Pars est quantitas quantitatis minor maioris, cum minor maiorem numerat.

Pars quandoque sumitur proprie et hec est que aliquotiens sumpta suum totum constituit precise sine diminutione vel augmento. Et dicitur suum totum numerare per illum numerum secundum quem sumitur ad ipsius totius constitutionem, talem autem partem quam multiplicativam dicimus hic diffinit. Quandoque sumitur communiter et hec est quelibet quantitas [f.30v] minor que quotienscumque sumpta suo toto minus aut maius constituit. Quam aggregativam dicimus eo quod cum alia quantitate diversa totum suum constituat. Per se autem quotienscumque sumpta fuerit non producat.

Multiplex est maior minoris, quando eam minor metitur.

Pars relative dicitur ad totum et in istis duobus extremis consistit eorum ad invicem relatio et ideo diffinito minori extremo diffinit hic maius. Vocat autem ipsum multiplex propter hoc quod minus ipsum aliquotiens sumptum constituat. Erunt igitur relative dicta ad invicem pars et multiplex. Nam omnis pars submultiplex ut patet per eius diffinitionem etcetera.

Proportio est duarum quantecumque sint eiusdem generis quantitatum certa idest determinata alterius ad alteram habitudo.

Proportio est habitudo duarum rerum eiusdem generis ad invicem et in eo quod earum altera maior aut minor est reliqua vel sibi equalis. Non enim solum in quantitatibus reperitur proportio, sed in ponderibus, potentiis et sonis. In ponderibus et potentiis vult Plato in Timeo esse proportionem ubi elementorum numerum ostendit. In sonis autem esse proportionem liquet ex musica. Nam ut vult Boetius in quarto si quilibet nervus in duas inequales partes dividatur, erit earum partium suorumque sonorum eadem converso modo proportio. Sed in quibuscumque proportio reperitur, ea participant naturam proprietatemque quantitatis. Non enim reperitur in aliquibus rebus duabus nisi in eo quod earum una est reliqua maior aut minor aut sibi equalis. Quantitatis autem proprium est secundum ipsam equale vel inequale dici ut vult Aristoteles in predicamentis. Unde liquet proportionem primo in quantitate reperiri et per ipsam in omnibus aliis nec esse in aliquibus rebus proportionem cui similis non sit in aliquibus quantitatibus. Propter quod bene dixit Euclides proportionem simpliciter esse in quantitate cum eam diffinivit per habitudinem duarum quantitatum eiusdem generis ad invicem. Cuius diffinitionis intellectus est quod proportio est habitudo duarum quantitatum ad invicem que attenditur in eo quod una est maior aut minor alia vel sibi equalis. Per hoc patet quod oportet eas esse eiusdem generis ut duos numeros aut duas lineas aut duas superficies aut duo corpora aut duo loca aut duo tempora. Non enim potest dici linea maior aut minor superficie aut corpore nec tempus loco, sed linea linea et superficies superficie. Sola enim univoca comparabilia sunt. Quod autem dicit certa habitudo non sic intelligas quasi nota vel scita, sed quasi determinata ut sit sensus: Proportio est determinata habitudo duarum quantitatum ita inquam determinata quod hec et non alia. Non enim est necessarium ut omnis habitudo duarum quantitatum sit scita a nobis nec etiam a natura. Nam proportio quedam est discretorum ut numerorum, quedam continuorum. In numeris autem minor est pars aut partes maioris ut demonstratur in septimo, quare et in eis omnibus est habitudo certa et nota. At vero in continuis est proportio magis larga. Est enim in eis ubi minor quantitas est pars aut partes maioris et talium omnium mediantibus numeris est proportio nota que et rationalis dicitur. [f.31r] Dicunturque omnes tales quantitates communicantes quia eas una et eadem necessario metitur. Unde et omnes numeri necessario sunt communicantes. Omnes enim ipsos metitur unitas. Est etiam ubi minor non est pars aut partes maioris et in talibus non est nota proportio nec nobis nec nature. Dicitur hec proportio irrationalis et hee quantitates incommunicantes. Unde fit ut quecumque proportio reperitur in numeris, reperiatur in omni genere continuorum ut in lineis, superficiebus, corporibus et temporibus, non autem econverso. Infinite enim sunt proportiones in continuis reperte quas numerorum natura non sustinet. Sed quecumque proportio reperitur in uno genere continuorum eadem reperitur in omnibus. Nam qualitercumque se habet aliqua linea ad quamlibet aliam, sic se habet quelibet superficies ad aliquam aliam et quodlibet corpus ad aliquod aliud, similiter et tempus, sed non sic quilibet numerus ad aliquem alium. Unde magis est larga proportio in continuis quam in discretis. Ex quo manifestum est proportionem geometricam esse maioris abstractionis quam proportionem arismeticam. Omnis enim proportio circa quam arismetica versatur rationalis est, geometria vero rationales et irrationales equaliter considerat etcetera.

Proportionalitas est similitudo proportionum.

Ut si dicamus quod que est proportio a ad b ea est etiam c ad d. Proportio que est inter a et b similis est illi que est inter c et d. Hec autem similitudo que ex istis proportionibus resultat dicitur proportionalitas etcetera.

Quantitates que dicuntur habere continuam proportionalitatem sunt, quarum eque multiplicia equa sunt aut eque sibi sine interruptione addunt aut minuunt.

Supposita divisione proportionalitatis per continuam et incontinuam diffinit membra dividentia et primo continuam. Immo ut verius dicam, supposita divisione proportionalium per continue proportionalia et incontinue diffinit non continuam proportionalitatem nec incontinuam, sed continue proportionalia et incontinue. Diffinitio autem continue proportionalitatis et incontinue satis patet per diffinitionem continue proportionalium et incontinue.

Continua autem proportionalitas est cum quotlibet quantitatum eiusdem generis in qua proportione prima antecedit secundam in eadem quelibet aliarum antecedit proximo consequentem, ut cum dicimus sicut se habet a ad b ita b ad c et c ad d. Erit quelibet earum antecedens et consequens excepta prima a que est solum antecedens et ultima que est tantum consequens d. Et in hac proportionalitate necesse est omnes quantitates esse eiusdem generis propter continuationem proportionum eo quod non sit proportio inter quantitates generum diversorum. Et hec erit ad minus in tribus terminis constituta.

Incontinua autem est cum 4 quantitatum sive omnes fuerint eiusdem generis sive due prime unius et due postreme alterius.

In qua proportione prima antecedit secundam in eadem tertia antecedit quartam ut cum dicimus sicut se habet a ad b ita c ad d. Eritque earum quelibet aut tantum antecedens aut tantum consequens nec est necesse ut sint omnes eiusdem generis sicut erat in proportionalitate continua eo quod consequens prime proportionis non continuatur antecedenti secunde. Sed possibile est ut sint eiusdem generis et possibile est ut sint diversorum. Sicut [f.31v] enim contingit lineam reperiri duplam ad lineam aut triplam ita superficiem ad superficiem et corpus ad corpus et tempus ad tempus et numerum ad numerum. Viso quid sit continua proportionalitas et quid incontinua explanemus diffinitionem continue proportionalium premissam. Quantitates inquit continue proportionales sunt quarum eque multiplicia aut sibi sunt equalia aut sine interruptione addunt aut minuunt.

Verbi gratia: Sint tres quantitates eiusdem generis a, b, c ad quas sumantur d, e, f eque multiplicia ut sicut d est multiplex ad a ita e sit multiplex ad b et f ad c eruntque omnes in eodem genere. Multiplicia enim et submultiplicia in eodem sunt genere sitque ut d, e, f aut sint equalia ad invicem aut similiter se habeant in addendo aut minuendo ita quod sicut d addit super e aut minuit ab ipso ita e addat super f aut minuat ab ipso. Cum hec inquam multiplicia sic se habuerint, erunt tres quantitates a, b, c continue proportionales. Multiplicia autem non similiter intelligas sic se habere in addendo aut minuendo quantum ad quantitatem excessus, sed quantum ad proportionem. Aliter enim diffinitio esset falsa. Nam quarumlibet quantitatum eiusdem generis equis se differentiis excedentium eque multiplicia accepta equis etiam differentiis se excedunt. Unde similiter se habent in addendo et minuendo quantum ad quantitatem excessus. Nec tamen priores quantitates sunt continue proportionales, immo minorum est semper maior proportio. Hoc autem ideo evenit quoniam earum multiplicia non similiter se excedunt quantum ad proportionem, sed solum quantum ad quantitatem excessus. Est enim et ibi in minoribus multiplicibus maior proportio. Verbi gratia: Sumantur tres numeri equis differentiis se excedentes in medietate videlicet arismetica ut 2, 3, 4. Horum trium omnes eque multiplices equaliter se excedunt dupli quidem binario, tripli ternario et sic de ceteris. Non tamen 2, 3, 4 continue proportionalia, immo minorum est maior proportio. Est enim ipsorum proportio sesquialtera et maiorum sesquitertia. Quare ergo inter eos non est similitudo proportionum, non erit inter eos proportionalitas et ideo neque continua neque incontinua. Patet igitur similitudinem illam additionis aut diminutionis non intelligi quantum ad quantitatem excessus, sed quantum ad proportionem. Erit itaque sensus diffinitionis premisse. Continue proportionalia sunt quarum omnia multiplicia equalia sunt continue proportionalia. Sed noluit ipsam diffinitionem proponere sub hac forma quia tunc diffiniret idem per idem, aperte tamen rei est istud cum sua diffinitione convertibile. Tres autem quantitates a, b, c oportet esse eiusdem generis ad hoc ut earum multiplicia sibi invicem equalia sint aut similiter se habeant in addendo aut diminuendo. Si enim a et b essent diversorum generum, essent etiam d et e ipsarum multiplicia eorundem diversorum generum propter hoc quod multiplicia et submultiplicia eiusdem sunt generis, quare d non esset equalis e nec ea maior aut minor. Nam quantitates diversorum generum non sunt ad invicem comparabiles.

Quantitates que dicuntur esse secundum proportionem unam, prima ad secundam et tertia ad quartam, sunt, quarum prime et tertie multiplicationes equales multiplicationibus secunde et quarte equalibus fuerint simul vel additione vel diminutione vel equalitate eodem ordine sumpte.

Alia littera habet: Quantitates que dicuntur incontinuam proportionalitatem habere prima ad secundam et tertia ad quartam sunt quarum prime et tertie multiplices equales multiplicationibus secunde et quarte equalibus simul fuerint additione vel diminutione vel equalitate eodem ordine sumpte.

Posita superius diffinitione quantitatum continue proportionalium hic ponit diffinitionem incontinue proportionalium et est quod quarumlibet quatuor quantitatum quarum prime et tertie eque multiplicia sumpta fuerint et item secunde et quarte [f.32r] eque multiplicia fueritque multiplex prime sic se habens ad multiplex secunde quantum ad additionem aut diminutionem aut equalitatem sicut multiplex tertie ad multiplex quarte, erit proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam. Verbi gratia: Sint 4 quantitates a, b, c, d sumanturque ad primam et ad tertiam que sunt a, c eque multiplicia utpote dupla que sint e et f. Itemque ad secundam et quartam que sint b et d sumantur alia eque multiplicia utpote tripla que sint g et h. Sitque ut hec 4 multiplicia sic sumpta comparata ad invicem secundum ordinem primarum 4 quantitatum ita videlicet quod e comparetur ad g et f ad h, non autem e ad f aut g ad h sint similia in additione vel diminutione et equalitate videlicet quod si e addit supra g et similiter f addat supra h aut si e minuit a g et f similiter minuat ab h aut si e est equalis g et f sit equale h, tunc proportio a ad b est sicut c ad d. Similitudo autem in addendo aut diminuendo intelligatur hic sicut in diffinitione continue proportionalium videlicet non quantum ad quantitatem excessus, sed quantum ad proportionem. Quod autem dicit eodem ordine sumpte intelligatur sicut expositum est videlicet ut multiplicia non referantur ad invicem secundum ordinem earum quantitatum quibus eque multiplicia assumuntur ut multiplex prime non referatur ad multiplex tertie aut multiplex secunde ad multiplex quarte. Sed referantur secundum primum ordinem ipsarum 4 quantitatum videlicet multiplex prime ad multiplex secunde et multiplex tertie ad multiplex quarte. Erit itaque sensus istius diffinitionis: Incontinue proportionales sunt 4 quantitates et proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam cum sumptis eque multiplicibus ad primam et tertiam, itemque eque multiplicibus ad secundam et quartam erit proportio multiplicis prime ad multiplex secunde sicut multiplicis tertie ad multiplex quarte. Sed non diffinivit sub hac forma propter causam predictam licet a parte rei idem sit. Non est autem necessarium ut 4 quantitates a, b, c, d sint eiusdem generis eo quod b non continuatur in proportione cum c, sed possunt esse due prime unius generis et due sequentes alterius. Per quod patet quod necesse est referri multiplex prime ad multiplex secunde et multiplex tertie ad multiplex quarte, non autem multiplex prime ad multiplex tertie aut multiplex secunde ad multiplex quarte quia non semper sunt eiusdem generis multiplex prime et tertie nec multiplex secunde et quarte. Fuit autem necesse sumere eque multiplices ad primam et ad tertiam itemque eque multiplices ad secundam et quartam, et non eque multiplices ad primam et secundam et item non eque ad tertiam et quartam quia nisi per multiplicium sumptionem continuentur termini prime proportionis cum terminis secunde, non erit per quid sit proportio a ad b sicut c ad d.

Quantitates, quarum proportio est una, proportionales nominantur.

Postquam diffinivit quantitates continue proportionales et incontinue, diffinit quantitates proportionales simpliciter et patet diffinitio ita etcetera.

Cum fuerint prime et tertie eque multiplicationes itemque secunde et quarte eque multiplicationes addetque multiplicatio prime super multiplicationem secunde, non addet autem multiplicatio tertie super multiplicationem quarte, dicetur prima maioris proportionis ad secundam quam tertia ad quartam. [f.32v]

Diffinitis quantitatibus proportionalibus diffinit quantitates inproportionales. Sunt autem inproportionales inter quas est dissimilitudo proportionum quod contingit dupliciter aut quia maior est proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam aut quia minor et ideo eius sunt due species. Prima quando maior est proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam et dicitur hoc maior inproportionalitas.

Secunda vero quando minor est proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam et dicitur minor inproportionalitas. Diffinit ergo eas inter quas est maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam que est maior inproportionalitas, diffinitionem autem earum inter quas est minor proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam non ponit quia ipsa patet ex alia. Cum igitur fuerint 4 quantitates ad quarum primam et tertiam sumpta sint eque multiplicia et ad secundam et quartam eque multiplicia et multiplicia prime et secunde relate ad invicem non se habebunt similiter multiplicibus tertie et quarte relatis ad invicem in additione, diminutione, equalitate, ille quatuor quantitates erunt inproportionales.

Quod si ita fuerit quod multiplex prime sit equale multiplici secunde, multiplex vero tertie sit minus multiplici quarte aut quod multiplex prime sit maius multiplici secunde, multiplex autem tertie sit equale aut minus multiplici quarte, aut quod multiplex prime sit maius multiplici secunde et similiter multiplex tertie multiplici quarte, verumtamen plus excedit quantum ad proportionem, non quantum ad quantitatem excessus multiplex prime multiplex secunde quam multiplex tertie multiplex quarte, aut quod multiplex prime sit minus multiplici secunde et similiter multiplex tertie multiplici quarte verumtamen minus minuit quantum ad proportionem, non quantum ad quantitatem excessus multiplex prime a multiplici secunde quam multiplex tertie a multiplici quarte, erit quolibet istorum modorum 4 maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam. Quatuor autem istis modis oppositis erit minor proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam. Exemplum autem omnium istorum evidenter sumetur ex numeris. Additio ergo illa multiplicis prime super multiplex secunde, non autem multiplicis tertie super multiplex quarte de qua loquitur auctor in diffinitione, latitudinem habet ad istos 4 modos predictos et ipsos comprehendit. Unde sensus illius diffinitionis est: cum sumptis sic multiplicibus ut proponit fuerit maior proportio multiplicis prime ad multiplex secunde quam multiplicis tertie ad multiplex quarte, erit maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam. Non diffinivit autem sub hac forma propter causam predictam. Vel possumus dicere quod additio multiplicis prime super multiplex secunde et non multiplicis tertie super multiplex quarte, de qua loquitur in premissa diffinitione maioris inproportionalitatis, proprie accipitur prout verba diffinitionis sonant et non se extendit nisi ad secundum quatuor predictorum modorum licet revera quolibet illorum 4 modorum sit maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam. Unde sensus istius diffinitionis est: cum sumptis sic multiplicibus ut proponit si multiplici prime existente maiori multiplici secunde, non sit necessarium quod multiplex tertie sit maior multiplici quarte, tunc erit maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam. Propter hoc autem non posuit reliquos tres additionis modos in predicta diffinitione, quia iste est illis omnibus magis planus et ad dictam diffinitionem sufficiens. Nusquam enim est maior proportio prime 4 quantitatum ad secundam quam tertie ad quartam quin contingat aliqua eque multiplicia ad primam et tertiam reperiri que cum relata fuerint ad aliqua eque multiplicia secunde et quarte, invenietur multiplex prime addere super multiplex secunde, non autem multiplex tertie super multiplex quarte. Nec usquam contingit [f.33r] hoc reperire quin sit maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam ut demonstrabimus infra supra decimam huius. Possunt autem esse hee quantitates inproportionales diversorum generum sicut et quantitates incontinue proportionales si inter eas fuerit incontinua inproportionalitas, ut si dicatur maior est proportio a ad b quam c ad d. Si autem fuerit continua inproportionalitas, erunt omnes eiusdem generis necessario sicut sunt in continua proportionalitate ut si dicatur maior est proportio a ad b quam b ad c.

Est autem proportionalitas ad minus inter tres terminos constituta.

Postquam diffinivit auctor proportionem et proportionalitatem et quantitates proportionales et inproportionales, ostendit quid sit minimus numerus terminorum inter quos proportionalitas potest consistere. Maximum autem non ponit quia illum non contingit sumere. Potest enim proportio quelibet continuari in terminis infinitis sive fuerit rationalis proportio sive irrationalis. Ad proportionalitatem autem exiguntur ad minus due proportiones similes eo quod proportionalitas sit similitudo proportionum. Quelibet autem proportio habet antecedens et consequens, ergo quelibet proportionalitas habet ad minus duo antecedentia et duo consequentia. Hoc autem est impossibile fieri in paucioribus quam tribus terminis in quibus medius eorum fiet antecedens et consequens et ideo proportionalitas erit continua, quare in tribus terminis ad minus erit continua proportionalitas constituta. Incontinua autem non erit in paucioribus quam in 4 eo quod in ipsa quilibet terminus est tantum antecedens aut tantum consequens. Idem intellige de minimo numero terminorum inproportionalitatis. Si enim fuerit continua, erit ad minus inter tres terminos, si incontinua ad minus inter 4.

Cum fuerint tres quantitates continue proportionales, dicetur proportio prime ad tertiam proportio prime ad secundam duplicata.

Diffinit proportionem que est inter extremos terminos continue proportionalitatis in tribus terminis constitute et dicit quod si fuerit proportio primi ad secundum sicut secundi ad tertium, erit proportio primi ad tertium sicut primi ad secundum duplicata, hoc est, ex duabus talibus composita, sive quod idem est: erit proportio primi ad tertium sicut primi ad secundum duplicata, hoc est, in se multiplicata. Verbi gratia in numeris: Sint tres numeri continue proportionales sintque continue dupli ut 2, 4, 8. Proportio primi ad tertium erit sicut proportio primi ad secundum in se multiplicata. Proportio autem primi ad secundum est dupla, dupla vero in se multiplicata producit quadruplam. Unde proportio extremorum est quadrupla vel secundum priorem expositionem proportio extremorum est sicut proportio primi ad secundum duplicata quia quadrupla constat ex duabus duplis.

Cum fuerint 4 quantitates continue proportionales, proportio prime ad quartam [f.33v] dicetur proportio prime ad secundam triplicata.

Diffinit proportionem que est inter extremos terminos continue proportionalitatis in 4 terminis constitute et dicit quod si fuerint 4 quantitates continue proportionales, erit proportio prime ad quartam sicut proportio prime ad secundam triplicata, hoc est, ex tribus talibus composita quoniam tres tales inveniuntur in ea, sive quod idem est: erit proportio prime ad quartam sicut prime ad secundam triplicata, hoc est, in se postea in productum multiplicata. Verbi gratia in numeris: Sunt 4 numeri continue proportionales sintque continue tripli ut sint 1, 3, 9, 27. Proportio primi ad quartum erit sicut proportio primi ad secundum in se postea in productum multiplicata. Proportio autem primi ad secundum est tripla, tripla vero in se multiplicata producit nonuplam, et tripla in nonuplam producit vigincuplam septuplam eritque proportio extremorum vigincupla septupla quod est triplum tripli vel secundum priorem expositionem proportio extremorum est sicut proportio primi ad secundum triplicata quia vigincupla septupla constat ex tribus triplis. Non diffinit autem proportionem extremorum continue proportionalitatis inter plures quam 4 terminos constitute propter id quod dimensiones in rebus naturalibus reperte non excedunt ternarium. Denominatio autem proportionis duarum quantitatum quibus nullum interponitur medium habet naturam linee, earum vero quibus interponitur unum medium in continua proportionalitate habet naturam superficiei eo quod fit ex multiplicatione denominationis duarum primarum in se. Omne autem quod ex multiplicatione linee in lineam producitur, naturam habet superficiei, si in se quidem quadrati, si vero in alteram parte altera longioris. Sed proportionis earum quantitatum denominatio quibus in continua proportione duo media interponuntur naturam habet solidi, quia provenit ex multiplicatione denominationis duarum primarum primo in se ex qua multiplicatione producitur superficies, deinde in productum ex qua multiplicatione producitur solidum sive corpus. Omne etenim quod ex multiplicatione linee in superficiem producitur, crescit in solidum. Est ergo acsi diceret proportio duarum quantitatum est simplex intervallum et habens naturam simplicis dimensionis ut linee, proportionalitas autem trium est duplex intervallum et habens naturam duplicis dimensionis ut superficiei, proportionalitas autem quatuor quantitatum est triplex intervallum et habens naturam trine dimensionis ut solidi. Et quia dimensiones ulterius non procedunt, ideo non diffinivit proportionem contentam inter extremos proportionalitatis in 5 terminis aut pluribus constitute vel non diffinivit proportionem in hiis quia earum proportio habetur ex predictis diffinitionibus. Si enim in tribus terminis, proportio extremorum constat ex proportione primorum duplicata et in 4 terminis constat ex eadem triplicata, in 5 terminis constabit ex eadem quadruplicata et in 6 quintuplicata. Unde quemadmodum in tribus terminis continue proportionalibus proportio extremorum continet proportionem primorum bis et in 4 terminis ter, sic in 5 terminis continebit quater et in 6 quinquies et ita deinceps, ut semper proportio extremorum in terminis continue proportionalibus totiens contineat proportionem primorum quot sunt omnes termini minus uno. Similiter quoque si proportio extremorum continue proportionalitatis in tribus terminis constitute est ea que producitur ex proportione primorum in se semel multiplicata et in 4 in se bis multiplicata, in 5 terminis ea que producitur ex proportione primorum in se ter multiplicata et in 6 terminis quater et sic semper ut termini sint duobus plures multiplicationibus sive ut multiplicationes sint equales mediis extremis interpositis.

Nota etiam [f.34r] quod in proportionalitate continua extremorum proportio producitur ex omnibus proportionibus intermediis. Ex predictis apparet quod proportio extremorum continue proportionalitatis in tribus terminis constitute denominatur a quadrato, in 4 vero terminis constitute denominatur a cubo quorum quidem quadrati et cubi latus est denominatio proportionis primi ad secundum. Verbi gratia in numeris: Sint 4 numeri continue proportionales qui sint tripli continue 3, 9, 27, 81. Proportio primi ad secundum denominatur a ternario, est enim tripla. Primi vero ad tertium a novenario qui est quadratus ternarii, nam ipsa est nonupla. At vero proportio primi ad quartum denominatur a 27 qui est cubus denominationis proportionis primi ad secundum videlicet ternarii, ipsa enim est vigincupla septupla. Et etiam proportio extremorum inproportionalitatis continue in tribus terminis constitute denominatur a superficiali non quadrato cuius latera sunt denominationes ipsarum proportionum, in 4 vero terminis constitute denominatur a solido non cubo cuius tria latera sunt denominationes trium proportionum quod etiam patet in numeris. Sint 4 numeri continue inproportionales qui sint 2, 4, 12, 48 in quibus proportio primi ad secundum est dupla, secundi ad tertium tripla et ideo primi ad tertium sexcupla, tertii vero ad quartum quadrupla et ideo primi ad quartum vigincupla quadrupla. Senarius ergo qui est denominatio proportionis primi ad tertium est superficialis cuius latera sunt duo et tria qui sunt denominationes duarum primarum proportionum, viginti 4 vero qui est denominatio proportionis primi ad quartum est solidus cuius latera sunt 2, 3, 4 qui sunt denominationes trium proportionum inter illos 4 terminos entium etcetera.

Quantitates, que sunt in proportione una, antecedens ad consequentem et antecedens ad consequentem; dicetur econtrario, sicut consequens ad antecedentem, sic consequens ad antecedentem. Itemque permutatim, sicut antecedens ad antecedentem, sic etiam consequens ad consequentem.

Diffinit species proportionalitatis que sunt 6 videlicet conversa, permutata, disiuncta, coniuncta, eversa et equa. Sunt autem hee species quasi quidam modi arguendi. Diffinit ergo primo conversam proportionalitatem et permutatam, in quibus manent antecedentia et consequentia eadem secundum substantiam, quod non est in disiuncta, coniuncta aut eversa et in quibus nihil extra sumitur ut in equa. Vocat autem antecedens primum extremum proportionis, consequens vero vocat secundum. Vult itaque per hanc diffinitionem quod si fuerit proportio a ad b sicut c ad d et ex hoc ego concludam: ergo b ad a sicut d ad c videlicet ut faciam de antecedentibus consequentia et de consequentibus antecedentia, quod iste modus arguendi vocetur proportionalitas econtrario sive conversa. Si autem sic arguam a ad b sicut c ad d, [f.34v] ergo a ad c sicut b ad d videlicet ut ambo extrema prime proportionis fiant antecedentia et ambo extrema secunde fiant consequentia. Vult quod iste modus arguendi vocetur proportionalitas permutata. Et in isto modo arguendi fit antecedens secunde proportionis consequens et consequens prime antecedens.

Coniuncta vero proportionalitas dicitur, quotiens sicut antecedens cum consequente ad consequens, sic etiam antecedens cum consequente ad consequens.

Diffinit coniunctam et disiunctam et eversam in quibus etiam nihil extra sumitur, sed termini non manent in ipsis idem secundum substantiam. Et vult quod si ita fuerit ut sit a ad b sicut c ad d et ego ex hoc concludam ergo totius a b ad b sicut totius c d ad d. Quod iste modus arguendi dicitur proportionalitas coniuncta.

Disiuncta vero proportionalitas dicitur augmentorum antecedentium supra consequentia ad consequentia equa comparatio.

Vult quod si fuerit proportio totius a b ad b sicut totius c d ad d, ex hoc ego concludam ergo a ad b sicut c ad d. Quod iste modus arguendi vocetur disiuncta proportionalitas.

Eversa proportionalitas dicitur quorumlibet antecedentium ad augmenta sui supra consequentia sua similitudo proportionum.

Vult quod si fuerit a b ad b sicut c d ad d et ex hoc ego concludam ergo a b ad a sicut c d ad c. Quod iste modus arguendi dicatur eversa proportionalitas etcetera.

Equa proportionalitas dicitur quantitatibus plurimis propositis aliisque secundum eundem numerum in una proportione applicatis mediorum equali numero remoto utrorumque summorum similitudo proportionum.

Diffinit equam proportionalitatem que ad probandum propositum aliquid extra sumit et vult quod si sumantur quotlibet quantitates ut a, b, c itemque totidem alie sive sint eiusdem generis cum primis sive alterius ut d, e, f fuerintque in proportione secunde primarum sive eodem ordine, ut si dicatur a ad b sicut d ad e et b ad c sicut e ad f sive ordine converso ut si dicatur a ad b sicut e ad f et b ad c sicut d ad e et ex hoc concludatur ergo a ad c sicut d ad f. Quod iste modus arguendi vocetur equa proportionalitas.

Horum autem 6 modorum arguendi qui dicuntur species [f.35r] proportionalitatis 4 probat auctor in littera infra in isto quinto: permutatam quidem proportionalitatem probat in 16 huius, disiunctam vero in 17, coniunctam vero in 18, equam vero proportionalitatem demonstrat in 22 et 23. Sed in 22 cum quantitates duorum ordinum eodem ordine sunt proportionales, in 23 cum sunt proportionales ordine converso. Conversam vero proportionalitatem aut eversam non demonstrat eo quod conversa patet ex diffinitione quantitatum incontinue proportionalium, eversa autem patet ex permutata adiuvante 19 huius ut supra eandem 19 sumus dicturi.

Qualiter autem conversa proportionalitas ex diffinitione quantitatum incontinue proportionalium manifesta sit, demonstremus nunc. Sit igitur proportio a ad b sicut c ad d. Volo ergo demonstrare quod erit b ad a sicut d ad c. Sumantur e ad a et f ad c eque multiplicia, similiter quoque g ad b et h ad d eque multiplicia eritque per conversionem diffinitionis quantitatum incontinue proportionalium ut e et g itemque f et h similiter se habeant in additione, diminutione et equalitate. Intelligo tunc b primum, a secundum, d tertium, c quartum. Sumptaque sunt ad primum et tertium g et h eque multiplicia itemque ad secundum et quartum e et f eque multiplicia et quia multiplicia primi et secundi que sunt g et e similiter se habent multiplicibus tertii et quarti que sunt h et f in additione, diminutione et equalitate, erit per predictam diffinitionem proportio b primi ad a secundum sicut d tertii ad c quartum. Quod est propositum. Constat itaque modus arguendi qui dicitur conversa proportionalitas.

Huius autem quinti libri principia plurimis difficilima esse videntur et quibusdam conclusionibus quas ex ipsis demonstrat magis ab intellectu distantia. Nihil enim videtur intellectui immediacius adherere quam quod duarum quarumlibet quantitatum equalium sit ad tertiam quamlibet una proportio. Quod tamen huius quinti 7 demonstrat ex diffinitione incontinue proportionalitatis que ab intellectu primo videtur quam plurimum esse remota. Quis enim non facilius duarum quantitatum equalium ad aliquam tertiam eandem esse proportionem concedat quam 4 quantitatum si multiplicia prime et tertie equaliter sumpta multiplicibus secunde et quarte equaliter sumptis similiter se habuerint in additione et diminutione et equalitate esse proportionem prime ad secundam sicut tertie ad quartam. Verum si subtiliter intuemur, liquido constabit non posse uniri intellectui quod proportio duarum quantitatum equalium ad tertiam sit una nisi per quid est esse proportionem unam. Si enim quis ignoret quid est esse proportionem unam eandem proportionem alteri, non cognoscet duarum quantitatum equalium esse eandem proportionem ad tertiam. Indiget igitur proculdubio intellectus antequam illam que videbatur conceptibilis propositio apprehendat huius rei que per ipsius diffinitionem habebitur cognitione, postmodum utrum ea diffinitio duabus quantitatibus equalibus ad tertiam comparatis conveniat pertractatione. Quod si diffinitio inventa fuerit illis quantitatibus convenire, concludetur propositum. Sin autem oppositum, non est igitur immediata propositio quam superficialis apprehensio immediatam indicavit. Similiter quoque immediacius indicat prima apprehensio adherere intellectui quod duarum quantitatum inequalium maior est proportio maioris earum ad aliam quam minoris ad eandem quod demonstrat 8 huius quam quod 4 quantitatum sit maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam cum multiplicibus ad primam et tertiam equaliter sumptis itemque aliis ad secundam et quartam equaliter multiplex prime addit super multiplex secunde et multiplex tertie non addit super multiplex quarte ex quo que predicta est propositio demonstratur, sed similiter nec ipsa potest intelligi nisi per quid est esse proportionem maiorem. Igitur oportuit Euclidem que quantitates dicuntur proportionales et que inproportionales diffinire. Proportionales autem sunt quarum proportio una est, et inproportionales [f.35v] quarum proportiones diverse. Itaque diffinivit quantitates quarum proportio una et eas in quibus connectuntur extrema non dissociatis mediis quas vocavit continue proportionales et dixit hanc proportionalitatem in tribus terminis ad minus existere propter hoc quod unum saltem bis sumendum est medium, et eas in quibus accidit interruptio mediorum et hec sunt incontinue proportionales et hec proportionalitas ad minus exigit 4 terminos propter alterius medii sumptionem. Et diffinivit etiam quantitates que sunt inproportionales quarum est maior una proportio quam sit alia. Et si esset omnis proportio scita sive rationalis, tunc facile esset intellectui cognoscere que proportiones essent una et que diverse. Que enim haberent unam denominationem essent una, que autem diversas diverse.Hec autem facilitas manifesta est ex arismetica quoniam omnium numerorum proportio scita et rationalis est. Unde Jordanus in secundo arismetice sue diffiniens que proportiones sunt eedem et que diverse, dicit easdem esse que eandem denominationem recipiunt, maiorem vero que maiorem et minorem, que minorem. Sed infinite sunt proportiones irrationales quarum denominatio scibilis non est, quare cum Euclides consideret in hoc libro proportionalia communiter non contrahendo ad rationale vel irrationale quoniam considerat proportionem repertam in continuis que communis est ad istas. Non potuit diffinire idemptitatem proportionum per idemptitatem denominationum sicut arismeticus eo quod multarum proportionum ut dictum est sunt denominationes simpliciter ignote. Diffinitionem autem oportet fieri ex notis, unde malitia proportionum irrationalium coegit Euclidem tales diffinitiones ponere. Quia ergo non potuit ut patet ex premissis diffinire proportionalitatem sive idemptitatem proportionum per idemptitatem habitudinum sive denominationum ipsorum terminorum propter irrationalitatem habitudinum et inconvenientiam terminorum coactus est refugere ad terminorum multiplicia ut ex illorum habitudinibus quantum ad excessum et equalitatem consideratis equis numerositatibus sumptorum per quod ad naturam irrationalitatis reducuntur propositam diffinitionem venetur. Nihil enim in quocumque inequalitatis genere terminis magis idem quam eorum multiplicia nec terminorum habitudinibus quam multiplicium habitudo. Et quia proportio est duarum quantitatum eiusdem generis certa habitudo considerata in eo quod sunt equales aut quod altera maior, ideo idemptitas proportionum entium inter primam 4 quantitatum ad secundam et tertiam ad quartam est similis equalitas prime ad secundam et tertie ad quartam aut similis maioritas aut similis minoritas. Hec autem similis equalitas aut similis maioritas aut similis minoritas tunc est inter 4 quaslibet quantitates cum est inter omnes earum equaliter multiplices. Quod dicit in quinta diffinitione: quantitates que dicuntur continuam proportionalitatem habere etcetera est acsi diceret: omnes illas quantitates voco continue proportionales, quod est, eas esse similiter equales continue proportionales vel similiter continue maiores vel similiter continue minores quarum omnes eque multiplices aut sibi invicem similiter sunt equales continue vel similiter continue maiores vel similiter continue minores quod est etiam ipsas multiplices esse continue proportionales. Quod si hoc alicubi in multiplicibus dissonat, eas dico non esse continue proportionales. Quod autem dicit in sexta diffinitione: Quantitates que dicuntur esse secundum proportionem unam prima ad secundam et tertia ad quartam etcetera acsi diceret: omnes 4 quantitates voco incontinue proportionales et se habere primam ad secundam sicut tertia se habet ad quartam, quod est, primam ad secundam et tertiam ad quartam similiter se habere in equando aut addendo aut minuendo quarum omnes eque multiplices prime et tertie ad omnes eque multiplices secunde et quarte similiter se habent in [f.36r] equando aut addendo aut minuendo, quod est, etiam multiplices prime in eadem proportione se habere ad multiplices secunde in qua multiplices tertie se habent ad multiplices quarte. Quod si hoc alicubi dissonat in multiplicibus, dico non esse proportionem prime ad secundam sicut tertie ad quartam. Quod autem dicit in 8 diffinitione est acsi diceret: maiorem proportionem voco 4 quantitatum prime ad secundam quam tertie ad quartam, quod est, primam magis excedere secundam quam tertia excedit quartam, quarum aliqua ex multiplicibus prime addit super aliquam ex multiplicibus secunde aliqua ex multiplicibus tertie sumpta secundum numerationem multiplicis prime non addente super aliquam ex multiplicibus quarte sumpta secundum numerationem multiplicis secunde, quod est, esse maiorem proportionem multiplicis prime ad multiplicem secunde quam multiplicis tertie ad multiplicem quarte. Diffinitiones autem istas nisi sunt aliqui demonstrare quorum Ametus filius Joseph temptavit eas demonstrare in epistola sua quam de proportione et proportionalitate composuit. Et accepit tria per modum positionis tanquam principia que dixit esse per se nota et probatione non indigere. Quorum primum est quod si fuerint 4 quantitates quarum sit proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam, erit econverso proportio secunde ad primam sicut quarte ad tertiam. Et hic est modus arguendi quem notavit superius Euclides conversam proportionalitatem. Et erravit quoniam dixit propositionem esse per se notam cuius antecedens et consequens sunt ignota. Ignotum est enim quid sit esse proportionem prime quantitatis ad secundam sicut tertie ad quartam, quare hoc ignoto posito impossibile est intelligere quid ex ipso sequitur. Similiter quoque quia consequens est ignotum, impossibile est intelligere quid ad ipsum antecedit. Secundum eius principium fuit: quod si fuerint 4 quantitates quarum sit proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam si prima sit maior secunda, erit tertia maior quarta, et si minor, minor et si equalis, equalis. Tertium fuit quod si fuerint 4 quantitates quarum sit proportio prime ad secundam sicut tertie ad quartam, erit prime ad quodlibet multiplex secunde sicut tertie ad eque multiplex ex multiplicibus quarte. Et accidit sibi in istis duobus principiis idem peccatum quod accidebat in primo. Accepit enim in omnibus ignota simpliciter tanquam nota, quare non demonstravit, peccavit enim in secunda demonstratione et in tertia et in quinta in quarum qualibet arguit ex 8 vel 10 huius que probantur ex diffinitione incontinue proportionalitatis. Arguit enim sic: Si proportio a b ad e est maior quam g ad d, sit ergo u b partis a b ad e sicut g ad d per quod apparet ipsum supponere quod duarum quantitatum a b et u b inequalium relatarum ad e maior maiorem et minor minorem ad ipsam optinet proportionem vel quod quantitas que ad e habebit minorem proportionem quam habeat a b, erit minor a b quorum primum demonstrat 8 huius et secundum 10. Nam cum vultis sumere quantitatem que se habeat ad e in proportione g ad d, dabo tibi maiorem aut minorem aut equalem a b indifferenter sicut voluero, quare aut non demonstrat aut accidit sibi circulus et principia esse ignotiora conclusionibus. Supponenda sunt igitur cum Euclide principia tanquam nota et non ipsa ex conclusionibus, sed conclusiones ex ipsis demonstrande sunt etcetera.

Si fuerint quotlibet quantitates aliarum totidem eque [f.36v] multiplices aut singule singulis equales, necesse est quemadmodum una earum ad sui comparem, totum quoque ex hiis aggregatum ad omnes illas pariter acceptas similiter se habere.

Sint quotlibet quantitates a, b, c aliarum totidem que sint d, e, f eque multiplices unaqueque ad sui comparem aut singule sint singulis equales ita videlicet quod sicut a est multiplex d ita b sit multiplex e et c multiplex f vel si a est equalis d quod similiter b sit equalis e et c equalis f. Dico quod sicut se habet a ad d ita se habet aggregatum ex omnibus que sunt a, b, c ad aggregatum ex omnibus que sunt d, e, f. Quod si singule singulis sint equales, patet propositum per hanc communem scientiam: si equalibus equalia addantur, tota quoque erunt equalia. Si autem sint omnes suis comparibus eque multiplices, divisis eis secundum quantitatem suarum submultiplicium erit aggregatum ex prima parte a et prima b et prima c equale aggregato ex d, e, f per communem predictam scientiam adiuvante hac: que eidem sunt equalia, inter se sunt equalia. Similiter quoque aggregatum ex secundis partibus quantitatum a, b, c equale erit aggregato ex d, e, f sicque de ceteris. Et quia hoc poterit totiens fieri quotiens d continetur in a, erit ut equale aggregato ex d, e, f totiens contineatur in aggregato ex a, b, c quotiens d continetur in a. Quia ergo quotiens d numerat a totiens aggregatum ex d, e, f numerat aggregatum ex a, b, c, patet quod sicut a est multiplex d ita aggregatum ex a, b, c aggregati ex d, e, f. Quod est propositum.

Si fuerint sex quantitates, quarum prima ad secundam atque tertia ad quartam eque multiplices, quinta vero ad secundam atque sexta ad quartam eque multiplices, totum prime et quinte ad secundam totumque tertie et sexte ad quartam eque multiplicia esse conveniet.

Sint sex quantitates a prima, b secunda, c tertia, d quarta, e quinta, f sexta. Sintque a et c eque multiplices ad b et d itemque e et f sint eque multiplices ad easdem. Dico quod sicut totum aggregatum ex a et e est multiplex ad quantitatem b ita totum aggregatum ex c et f est multiplex ad quantitatem d. Nam quia numerus secundum quem continetur b in a est equalis numero secundum quem d continetur in c. Similiter quoque numerus secundum quem b continetur in e est equalis numero secundum quem d continetur in f. Erit per communem scientiam que est: si equalibus equalia addantur etc. numerus secundum quem b continetur in aggregato ex a et e equalis numero secundum quem d continetur in aggregato ex c et f. Quare sicut aggregatum ex a et e est multiplex ad b ita aggregatum ex c et f est multiplex ad d. Quod est propositum etcetera. [f.37r]

Si fuerint primum secundi et tertium quarti eque multiplicia, ad primum vero et tertium multiplicationes sumantur equales, erunt multiplex primi ad secundum atque multiplex tertii ad quartum eque multiplicia.

Sint 6 quantitates a prima, b secunda, c tertia, d quarta, e quinta, f sexta. Sintque a ad b et c ad d itemque e ad a et f ad c eque multiplices. Dico quod sicut e est multiplex ad b ita f ad d. Dividatur enim e secundum quantitatem a sue submultiplicis et f secundum quantitatem c eritque propter equalitatem partium e ad a et partium f ad c ut quelibet partium e sit ita multiplex ad b sicut quelibet partium f ad d. Quia ergo sicut prima pars e est multiplex ad b ita prima pars f est multiplex ad d. Itemque sicut secunda pars e est multiplex ad b ita secunda f ad d. Erit per premissam aggregatum ex duabus primis partibus e ita multiplex ad b sicut aggregatum ex duabus primis partibus f ad d. Et quia rursus tertia pars e est ita multiplex ad b sicut tertia f ad d, erit per eandem ut totum aggregatum ex tribus primis partibus e sit ita multiplex ad b sicut totum aggregatum ex tribus primis partibus f ad d. Sitque si plures fuerint partes e et f componendo semper sequentem cum aggregato ex prioribus concludes quod sicut e est multiplex ad b ita f ad d per premissam totiens sumptam quot fuerint partes in e aut in f minus una. Sicque patet propositum.

Si fuerit proportio primi ad secundum sicut tertii ad quartum, ad primum autem et tertium eque multiplicationes assignentur itemque ad secundum et quartum multiplicationes equales, erunt assignate multiplicationes eodem ordine proportionales.

Sit proportio a primi ad b secundum sicut c tertii ad d quartum. Sumanturque e ad a et f ad c eque multiplicia itemque g ad b et h ad d eque multiplicia. Dico quod proportio e ad g est sicut f ad h. Sumam k ad e et l ad f eque multiplicia itemque m ad g et n ad h eque multiplicia. Et quia e et f sunt eque multiplicia ad a et c itemque k et l eque multiplicia ad e et f, erunt per premissam k et l eque multiplicia ad a et c. Per eandem quoque erunt m et n eque multiplicia ad b et d. Quare per diffinitionis conversionem incontinue proportionalitatis k ad m et l ad n similiter se habebunt in addendo, diminuendo et equando. Quia ergo k et l sunt eque multiplicia ad e et f itemque m et n eque multiplicia ad g et h, erit per diffinitionem incontinue proportionalitatis proportio e ad g sicut f ad h. Quod est propositum etcetera. [f.37v]

Si fuerint due quantitates, quarum una sit pars alterius, minuaturque ab utraque ipsarum ipsa pars, reliquum erit reliquo atque totum toti eque multiplex. Vel sic: erit reliquum reliqui tota pars quota totum totius.

Sit quantitas a b tota pars quantitatis c d quota e b ipsius a b minuaturque a b ex quantitate c d et sit residuum f c eritque f d equalis a b. Similiter quoque minuatur e b ex quantitate a b sitque residuum e a. Dico quod quota pars est quantitas a b quantitatis c d tota quantitas a e est quantitatis c f. Cum enim f d sit equalis a b, erit f d ita multiplex e b sicut c d est multiplex a b. Ponam itaque d g ita multiplicem a e sicut f d est multiplex e b. Eritque ex prima huius quantitas f g ita multiplex a b sicut f d est multiplex e b. Et quia sic fuit c d multiplex a b sicut f d fuit multiplex e b, erit utraque duarum quantitatum c d, f g eque multiplex quantitatis a b. Quare per communem scientiam c d et f g sunt equales ad invicem. Dempta igitur ab utraque earum quantitate f d erit c f equalis d g et quia d g fuit ita multiplex a e sicut f d, e b et ideo sicut a b, e b, quare et sicut c d, a b, erit c f ita multiplex a e sicut tota c d totius a b. Quod est nostrum propositum etcetera.

Si fuerint due quantitates ad alias duas eque multiplices dueque minores a duabus maioribus utraque a sua multiplice subtrahantur, erunt duo reliqua earundem partium eque multiplicia aut eis equalia.

Sint quantitates a b ad c et d e ad f eque multiplices subtrahanturque c ex a b et f ex d e et sint residua ex a b quidem a g, ex d e, d h. Eritque g b equalis c et h e equalis f. Dico quod duo residua a g et d h erunt equalia duabus quantitatibus c et f aut eis eque multiplicia. Sit ergo primo a g equalis c. Dico quod d h est equalis f. Sumam enim quantitatem e k equalem f eritque per premissas ypotheses ut totiens f sit in h k quotiens c in a b. Quare sicut a b est multiplex c ita h k est multiplex f, sed sic etiam erat d e multiplex eiusdem, igitur erit per communem scientiam h k equalis d e. Dempta igitur communi earum quantitate h e erit d h equalis e k, quare equalis f. Quod est propositum. Si autem a g sit multiplex c, ponam ut e k sit eque multiplex f eritque ut prius ut totiens f sit in h k quotiens c in a b. Sed totiens erat etiam in d e, erit igitur ut prius d e equalis h k et d h, e k, quare sicut a g est multiplex c ita d h est multiplex f. Quod est propositum.

Aliter idem cum secundum eundem numerum contineat quantitas a b quantitatem c secundum quem quantitas d e quantitatem f demptaque ab eo unitate remaneat unitas vel numerus secundum quem a g continet c et secundum quem d h continet f. Patet quantitates a g et d h esse [f.38r] equales aut eque multiplices quantitatibus c et f.

Si due quantitates equales ad tertiam quamlibet comparentur, earum ad illam erit una proportio, itemque illius ad ambas proportio una.

Sint due quantitates a, b equales que comparentur ad quamlibet tertiam ut ad c. Dico quod eadem est proportio a ad c et b ad c. Itemque eadem c ad a et c ad b. Primum sic probatur: Cum enim c sit consequens ad a primam et ad b tertiam, ipsa erit in ratione secunde et quarte. Sumam igitur d ad a primam et e ad b tertiam eque multiplices et sumam f quamlibet ex multiplicibus c que est secunda et quarta. Et quia a et b quarum sunt eque multiplices d et e posite sunt equales erit ut si d dividatur secundum quantitatem a et e secundum quantitatem b quod partes utrobique sint numero et quantitate equales, numero quidem per ypothesim propter equalitatem multiplicationis utrobique, quantitate autem per hanc communem scientiam quotiens oportuerit repetitam: Que eidem sunt equalia sibi invicem sunt equalia. Quia igitur prima ex partibus d est equalis prime ex partibus e et secunda secunde et cetere ceteris. Suntque tot partes in d quot sunt in e, erit per primam huius d equalis e quare per communem scientiam: si due quantitates equales comparentur ad aliam tertiam aut ambe quantitates d et e sunt similiter maiores f aut similiter minores aut sibi equales, igitur ex diffinitione incontinue proportionalitatis: que est proportio a prime ad c secundam, eadem est b tertie ad c quartam. Quod est primum.

Secundum eodem modo probabis ordine converso, ut c ponatur prima et tertia, a vero secunda, b quarta. Cum enim quantitas f que est eque multiplex prime et tertie sit aut similiter maior quantitatibus d et e que sunt eque multiplices secunde et quarte aut similiter minor aut eis equalis, erit per eandem diffinitionem proportio c prime ad a secundam sicut c tertie ad b quartam. Quod est propositum etcetera.

Si due quantitates inequales ad unam quantitatem proportionentur, maior quidem maiorem, minor vero minorem optinebit proportionem. Illius vero ad illas ad minorem quidem proportio maior, ad maiorem vero minor erit.

Sint due quantitates inequales a et b c sitque maior b c et proportionentur ad eandem quantitatem que sit d. Dico quod maior est proportio b c ad d quam a ad d et quod econtrario maior est d ad a quam d ad b c. Primum sic probatur: Ponam b e equalem a et multiplicabo totiens e c quod proveniat quantitas maior d sitque f g. Et sumam k f ita multiplicem b e et similiter h ita multiplicem a sicut f g est multiplex e c. Eritque per primam huius h ita multiplex [f.38v] a sicut k g est multiplex b c. Erit etiam h equalis k f propter hoc quod earum submultiplices que sunt a et b e sunt posite equales. Ponam quoque quod h non sit minor d, sed equalis aut maior totiens enim multiplicabo unamquamque trium quantitatum e c, b c et a equaliter quod f g multiplex e c proveniat maior d et quod h multiplex a non proveniat minor eadem. Deinde totiens multiplicabo d quod proveniat quantitas maior h sitque m prima quantitas multiplicium d que sit maior h. Sub qua sumam maximam multiplicem d aut sibi equalem, si m est prima in ordine multiplicium d, que sit l eritque ut l non sit maior h. Et constabit m ex d et l propter id quod omne multiplex constat ex proximo precedenti multiplici et simplo, ut triplum ex duplo et simplo excepto primo multiplici quod constat ex bis simplo. Quia ergo h est equalis k f, non erit k f minor l, itaque k f et d non efficient minus quam l et d, quare non efficient minus quam m et quia f g est maior d, erit k g maior quam m. Intelligo igitur quantitatem b c primam, d secundam, a tertiam, d quartam et quia ad primam et tertiam sumpta sunt eque multiplicia videlicet k g et h, similiter quoque ad secundam et quartam eque multiplicia, immo idem in ratione duorum quod est m, et addit k g multiplex prime super m multiplex secunde, non addit autem h multiplex tertie super m multiplex quarte, erit per diffinitionem maioris improportionalitatis maior proportio b c prime ad d secundam quam a tertie ad d quartam. Quod est primum.

Secundum probabis per eandem diffinitionem converso ordine, ut d sit prima et tertia, a secunda, b c quarta. Addit enim m multiplex prime super h multiplicem secunde, non addit autem m multiplex tertie super k g multiplicem quarte, quare maior est proportio d ad a quam d ad b c. Quod est secundum.

Ex huius autem demonstrationis modo patet sufficientia diffinitionis maioris inproportionalitatis quam posuit auctor in principio huius quinti. Nusquam enim est maior proportio prime 4 quantitatum ad secundam quam tertie ad quartam quin contingat aliqua eque multiplicia ad primam et tertiam reperiri, que cum relata fuerint ad aliqua eque multiplicia secunde et quarte, invenietur multiplex prime addere super multiplex secunde, non autem multiplex tertie super multiplex quarte. Hec autem multiplicia sic reperiemus sicut demonstrabimus infra supra 12 huius.

Si fuerit aliquarum quantitatum ad unam quantitatem proportio una, ipsas esse equales. Si vero unius ad eas proportio una, equas esse necesse est.

Sit duarum quantitatum a et b proportio una ad c. Dico eas esse equales. Et si econverso fuerit eadem proportio c ad utramque earum, adhuc dico eas esse equales. Hec est conversa septime. Primum sic patet: Si enim non sunt equales, sed altera maior earum utpote a, erit per primam partem premisse maior proportio a ad c quam b ad c. Quod est contra ypothesim. Secundum quoque patet quia si a est maior b, erit per secundam partem premisse maior proportio c ad b quam ad a. Quod est contra ypothesim.

Si fuerit unius ad quantitatem unam aliquam proportio maior, quantitatem maiorem esse. Si vero unius [f.39r] ad eam proportio maior, minorem esse necesse est.

Quod si fuerit maior proportio a ad c quam b ad c, dico a esse maiorem b. Et si fuerit maior c ad b quam c ad a, adhuc dico a esse maiorem b. Hec est conversa 8. Primum patet per primam partem 7 et per primam 8. Nam per primam partem 7 non erit a equalis b nec etiam minor per primam octave. Secundum vero patet ex secundis partibus earundem etcetera.

Si fuerint quantitatum proportiones alicui uni equales, ipsas quoque proportiones sibi invicem equales esse necesse est.

Proportionem hanc: que eidem sunt equalia, sibi quoque sunt equalia, quam Euclides in principio primi annumeravit inter communes animi conceptiones, prout de quantitatibus intelligitur, hic demonstrat prout proportionibus accomodatur. Sit ergo utraque duarum proportionum que sunt a ad b et c ad d equalis proportioni que est e ad f. Dico proportiones que sunt a ad b et c ad d sibi invicem esse equales. Sumam enim g ad a et h ad c et k ad e eque multiplices, itemque l ad b et m ad d et n ad f eque multiplices. Et quia per ypothesim proportio e ad f est sicut a ad b, similiter sicut c ad d, erit per conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis bis sumptam si k addit super n quod g addat super l et h super m et si k minuit ab n quod g minuat ab l et h ab m et si k est equalis n quod g sit equalis l et h equalis m. Quia igitur g ad l et h ad m similiter se habent in addendo, diminuendo et equando mediantibus k et n erit per diffinitionem incontinue proportionalitatis a ad b sicut c ad d. Quod est propositum etcetera.

Si fuerit proportio primi ad secundum sicut tertii ad quartum, tertii vero ad quartum maior quam quinti ad sextum, erit proportio primi ad secundum maior quam quinti ad sextum.

Quod hic demonstrat in proportionibus, conceptibile est in quantitatibus videlicet quod si due quantitates fuerint sibi invicem equales quacumque fuerit una earum maior, eadem maior erit et reliqua. In proportionibus tamen hoc demonstratur: ut si sit proportio a ad b sicut c ad d, c vero ad d sit maior quam e ad f, erit quoque a ad b maior quam e ad f. Sumam enim g ad a et h ad c et k ad e eque multiplices itemque l ad b et m ad d et n ad f eque multiplices. Et quia per ypothesim proportio c ad d est sicut a ad b et maior quam e ad f, erit per conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis: si h addit super m quod g addat super l et per conversionem diffinitionis maioris inproportionalitatis quod non sit necesse k addere super n. Quia igitur mediantibus h et m si g addit super l, non est necesse k addere super n, erit per diffinitionem maioris inproportionalitatis maior proportio [f.39v] a ad b quam e ad f. Quod est propositum.

. Simili quoque modo probabis quod si sit a ad b sicut c ad d et c ad d minor quam e ad f, erit a ad b minor quam e ad f. Cum enim sit c ad d minor quam e ad f, erit e ad f maior quam c ad d, per conversionem igitur diffinitionis maioris inproportionalitatis si k addit super n, non est necesse quod h addit super m, sed si h non addit super m, g non addit super l, ergo si k addit super n, non est necesse ut g addat super l, per diffinitionem igitur maioris inproportionalitatis maior est proportio e ad f quam a ad b, ergo econverso minor erit a ad b quam est e ad f. Quod est propositum.

Ex modo autem demonstrationis 8 huius et hac fiet manifestum quod si fuerit prime 4 quantitatum ad secundam maior proportio quam tertie ad quartam, continget reperire aliqua eque multiplicia prime et tertie que cum comparabuntur ad aliqua eque multiplicia secunde et quarte, invenietur multiplex prime addere super multiplex secunde, non autem multiplex tertie super multiplex quarte. Quod sic patet: Sit enim maior proportio a b ad c quam d ad e, ponam ergo ut sit proportio a f ad c sicut d ad e. Eritque per hanc 12 et per 10 a f minor a b et sit minor in quantitate f b quam multiplicabo totiens quod proveniat quantitas maior c que sit g h hac conditione ut d totiens multiplicata producat quantitatem non minorem e que sit k. Tunc ponam ut l g sit ita multiplex a f sicut g h est multiplex f b aut k, d. Eritque per primam huius l h ita multiplex a b sicut k, d. Deinde ponam quod m sit prima quantitas multiplex e que sit maior k et ponam n ita multiplicem c sicut m est multiplex e. Eritque per premissas ypotheses et conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis quod quantitas n prima multiplicium c que sit maior l g nec erit l g minor c. Sumam ergo sub n maximam multiplicium c aut sibi equalem si forsan n sit prima multiplicium eius que sit o constabitque n ex o et c. Quia ergo l g non est minor o et g h est maior c, erit l h maior n. Quare cum k sit minor m, patet propositum.

Conversam quoque huius demonstrare possumus videlicet quod si contingit reperire aliqua eque multiplicia prime et tertie quorum multiplex prime addit super multiplex secunde et multiplex tertie non addit super multiplex quarte, maior erit proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam. Quod sic probatur: Sint 4 quantitates a prima, b secunda, c d tertia, e quarta sintque f ad a et g ad c d eque multiplicia. Similiter h ad b et k ad e eque multiplicia et addat f super h, non addat autem g super k. Dico quod maior est proportio a ad b quam c d ad e. Si enim equalis, per conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis addet g super k. Quod est contra ypothesim. Si autem minor, sit c l ad e sicut a ad b eritque per hanc 10 c l minor c d et sit minor in quantitate l d. Ponam igitur ut m n sit ita multiplex c l et n p multiplex l d sicut f est multiplex a. Eritque per primam huius m p ita multiplex c d sicut f est multiplex a. Utraque igitur duarum quantitatum m p et g est eque multiplex quantitatis c d, ergo ipse sunt equales. Nam hec illatio demonstrata est in 7 huius. Et quia g non est maior k, non erit m p maior eadem, sed per conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis m n est maior k eo quod f est maior h, ergo m n est maior m p. Quod est impossibile, quare relinquitur propositum.

Si fuerit quotlibet quantitatum ad totidem [f.40r] alias proportio una, erit quoque que proportio unius ad unam, eadem proportio omnium pariter acceptarum ad omnes illas pariter acceptas.

Quod prima proposuit de multiplicibus, hec proponit de proportionibus omnibus. Unde hec est communior illa eo quod omnis multiplicitas est proportio, non autem econverso. Sit igitur a ad b et c ad d et e ad f proportio una. Dico quod que est proportio a ad b eadem est compositi ex a c e ad compositum ex b d f. Sumam ergo g ad a et h ad c et k ad e eque multiplicia. Itemque l ad b et m ad d et n ad f eque multiplicia. Eritque per primam huius compositum ex g, h, k ita multiplex compositi ex a, c, e sicut g est multiplex a. Similiter per eandem compositum ex l, m, n erit ita multiplex compositi ex b, d, f sicut l est multiplex b. Per conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis bis sumptam si g addit super l, h addit super m et k super n, et si minuit, minuit et si equat, equat. Ergo per communem scientiam si g addit super l, compositum ex g, h, k addit super compositum ex l, m, n et si minuit, minuit et si equat, equat. Ergo per diffinitionem incontinue proportionalitatis proportio a ad b est sicut compositi ex a, c, e ad compositum ex b, d, f. Quod est propositum.

Si fuerint quatuor quantitates proportionales fueritque prima maior tertia, est necesse secundam quarta esse maiorem, quod si minor, et minorem, si vero equalis, equalem.

Sit proportio a ad b sicut c ad d. Dico quod si a est maior c, b erit maior d et si minor, minor et si equalis, equalis. Si enim a sit maior c, erit per primam partem 8 huius maior proportio a ad d quam c ad d, quare maior erit a ad d quam ad b, ergo per secundam partem 10 huius b erit maior d. Quod est propositum. Quod si a sit minor c, erit per primam partem 8 minor proportio a ad d quam c ad d, quare maior erit a ad b quam ad d. Per secundam ergo partem 10 b erit minor d. Si autem a sit equalis c, erit per primam partem 7 a ad d sicut c ad d, quare a ad d sicut ad b itaque per secundam partem 9 b erit equalis d. Sicque patet propositum.

Si fuerint aliquibus quantitatibus eque multiplices assignate, erit ipsarum multiplicium atque submultiplicium una proportio.

Sint c ad a et d ad b eque multiplices. Dico quod que est proportio a ad b eadem est c ad d. Dividatur c secundum quantitatem a et d secundum quantitatem b. Eruntque tot partes c quot d et quia quelibet pars c ad quamlibet partem d se habet sicut a ad b, erit per 13 huius c ad d sicut a ad b. Quod est propositum etcetera. [f.40v]

Si fuerint 4 quantitates proportionales, permutatim quoque proportionales erunt.

Sit proportio a ad b sicut c ad d. Dico quod erit a ad c sicut b ad d. Et iste est modus arguendi qui dicitur proportionalitas permutata cuius demonstratio sic patet. Sumam e ad a et f ad b eque multiplices itemque g ad c et h ad d eque multiplices. Eritque per premissam e ad f sicut g ad h, quare per 14 si e addit super g, f addit super h, et si minuit, minuit et si equat, equat. Per diffinitionem igitur incontinue proportionalitatis erit a ad c sicut b ad d. Quod est propositum. Necesse est autem ut in permutata proportionalitate sint omnes quatuor quantitates eiusdem generis.

Si fuerint quantitates coniunctim proportionales, easdem disiunctim quoque proportionales esse.

Demonstrato modo arguendi qui dicitur proportionalitas permutata demonstrat illum qui dicitur proportionalitas disiuncta. Sit itaque proportio a b ad b c sicut d e ad e f. Dico quod erit a c ad c b sicut d f ad f e. Sumam enim g h ad a c et h k ad c b itemque l m ad d f et m n ad f e eque multiplices. Eritque per primam huius g k ita multiplex a b sicut g h est multiplex a c et l n ita multiplex d e sicut l m est multiplex d f. Et ideo per premissas ypotheses g k ita multiplex a b sicut est l n, d e. Ponam iterum k p ad c b et n q ad f e eque multiplices. Eruntque per secundam h p ad c b et m q ad f e eque multiplices. Per conversionem igitur diffinitionis incontinue proportionalitatis si g k addit super h p, l n addit super m q et si minuit, minuit et si equat, equat. Demptis itaque communibus h k et m n erit per communem scientiam: ut si g h addit super k p quod l m addit super n q et si minuat, minuat et si equat, equat. Ergo per diffinitionem incontinue proportionalitatis proportio a c ad c b est sicut d f ad f e. Quod est propositum.

Si fuerint quantitates disiunctim proportionales, coniunctim quoque proportionales erunt.

Demonstrat modum arguendi qui dicitur proportionalitas coniuncta et est modus conversus prioris. Ad cuius demonstrationem resumatur dispositio premisse et maneant omnes eius ypotheses excepto quod ponatur esse proportio a c ad c b sicut d f ad f e. Dico quod erit proportio a b ad b c sicut d e ad e f. Sequitur enim ex hac ypothesi et aliis ypothesibus premisse de multiplicibus equaliter sumptis per conversionem diffinitionis incontinue proportionalitatis si g h addit super k p, et l m addit super n q et si minuat, minuat et si equat, equat. Ergo positis communibus h k et m n sequitur per communem scientiam si g k addit super h p, quod l n addat super m q et si minuat, minuat et si equat, equat. Quare per diffinitionem incontinue proportionalitatis erit proportio a b ad b c sicut d e ad e f. Quod est propositum.

Aliter idem indirecte sic. Cum sit proportio a c ad c b sicut d f ad f e [f.41r] et non est a b ad b c sicut d e ad e f, sit ergo proportio d e ad aliquam aliam quantitatem sicut a b ad b c que aut erit maior e f aut minor. Si enim esset ei equalis, constaret propositum. Sit itaque primo maior et sit e g eritque per premissam a c ad c b sicut d g ad g e, quare d g ad g e sicut d f ad f e. Sequitur igitur per 14 quod cum d g prima sit minor d f tertia, erit g e secunda minor e f quarta. Sed erat positum quod maior. Sit ergo proportio d e ad minorem e f que sit e h sicut a b ad b c. Eritque per premissam a c ad c b sicut d h ad h e, quare d h ad h e sicut d f ad f e. Et quia d h prima est maior d f tertia, erit per 14 e h secunda maior e f tertia. Quod est impossibile. Sequitur ergo propositum.

Si a duobus totis due portiones abscindantur fueritque totum ad totum quantum abscisum ad abscisum, erit reliquum ad reliquum quantum totum ad totum.

Quod quinta proponit de multiplicibus, hec proponit universaliter de omnibus proportionibus. Unde est illa tanto communior quanto multiplicitate proportio. Sint igitur due quantitates a b et c d a quibus abscindantur due que sint b e et d f. Sitque proportio totius a b ad totam c d sicut b e abscise ad d f abscisam. Dico quod eadem erit a e residui ad c f residuum que est totius a b ad totam c d. Cum enim sit a b ad c d sicut b e ad d f, erit permutatim a b ad b e sicut c d ad d f et disiunctim a e ad e b sicut c f ad f d. Et iterum permutatim a e ad c f sicut e b ad f d. Et quia sic erat a b ad c d, patet propositum.

. Ex hac autem 19 et permutata proportionalitate demonstratur modus arguendi qui dicitur proportionalitas eversa ut si sit a b ad b e sicut c d ad d f, dico quod erit b a ad a e sicut d c ad c f. Quia cum sit a b ad b e sicut c d ad d f, erit permutatim a b ad c d sicut b e ad d f. Quare per hanc 19 b a ad d c sicut a e ad c f, igitur permutatim b a ad a e sicut d c ad c f. Quod est propositum.

Conversa quoque proportionalitas, quam ex diffinitione incontinue proportionalitatis demonstravimus in exponendo principia huius quinti, potest hec quoque demonstrari indirecte ex permutata proportionalitate et 9 huius: Ut si sit proportio a ad b sicut c ad d, dico quod erit b ad a sicut d ad c. Sin autem, sit d ad e sicut b ad a et quia a ad b sicut c ad d, erit permutatim a ad c sicut b ad d et quia iterum b ad a sicut d ad e, erit quoque permutatim b ad d sicut a ad e. Quare erit a ad e sicut ad c. Si igitur e non sit equalis c, accidet impossibile et contrarium secunde parti 9. Si autem equalis, erit b ad a sicut d ad c. Quod est propositum.

Si fuerint quotlibet quantitates alieque secundum earum numerum quarum queque due priorum secundum proportionem duarum postremarum, necesse est in proportionalitate quidem equalitatis ut si fuerit prima priorum ultima maior, et posteriorum [f.41v] primam ultima esse maiorem, quod si minor, et minorem, si vero equalis, et equalem.

Demonstraturus Euclides modum arguendi qui dicitur equa proportionalitas sive quantitates duorum ordinum directe sive perversim proportionentur. Premittit duo antecedentia ad demonstrandum propositum necessaria per quorum primum demonstratur equa proportionalitas cum quantitates duorum ordinum directe proportionantur, per secundum autem cum proportionantur conversim. Proponit autem hec duo antecedentia de quantitatibus duorum ordinum numero equalibus quotcumque fuerint. Universaliter enim sumptis utrobique quantitatibus secundum eundem quemcumque numerum veritatem habent. Non est autem necesse ut demonstremus ea nisi solum in tribus. Hoc enim omnino sufficiens est ad propositum. De pluribus autem quibuscumque patebit per equam proportionalitatem cum ipsa demonstrata fuerit. Sint igitur tres quantitates a, b, e sumanturque tres alie que sint c, d, f et sit proportio a ad b sicut c ad d et b ad e sicut d ad f. Dico quod si a est maior e, c erit maior f, et si minor, minor, et si equalis, equalis. Si enim est maior, erit per primam partem 8 maior proportio a ad b quam e ad b, quare per 12 maior erit c ad d quam e ad b. Et quia per conversam proportionalitatem e ad b est sicut f ad d, erit c ad d maior quam f ad d, itaque per primam partem 10 c est maior f. Quod est propositum. Quod si a sit minor e, per easdem et eodem modo probabitur c esse minorem f. Erit enim minor proportio a ad b quam e ad b per primam partem 8 et ideo per 12 et per conversam proportionalitatem minor erit c ad d quam f ad d et ideo per primam partem 10 erit c minor f. Quod est propositum. Si autem a sit equalis e, erit per primam partem 7 proportio a ad b sicut e ad b et ideo per 11 et per conversam proportionalitatem erit c ad d sicut f ad d, quare per primam partem 9 c est equalis f. Quod est propositum.

. Quidam autem hanc conclusionem demonstraverunt per proportionalitatem permutatam hoc modo: proportio a ad b est sicut c ad d, ergo permutatim a ad c sicut b ad d et quia rursus b ad e sicut d ad f, erit permutatim b ad d sicut e ad f. Sed erat b ad d sicut a ad c, ergo per 11 erit a ad c sicut e ad f. Itaque per 14 si a prima est maior e tertia, erit c secunda maior f quarta, et si minor, minor et si equalis, equalis. Quod est propositum. Isti autem erraverunt in sua demonstratione quia si esset intentio Euclidis sic demonstrare, non oporteret ipsum premittere hanc conclusionem pro antecedente ad equam proportionalitatem. Si enim rursus fiat una permutatio proportionalitatis ad quam deventum est que est esse a ad c sicut e ad f, sequetur quod sit a ad e sicut c ad f et hoc est equa proportionalitas. Preterea eorum conclusio non sequitur, nisi omnes quantitates amborum ordinum fuerint generis unius. Si enim a, b, e sint linee et c, d, f superficies aut corpora aut tempora, non erit tunc permutare proportiones. Peccant universaliter dictum particulariter demonstrantes.

Si fuerint quotlibet quantitates alieque secundum numerum earum quarum queque due ex prioribus quibusque duabus ex posterioribus perversim comparate secundum proportionem earum [f.42r] fuerint, necesse quoque est ut si fuerint in proportionalitate equalitatis priorum prima ultima maior et posteriorum primam ultima esse maiorem, si autem minor et minorem, si vero equalis et equalem.

Secundum antecedens sint tres quantitates a, b, e sumanturque alie tres que sint f, c, d et sit proportio a ad b sicut c ad d et b ad e sicut f ad c. Dico quod si a est maior e, f erit maior d et si minor, minor et si equalis, equalis. Hec autem probatur per easdem et eodem modo quo precedens. Si enim a sit maior e, erit maior proportio a ad b quam e ad b, quare maior c ad d quam e ad b et ideo maior quam c ad f, maior igitur f quam d per secundam partem 10. Quod est propositum. Quod si a sit minor e,erit tandem minor c ad d quam ad f quare per eandem partem eiusdem f erit minor d. Si autem a sit equalis e, sequitur ut proportio sit c ad d sicut c ad f, igitur per secundam partem 9 erit f equalis d. Quod est propositum.

Si fuerint quotlibet quantitates alieque secundum earum numerum, quarum queque due secundum proportionem duarum ex primis, in equa proportionalitate proportionales erunt.

Demonstratis antecedentibus ad equam proportionalitatem hic demonstrat eam et primo quando quantitates duorum ordinum sunt directe proportionales. Non autem est necesse ut demonstraretur nisi cum in utroque duorum ordinum sunt tantum tres quantitates. Per hoc enim evidenter sequitur cum in utroque ordine fuerint 4 quantitates et deinceps et ideo etiam non oportuit eius antecedens demonstrari nisi solum cum in utroque ordine sunt etiam tres quantitates. Sint igitur tres quantitates a, b, e sumanturque tres alie que sint c, d, f. Et sit proportio a ad b sicut c ad d et b ad e sicut d ad f. Dico quod erit a ad e sicut c ad f. Sumam enim g ad a et h ad c eque multiplicia itemque k ad b et l ad d eque et rursus m ad e et n ad f eque. Eritque per 4 g ad k sicut h ad l et k ad m sicut l ad n, quare per 20 si g est maior m, erit h maior n et si minor, minor et si equalis, equalis. Ergo per diffinitionem incontinue proportionalitatis proportio a ad e est sicut c ad f. Quod est propositum.

Potest quoque hec demonstrari per 15 huius sumptis g, k, m ad a, b, e et h, l, n ad c, d, f eque multiplicibus. Erit enim per 15 g ad k sicut h ad l et k ad m sicut l ad n cetera pertracta ut prius.

Quod si fuerint quantitates plures tribus in utroque ordine utpote 4 additis p et q ita quod sit e ad p sicut f ad q, erit iterum a ad p sicut c ad q. Erit enim a ad e sicut c ad f. Hoc enim demonstratum est. Sublatis igitur b et d erunt tres quantitates a, e, p et alie tres c, f, q ut proponitur, quare a ad p sicut c ad q sicque demonstratur de 4 per tres sublato uno medio. Eodem modo demonstrabis de 5 per 4 sublatis duobus mediis et de 6 per 5 sublatis tribus et sic in ceteris. [f.42v]

Si fuerint quantitates quotlibet alieque secundum earum numerum quarum queque due secundum proportionem duarum ex prioribus indirecte proportionate, in equa proportionalitate proportionales erunt.

Demonstrat equam proportionalitatem in quantitatibus duorum ordinum indirecte sive perversim proportionalitatis. Nec est necesse quod demonstretur nisi cum in utroque duorum ordinum sunt tantum tres quantitates. Per hoc enim evidenter sequitur quecumque ponantur in utroque ordine sicut in premissa de directe proportionatis demonstratum est. Sint ergo tres quantitates a, b, e sumanturque alie tres que sint f, c, d et sit proportio a ad b sicut c ad d et b ad e sicut f ad c. Dico quod erit a ad e sicut f ad d. Sumam enim g ad a et h ad c et k ad f eque multiplicia itemque l ad b et m ad e et n ad d eque eritque per 4 g ad l sicut h ad n et per 15 l ad m sicut k ad h. Quare per 21 si g addit super m, k addit super n et si minuit, minuit et si equat, equat. Ergo per diffinitionem incontinue proportionalitatis proportio a ad e est sicut f ad d. Quod est propositum.

Potest quoque et hec demonstrari per 15 huius sumptis g, l, m ad a, b, e et k, h, n ad f, c, d eque multiplicibus erit enim per 15 g ad l sicut h ad n et l ad m sicut k ad h cetera pertracta ut prius.

Convenientius demonstrantur hec et premissa et secundum primum modum. Quod si plures tribus fuerint quantitates in utroque ordine utpote 4 additis p et q ita quod sit a ad b sicut d ad q et b ad e sicut c ad d et e ad p sicut f ad c. Erit iterum a ad p sicut f ad q, erit enim per predemonstrata a ad e sicut c ad q. Sublatis igitur b et d erunt tres quantitates a, e, p et alie tres f, c, q ut proponitur, quare a ad p sicut f ad q. Sic igitur demonstratur de 4 per tres sublato uno medio. Eodem modo demonstrabis de 5 per 4 sublatis duobus mediis et de 6 per 5 sublatis tribus et sic in ceteris.

Si fuerit proportio primi ad secundum tamquam tertii ad quartum, proportio vero quinti ad secundum tamquam sexti ad quartum, erit proportio primi et quinti pariter acceptorum ad secundum tamquam sexti et tertii pariter acceptorum ad quartum.

Quod secunda proposuit de multiplicibus hec proponit universaliter de omnibus proportionibus. Unde est illa tanto communior quanto multiplicitate proportio et se habet ad illam quemadmodum 13 ad primam. Sit ergo proportio a b ad c sicut d e ad f et item b g ad c sicut e h ad f. Dico quod proportio a g ad c est sicut d h ad f. Erit enim per conversam proportionalitatem c ad b g sicut f ad e h, quare per 22 erit in equa proportionalitate a b ad b g sicut d e ad e h, ergo coniunctim per 18 a g ad g b sicut d h ad h e. Itaque per 22 erit in equa proportionalitate a g ad c sicut d h ad f. Quod est propositum. [f.43r]

Si fuerint 4 quantitates proportionales fueritque prima earum maxima et ultima minima, primam et ultimam pariter acceptas ceteris duabus maius esse necessario comprobatur.

Quod hic proponitur, non habet locum nisi cum omnes 4 quantitates proportionales sint eiusdem generis. Sit ergo 4 quantitatum eiusdem generis proportio a b ad c d sicut e ad f sitque a b maxima neque oportet ponere quod f sit minima quia ipsum ex hoc sequitur quod a b posita est maxima. Unde non posuit hoc auctor in conclusione tamquam positionem, sed potius tamquam precedentis positionis conclusionem. Dico quod cum ita fuerit quod maius erit aggregatum ex a b et f quam ex c d et e. Cum enim a b sit maior e, abscindam ex b a, g b equalem e. Similiter quoque quia c d est maior f, abscindam ex c d, h d equalem f eritque propter ypothesim a b ad c d sicut g b ad h d, quare per 19 a g residuum ad c h residuum sicut tota a b ad totam c d scilicet a b ad c d. Cum ergo a g se habet ad c h sicut a b ad c d, sed a b est maior c d quare a g maior est c h. Additis igitur utrique duabus quantitatibus g b et h d erit per communem scientiam aggregatum ex a b et h d maius aggregato ex c d et g b. Et quia d h posita est equalis f et g b, e, maius erit aggregatum ex a b et f quam aggregatum ex c d et e. Quod est propositum.

Si fuerit 4 quantitatum proportio prime ad secundam maior quam tertie ad quartam, erit conversim econtrario proportio secunde ad primam minor quam quarte ad tertiam.

Sit proportio a ad b maior quam c ad d. Dico quod erit econverso modo contrarie minor proportio b ad a quam d ad c. Si enim est eadem b ad a que est d ad c, erit econverso a ad b ut c ad d, sed non est, immo maior. At vero si est b ad a maior quam d ad c, sit e ad a ut d ad c eritque ex 12 e ad a minor quam b ad a, quare ex prima parte 10 e est minor b. Ideoque ex secunda parte 8 maior erit proportio a ad e quam a ad b et quia per conversam proportionalitatem a ad e sicut c ad d, erit per 12 proportio c ad d maior quam a ad b, sed erat minor, relinquitur ergo propositum.

Possumus si libet astruere propositum ostensive. Manifestum est enim ex prima parte 10 quod illa quantitas cuius ad b est eadem proportio que est c ad d est minor a eo quod ponitur maior proportio a ad b quam c ad d. Illa ergo quantitas sit e. Cum sit igitur proportio e ad b ut c ad d, erit econverso b ad e ut d ad c. Constat autem ex secunda parte 8 quod proportio b ad a est minor quam proportio b ad e, itaque per 12 proportio b ad a est minor quam d ad c. Quod volumus.

Si fuerit 4 quantitatum maior proportio prime ad secundam quam tertie ad quartam, erit [f.43v] permutatim maior proportio prime ad tertiam quam secunde ad quartam.

Sit hic quoque proportio a ad b maior quam c ad d. Dico quod erit permutatim maior proportio a ad c quam b ad d. Eadem enim non erit quia tunc quoque esset permutatim a ad b sicut c ad d neque minor. Nam si hoc ponatur, sit itaque e ad c ut b ad d eritque ex 12 maior proportio e ad c quam a ad c. Quare ex prima parte 10 e est maior a. Itaque per primam partem 8 proportio e ad b est maior quam a ad b. Et quia positum est ut sit e ad c sicut b ad d, erit permutatim e ad b sicut c ad d. Ex 12 igitur maior erit proportio c ad d quam a ad b. Sed positum erat oppositum, verum est ergo propositum.

Ostensive quoque idem quemadmodum in premissa: sumpta enim e ad b ut c ad d erit ex prima parte 10 e minor a quare ex prima parte 8 maior erit a ad c quam e ad c, sed ex permutata proportionalitate est e ad c ut b ad d, igitur ex 12 a ad c est maior quam b ad d. Quod est propositum.

Si fuerint 4 quantitates quarum prime ad secundam sit maior proportio quam tertie ad quartam, erit quoque coniunctim maior proportio prime et secunde ad secundam quam tertie et quarte ad quartam.

Sit maior proportio a ad b quam c ad d. Dico quod maior erit totius a b ad b quam totius c d ad d quia ipsa neque erit equalis neque minor. Si enim equalis, tunc erit disiunctim a ad b ut c ad d. Si autem est minor, sit e b ad b sicut c d ad d eritque per 12 maior proportio e b ad b quam a b ad b. Itaque ex prima parte 10 e b est maior quam a b et per conceptionem e maior quam a, quare ex prima parte 8 maior est proportio e ad b quam a ad b. Sed e ad b est ut c ad d per disiunctam proportionalitatem eo quod erat e b ad b ut c d ad d, ergo per 12 c ad d est maior quam a ad b. Hoc autem est contra ypothesim.

Idem etiam ostensive: Cum enim positum sit quod maior sit proportio a ad b quam c ad d, sit proportio e ad b ut c ad d eritque ex prima parte 10 e minor a. Ideoque ex communi scientia e b erit minor quam a b quare ex prima parte 8 maior erit proportio a b ad b quam e b ad b. At vero proportio e b ad b est per coniunctam proportionalitatem sicut c d ad d. Positum enim est ut sit e ad b tamquam c ad d, igitur maior est ex 12 a b ad b quam c d ad d. Quod est nostrum propositum etcetera.

Si fuerint 4 quantitates quarum prime et secunde ad secundam sit maior proportio quam tertie et quarte ad quartam, erit quoque disiunctim proportio prime ad secundam maior quam tertie ad quartam. [f.44r]

Sit proportio a b ad b maior quam c d ad d. Dico quod erit disiunctim proportio a ad b maior quam c ad d. Alioquin erit equalis vel minor. Quod si equalis, erit per coniunctam proportionalitatem a b ad b ut c d ad d.Si autem minor, erit maior c ad d quam a ad b, ergo per premissam maior erit c d ad d quam a b ad b. Quod est inconveniens quia positum est quod minor. Verum est ergo quod dicitur.

Quod etiam ostensive astruemus hoc modo, ponemus enim ut proportio e b ad b sit tamquam proportio c d ad d. Eritque ex prima parte 10 e b minor quam a b, quare ex communi scientia e est minor quam a, minor igitur est ex prima parte 8 proportio e ad b quam sit a ad b, sed proportio e ad b est sicut c ad d ex disiuncta proportionalitate, itaque per 12 proportio a ad b est maior quam sit c ad d. Quod est propositum.

Si fuerint 4 quantitates quarum prime et secunde ad secundam sit maior proportio quam tertie et quarte ad quartam, erit eversim minor proportio prime et secunde ad primam quam tertie et quarte ad tertiam.

Sit maior proportio a b ad b quam c d ad d. Dico quod eversim minor erit proportio a b ad a quam c d ad c. Erit enim disiunctim ex premissa maior proportio a ad b quam c ad d. Itaque per 26 econverso minor erit b ad a quam d ad c, quare per antepremissam coniunctim minor erit b a ad a quam d c ad c. Quod est propositum.

Si fuerint tres quantitates in uno ordine itemque tres in alio fueritque prime priorum ad secundam maior proportio quam prime posteriorum ad secundam itemque secunde priorum ad tertiam maior quam secunde posteriorum ad tertiam, erit quoque prime priorum ad tertiam maior proportio quam prime posteriorum ad tertiam.

Sint tres quantitates a, b, c itemque alie tres d, e, f sitque maior proportio a ad b quam d ad e itemque maior b ad c quam e ad f. Dico quod maior erit proportio a ad c quam d ad f. Sit enim g ad c ut e ad f eritque ex prima parte 10 g minor b, quare ex secunda parte 8 proportio a ad g est maior quam a ad b, multo maior igitur est proportio a ad g quam d ad e. Sit itaque h ad g ut d ad e eritque ex prima parte 10 a maior h, quare ex prima parte 8 proportio a ad c maior est quam proportio h ad c. At vero proportio h ad c est per equam proportionalitatem sicut d ad f. Est enim h ad g ut d ad e et g ad c ut e ad f, igitur ex 12 proportio a ad c est maior quam d ad f. Quare constat propositum. [f.44v]

Si fuerint tres quantitates in uno ordine itemque tres in alio fueritque proportio secunde priorum ad tertiam maior quam prime posteriorum ad secundam itemque prime priorum ad secundam maior quam secunde posteriorum ad tertiam, erit maior proportio prime priorum ad tertiam quam prime posteriorum ad tertiam.

Sint tres quantitates in uno ordine a, b, c itemque tres in alio d, e, f quemadmodum in premissa sitque maior proportio b ad c quam d ad e et maior a ad b quam e ad f. Dico quod maior erit a ad c quam d ad f. Sit enim g ad c ut d ad e eritque g minor b per primam partem 10, quare maior erit proportio a ad g quam ad b per secundam partem 8, igitur multo maior est a ad g quam e ad f. Sit itaque h ad g ut e ad f eritque a maior h ex prima parte 10, quare proportio a ad c maior est quam h ad c ex prima parte 8. At vero ex 23 proportio h ad c est tamquam d ad f eo quod est g ad c ut d ad e et h ad g ut e ad f. Ergo ex 12 maior est proportio a ad c quam d ad f. Quod est propositum.

Si fuerit proportio totius ad totum maior quam abscisi ad abscisum, erit residui ad residuum maior proportio quam totius ad totum.

Sint due quantitates a et b a quibus abscindantur c et d et residua sicut e et f sitque maior proportio a ad b quam c ad d. Dico quod maior erit proportio e ad f quam a ad b. Erit enim ex 27 permutatim maior proportio a ad c quam b ad d, quare ex 30 erit eversim minor proportio a ad e quam b ad f, igitur rursus ex 27 permutatim minor erit a ad b quam e ad f. Quod est propositum.

Si quotlibet quantitates ad totidem alias comparentur fueritque cuiuslibet precedentis ad suam relativam maior proportio quam alicuius subsequentis ad suam, erit omnium harum pariter acceptarum ad omnes illas pariter acceptas maior proportio quam alicuius subsequentium ad suam comparem aut etiam quam omnium pariter acceptarum ad omnes pariter acceptas, minor autem quam prime ad primam.

Sint tres quantitates a, b, c relate ad totidem [f.45r] alias que sint d, e, f sitque maior proportio a ad d quam b ad e et b ad e sit maior quam c ad f. Dico quod proportio a b c pariter acceptarum ad d e f pariter acceptas est maior quam b ad e vel maior quam c ad f et etiam maior quam b et c pariter acceptarum ad e et f pariter acceptas et quod ipsa est minor quam a ad d. Cum sit enim a ad d maior quam b ad e, erit permutatim a ad b maior quam d ad e et coniunctim a b ad b maior quam d e ad e. Et iterum permutatim a b ad d e maior quam b ad e. Quare per premissam a ad d est maior quam a b ad d e. Eodemque modo probatur maiorem esse b ad e quam b c ad e f, itaque maior est a ad d quam b c ad e f. Quare permutatim maior est a ad b c quam d ad e f et coniunctim maior a b c ad b c quam d e f ad e f et iterum permutatim maior a b c ad d e f quam b c ad e f, quare per premissam maior est a ad d quam a b c ad d e f etcetera.