducta inter eas linea una diagonaliter eritque hec diagonalis cum utraque illarum duarum linearum penetrantium superficies propositas in superficie una illas equidistantes superficies propositas secante. Si ergo harum superficierum communes sectiones, que per premissam erunt equidistantes, cogitatione protraxeris, ex prima parte secunde sexti constabit propositum.

Si in superficie assignata orthogonaliter steterit linea, omnis superficies a linea illa quorsumlibet ducta ad eandem assignatam superficiem erit orthogonaliter erecta.

Sit enim linea a b erecta perpendiculariter super assignatam superficiem et a linea a b producatur superficies quorsum libuerit quam dico super propositam superficiem esse perpendiculariter erectam. Cum enim ipsa secet superficiem assignatam, erit earum communis sectio linea recta ex 3 huius sitque b d. In hac ergo communi sectione signato puncto quolibet qui sit d extrahatur ab eo in superficie que producta est a linea a b linea quedam perpendicularis ad lineam b d que sit d c. Eritque ex secunda parte 28 primi linea c d equidistans linee a b. Ideoque ex 8 huius linea c d est etiam perpendicularis ad superficiem propositam. Quia ergo hoc modo quelibet linea protracta orthogonaliter a quolibet puncto linee b d ad ipsam lineam b d in ea superficie que producta est a linea a b est perpendicularis ad propositam superficiem, ex diffinitione superficiei supra superficiem orthogonaliter erecte constat verum esse quod propositum est etcetera.

Si due superficies se invicem secantes supra unam superficiem erecte fuerint orthogonaliter, communis earum sectio ad eandem superficiem perpendicularis erit.

Sint due superficies a b et c d [f.114v] se invicem secantes erecte orthogonaliter super assignatam superficiem sitque communis earum sectio linea recta e f. Hanc dico esse perpendicularem ad assignatam superficiem. Alioquin a puncto f qui est communis trium sectionum duarum superficierum secantium et tertie superficiei secte producatur linea una que sit f g in superficie a b perpendicularis ad superficiem assignatam. Itemque ab eodem puncto ducatur alia linea perpendicularis ad eandem superficiem que sita sit in superficie c d et ipsa sit f h. Eruntque due linee f g et f h orthogonaliter insistentes super punctum unum ad superficiem assignatam. Hoc autem est impossibile per 13 huius. Tales autem lineas posse protrahi a puncto f in utraque superficierum duarum a b et c d, cum e f non fuerit perpendicularis ad assignatam superficiem, dubitare non contingit. Intelligatur quidem linea f b communis sectio superficiei a b et superficiei assignate et linea f d superficiei c d et superficiei assignate. Si igitur linea e f fuerit perpendicularis ad utramque duarum linearum f b et f d, ipsa etiam erit perpendicularis ad superficiem assignatam ex 4 huius. Si autem ad neutram, sit f g perpendicularis ad f b et f h perpendicularis ad f d. Dehinc a puncto f protrahe in superficie assignata unam lineam perpendicularem ad lineam f b que ex diffinitione superficiei super aliam superficiem orthogonaliter erecte cum linea f g continebit angulum rectum, per 4 huius erit linea igitur f g perpendicularis ad superficiem assignatam. Eodem quoque modo protracta alia linea a puncto f in superficie assignata que sit perpendicularis ad lineam f d, sequitur ex diffinitione predicta et ex 4 huius lineam f h esse perpendicularem ad superficiem assignatam. Quod est impossibile per 13 huius. Quod si confitearis lineam e f esse perpendicularem ad lineam f b, sed non ad lineam f d, sequitur modo consimili duas lineas e f et f h esse perpendiculares ad superficiem assignatam. Quod nihil minus est impossibile.

Si tres anguli superficiales angulum solidum contineant, illorum trium angulorum quique duo pariter accepti reliquo sunt maiores etcetera.

Sint tres linee a b, a c, a d piramidaliter erecte supra superficiem b c d continentes tres superficiales angulos ex quibus perficitur solidus angulus in puncto a. Dico quosque duos ex hiis superficialibus angulis solidum angulum in puncto a constituentibus pariter acceptos tertio esse maiores. Si enim hii tres anguli superficiales fuerint sibi invicem equales aut si duo tantum equales tertio existente minore utrolibet duorum equalium, constat per communem scientiam verum esse quod dicitur. Quod si eorum unus utrolibet reliquorum duorum maior fuerit sive illi duo ponantur equales sive non equales, adhuc constat illum maiorem cum utrolibet duorum reliquorum pariter acceptum tertio esse maiorem. Sed et illos duos minores pariter acceptos hoc tertio qui maior utrolibet ponitur esse maiores, sic collige: Esto enim trium propositorum angulorum superficialium angulus c a d maior utrolibet reliquorum duorum. Ex ipso abscindam angulum e a d equalem angulo b a d protracta linea a e. Et sumam ex hac linea a e lineam a g et ex linea a b lineam a f quas ponam esse equales. Et protraham lineam a puncto g qualitercumque contingat in superficie duarum linearum a c et a d quousque secet a c in puncto h et a d in puncto k [f.115r] et ipsa sit h g k. Et producam lineas f h et f k. Cum sit igitur a f equalis a g posita a k communi erit per quartam primi k f equalis k g. Et quia ex 20 primi due linee h f et f k sunt maiores linea h k, erit per conceptionem h f maior h g. Ideoque per 25 primi cum sit linea a f equalis linee a g, erit angulus f a h maior angulo h a g. Per conceptionem igitur constat duos angulos h a f, f a k pariter acceptos esse maiores angulo h a k. Quod erat demonstrandum.

Omnis angulus solidus 4 rectis angulis minor esse probatur.

Anguli solidi quantitas ex angulorum superficialium ipsum solidum contingentium quantitate determinatur. Hac ergo 21 proponitur quoslibet superficiales angulos solidum quemlibet continentes pariter acceptos 4 rectis angulis esse minores. Sit enim triangula piramis a b c d cuius supremus angulus, cum possit esse quilibet suorum angulorum, hic tamen sit a de quo dico quod tres superficiales anguli ipsum a continentes sunt minores 4 rectis. Constat enim ex 32 primi 9 angulos trium triangulorum hanc piramidem circumdantium (et ipsi sunt a b c, a c d, a d b) esse equales 6 angulis rectis. De tribus autem angulis basis eius que est triangulus b c d constat quoque per eandem quod ipsi sunt equales duobus rectis. Cum igitur sex anguli trium triangulorum predictorum hanc nostram piramidem (de cuius supremo angulo disputamus) circumdantium, qui inquam sex anguli cum tribus angulis basis et reliquos tres solidos angulos piramidis continent, sint ex premissa ter assumpta maiores tribus angulis basis, sequitur ipsos 6 angulos esse maiores duobus rectis. Ex novem igitur angulis trium triangulorum piramidem circumdantium hiis sex angulis demptis erunt ex communi scientia reliqui tres (et ipsi sunt qui constituunt solidum angulum a) minores 4 rectis.

Si autem angulus a supremus in assumpta piramide pluribus angulis superficialibus quam tribus contineatur, quod erit secundum multitudinem angulorum sue basis.

Cum omnes anguli omnium triangulorum piramidem ipsam circumdantium pariter accepti sint ex 32 primi tot rectis angulis equales quantus est numerus angulorum basis duplicatus eo quod necesse est esse tot triangulos piramidem circumdantes quot fuerint anguli sue basis, cumque omnes anguli sue basis sint tot rectis angulis equales quantus est numerus suorum angulorum duplicatus, demptis inde 4 ut in 32 primi demonstratum est, cumque iterum omnes anguli triangulorum piramidem circumdantium qui super latera basis ipsius piramidis consistunt pariter accepti sint maiores omnibus angulis basis pariter acceptis ut evidenter constat ex premissa totiens quot angulos basis habuerit repetita, adhuc necessario sequitur ex communi scientia superficiales angulos solidum angulum a contingentes pariter acceptos esse minores 4 rectis eo inquam minores quo omnes anguli trigonorum piramidem circumdantium, qui super latera basis statute piramidis consistunt, excedunt omnes angulos basis pariter acceptos etcetera. Quod est propositum.

Si tres anguli superficiales, quorum quique duo pariter accepti tertio sint maiores, cunctis sibi invicem equis lineis contineantur, de tribus basibus angulos illos ab ipsarum linearum [f.115v] equalium terminis subtendentibus triangulum constitui possibile est.

Sint tres superficiales anguli qui sunt b a c, e d f, h g k ut proponitur, tales videlicet ut quique duo eorum tertio sint maiores. Sintque 6 latera eos continentia equalia que sint a b, a c, d e, d f, g h, g k et subtendantur eis tres bases que sint b c, e f, h k. Ex hiis ergo tribus basibus triangulum aio posse constitui. Esto enim angulus b a l equalis angulo d et linea a l linee d e et protrahantur l b, l c. Eritque ex 4 primi linea l b equalis linee e f. Ex ypothesi vero constat totalem angulum a esse maiorem angulo g. Erant enim quique duo ex tribus angulis b a c, d et g tertio maiores. Igitur ex 24 primi linea l c maior est linea h k. Cumque sint ex 20 primi due linee l b et b c maiores linea l c, sequitur duas lineas l b et b c esse multo fortius maiores linea h k. Quia igitur l b est equalis e f, erunt due linee b c et e f maiores linea h k. Constat itaque hoc modo quasque duas lineas ex tribus lineis b c, e f, h k esse longiores tertia.

Igitur ex 22 primi constat verum esse quod dicitur hoc dumtaxat addito quod si duo anguli b a c et d pariter accepti sint equales duobus rectis, erunt due linee l a et a c ex 14 primi linea una, que cum sit equalis ex ypothesi duabus lineis g h et g k, que ex 20 primi longiores sunt linea h k. Cumque ex eadem due linee l b et b c sint longiores linea l c, sequitur ut prius b c et e f pariter acceptas esse longiores h k. At vero si duo predicti anguli sint maiores duobus rectis, erunt ex 21 primi due linee a l et a c (ideoque et due g h et g k) breviores duabus que sunt l b et b c. Quare ut prius b c et e f pariter accepte sunt longiores linea h k etcetera.

Tribus angulis superficialibus propositis, quorum quique duo pariter accepti tertio sint maiores, omnes autem tres simul quatuor rectis angulis minores, ex tribus illis equalibus qualescumque sint solidum angulum constituere.

Sint tres propositi anguli superficiales qui sunt a, b, c. De tribus illis equalibus volumus unum solidum angulum constituere. Oportet igitur ex 20 huius ut quique duo eorum pariter accepti tertio sint maiores et ex 21 huius ut omnes pariter accepti 4 rectis angulis sint minores. De ipsis itaque sint hec posita. Latera vero illos continentia cuncta fiant ad invicem equalia eisque subtendantur tres bases et ipse sint d e, e f et f d. Eritque ex premissa possibile de tribus lineis hiis basibus equalibus triangulum constitui. Sit igitur ex eis constitutus secundum doctrinam 22 primi triangulus d e f cui sicut docuit quinta quarti circumscribatur circulus d e f supra centrum g et protrahantur g d, g e, g f. Que cum sint ad invicem equales ex diffinitione circuli lateraque tres [f.116r] propositos angulos ambientia equalia ex ypothesi, necesse est ut earum quelibet quolibet illorum laterum sit minor, equalem enim aut maiorem esse est impossibile. Si enim linea exiens a centro g ad circumferentiam circuli d e f esset equalis alicui laterum a d, a e, b e, b f, c f, c d sequeretur que posita sunt auxiliante 8 primi tres angulos a, b, c propositos esse equales tribus angulis d g e, e g f, f g d. Cumque hii tres sint equales 4 rectis angulis ut facile patet ex 13 primi protracta paulisper una linearum trium exeuntium a centro ad circumferentiam in continuum et directum, essent etiam tres anguli a, b, c equales etiam 4 rectis. Quod est contra posita. Quod si esset maior, superpositis tribus triangulis quorum sunt anguli a, b, c tribus triangulis dividentibus triangulum d e f unoquoque illi cum quo communicat in basi ita quod bases superponantur basibus equales videlicet equalibus et anguli a, b, c cadant ad partem puncti g, sequeretur ex 21 primi tres angulos a, b, c esse maiores tribus qui sunt d g e, e g f, f g d essentque maiores 4 rectis. Quod est amplius contrarium positis. Relinquitur itaque unumquodque ex 6 lateribus tres propositos angulos ambientibus maius esse linea egrediente a centro g ad circumferentiam d e f ideoque etiam potentius. Sit igitur in linea potentius g h que sit secundum 12 huius orthogonaliter erecta super superficiem circuli d e f demittanturque tres ypothenuse h d, h e, h f quas dico continere tres angulos superficiales equales tribus propositis constituentes angulum solidum in puncto h. Cum enim quadratum linee a d sit equale duobus quadratis duarum linearum d g et g h ex ypothesi, at quadratum linee d h sit equale eisdem ex penultima primi, necesse est lineam a d esse equalem linee d h. Eodemque modo et lineam a e linee e h. Igitur ex 8 primi cum bases etiam sint equales, erit angulus a equalis angulo d h e. Simili quoque modo erit angulus b equalis angulo e h f et angulus c equalis angulo f h d. Constat itaque factum esse quod facere disposuimus.

Si superficiebus equidistantibus solidum contineatur, eius opposite superficies sibi invicem equales sunt et equidistantium laterum.

Quicquid dicant alii: solidum equidistantibus superficiebus contentum superficiebus paribus necesse est contineri que sicut esse non possunt pauciores sex, ita possunt esse in omni numero pari senarium excedente. Constat enim columnam exagonam posse 8 superficiebus que bine et bine opposite sibi invicem equidistant contineri, sic quoque octogonam, decem et decagonam, duodecim et ad istarum similitudinem in infinitum. Sed horum omnium solidorum equidistantibus superficiebus contentorum que infinita esse pronuncio, solum illud dicitur paralellogramum cuius omnes superficies ipsum ambientes paralellograme sunt et istud sex superficiebus dumtaxat necesse est ambiri. De tali itaque quod sex superficiebus ambitur dico debere intelligi quod hec 24 proponit. Sic igitur tale solidum corpus a b cuius omnes sex superficies fiat ut solido habitu mente comprehendas patebitque tibi unamquamque earum 4 ex reliquis secare cuius quatuor latera cum sint communes sectiones ipsius secantis et quatuor sectarum. Sint autem ille quatuor secte bine et bine secundum quod ad invicem opponuntur equidistantes ex ypothesi, sequitur ex 16 bis [f.116v] accepta ut 4 latera huius superficiei secantis et quatuor sectarum sint ad invicem bina et bina equidistantia. Constat itaque secundum. At vero ex 34 primi manifestum est omnia latera opposita istarum sex superficierum esse equalia, erunt igitur bina latera angulum planum continentia cuiusque earum equalia binis lateribus angulum planum in superficie sibi opposita continentibus. Anguli quoque ab illis binis et binis lateribus contenti equales per 10 huius. Itaque ex conversa penultime communis scientie in primo libro posite necesse est quasque superficies duas in solido a b oppositas esse sibi invicem equales. Quod est primum.

Si superficies quedam secet solidum paralellogramum equidistanter duabus ipsius solidi superficiebus oppositis, duo partialia corpora, que ad illam secantem superficiem velut ad communem terminum copulantur, suis basibus sunt proportionalia etcetera.

Sit corpus a b solidum paralellogramum et secet ipsum superficies c d equidistanter duabus eius oppositis superficiebus que sunt a e et f b. Et sit superficies g b basis ipsius solidi a b de qua constat per premissam quod ipsa sit equidistantium laterum. Et sit communis sectio duarum superficierum c d et g b linea h d de qua constat per 3 huius quod ipsa sit linea recta et per 16 huius quod ipsa sit equidistans g e. Ideoque sunt due superficies g d et h b equidistantium laterum et ipse sunt bases duorum partialium corporum in que superficies c d dividit solidum a b. Dico itaque quod proportio solidi a d ad solidum c b est sicut basis g d ad basim h b. Protrahantur enim utrinque quantum libuerit 4 linee penetrantes superficiem c d super eius angulos et ipse sunt a f et e b cum duabus reliquis sibi equidistantibus. Sumanturque ex eis omnibus portiones ex parte puncti b quot libuerit que ponantur singule equales linee d b et ex parte puncti e alie similiter quot libuerit que ponantur equales linee e d. Inter quas lateraque constituantur solida paralellograma secundum suarum longitudinum exigentiam. Sintque ex parte puncti b solida f k et l m, et ex parte puncti e solida a n et p q. Eritque ex diffinitione corporum equalium atque similium unumquodque solidorum f k et l m equale solido c b et unumquodque a n et p q est equale a d. Fiat igitur argumentum quemadmodum in prima sexti. Est enim solidum c m ita multiplex solidi c b sicut basis h m basis h b et solidum q c ita multiplex solidi a d sicut basis q h basis g d. Et si basis h m equalis est basi q h, solidum c m est equale solido q c ex diffinitione corporum equalium atque similium. Et si basis est minor basi, solidum est minus solido et si maior, maius quod patet ex eadem diffinitione. Resecata maiori basi ad equalitatem minoris et descripto super eam solido paralellogramo itaque ex diffinitione incontinue [f.117r] proportionalitatis proportio solidi a d ad solidum c b sicut basis g d ad basim h b. Quod est propositum.

Quod si superficies aliqua secet corpus serratile equidistanter duabus eius triangularibus superficiebus oppositis, duo partialia corpora, que ad illam secantem superficiem velut ad communem terminum copulantur, suis basibus erunt proportionalia. Sit enim a f corpus serratile cuius sint due trigone superficies a b c, d e f. Constat igitur ex diffinitione serratilis unamquamque trium superficierum que sunt a b d e, b c e f, a c d f esse paralellogramum. Secet igitur superficies g h k istud serratile equidistanter duabus eius oppositis superficiebus que sunt a b c, d e f. Dico quod proportio serratilis a k ad serratile g f est sicut basis a k ad basim g f. Quod sicut de solidis paralellogramis probatur. Protractis enim in utramque partem lineis a d, e b, c f factisque inter eas ex parte puncti e serratilibus equalibus serratili g f et ex parte puncti b aliis equalibus serratili a k utrinque quovis numero ex diffinitione incontinue proportionalitatis (si cuncta vigili mente perlustres) non erit tibi difficile concludere quod diximus.

Super datum punctum date linee angulo proposito equalem solidum angulum constituere.

Solidus angulus propositus sit a qui contineatur tribus lineis a b, a c, a d tres superficiales angulos ipsum solidum perficientes continentibus cui super punctum e linee e f proposite que ad libitum proponentis iaceat aut in sublimi consurgat iubemur equalem solidum angulum constituere. Qualiscumque sit situs linee e f a puncto g ubicumque volueris signato producito lineam g e eruntque ex secunda huius due linee e f et g e in superficie una. In hac itaque superficie super punctum e datum in assignata linea secundum consilium 23 primi constitue angulum equalem angulo b a c et ipse sit f e g. Dehinc ex linea a d abscinde lineam a h sicut volueris, et a puncto h producito perpendicularem h k ad superficiem in qua sunt due linee a b et a c. Quod qualiter faciendum sit, 11 huius docuit. Nec sit tibi cura de puncto k. Nihil enim refert utrum perpendicularis h k occurrat superficiei in qua sunt due linee a b et a c, inter ipsas lineas aut extra aut in earum altera ducito tamen lineam a k. Positoque puncto l in linea a b ubicumque volueris, protrahe lineas k l et l h et pone angulum f e m in superficie linearum e f et e g equalem angulo b a k, et lineam e m equalem linee a k et ex linea e f sume lineam e p equalem linee a l et a puncto m educ lineam m n perpendicularem ad superficiem in qua sunt due linee e f et e g et pone eam equalem h k et protrahe lineas e n, n p et p m. Dico igitur tres lineas e f, e g, e n continere angulum solidum in puncto e equalem angulo a proposito. Cum sint enim ex ypothesi duo latera a k et k h trianguli a k h equalia duobus lateribus e m et m n trianguli e m n et anguli qui sunt ad k et m recti ex diffinitione linee perpendiculariter erecte supra superficiem, erunt per 4 primi due linee a h et e n equales. Per eandem quoque erunt due linee k l et m p equales ideoque etiam per eandem h l et n p equales. Cum sint h k et k l equales n m et m p et anguli h k l et n m p recti, per 8 igitur primi erit angulus n e p equalis angulo h a l. Simili quoque modo probabis angulum g e n esse equalem angulo c a d. Constat itaque nos effecisse quod volumus. Huic tamen si studiosus institeris, quotcumque lateribus a solidus angulus propositus contineatur quod a te petitur, sine offendiculo perficere poteris.

Super assignatam lineam dato solido [f.117v] equidistantium superficierum simile solidum constituere.

Sit assignata linea a b de cuius situ utrum in plano iaceat vel sursum exurgat, nichil curetur. Sitque assignatum solidum paralellogramum corpus c d cui super lineam a b iubemur simile solidum fabricare. Sint igitur tres linee continentes superficiales angulos ex quibus componitur solidus angulus c inscripte litteris c e, c f, c g. At secundum precepta premisse super punctum a linee a b constituatur angulus solidus equalis c quem contineant tres linee a b, a h, a k et auxilio 10 sexti sit proportio c e ad a b et c f ad a h et c g ad a k proportio una. Dehinc a tribus punctis b, h, k protrahantur sex linee: h l equidistans linee a b et h m equidistans linee a k, itemque b l equidistans linee a h et b n equidistans linee a k. Rursus quoque k n equidistans a b et k m equidistans a h. Amplius etiam protrahantur m p equidistans h l et p l equidistans h m, protrahatur quoque et linea p n. Eritque completum solidum paralellogramum a p quod dico esse simile solido c d. Hoc autem ex diffinitione similium superficierum et diffinitione similium corporum, si earum memineris, facile concludes etcetera.

Si superficies aliqua solidum paralellogramum super duas quaslibet oppositas superficies eius terminales et super earum duas diametros secet, eandem superficiem corpus illud per equalia secare necesse est.

Sit corpus a b solidum paralellogramum de quo sit positum quod superficies a b c d secet ipsum super diametros duarum superficierum oppositarum ipsum solidum terminantium que sint a d et c b. Dico quod ipsa dividit istud solidum propositum per equalia. Constat enim quod ipsa dividit illud solidum in duo serratilia quorum superficies quadrilateras binas et binas ad invicem relatas secundum quod ipse sunt opposita latera solidi propositi. Manifestum est ex 24 huius esse equales cum solidum de quo loquimur positum sit esse paralellogramum. Ex eadem quoque et 41 primi constat trilateras superficies dictorum serratilium esse equales. Igitur a diffinitione solidorum equalium liquet quod propositum est.

Cuncta solida equidistantium superficierum eque alta, in eadem basi atque super lineam unam constituta, probantur esse equalia.

Verum est quod solida equidistantium laterum [f.118r] eque alta sive inter superficies equidistantes super unam et eandem basim constituta sunt ad invicem equalia sicut de superficiebus equidistantium laterum super unam basim et inter lineas equidistantes constitutis in 35 primi demonstratum est. Sed talium solidorum quedam dicuntur constitui super lineam unam et sunt illa quorum supremarum superficierum duo opposita latera sunt secundum rectitudinem protracta linea una. Et de talibus hec 29 demonstrandum proponit ipsa omnia esse equalia. Sunt eorum alia que non dicuntur constituta super lineam unam et sunt illa quorum supremarum superficierum duo latera opposita quecumque sumantur secundum rectitudinem protracta non sunt linea una et de talibus sequens demonstrandum proponet ipsa quoque omnia esse ad invicem equalia. Sint itaque duo solida paralellograma eque alta sive inter superficies equidistantes a b et a c constituta super unam basim que sit a d quorum supreme superficies sunt e b et f c. Sintque harum supremarum superficierum duo latera opposita, cum secundum rectitudinem protrahantur, linea una et ipsa sunt e f et b c. Dico itaque quod solida a b et a c sunt equalia. Hoc autem (si figuram eius secundum quod oportet actu vel cogitatione fabricaveris et quemadmodum in 35 primi processeris idem faciens hic de serratilibus quod ibi de triangulis) facile concludere poteris occurrentque tibi hic eedem diversitates in solidis que ibi in superficiebus occurrisse novisti etcetera.

Cuncta solida equidistantium superficierum eque alta, que in eadem basi, non autem super unam lineam fuerint constituta, probantur esse equalia.

Sint autem duo solida paralellograma eque alta sive inter superficies equidistantes sintque super unam et eandem basim, sed non super lineam unam constituta. Dico iterum ea esse equalia. Esto enim duo solida paralellograma a b et a c eque alta sive inter superficies equidistantes constituta super unam basim que sit a d, sed non super lineam unam. Sintque eorum supreme superficies e b et f c quarum opposita latera secundum rectitudinem protracta non erunt linea una. Cumque ipsa ex ypothesi sint in una superficie eo quod solida proposita sunt inter superficies equidistantes, necesse est ut duo latera unius earum protracta secundum rectitudinem secent duo alterius earum protracta secundum rectitudinem. Protrahantur itaque duo opposita latera superficiei e b que sint e g et h b et duo opposita superficiei f c que sint k f et c l et secent se super 4 puncta m, n, p, q eritque superficies m n p q equidistantium laterum equalis unicuique trium superficierum quarum una est basis propositis solidis communis et ipsa est a d et due relique sunt supreme superficies eorundem solidorum et ipse sunt e b et f c. Ductis itaque lineis a 4 punctis m, n, p, q ad 4 angulos basis a d sibi secundum directam habitudinem relatos que sunt n a, m r, p s, q d perfectum erit solidum paralellogramum a q in eadem basi cum utroque duorum priorum et eque altum et super lineam unam cum utroque ipsorum. Per premissam igitur utrumque duorum solidorum propositorum que sunt a b, a c est equale solido a q. Per conceptionem ergo est solidum a b equale solido a c. Quare constat propositum.

Potes quoque conversas huius et premisse probare [f.118v] si libet ducendo ad impossibile. Pones enim duo quelibet solida paralellograma esse equalia et constituta super eandem basim et demonstrabis ea esse eque alta. Eruntque hec et premissa tue demonstrationis medium. Impossibile autem, ad quod duces, erit partem suo toti esse equalem. Quod evidenter patebit si de illo solido (quod altius mentitur esse adversarius cum tamen ambo posita sint equalia et super eandem basim constituta) unum solidum paralellogramum eque altum demissiori abscideris. Hoc enim abscisum esse equale demissiori convinces ex hac et premissa, ideoque et toti illi a quo ipsum abscideris ex communi scientia etcetera.

Solida equidistantium superficierum in basibus equis constituta si fuerint eque alta lineeque angulares supra bases orthogonaliter steterint, erunt equalia.

Et hoc quoque verum est quod omnia solida paralellograma in equis basibus atque inter equidistantes superficies sive eque alta constituta sunt ad invicem equalia sicut de superficiebus equidistantium laterum super equales bases et inter lineas equidistantes constitutis in 36 primi probatum est. At talium solidorum alia sunt quorum angulares linee super suas bases orthogonaliter eriguntur de quibus hec 31 demonstrandum esse proponit ea esse equalia. Alia vero sunt quorum angulares linee super suas bases non sunt orthogonaliter erecte de quibus sequens demonstrandum proponit esse ea equalia. Intelligantur itaque super duas bases a b et c d que sunt equales et equidistantium laterum, non autem unius creationis. Sed sit a b tetragonus longus et c d simile elmuhahym, duo solida equidistantium laterum eque alta constituta sintque erecte linee super angulos propositarum basium perpendiculares ad ipsas. Dico hec duo solida esse ad invicem equalia. Protrahantur enim duo latera basis a b et sint illa que continent angulum b usque ad f et e et fiat angulus f b g equalis angulo c basis c d et sumantur due linee b f, b g equales duobus lateribus basis c d que continent angulum c. Et perficiatur superficies equidistantium laterum b h que erit equalis et similis basi c d. Dehinc protrahatur h e equidistans b f et f k equidistans b e eritque quadrilatera superficies b k equidistantium laterum equalis b h ex 35 primi. Cumque b h sit equalis c d, erit per conceptionem b k equalis a b. Compleatur itaque superficies equidistantium laterum b l protracta linea k f quousque concurrat cum uno ex lateribus continentibus angulum a in puncto l. Age ergo super tres superficies equidistantium laterum que sunt b h, b k, b l, constituantur solida eque alta solido constituto super basim a b sintque omnium horum linee solidorum erecte super bases perpendiculares ad ipsas et appellentur bases et solida super ipsas constituta eisdem nominibus. Manifestum est ergo ex diffinitione solidorum equalium atque similium quod duo solida b h et c d equalia sunt atque similia. De solidis autem b h et b k constat ex 29 quod ipsa sunt equalia. Sunt enim eque alta et constituta super unam et eandem basim et ipsa est superficies erecta super lineam b f et super lineam unam. Est autem per 25 proportio solidi a b ad solidum b l sicut basis b a ad basim b l et per eandem solidi b k ad solidum b l sicut basis b k ad basim b l. Cumque sit utriusque duarum basium a b et b k ad basim b l una proportio, ex prima parte 7 quinti erit utriusque duorum solidorum a b et b k ad solidum b l una proportio. Ex prima parte igitur 9 quinti erunt duo solida a b et b k equalia. At quia solidum b k est equale solido b h solidumque b h solido c d, sequitur ex communi scientia solidum a b esse equale solido c d. Quod est propositum.

Si solida equidistantium superficierum in equis basibus constituta eque alta fuerint, linee autem angulares supra bases orthogonaliter non steterint, ipsa esse equalia necesse est.

Fabricatis duobus corporibus ut proponitur videlicet que sint equidistantium terminorum et eque alta et super equas bases, perpendiculariter non autem super bases suas erecta, sed ambo super eas inclinata. Si autem a 4 angulis supremarum superficierum ipsorum ad bases suas perpendiculares ducantur que ex 6 erunt singule singulis equidistantes et etiam ex ypothesi singule singulis equales (ipse enim solidorum propositorum altitudinem diffiniunt) et si inter eas solida equidistantium laterum perficiantur, constabit ex premissa hec duo solida ultimo constituta esse ad invicem equalia. Cumque duorum priorum et duorum posteriorum sint eedem bases videlicet eorum superficies supreme, constat ex 29 vel 30 et hac communi scientia: quecumque equalibus sunt equalia sibi invicem sunt equalia, verum esse quod propositum est.

Ex his quoque potes conversas huius et premisse eisdem mediantibus indirecte demonstrare si libet eodem modo et ad idem inconveniens sicut in conversis duarum istas antecedentium deducendo. Pones enim duo solida paralellograma esse equalia et super equales bases et convinces ea esse eque alta. Vel pones ea esse equalia et eque alta et convinces ea esse super equales bases.

Omnia solida equidistantium superficierum eque alta suis basibus sunt proportionalia.

Sint duo solida equidistantium superficierum eque alta constituta super duas bases a b et c d. Dico quod proportio illorum duorum solidorum unius ad alterum est sicut proportio suarum basium que sunt a b et c d unius ad alteram. Constat quidem ex 24 utramque harum duarum basium esse equidistantium laterum. Duo igitur latera opposita et equidistantia in superficie a b protrahantur et inter ea fiat superficies equidistantium laterum que sit f e equalis c d. Dehinc supra superficiem f e compleatur solidum paralellogramum eque altum ei quod constitutum est super basim a b sitque amborum communis terminus illa superficies que exurgat super lineam b f. Hec autem solida et sue bases eisdem nuncupentur nominibus. Quia igitur basis f e est equalis basi c d, erit ex 31 vel 32 solidum f e equale solido c d. At quoniam totale solidum a e secat superficies exurgens super lineam b f equidistanter duobus lateribus oppositis, erit ex 25 proportio solidi f e ad solidum a b sicut basis f e ad basim a b. Cumque sint c d et f e tam bases quam solida equalia, bases quidem ex ypothesi, solida autem ex 31 vel 32, sequitur ex 7 quinti bis assumpta semel pro basibus et semel pro solidis quod solidorum a b et c d basiumque a b et c d sit proportio una. Quod demonstrare volumus.

Huius quoque conversam eadem ipsa mediante demonstrare quemadmodum conversas precedentium non est difficile. Pones enim duo solida paralellograma esse suis basibus proportionalia et convinces ea esse eque alta. Absciso enim ex eo quod altius mentietur adversarius uno solido paralellogramo eque alto demissiori erunt abscisum et demissius suis basibus proportionalia ex hac 33. Cumque etiam essent totale altius a quo partiale abscidisti et ipsum demissius eisdem basibus [f.119v] proportionalia ex ypothesi, sequitur ex prima parte 9 quinti totale quod adversarius dicit altius et partiale quod ab eo abscidisti esse equalia.

Si duo solida equidistantium superficierum lineis altitudinum super bases orthogonaliter erectis fuerint equalia, eorum bases eorundem altitudinibus mutuas esse. Si vero fuerint due bases suis altitudinibus mutue, ipsa solida sibi invicem equalia esse necesse est.

Quecumque sint duo solida equidistantium superficierum equalia, eorum bases et altitudines necesse est esse mutekefias et econverso, quemadmodum de superficiebus equidistantium laterum equiangulis 13 sexti proposuit. Attamen hac 34 istud demonstrandum proponitur de illis solidis paralellogramis in quibus linee altitudinum suis basibus orthogonaliter insistunt. Ea vero, que sequitur, proponit idem etiam de ceteris. Sint ergo nunc duo solida paralellograma a b et c d equalia quorum bases sint a e et c f lineeque altitudinum ipsorum sint super has bases orthogonaliter erecte et sit altitudo solidi a b linea e b et solidi c d linea f d. Si igitur fuerint due linee e b et f d terminantes ipsorum solidorum altitudines ad invicem equales cum ipsa quoque solida sint ex ypothesi equalia, erunt ex conversa 31 bases eorum que sunt a e et c f equales. Ideoque bases et altitudines erunt mutue. Sicque constabit propositi prima pars. Et econverso constabit secunda. Ut si altitudines et bases sint mutue, ponantur autem altitudines equales, erunt quoque bases equales ideoque per 31 et solida equalia. Et sic constat secunda pars. At vero si linee e b et f d non fuerint equales, sit f d maior et ex ea resecetur f g ad equalitatem e b tribusque ceteris lineis que sunt altitudinis solidi c d ad eandem mensuram in punctis h, k, l resecatis perficiatur solidum paralellogramum c g eque altum solido a b. Eritque ex premissa a b ad c g sicut a e ad c f. Cum itaque c d sit equale a b, erit ex prima parte 7 quinti c d ad c g sicut a e ad c f. Per premissam autem est proportio c d ad c g sicut m f ad f l. Quod patet si una ex lateralibus superficiebus solidi c d (et ipsa sit f m) intelligatur basis ipsius. At per primam sexti m f ad f l sicut d f ad f g ideoque per 7 quinti sicut d f ad b e. Igitur a e ad c f sicut d f ad b e. Constat itaque pars prima.

Secundam partem cum sit conversa prime converso modo probabis. Sit enim eadem dispositione manente proportio a e ad c f sicut d f ad e b. Dico tunc solida a b et c d esse equalia. Erit enim ex 7 quinti d f ad f g sicut a e ad c f. Sed ex premissa est a b ad c g sicut a e ad c f. Igitur est a b ad c g sicut d f ad f g. Ex prima autem sexti est d f ad f g sicut m f ad f l et ex premissa c d ad g c sicut m f ad f l. Itaque c d ad c g sicut a b ad c g, igitur ex 9 quinti a b et c d sunt equalia. Quod est propositum.

Si duo solida equidistantium terminorum fuerint equalia, eorum bases [f.120r] eorum altitudinibus erunt mutue. Si vero bases sue altitudinibus suis mutue fuerint, quelibet duo corpora equidistantium superficierum probantur esse equalia etcetera.

Quod premissa proposuit de solidis paralellogramis quorum linee altitudinum super bases suas orthogonaliter exurgunt, hec 35 proponit indistincte de omnibus. Demonstrare autem convenit hanc ex premissa quemadmodum demonstravimus 32 et 33. Fabricatis enim duobus solidis equidistantium laterum quibuscumque si linee altitudinum suis basibus orthogonaliter insistunt, constat verum esse quod dicitur ex premissa. Sin autem, a 4 angularibus punctis supremarum superficierum in utroque solido quaterne linee demittantur perpendiculariter ad bases vel a punctis angularibus infimarum superficierum quaterne erigantur, inter quas duo solida paralellograma perficiantur eque alta solidis prioribus. Eruntque ex 29 et 30 hec duo solida duobus solidis prioribus equalia. Cum igitur horum et eorum sint eedem bases et eedem altitudines, sit autem ex premissa de posterioribus verum quod hec 35 proponit, verum erit etiam idem de prioribus.

Si duo solida equidistantium superficierum fuerint similia, proportio erit utriusque ad alterum tamquam cuiuslibet sui lateris ad suum relativum latus alterius proportio triplicata.

Sint duo solida a b et c d paralellograma et similia. Dico quod proportio unius eorum ad alterum est sicut unius lateris eius ad unum latus alterius quod sibi refertur proportio triplicata, quemadmodum duarum similium superficierum proportio est sicut suorum relativorum laterum proportio duplicata ut in 18 sexti demonstratum est. Nam si solida a b et c d fuerint equalia, cum ipsa ponantur similia, erunt ex diffinitionibus similium corporum et similium superficierum cuncta latera unius equalia suis relativis lateribus alterius. Ideoque cum duarum quantitatum equalium proportio triplicata aut quotienslibet sumpta non efficiat nisi equalitatis proportionem, constat in hoc casu verum esse quod proponitur. Si autem inequalia, sit a b maius cuius longitudo sit b e, latitudo e f, altitudo f a, basis e r et suprema superficies a n, solidi vero c d sit longitudo d g, latitudo g h, altitudo h c. Constat itaque ex diffinitione similium corporum et ex diffinitione similium superficierum et presenti ypothesi quod proportio a f ad c h et f e ad h g et e b ad d g sit una proportio. Sumatur igitur ex linea a f quam manifestum est esse maiorem c h, linea f k equalis h c cetereque tres determinantes altitudinem solidi a b resecentur ad equalitatem eius et inter eas compleatur solidum paralellogramum k b eque altum solido c d. Et protrahantur due linee basis e b usque ad l et r b usque ad m sitque b l equalis g d et b m equalis h g et perficiatur [f.120v] superficies equidistantium laterum m l que erit equalis et similis h d. Super eam igitur erigatur solidum paralellogramum p q secundum altitudinem prescisam ex altitudine solidi a b eritque p q equale et simile solido c d. Rursusque inter lineas r b et b l perficiatur superficies equidistantium laterum b t super quam quoque erigatur solidum paralellogramum x l eque altum utrique duorum solidorum k b et p q replendo alterutrum duorum angulorum hyatuum inter ea. Cum autem duo solida a b et p q sint similia eo quod ambo posita sunt similia solido c d, corpora vero uni et eidem corpori similia inter se sunt similia ut patet ex diffinitione corporum similium et 20 sexti. Manifestum est ex 25 ter assumpta quod inter duo solida a b et p q secundum continuam proportionalitatem cadunt duo solida k b et x l. Oportune ergo constructa figura ypothesibusque memorie firme commendatis ex prima sexti facile concludes propositum.

Excute torporem et diligenter attende sciesque ex 25 huius proportionem solidi a b ad solidum k b esse sicut superficiei a r ad superficiem k r ideoque ex prima sexti sicut linee a f ad lineam k f et proportionem solidi k b ad solidum x l sicut superficiei k r ad superficiem x t ideoque sicut linee f r ad lineam r t et proportionem solidi x l ad solidum p q sicut superficiei r l ad superficiem l m ideoque sicut linee r b ad lineam b m. Ex ypothesi vero liquet quod proportio linee f r ad lineam r t et linee r b ad lineam b m est sicut linee a f ad lineam k f. Itaque ex diffinitione proportionis triplicate posita in prohemio quinti constat quod proportio solidi a b ad solidum p q ideoque etiam ad solidum c d est sicut linee a f ad lineam k f triplicata. Et quia linea k f posita est equalis linee c h, patet verum esse quod dicitur.

Scire autem oportet quod quicquid per hanc 36 et per 7 eam continue precedentes demonstratum est de solidis paralellogramis, idem quoque verum est de serratilibus quorum bases communiter sunt trigone aut communiter tetragone. Hoc autem ex 28 et hac 36 et 7 eam continue precedentibus constabit ingenioso inspectori. Si enim fuerint serratilia quelibet eque alta super eandem basim vel super bases equales communiter tamen trigonas aut communiter tetragonas cum ipsa sint dimidia solidorum paralellogramorum suarum altitudinum ex 28, ipsa erunt equalia ex 29 et tribus eam sequentibus. Ex hiis enim constat solida paralellograma ipsis serratilibus dupla esse equalia. Similiter quoque si fuerint duo serratilia super bases communiter trigonas aut communiter tetragonas eque alta, ipsa erunt suis basibus proportionalia quemadmodum de solidis paralellogramis 33 proponit. Ipsa enim sunt ex 28 dimidia solidorum paralellogramorum sue altitudinis. Solidorum autem paralellogramorum sue altitudinis eorumque basium est una proportio ex 33. Cum itaque sit solidorum paralellogramorum proportio sicut serratilium (quia sicut simplum ad simplum sic duplum ad duplum ex 15 quinti) atque basium solidorum paralellogramorum est proportio sicut basium serratilium (aut enim eedem erunt bases serratilium et solidorum paralellogramorum et hoc quidem erit cum bases serratilium fuerint tetragone, tunc enim erunt ex serratilibus super easdem bases solida paralellograma complenda, aut bases serratilium erunt subduple ad bases solidorum paralellogramorum et hoc quidem erit cum bases serratilium fuerint communiter trigone, tunc enim erunt ex serratilibus solida paralellograma complenda adiunctis ad bases serratilium superficiebus trigonis ut fiant bases serratilium cum trigonis adiunctis superficiebus superficies equidistantium laterum) sequitur ut sit proportio serratilium sicut suarum basium. Eodemque modo si serratilia fuerint equalia fuerintque communiter super bases trigonas vel communiter super bases tetragonas, bases eorum altitudinibus eorum mutue erunt. Quod si bases eorum suis altitudinibus fuerint mutue, ipsa serratilia erunt equalia quemadmodum de solidis paralellogramis 34 et 35 proponunt. Hoc autem facile patet ex hiis que dicta sunt in 35. Si vero serratilia fuerint ad invicem similia, erit proportio unius ad alterum sicut proportio lateris unius ad suum relativum latus alterius proportio triplicata quemadmodum de solidis paralellogramis 36 proponit. Quod ex eadem 36 facile tibi patebit, si ex illis serratilibus similibus solidis paralellogramis completis solida ipsa probaveris esse similia. Quod ex diffinitione similium corporum et similium superficierum et ex hoc quod serratilia ponuntur ad invicem similia et ex 34 primi leve est negotiari etcetera. [f.121r]

Si fuerint duo anguli plani equales, super quos due ypothenuse in aere statuantur cum lateribus angulorum subiacentium singulos singulis equos angulos continentes, atque in illis ypothenusis duo puncta signentur, a quibus punctis due perpendiculares ad superficies angulorum propositorum dimittantur, a punctis autem super que perpendiculares ceciderint ad eosdem angulos planos due recte linee ducantur, duo anguli qui a duabus illis lineis atque duabus ypothenusis continentur equi sibi invicem esse probantur.

Sint duo anguli plani a et d equales contenti lineis a b, a c et d e, d f et super eos erigantur due linee ypothenusaliter a g et d h. Sitque angulus g a c equalis angulo h d f et angulus g a b equalis angulo h d e atque in duabus ypothenusis a g et d h signentur quomodolibet duo puncta k et l a quibus secundum precepta 11 huius dimittantur ad superficies angulorum a et d due perpendiculares que sunt k m et l n et protrahantur due linee a m et d n. Dico igitur angulum g a m esse equalem angulo h d n. Si linea a k est equalis d l, bene quidem. Sin autem, ex linea a g sumatur a p equalis d l et a puncto p dimittatur perpendicularis ad superficiem anguli a linea que sit p q. Manifestum est igitur quod punctum q est in linea a m quod ex 6 huius et diffinitione linearum equidistantium quas necesse est esse in superficie una facile constat studiose intuenti. Dehinc a puncto q ducantur due perpendiculares una ad lineam a b que sit q r et alia ad lineam a c que sit q s. Similiter quoque a puncto n ducantur alie due perpendiculares una ad lineam d e que sit n t et alia ad lineam d f que sit n x. Et protrahantur r s et t x. Itemque a punctis p et l dimittantur ypothenuse p q, p r, p s et l n, l t, l x. Hiis itaque positis figuraque prudenter disposita demonstrationem propositi sic collige: Constat ex penultima primi quod quadratum linee a p est equale quadratis duarum linearum a q et q p ac ex eadem quod quadratum a q est equale quadratis duarum linearum a s et s q. Itaque quadratum a p est equale quadratis trium linearum a s, s q et q p. Sed ex eadem quadratum s p est equale quadratis duarum linearum s q et q p, ergo quadratum a p est equale quadratis duarum linearum [f.121v] a s et s p. Ideoque ex ultima primi angulus a s p est rectus. Simili modo probabis unumquemque trium angulorum d x l, a r p, d t l esse rectum. Cum igitur ex ypothesi sit angulus s a p equalis angulo x d l et linea a p linee d l, erit ex 26 primi linea d x equalis a s et x l equalis s p. Eodemque modo cum ex ypothesi sit angulus r a p equalis angulo e d l, erit ex eadem linea a r equalis d t et r p equalis t l. Quare per 4 primi linea r s erit equalis linee t x et angulus a r s equalis angulo d t x et angulus a s r angulo d x t. Est enim ex ypothesi angulus a equalis angulo d. A conceptione igitur erit angulus s r q equalis angulo x t n et angulus r s q angulo t x n. Sunt enim residui duorum rectorum demptis equalibus. Necesse est itaque ex 26 primi ut linea r q sit equalis t n et q s equalis n x. Cumque ex penultima primi quadratum linee r p sit equale quadratis duarum linearum r q et q p et quadratum linee t l equale quadratis duarum linearum t n et n l, sint autem due linee r p et t l equales, due quoque, que sunt r q et t n, equales, sequitur ex communi scientia duas que sunt p q et l n esse equales. Eodem modo cum quadratum linee a p sit equale quadratis duarum linearum que sunt a q et q p, similiter quadratum linee d l equale quadratis duarum linearum que sunt d n et n l, sit autem a p equalis d l et p q equalis l n, sequitur ex communi scientia a q esse equalem d n. Ex 8 igitur primi conclude propositum videlicet angulum p a m esse equalem angulo l d n.

Solidum tribus lineis proportionalibus contentum equum erit solido quod a medie linee equis lateribus continetur, si anguli sui amborum sibi invicem fuerint equales.

De solidis paralellogramis intellige. De hiis enim qualiacumque sint dum tamen equiangula verum est quod contentum a tribus lineis proportionalibus equale est ei quod a media earum continetur quemadmodum de superficiebus rectangulis probatum est in 16 sexti et de non rectangulis elicitur evidenter ex secunda parte 13 eiusdem. Sint igitur tres linee a b, d c et c b continue proportionales fiatque ex eis unus angulus solidus ad libitum et perficiatur solidum equidistantium laterum cuius linea a b sit longitudo, b c vero altitudo, sed c d latitudo et ipsum solidum dicatur a d. Sumpta quoque alia linea qualibet equali b c que etiam vocetur b c super ipsius extremitatem, que est b, constituatur angulus solidus equalis angulo solido a secundum quod docet 26 lineeque cetere solidum angulum b continentes resecentur ad equalitatem linee b c et perficiatur solidum equidistantium superficierum cuius longitudo, latitudo et altitudo sit linea b c et ipsum appelletur b c. Dico itaque duo solida a d et b c esse equalia. Manifestum est enim quod cuncte superficies unius equiangule sunt suis relativis superficiebus alterius, quod ex 34 primi patere potest. Nam cum solidus angulus b ponatur equalis solido angulo a, necesse est ut unus angulus uniuscuiusque superficiei solidi a d sit equalis uni angulo sue relative superficiei in solido b c. Itaque per 34 primi eorum oppositi erunt equales. Atque quia uniuscuiusque superficiei quadrilatere omnes anguli sunt equales 4 rectis ex 32 primi, necesse est duos reliquos unius esse equales duobus reliquis sue relative. Cumque ipsi duo reliqui in qualibet sint etiam ad invicem [f.122r] equales, convincitur necessario ut unaqueque ex superficiebus solidi a d sit equiangula sue relative in solido b c. Quare ex secunda parte 13 sexti bases duorum propositorum solidorum erunt equales. Sunt enim equiangule et laterum mutuorum. Si itaque linee altitudinum super bases ipsorum orthogonaliter insistunt, constat ex 31 ipsa esse equalia. Cum enim hee linee sint equales et ipse determinent altitudinem solidorum, erunt solida eque alta. At si linee altitudinum ipsorum non insistunt suis basibus orthogonaliter, ab ipsarum summitatibus ad bases perpendicularibus demissis erunt ex premissa hee perpendiculares ad invicem equales, ipse enim erunt sicut erant in premisse demonstrationis figura due linee p q et l n quas demonstravimus oportere esse equales. Quia igitur omnium solidorum altitudo ex perpendicularibus a summitatibus ipsorum ad suas bases descendentibus diffinitur, erunt ex 32 duo solida a d et c b equalia.

Conversam quoque huius possumus si delectat converso modo probare. Ut si paralellogramum corpus a d sit equale et equiangulum corpori paralellogramo b c et corpus b c contineatur a media trium linearum continentium corpus a d, erunt tres linee continentes a d corpus continue proportionales. Cum enim duo solida paralellograma a d et c b sint equalia et eque alta ex ypothesi, ipsa erunt super bases equales per conversas 31 et 32. Et quia ipse bases eorum sunt equiangule, sequitur ex prima parte 13 sexti quod ipse sint mutuorum laterum. Itaque proportio a b ad b c sicut b c ad c d. Quare constat propositum.

Si fuerint quotlibet linee proportionales, solida quoque sua equidistantium atque similium uniuscuiusque creationis superficierum erunt proportionalia. Si vero solida equidistantium atque similium uniuscuiusque creationis superficierum fuerint proportionalia, linee quoque a quibus ipsa solida continentur erunt proportionales.

Simile ponit 21 sexti de superficiebus. Sint enim 4 linee a, b, c, d proportionales et super eas fabricentur 4 solida paralellograma eisdem nominibus dicta que sint expresse similia. Duobus enim ad libitum fabricatis super duas lineas a et c cetera secundum precepta 27 constituenda erunt. Dico hec 4 solida esse proportionalia et econverso. Subiungantur enim duabus lineis a et b due in continua proportione que sint e et f quemadmodum docet 10 sexti et duabus lineis [f.122v] c et d alie due que sint g et h. Constat igitur ex 36 et diffinitione proportionis triplicate que posita est in prohemio quinti et ex hac ypothesi quod solida a, b sibi invicem et solida c et d sibi invicem sunt expresse similia quod proportio solidi a ad solidum b est sicut linee a ad lineam f, solidi quoque c ad solidum d sicut linee c ad lineam h. Et quia per 22 quinti proportio linee a ad lineam f est sicut linee c ad lineam h, erit ex 11 quinti solidum a ad solidum b sicut solidum c ad solidum d. Constat igitur pars prima.

Secunda sic: Sint duo solida a et b sibi invicem duoque alia que sint c et d sibi ad invicem expresse similia. Sintque cuncta paralellograma et ponantur proportionalia. Dico quod linee a, b et c, d super quas sunt constituta sunt proportionales. Sit enim ex 10 sexti sicut linea a ad lineam b ita linea c ad lineam k. Et fiat secundum 27 huius super lineam k solidum expresse simile solido d quod etiam dicatur k. Eritque ex diffinitionibus similium corporum et similium superficierum et 20 sexti corpus k expresse simile corpori c. Ideoque per primam partem huius 39 iam probatam erit proportio solidi a ad solidum b sicut solidi c ad solidum k. Et quia eadem erat solidi c ad solidum d, erit ex secunda parte 9 quinti solidum k equale solido d. Cumque esset sibi expresse simile, sequitur lineam k esse equalem linee d. Equalitas enim non producitur ex aliqua proportione triplicata vel quotienslibet sumpta nisi ex equali. Igitur ex secunda parte 7 quinti constat etiam secunda pars. Deciperis autem si arbitraris oportere unumquodque 4 solidorum a, b, c, d esse simile cuilibet aliorum. Necesse est enim duo solida a et b sibi ad invicem, itemque duo c et d sibi ad invicem esse similia. Solida autem c et d solidis a et b esse similia contingens est, necessarium autem non. Item ex hac 39 de serratilibus facile poteris concludere.

Si inscisa fuerint latera duarum oppositarum superficierum cubi unumquodque in duo media exierintque a punctis sectionum due superficies sese invicem secantes et cubum, communem earum sectionem diametrum cubi per equalia secare et ab ipsa diametro versa vice per equalia secari necesse est.

Statue cubum qui sit a b de quo constat per diffinitionem quod omnes linee ipsum continentes sunt equales et eius superficies rectangule. Tale enim corpus cubum dicimus. Huius igitur basis sit superficies a c d e, superficies eius suprema b f g h, dextra vero eius superficies sit a e g h, sinistra autem superficies sit b f c d, citerior quoque sit d e b h, sed ulterior a c g f eiusque diameter sit a b. Dividantur itaque omnia latera duarum quarumlibet oppositarum superficierum eius per equalia et sint nunc superficies quarum latera dividantur dextra atque sinistra. Dividantur inquam quatuor latera: dextre quidem super 4 puncta que sunt o, p, q, r, sinistre vero super 4 que sunt k, m, l, n et coniungantur puncta in hiis superficiebus opposita ductis lineis o p et q r que secent se in puncto t, itemque k l et m n que secent se in puncto s et perficiantur due [f.123r] superficies secantes se invicem et cubum protractis item lineis o k, p l et q m, r n. Sitque harum duarum superficierum communis sectio linea s t. Dico igitur quod linea s t dividit diametrum a b et dividitur ab eadem diametro per equalia. Quod patet, utraque enim earum transit per centrum cubi.

Aliter vero convenit quod propositum est demonstrare. Producantur enim due linee t a et t h et item due c s et s b eritque ex 4 primi a t equalis t h et c s equalis s b. Constat autem ex prima parte 29 primi quod angulus p t q est equalis angulo a q t et ex quarta primi angulus h t p est equalis angulo t a q. Itaque ex 32 primi totus angulus h t q cum angulo q t a valet duos rectos, quare per 14 primi linea a h erit linea una. Similiter quoque linea c b erit linea una. At quia ex 9 huius linea a c est equidistans linee b h (utraque enim est equidistans linee d e) cumque ipse sint equales quia latera cubi, sequitur ex 33 primi duas lineas a h et c b esse equales et equidistantes. Ideoque per conceptionem earum medietates que sunt a t et b s erunt equales. Ex 7 autem huius manifestum est quod linea s c est in superficie duarum linearum a h et b c et ex eadem linea a b que est diameter cubi est etiam diameter superficiei paralellograme a c b h. Itaque linea s t secat diametrum a b. Secet ergo ipsam in puncto u. Dico ergo lineam s u esse equalem linee u t et lineam a u linee u b. Intelligantur duo trianguli a t u, b s u quorum anguli qui sunt ad t et s sunt equales ad invicem. Similiter anguli eorundem qui sunt ad a et b equales ad invicem ex prima parte 29 primi propter id quod linea a t equidistat linee s b. Et quia etiam ipse sunt ad invicem equales, sequitur ex 26 primi quod propositum est.

Idem quoque eodem modo concluditur et si solidum a b non sit cubus sed solum corpus paralellogramum sive equalibus lineis sive inequalibus fuerit contentum sive quoque super basim orthogonaliter erectum sive etiam super ipsam inclinatum. Unde ampliatur in hac 40 figuratio cubi ad omnes figuras solidas paralellogramas.

Si duo corpora serratilia, quorum alterum basim triangulam, alterum vero basim habeat equidistantium laterum ipsi basi triangule duplam, eque alta fuerint, illa duo corpora necesse est esse equalia.

Sit superficies a b c d equidistantium laterum dupla trilatere superficiei e f g et super has duas superficies fiant duo corpora serratilia eque alta. Sitque serratile, quod est supra basim quadrangulam, a b h d c k cuius basis est superficies equidistantium laterum proposita a b c d, alia eius superficies equidistantium laterum est a h d k, tertia vero est b h c k. Due autem eius triangulares superficies sunt: altera quidem triangulus a b h, reliqua vero triangulus d c k. Serratile autem, quod est supra basim triangulam e f g, sit e f g l m n cuius altera duarum trilaterarum superficierum est basis predicta, reliqua vero triangulus l m n, trium autem superficierum eius equidistantium laterum prima quidem est e f l m, secunda vero e g l n, tertia autem f g m n. Dico itaque hec duo serratilia proposita esse ad invicem equalia. Perficiantur enim duo solida paralellograma adiungendo utrique duorum propositorum serratilium aliud serratile sibi equale. Primo quidem serratili super eandem basim sitque adiunctum serratile a p h d q k cuius due trilatere superficies sunt a p h, d q k. Tres autem quadrilatere: prima quidem a h d k que est [f.123v] terminus communis sibi et ei cui adiungitur, secunda vero a d p q, tertia quoque p q h k. Secundo autem serratili adiungitur serratile aliud sibi equale hoc modo. Adiungatur primo triangulo e f g alius triangulus equalis qui sit e g r ita quod tota superficies e f g r sit equidistantium laterum et super hunc triangulum fiat serratile e g r l n s quod cum illo cui adiungitur perficiat corpus paralellogramum. Huius serratilis adiuncti due trilatere superficies sunt e g r, l n s, tres autem paralellograme sunt: prima quidem e r l s, secunda e l g n et ipsa est communis terminus sibi et ei cui adiungitur, tertia vero g r n s. Manifestum igitur est ex diffinitione solidorum equalium atque similium quod duo serratilia componentia solidum paralellogramum a k sibi invicem itemque duo componentia solidum paralellogramum e n sibi ad invicem sunt equalia. At vero ex 31 vel ex 32 huius duo solida a k et e n sunt sibi invicem equalia. Quia ergo horum solidorum medietates sunt serratilia proposita, per communem scientiam constat esse ea equalia. Quecumque enim fuerint equalia, eorum medietates necesse est esse equales. Liquet itaque quod propositum est.