Quorum diametri sunt equales, circulos equales esse, maiores autem quorum maiores et minores quorum minores.

Circulum contingere linea dicitur, que cum circulum tangat in utramque partem eiecta circulum non secat.

Circuli sese contingere [f.16r] dicuntur, qui tangentes sese invicem non secant.

Recte linee in circulo equaliter dicuntur distare a centro, cum a centro ad ipsas ducte perpendiculares fuerint equales.

Plus vero distare a centro dicitur, in quam perpendicularis longior cadit.

Recta linea portionem circuli continens corda nominatur.

Portio vero circumferentie arcus nuncupatur.

Angulus autem portionis dicitur, qui a corda et arcu continetur.

Supra arcum consistere angulus dicitur, qui a quolibet puncto arcus ad corde terminos duabus rectis lineis exeuntibus continetur.

Sector circuli est figura, que sub duabus a centro ductis lineis et sub arcu qui ab eis comprehenditur continetur.

Angulus autem qui ab eis lineis ambitur, supra centrum consistere dicitur.

Similes circulorum portiones dicuntur, in quibus qui super arcum consistunt anguli sibi invicem sunt equales.

Arcus quoque similes sunt, qui equos angulos predicto modo suscipiunt etcetera.

Circuli propositi centrum invenire.

Unde manifestum est, quod duabus rectis lineis in eodem circulo apud circumferentiam terminatis neutra illarum alteram per equalia orthogonaliter secat, nisi ipsa super centrum transierit.

Sit circulus a b c cuius volumus centrum invenire. Duco in ipso circulo lineam a c qualitercumque contingat quam [f.16v] divido per equalia in puncto d a quo duco perpendicularem ad lineam a c quam applico circumferentie ex utraque parte sitque e d b quam rursus divido per equalia in puncto f quem dico esse centrum circuli. Si enim non est, erit autem alibi in linea e b aut extra. In linea e b non. Si enim fuerit in ea ut in puncto g, erit linea e f maior linea e g, pars videlicet toto. Quod est impossibile. Quod si fuerit extra lineam e b ut in puncto h, ducantur linee h a, h d, h c et quia latera h d et d a trianguli h d a sunt equalia lateribus h d et d c trianguli h d c et basis h a basi h c, erit per 8 primi angulus a d h equalis angulo c d h quare uterque rectus et quia angulus a d b fuit etiam rectus, erit a d h equalis a d b per tertiam petitionem primi, pars videlicet toti. Quod est impossibile. Non est ergo centrum dati circuli alicubi quam in puncto f. Quod est propositum.

Super circuli circumferentiam duobus punctis signatis lineam rectam ab altero ductam ad alterum circulum secare necesse est.

Sit ut in circumferentia circuli a b cuius centrum sit c signata sint duo puncta que sunt a et b. Dico quod linea recta coniungens unum cum altero secabit circulum. Alioquin cadet extra circulum. Sitque a e b linea recta si possibile est, producam lineas c a et c b eruntque per 5 primi anguli c a b et c b a equales. Protraham item lineam c e que secet circumferentiam in puncto d eritque per 16 primi angulus a e c maior angulo c b e, quare maior angulo c a e, quare per 18 eiusdem latus a c maius est latere c e. Et quia c d est equalis c a, erit c d maior c e, pars toto. Quod est impossibile. Quia ergo linea coniungens duo puncta a, b non transibit extra circulum, secabit ipsum. Quod est propositum.

Si lineam intra circulum preter centrum collocatam alia a centro veniens per equa secet, orthogonaliter super eam insistere. Et si in eam orthogonaliter steterit, eam per equalia dividere necesse est.

Sit ut lineam a b collocatam intra circulum a b cuius centrum sit c linea c d veniens a centro dividat per equalia. Dico quod dividit eam orthogonaliter et econverso videlicet si dividit eam orthogonaliter, dividit eam per equalia. Producam lineas c a et c b et ponam primo quod dividat eam per equalia, erunt duo latera c d et d a trianguli c d a equalia duobus lateribus c d et d b trianguli c d b et basis c a basi c b, ergo per 8 primi angulus d unius est equalis angulo d alterius, ergo uterque rectus, quare c d est perpendicularis super a b. Quod est propositum.

Ponam iterum quod c d sit perpendicularis super a b et ostendam quod ipsa dividit a b per equalia. Erit enim propter hanc positionem uterque angulorum qui sunt ad d rectus, quare unus equalis alteri, at quia per 5 primi angulus c a d est equalis angulo c b d et latus c a lateri c b, per 26 primi erit linea a d equalis linee d b. Quod est propositum.

Si intra circulum due linee se invicem secent et super centrum non transeant, non per [f.17r] equalia eas secari necesse est.

Sit ut in circulo a b c d cuius centrum sit e due linee a c et b d secent se in puncto f et utraque earum vel altera non transeat per centrum. Dico quod ipse non dividunt sese per equalia ita quod utraque per equalia dividatur ab altera. Quod si fuerit hoc possibile, ponatur et sit primo ut neutra transeat per centrum. A centro e producam lineam e f eritque per primam partem premisse unusquisque 4 angulorum qui sunt a f e, e f c, b f e, e f d rectus. Quod est impossibile. Sic enim rectus esset minor recto. Sit igitur ut altera earum transeat per centrum et altera non sitque b d transiens per centrum. Adhuc dico quod non dividunt sese per equalia. Quod si sic, tunc per primam partem premisse cum b d ducta a centro dividat a c per equalia, dividet eam orthogonaliter. Quare etiam a c dividet b d orthogonaliter. Et quia a c dividit ipsam b d per equalia, ut ponit adversarius, ipsa transibit per centrum per corollarium prime huius, quare ambe transeunt per centrum. Quod est contra ypothesim.

Circulorum sese invicem secantium centra diversa esse.

Sint duo circuli a b c, a d b secantes se super duo puncta a, b. Dico quod eorum diversa sunt centra. Si enim habuerint idem centrum, ipsum erit per diffinitionem in portione utrique circulo communi sitque illud e et producantur linee e a et e f c. Eruntque per diffinitionem due linee e a et e f equales. Itemque per diffinitionem due linee e a et e c equales, quare e f est equalis e c cum utraque earum sit equalis e a, pars videlicet toti. Quod est impossibile.

Circulorum sese contingentium non idem centrum esse necesse est.

Sint duo circuli a c et a b contingentes se in puncto a. Dico quod eorum diversa sunt centra. Si enim habuerint idem centrum, erit per diffinitionem intra minorem eorum cum minor positus fuerit intra maiorem. Sitque ipsum d et ducantur linee d a et d b c eritque per diffinitionem utraque duarum linearum d b et d c equalis a d. Quod est impossibile. De circulis autem sese contingentibus extra quorum scilicet unus est extra alterum, manifestum est per diffinitionem centri quod ipsi non habent idem centrum.

Si in diametro circuli punctus preter centrum signetur et ab eo ad circumferentiam linee plurime ducantur, que super centrum transierit omnium erit longissima, que vero diametrum perficiet omnium brevissima. Que autem centro proxime, ceteris longiores, quanto vero a centro remotiores, tanto breviores esse conveniet. Duas quoque equidistantes linee brevissime collaterales equales esse necesse est etcetera.

Sit ut in diametro a f circuli a b c cuius centrum sit h sit signatus [f.17v] punctus k preter centrum a quo ducantur plurime linee que sint k a, k b, k c, k d, k e, k f, k g ad circumferentiam et transeat a k per centrum h et k f sit complementum diametri. Sitque ut k e et k g equidistent a k f, hoc est dicere ut angulus e k f sit equalis angulo f k g. Dico quod k a est omnium longissima et k f omnium brevissima, alie vero tanto longiores quanto centro propinquiores ut k b est longior k c et k c longior k d et k d longior k e et k e et k g sunt equales. Quia enim in triangulo b h k duo latera b h et h k per 20 primi sunt maiora latere b k et ipsa sunt equalia linee a k, erit a k maior b k et eadem ratione maior omnibus aliis. Et hoc est primum. Itemque quia in triangulo e h k duo latera h k et k e per eandem sunt maiora latere h e quod est equale linee h f, ipsa erunt maiora linea h f, ergo dempta communi linea que est h k remanebit k e maior k f. Eadem ratione quelibet aliarum erit maior ipsa. Et hoc est secundum. Itemque quia duo latera b h et h k trianguli b h k sunt equalia duobus lateribus c h et h k trianguli c h k et angulus b h k est maior angulo c h k, erit per 24 primi basis b k maior basi k c. Et eadem ratione k c maior erit k d et k d maior k e. Et hoc est tertium. Quod si due linee k g et k e non sint equales, erit maior altera sitque k g de qua sumam k l equalem k e et producam h l quousque secet circumferentiam in puncto m. Et quia per ypothesim angulus g k f est equalis angulo f k e, erit per 13 primi angulus l k h equalis angulo e k h et duo latera l k et k h trianguli l k h sunt equalia duobus lateribus e k et k h trianguli e k h, ergo per 4 primi basis h l est equalis basi h e. Et quia h m est equalis h e, erit h m equalis h l. Quod est impossibile. Sunt ergo due linee k g et k e equales. Quod est quartum propositum etcetera.

Si extra circulum puncto signato ab eo ad circumferentiam linee plurime circulum secando ducantur, que supra centrum transierit omnium erit longissima, centro autem propinquiores ceteris remotioribus longiores. Linee vero partiales ad circumferentiam extrinsecus applicate ea quidem que diametro in directum adiacet omnium est minima, eique propinquiores remotioribus breviores. Due vero que linee brevissime utrimque eque propinquant equales sunt.

Sit ut in puncto a signato extra circulum b c d cuius centrum sit n ducantur plurime linee ad circumferentiam secando circulum que sunt a k n b, a h c, a g d et a f e. Dico quod a b transiens per centrum est omnium longissima et quod a c est maior a d et a d maior a e et quod a k est brevissima extrinsecarum et quod a h est minor [f.18r] a g et a g minor a f. Et dico quod si ducatur a l ita quod ipsa et a h equaliter distent ab a k, hoc est quod angulus h a k sit equalis angulo l a k quod ipse erunt equales. Producam enim a centro n lineas n c, n d, n e, n f, n g et n h eruntque per 20 primi duo latera a n et n c trianguli a n c maiora a c et quia ipsa sunt equalia linee a b, erit a b maior a c. Eadem ratione erit maior omnibus aliis. Quod est primum. Et quia duo latera a n et n c trianguli a n c sunt equalia duobus lateribus a n et n d trianguli a n d et angulus a n c est maior angulo a n d, erit per 24 primi basis a c maior basi a d. Et eadem ratione erit a d maior a e. Quod est secundum. Itemque quia in triangulo a h n duo latera a h et h n sunt maiora a n per 20 primi et h n est equalis n k, erit per communem scientiam a h maior a k. Eadem ratione quelibet extrinsecus applicatarum maior erit a k. Quod est tertium. Itemque per 21 primi due linee a h et h n sunt minores duabus lineis a g et g n et h n est equalis g n, erit per communem scientiam a g maior a h. Eadem ratione erit a f maior a g. Quod est quartum. Quod si a l non sit equalis a h cum ipse sint equaliter distantes ab a k, erit altera maior sitque a l. Ponam ergo a m equalem a h et producam n o m. Quia ergo duo latera m a et a n trianguli m a n sunt equalia duobus lateribus h a et a n trianguli h a n et angulus m a n est equalis angulo h a n, erit per 4 primi basis n m equalis basi h n. Et quia n o est equalis n h, erit n o equalis n m, pars toti. Quod est impossibile. Et hoc est quintum.

Si intra circulum puncto signato ab eo plures quam due ducte linee ad circumferentiam fuerint equales, punctum illud centrum circuli esse necesse est.

Sit ut a puncto a signato intra circulum b c d ducte tres linee a b, a c et a d ad circumferentiam quas pono esse equales. Dico punctum a esse centrum circuli. Producam enim duas lineas c b et d c et dividam utramque earum per equalia, c b quidem in puncto e et d c in puncto f. Et producam e a et f a quas applico circumferentie ex utraque parte eritque per 8 primi uterque angulorum qui sunt ad e equalis alteri, igitur per 13 uterque erit rectus. Similiter quoque per eandem uterque angulorum qui sunt ad f rectus, ergo per corollarium prime huius quia a e dividit c b per equalia et orthogonaliter, ipsa transit per centrum. Similiter quoque a f transit per centrum quia dividit d c per equalia et orthogonaliter, quare a est centrum. Quod est propositum.

Si circulus circulum secet, in duobus locis tantum secare necesse est.

Sint si possibile est duo circuli a b c secantes se in pluribus quam duobus locis super 3 puncta a, b, c et producam lineas a b et a c quas dividam per equalia in punctis d et e. Et producam a puncto e lineam e f perpendicularem super lineam a c et a puncto d lineam perpendicularem super lineam a b et secent se due linee e f et d f in puncto f. Eritque per corollarium prime huius punctus f centrum circuli utriusque. Quod est impossibile per 5 huius etcetera. [f.18v]

Si circulus circulum contingat lineaque per centra eorum transeat, ad punctum contactus eam applicari necesse est.

Si enim linea transiens per centra duorum circulorum c e et d e sese contingentium intra vel extra non vadit per locum contactus, secet circumferentiam utriusque sitque a centrum circuli e d et b centrum circuli e c et ducatur linea recta a b c d secans circumferentiam utriusque, educantur linee a puncto e qui sit locus contactus ad centra que sint e a et e b eruntque in contactu interiori per 20 primi due linee e b et b a longiores e a, quare longiores a d, est enim a centrum circuli e d. Et quia b c est equalis e b quoniam b est centrum circuli e c, erit c a longior a d. Quod est impossibile. In contactu vero exteriori erunt due linee a e et e b longiores a b, quare a d et c b maius erunt quam tota a b. Quod patet falsum.

Si circulus circulum sive intrinsecus sive extrinsecus contingat, in uno tantum loco contingere necesse est.

Si enim fuerit possibile ut circulus circulum contingat in duobus locis intra vel extra, contingat circulum a b c d circulus a b e interius in duobus punctis a, b vel circulus c d f exterius in duobus punctis c, d. Cum ergo ducemus lineam rectam ab a ad b si ipsa cadit extra circulum a b e interiorem accidet contrarium secunde huius. Quod si cadit intra ipsum, cum diviserimus ipsam per equalia et eduxerimus a puncto divisionis perpendicularem ad ipsam fueritque applicata circumferentie ex utraque parte, ipsa transibit per centra amborum circulorum, quare accidet contrarium premisse. In circulo autem contingente exterius in punctis c, d, si ducamus lineam rectam a puncto c ad punctum d, necesse est accidere contrarium secunde huius, quare utrumque est impossibile.

Recte linee in circulo si fuerint equales, eas a centro equidistare. Et si a centro equidistiterint, equales esse necesse est.

Sit ut in circulo a b c d cuius centrum sit e linee a d et b c sint equales. Dico quod ipse distant equaliter a centro et econverso. Et producantur enim a centro e linee e f et e g perpendiculares ad a d et b c. Eritque per secundam partem tertie huius a d divisa per equalia in f et b c in g. Quia ergo duo latera e d et d a trianguli e d a sunt equalia duobus lateribus e c et c b trianguli e c b et basis e a basi e b, erit per 8 primi angulus d equalis angulo c et quia duo latera e d et d f trianguli e d f sunt equalia duobus lateribus e c et c g trianguli e c g, nam f d est equalis g c eo quod tota a d posita est equalis b c et angulus d est equalis angulo c, erit per 4 primi basis e f equalis basi e g. Et quia iste sunt perpendiculares venientes ad eas a centro, patet per diffinitionem ipsas equaliter distare a centro.

Aliter idem. Quadratum [f.19r] enim e d per penultimam primi valet quadrata duarum linearum e f et f d et quadratum e c quadrata duarum que sunt e g et g c et quia quadratum e d est equale quadrato e c et quadratum f d quadrato g c, erit quadratum e f equale quadrato e g, quare e f est equale e g. Sicque patet idem.

Sit ergo e f equalis e g quod est equaliter eas distare a centro. Dico tunc quod a d est equalis b c. De quadratis enim duarum linearum e d et e c equalibus demptis quadratis duarum linearum e f et e g equalibus remanent per penultimam primi quadrata duarum linearum f d et g c que per communem scientiam necesse est esse equalia. Quare f d est equalis g c, ergo duplum f d quod est a d est equale duplo g c quod est b c. Et hec est secunda pars propositi etcetera.

14 Si intra circulum plurime recte linee ceciderint, diametrum eius omnium longissimam eique propinquiores remotioribus longiores esse necesse est.

Sit ut in circulo a b c cuius centrum e cadant plurime linee que sint a b, a c, a e d, f g et h k sitque a e d diameter. Dico ipsam esse longissimam et alias tanto maiores quanto sibi propinquiores. Ducantur enim a centro e linee ad extremitates omnium que sint e b et e c, e f, e g, e h et e k. Eruntque per 20 primi duo latera e f et e g trianguli e f g longiora f g et quia ipsa sunt equalia a d, erit a d maior f g. Eadem ratione maior erit quam a c quia a e et e c sunt maiora a c et equalia a d, ergo a d maior est a c. Sic quoque est maior quam h k et maior etiam quam a b. Quod autem f g sit maior h k et a c a b, patet quia per 24 primi cum duo latera f e et e g trianguli f e g sint equalia duobus lateribus h e et e k trianguli h e k et angulus f e g maior angulo h e k, erit basis f g maior basi h k. Similiter quoque quia a e et e c sunt equalia a e et e b et angulus a e c maior angulo a e b, erit basis a c maior basi a b. Sicque patet tota conclusio.

Si ab altero terminorum diametri cuiuslibet circuli orthogonaliter linea ducatur, extra circulum eam cadere necesse est. Atque inter illam et circulum aliam lineam capi impossibile est. Angulum autem ab illa et circumferentia contentum omnium acutorum angulorum esse angustissimum. Angulum vero intrinsecum a diametro et circumferentia contentum omnium acutorum angulorum esse amplissimum necesse est.

Unde etiam manifestum est omnem lineam [f.19v] rectam a termino diametri cuiuslibet circuli orthogonaliter ductam circulum ipsum contingere.

Sit ut a termino a diametri a c circuli a b c cuius centrum d ducatur linea orthogonaliter. Dico quod ipsa cadit extra circulum et quod inter illam et circumferentiam nulla alia linea recta intercipitur et quod angulus quem ipsa et circumferentia continent est minor omni angulo rectilineo videlicet qui contineatur a duabus rectis lineis, et quod angulus contentus a diametro et circumferentia est maior omni angulo acuto rectilineo. Si linea ducta ab a orthogonaliter super a c potest cadere infra circulum, sit illa linea a b et ducatur linea d b eritque per 5 primi angulus d a b equalis angulo d b a. Et quia angulus d a b est rectus per ypothesim, habebit triangulus a d b duos angulos rectos. Quod est impossibile per 32 primi. Cadet ergo extra. Sitque a e quod si inter ipsam et circumferentiam potest linea recta intercipi, sit illa a f ad quam ducatur perpendicularis d g et quia angulus d g a est rectus, erit per 18 primi linea a d longior linea d g. Quod est impossibile. Quare inter ipsam et circumferentiam nulla linea recta intercipietur. Propter quod patet quod angulus contentus ab e a et circumferentia, qui dicitur angulus contingentie, est minor omni angulo contento a duabus rectis lineis. Si enim aliquis rectilineus esset angulo contingentie equalis aut eo minor cum omnis talis possit per equa dividi secundum doctrinam 9 primi, inter lineam a e et circumferentiam posset linea recta intercipi quod monstravimus esse non posse. Per quod apparet angulum contentum a diametro et circumferentia omnium acutorum rectilineorum esse maiorem, quia non differt a recto nisi in angulo contingentie quem monstravimus esse minorem omni rectilineo.

Corollarium patet per primam partem. Cum enim linea a e in utramque partem eiecta non secet circulum et tangat ipsum in puncto a, ipsa est contingens per diffinitionem.

. Ex hac nota quod non valet ista argumentatio. Hoc transit a minori ad maius per omnia media, ergo per equale. Nec ista. Contingit reperire maius hoc et minus eodem, ergo contingit reperire equale. Hoc autem sic patet. Sit circulus a b supra centrum c cuius diameter a c b et ducatur ab eius termino a linea a d orthogonaliter eritque contingens circulum per corollarium huius. Describatur iterum super punctum a secundum quantitatem diametri a b circulus b e d et ymaginetur linea a b moveri super punctum a per circumferentiam arcus b e d ita quod punctum b numeret omnia puncta arcus b e d quousque perveniat ad lineam a d et cooperiat ipsam. Et quia angulus b a d est rectus, erit ut non sit sumere aliquem angulum acutum cui equalem non fecerit linea a b cum diametro a c b minoris circuli. Quare transivit ad angulum rectum dinumerans situm omnium acutorum quorum manifestum est quosdam esse minores angulo semicirculi contento a semicircumferentia a b et diametro a c b et angulum rectum manifestum est esse maiorem eodem. Dico quod nullus in transitu ab acutis minoribus ad recto maiorem fuit ei equalis. Si enim fuerit aliquis, sit ut illum fecerit linea a b cum punctum b fuit in punctum e arcus b e d. Quia ergo angulus e a b est equalis angulo semicirculi predicto, angulus autem ille semicirculi est amplissimus omnium acutorum per ultimam partem huius, erit angulus e a b amplissimus omnium acutorum. Dividatur ergo angulus e a d sicut proponit 9 primi per equalia ducta [f.20r] linea a f eritque per 9 conceptionem angulus f a b amplior angulo e a b. Quare erit aliquid amplius amplissimo. Quod est impossibile.

Vel sic: Cum angulus e a b sit equalis angulo semicirculi sicut ponitur, at angulus semicirculi cum angulo contingentie est equalis uni recto. Similiter quoque angulus e a b cum angulo e a d est equalis uni recto, erit angulus e a d equalis angulo contingentie et quia angulus contingentie est angustissimus omnium acutorum per 3 partem huius, erit similiter angulus e a d sibi equalis angustissimus omnium acutorum, sed angulus e a f est eo angustior per conceptionem. Erit ergo aliquid angustius angustissimo. Quod est impossibile. Non ergo erit angulus rectilineus equalis angulo semicirculi. Et quia transitur a minori ad maius et non per equale itemque quia est reperire minorem eo et maiorem, patet instantia contra utramque argumentationem predictam.

A dato puncto ad datum circulum lineam contingentem ducere.

Sit circulus datus a b cuius centrum c punctusque datus d. Volo ergo a puncto d ducere lineam contingentem circulum a b. Producam lineam d c secantem circumferentiam circuli a b in puncto a super quam describo circulum d e secundum quantitatem linee d c concentricum circulo a b et a puncto a duco lineam a e perpendicularem ad lineam d c que secet circumferentiam circuli d e in puncto e et produco lineam e c secantem circumferentiam circuli a b in puncto b. Deinde protraho lineam d b que erit contingens circulum a b. Quia enim duo latera a c et c e trianguli a c e sunt equalia duobus lateribus b c et c d trianguli b c d et angulus c est communis utrique, erit per 4 primi angulus e a c equalis angulo d b c, angulus autem e a c est rectus quare angulus d b c est rectus. Per corollarium ergo precedentis erit linea d b contingens circulum a b. Quod est propositum.

Si circulum recta linea contingat, a contactu vero ad centrum linea ducatur, est necesse eam super lineam contingentem esse perpendicularem.

Sit linea a b contingens circulum c e cuius centrum d in puncto c, qui punctus c coniungatur cum centro per lineam c d. Dico hanc esse perpendicularem super lineam contingentem. Si enim non est perpendicularis ad ipsam, sit ergo d f perpendicularis ad eandem que secet circumferentiam circuli in puncto e. Eritque uterque angulorum qui sunt ad f rectus, quare per 18 primi linea c d est maior linea d f. Quod est impossibile. Constat itaque d c esse perpendicularem super a b. Quod est propositum.

Si circulum recta linea contingat et a contactu in circulum linea quedam orthogonaliter ducatur, centrum in eadem esse necesse est.

Sit ut prius linea a b contingens circulum c e in puncto c et a contactu ducatur intra circulum linea c e perpendicularis ad lineam a b. Dico quod centrum circuli est in linea c e et est conversa [f.20v] prioris. Si enim non fuerit centrum in linea c e, sit alibi ubicumque contingat. Sitque d et producatur d c, erit d c per premissam perpendicularis ad lineam a b. Quod est impossibile cum e c posita sit perpendicularis ad ipsam. Quare patet propositum etcetera.

Si intra circulum angulus supra centrum consistat, alius vero angulus supra circumferentiam eandem basim habeat, inferior superiori duplus erit.

Sit ut in circulo a b c cuius centrum d fiat angulus a d c supra centrum et angulus a b c supra circumferentiam sitque utriusque anguli eadem basis que sit arcus a c. Dico angulum a d c duplum esse ad angulum a b c. Quod sic probatur. Aut enim due linee a b et b c includunt duas lineas a d et d c aut altera earum sit linea una cum altera reliquarum aut etiam altera primarum secet alteram postremarum. Sit ergo primo ut includant eas ut in prima figuratione apparet et producatur linea b d e eritque per 32 primi angulus a d e extrinsecus equalis duobus intrinsecis qui sunt anguli b a d et a b d. Et quia ipsi sunt equales per 5 eiusdem, erit angulus a d e duplus ad angulum a b d. Simili quoque modo erit angulus e d c duplus ad angulum d b c, quare totus angulus a d c duplus est ad totum angulum a b c. Quod est propositum.

Quod si altera duarum linearum a b et b c fiat linea una cum altera duarum que sunt a d et d b ut in secunda figuratione apparet. Per easdem per quas prius et simili modo liquet propositum.

Quod si altera duarum linearum secet alteram duarum postremarum ut in tertia figuratione apparet ubi linea a b secet lineam d c et producatur linea b d e eritque per easdem quas prius assumpsimus et simili modo angulus e d a duplus ad angulum d b a et totus angulus e d c duplus ad totum angulum d b c quare angulus a d c duplus est ad angulum a b c. Quod est propositum.

Si in una circuli portione anguli supra arcum consistant, angulos quoslibet esse equales necesse est.

Sit ut in portione a d b circuli a d b cuius centrum f consistant anguli supra arcum a d b qui sint c, d, e. Dico eos esse equales. Protrahatur enim corda a b et ab eius extremitatibus ducantur in centrum linee a f et b f eritque per premissam angulus f consistens supra centrum ad unumquemque eorum duplus, quare ipsi sunt equales. Quod est propositum.

Si intra circulum quadrilaterum describatur, quoslibet eius duos angulos ex adverso collocatos duobus rectis angulis equos esse necesse est.

Sit ut quadrilaterum a b c d inscriptum circulo a b c d. Dico quosque duos angulos eius oppositos esse equales duobus rectis. Protrahantur enim in quadrilatero diametri a c, b d eritque per premissam angulus c b d equalis angulo c a d et angulus a b d equalis angulo a c d. Quare totus a b c erit equalis duobus angulis qui sunt a c d et c a d. [f.21r] Et quia ipsi cum angulo a d c sunt equales duobus rectis per 32 primi, erunt duo anguli b totalis et d totalis equales duobus rectis. Quod est propositum. Similiter quoque probabitur angulos a et c totales esse equales duobus rectis.

Duas circuli similes portiones inequales supra unam rectam lineam assignatam ex eadem parte cadere impossibile est.

Sit recta linea assignata a b supra quam fiat portio circuli a c b. Dico quod super eandem lineam ex eadem parte non fiet alia portio que sit similis huic et ea maior aut minor. Quod si fuerit hoc possibile, fiat ergo portio a d b maior ea que tamen sit similis ei. Fiat ergo angulus a c b in portione minori et angulus a d b in maiori. Erit ergo ut linee a d et d b includant lineas a c et c b ut in figuratione prima. Aut ut altera primarum fiat eadem cum altera postremarum ut in secunda. Aut ut altera secet alteram ut in tertia. Quod si fuerit primo modo, erit per 21 primi angulus c maior angulo d, non ergo portiones similes per diffinitionem. Quod si secundo modo, erit adhuc angulus c maior angulo d per 16 eiusdem. Nec sic igitur erunt portiones similes. Si autem tertio modo, sit ut linea a d secet lineam c b et secet circumferentiam portionis minoris in puncto e et ducatur linea e b eritque per eandem angulus a e b consistens in portione a c b maior angulo d sed e est equalis c per 20 huius, quare c est maior d, quare nullo modo similes. Simili quoque modo probabis quod supra lineam a b non fiet portio similis portioni a c b minor e a posito c in loco d et d in loco c in figurationibus predictis. Erit enim per premissas scilicet per 21 et 16 primi et premisso modo angulus d omnium figurationum maior angulo c, quare portiones non erunt similes. Et nota quod licet proponatur supra lineam unam non posse fieri portiones similes inequales ex eadem parte, verum est tamen quod nec ex diversis quod licet probare minori que est ex una parte superposita maiori que est ex alia. Necesse enim erit per communem scientiam ipsam a maiori excedi. Non ergo sunt similes per hanc 22.

Si circulorum similes portiones supra lineas equas fuerint, ipsas portiones equas esse necesse est.

Sint due linee equales a b et c d supra quas sint due portiones circulorum a e b, c f d que sint similes. Dico quod ipse sunt equales. Si enim non sunt equales, altera earum superposita alteri excedet maior minorem. Sed linea a b non excedet lineam c d nec excedetur ab ea cum sint equales. Quare accidet contrarium premisse. Quod est impossibile. Erunt enim a b et c d linea una.

Dati semicirculi sive semicirculo maioris minorisve portionis circulum perficere.

Intentum per hanc conclusionem est ex omni arcu dato sive ex omni circuli portione data perficere circulum. Sit ergo a b quilibet arcus ex quo volo perficere circulum. Protraham in eo duas lineas qualitercumque contingat que sint a c, [f.21v] b d, quas dividam per equalia a c quidem in puncto e et b d in puncto f et protraham e g perpendicularem ad a c et f h perpendicularem ad b d que secent se in puncto k. Eritque per corollarium prime huius centrum circuli in utraque linearum e g et f h, quare centrum est punctum k.

Si autem e g non secet f h, sed sint linea una quemadmodum erunt, si due linee a c et b d sint equidistantes, tunc ipsa applicabitur circumferentie dati arcus ex utraque parte. Ipsa igitur divisa per medium erit ibi centrum circuli per idem corollarium. Equidistantes autem non erunt e g et f h quia cum in utraque sit centrum circuli, per dictum corollarium essent eiusdem circuli duo centra. Sic potest de omni arcu sive de omni portione communiter demonstrari qualiter inde circulus perficiatur.

Quia tamen auctor videtur hanc conclusionem variare secundum diversas species arcuum omnium portionum enumerando species, demonstrabimus divisim per species qualiter ex omni portione data circulus perficiatur. Sit ergo primum portio a b data semicirculus eritque per diffinitionem semicirculi linea a b diametros, ea igitur divisa per medium in puncto c erit c centrum circuli. Sit rursus portio a c b semicirculo maior cuius corda sit a b quam divido per equalia in puncto d. A quo duco d c perpendicularem ad ipsam que transibit per centrum per corollarium prime huius. Et protraho lineam a c et quia linea a b est minor diametro cum sit a c b portio maior semicirculo, erit a d minor semidiametro. Sed d c est maior semidiametro, ergo d c est maior quam a d. Ergo per 19 primi angulus c a d est maior angulo a c d. Fiat itaque per 23 primi angulus c a e equalis angulo a c d producta linea a e que secet lineam c d in puncto e. Eritque per 6 primi linea a e equalis linee e c. Producatur igitur e b eritque per 4 primi linea e b equalis linee a e, quare tres linee e a, e b, e c sunt equales, ergo per 9 huius e est centrum circuli. Sit iterum a c b portio minor semicirculo cuius corda sit a b quam divido per equalia in puncto d a quo educo lineam c d f perpendicularem ad lineam a b que secet circumferentiam in puncto c. Hanc manifestum est transire per centrum per corollarium prime huius. Produco iterum lineam a c eritque angulus a c d maior angulo c a d. Si enim equalis, erit portio a c b semicirculus et si minor, erit maior semicirculo. Positum est autem quod sit minor. Produco igitur lineam a e que cum linea a c faciat angulum equalem angulo c et secet lineam c f in puncto e. Et manifestum est quod punctum e cadit extra datam portionem et produco lineam e b. Et quia angulus a totalis est equalis angulo c, erit per 6 primi linea e a equalis linee e c. Et quia per 4 primi linea e b est equalis linee e a, quare erit per 9 huius punctum e centrum circuli. Quare patet propositum secundum omnes species portionum circuli.

Si in equis circulis seu supra centra seu supra circumferentias equales anguli consistant, super equos arcus eos cadere necesse est.

Sint duo circuli equales a b c cuius centrum d et e f g cuius centrum h et fiant supra centra eorum duo anguli a d c et e h g qui ponantur equales. Dico duos arcus a b c et e f g esse equales. Protrahantur due linee a c et e g et fiant duo anguli in circumferentiis eorum consistentes supra predictos arcus qui sint angulus a b c et angulus e f g. Quia ergo circuli sunt equales, erunt per diffinitionem equalium circulorum semidiametri equales. Et quia duo anguli d et h [f.22r] sunt equales, erit per 4 primi linea a c equalis linee e g et per 19 huius erit angulus b equalis angulo f cum angulus d sit equalis angulo h, ergo per diffinitionem similium portionum due portiones a b c et e f g sunt similes. Et quia ipse sunt super lineas a c et e g equales, ipse erunt equales per 23 huius. Quare arcus a b c et e f g sunt equales. Quod si anguli b et f qui sunt in circumferentia ponantur equales, erunt per diffinitionem portiones similes et anguli d et h equales per 19 huius. Et quia circuli positi sunt equales, erunt per 4 primi due linee a c et e g equales quare ut prius portiones equales per 23 huius cum sint similes et super equales lineas, igitur et arcus equales. Quod est propositum.

Si in equis circulis equi sumantur arcus, infra illos formatos angulos, seu supra centra eorum seu supra circumferentias constituantur, equos esse necesse est.

Sint ut prius duo circuli equales a b c cuius centrum d et e f g cuius centrum h. Sintque duo arcus a b c, e f g equales fiantque supra ipsos arcus duo anguli in centro qui sint d et h ductis a d, c d, e h, g h. Itemque supra eosdem arcus fiant alii duo anguli in circumferentia qui sint b et f ductis lineis a b, c b, e f et g f. Dico duos angulos d et h ad invicem esse equales. Itemque duos b et f ad invicem esse equales. Et est hec conversa prioris. Si enim non sunt d et h anguli equales, sit ergo h maior a quo abscindatur angulus k h g qui sit equalis angulo d. Eritque per premissam arcus k e f g equalis arcui a b c. Sed duo arcus a b c et e f g positi sunt equales, accidet ergo partem esse equalem toti. Quod est impossibile. Quare anguli d et h totalis sunt equales. Simili quoque modo probabis angulos b et f esse equales. Vel si maius probato quod anguli d et h sunt equales, sequitur b et f esse equales per 19 huius et econverso.

Si in circulis equalibus eque linee arcus resecent, arcus quoque equos esse. Si autem linee inequales fuerint, arcus quoque inequales et a linea maiore maiorem arcum, a minore vero minorem abscindi necesse est.

Sint duo circuli equales a b c cuius centrum d et e f g cuius centrum h. Sitque corda a c equalis corde e g. Dico duos arcus a b c, e f g quos predicte corde ex predictis circulis resecant esse equales. Quod si corda e g ponatur maior corda a c, dico arcum e f g esse maiorem arcu a b c. Primum quidem sic probatur. Ducantur a centris linee ad extremitates cordarum que sint d a, d c, h e, h g. Et quia circuli positi sunt equales, erunt hee semidiametri equales. Et quia linea a c posita est equalis linee e g, erit per 8 primi angulus d equalis angulo h totali. Quare per 25 huius erit arcus a b c equalis arcui e f g. Sicque patet primum. [f.22v] Secundum sic. Sit e g maior a c eritque per 25 primi angulus h maior angulo d. Fiat ergo angulus f h g equalis angulo d eritque per 25 huius arcus f g equalis arcui a b c. Quare arcus e f g est maior arcu a b c. Quod est secundum.

Circulorum equalium equos arcus equas cordas habere necesse est.

Sint duo circuli equales a b c cuius centrum d et e f g cuius centrum h. Sitque arcus a b c equalis arcui e f g. Dico quod corda a c est equalis corde e g et est hec conversa prime partis premisse. Ducantur linee d a, d c, h e, h g eruntque per 26 huius anguli d et h equales. Quare per 4 primi erit a c equalis e g. Quod est propositum. Quecumque autem probate sunt passiones de diversis circulis equalibus intellige multo fortius veras esse de eodem.

Datum arcum per equalia secare.

Sit datus arcus a b c cui subtendatur corda a c que dividatur per equalia in puncto d a quo ducatur perpendicularis ad ipsam que sit d b secans circumferentiam dati arcus in puncto b quem dico dividere arcum per equalia. Ducantur enim linee b a, b c que erunt equales per 4 primi. Quare per primam partem 27 huius arcus a b erit equalis arcui b c. Quod est propositum.

Si rectilineus angulus in semicirculo supra arcum consistat, rectus est, si vero in portione semicirculo minore, recto maior, si autem in portione maiore semicirculo, recto minor. Itemque omnis portionis angulus semicirculo maioris recto maior, minoris vero recto minor esse necessario comprobatur.

Sit in circulo a b c cuius centrum d et diameter a d c semicirculus a b c in cuius semicirculi circumferentia fiat angulus a b c ductis lineis a b et b c. Dico illum angulum esse rectum. Protrahatur ab ipso angulo in centrum linea b d eritque per 5 primi angulus a b d equalis angulo a et angulus d b c equalis angulo c. Et quia angulus c d b est equalis duobus angulis d b a et a per 32 primi, erit ipse duplus ad angulum d b a. Eadem ratione a d b duplus erit ad angulum d b c, ergo duo anguli c d b et a d b dupli sunt ad totalem angulum a b c, sed ipsi sunt equales duobus rectis per 13 primi. Erit igitur angulus a b c totalis medietas duorum rectorum, quare rectus. Quod est primum propositum.

Item aliter protrahatur c b usque ad e eritque per 32 primi angulus a b e equalis duobus angulis a et c. Et quia angulus a est equalis angulo a b d et angulus c angulo c b d, erit angulus a b e equalis totali angulo a b c, ergo uterque eorum est rectus per diffinitionem.

Secundum sic patet. Sit in circulo a b c cuius centrum d portio a b c cuius corda a c maior semicirculo [f.23r] et fiat super eius circumferentiam angulus a b c ductis lineis b a et b c. Dico illum angulum esse minorem recto. Ducantur enim diameter a d e et linea e b eritque per primam partem huius b totalis rectus, quare angulus a b c erit minor recto per communem scientiam cum sit pars eius. Sicque patet secundum.

Tertium sic. Sit rursus in circulo a b c cuius centrum d portio a b c cuius corda a c que sit semicirculo minor. Et fiat super eius circumferentiam angulus a b c ductis lineis b a et b c. Dico hunc angulum esse maiorem recto. Producantur enim diameter a d e et linea b e eritque per primam partem huius angulus a b e rectus, quare angulus a b c erit maior recto. Quod est tertium propositum.

Quartum et quintum sic. Sint in circulo a b c d cuius centrum e portio a b c cuius corda a c maior semicirculo et portio a d c cuius eadem corda minor semicirculo. Dico angulum contentum ab arcu b a et corda a c esse maiorem recto et angulum contentum ab arcu d a et corda a c esse minorem recto. Producantur diameter c b e et linea b a usque ad f eritque per primam partem huius angulus b a c rectus, quare per 13 primi angulus f a c est similiter rectus. Quia igitur primi angulus rectus est pars et secundus pars recti, evidenter patet utrumque quare tota liquet hec penthamembris conclusio.

. Ex istis autem duabus ultimis partibus nota etiam instantiam contra illas duas argumentationes ad quas tulimus instantiam in 15 huius. Transitur enim ab angulo portionis semicirculo minoris qui est minor recto per ultimam partem huius ad angulum portionis semicirculo maioris qui est maior recto per penultimam partem huius, non tamen per equale. Cum enim omnis portio circuli sit semicirculus aut maior semicirculo aut minor, sit autem tam angulus semicirculi per primam partem 15 quam angulus portionis minoris per ultimam partem huius minor recto. Portionis vero maioris sit maior recto, non erit alicuius portionis angulus nec simpliciter aliquis contentus a circumferentia et linea recta equalis recto.

Quod ut clarius pateat, sit in circulo a b c cuius centrum d linea a b cui non sit determinatus finis ex parte b secans ex ipso portionem semicirculo minorem. Eritque ipsius portionis angulus per ultimam partem huius minor recto, huius circuli sit diameter a d c. Et ymaginetur linea a b moveri ad partem c super punctum a que quamdiu fuerit citra c vel in ipso c cooperiens diametrum a d c faciet cum arcu angulum minorem recto. In omni autem puncto ultra c ut in e faciet per penultimam partem huius angulum maiorem recto. Transitur ergo a minori ad maius, non per equale et sicut in rectilineis angulis est reperire maiorem angulo semicirculi et minorem, non tamen equalem ut monstratum est in 15 huius, sic in angulis portionis est reperire maiorem recto et minorem, non tamen equalem, ut patet ex ista.

Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circulum secans recta linea preter centrum ducatur, quoscumque duos angulos cum contingente facit, duobus angulis qui in alternatis circuli super arcus consistunt portionibus equales sunt.

Sit linea a b contingens circulum c d e f cuius centrum g in puncto d [f.23v] a quo ducatur in circulum preter centrum linea d f secans ipsum fiantque angulus d c f consistens supra arcum portionis d e f ductis lineis c d et c f et angulus d e f consistens supra arcum portionis d e f ductis lineis e d et e f. Dico angulum c esse equalem angulo b d f et angulum e angulo a d f. Ducantur enim diameter d g h et linea f h eritque per 17 huius d h perpendicularis supra a b et per primam partem premisse angulus d f h rectus. Quare duo anguli a d h et d f h sunt equales. Posito ergo communi angulo h d f erit angulus a d f equalis duobus angulis qui sunt d f h et h d f. Sed hii duo cum angulo h sunt equales duobus rectis per 32 primi, ergo angulus a d f cum angulo h equivalet duobus rectis. Sed angulus a d f cum angulo b d f equivalet duobus rectis per 13 primi, ergo angulus b d f est equalis angulo h, ergo et angulo c per 20 huius. Et hoc est primum.

Et quia duo anguli c et e sunt equales duobus rectis per 21 huius, erit angulus e equalis angulo a d f. Quod est secundum.

Vel istud secundum: sit angulus a d f cum angulo h equivalet duobus rectis ut predemonstratum est. Sed angulus e cum angulo h equivalet duobus rectis per 21 huius, ergo angulus e est equalis angulo a d f.

Super datam lineam circuli portionem describere capientem angulum dato angulo equalem seu rectum seu maiorem recto seu minorem recto.

Sit a b data linea et c datus angulus. Super lineam a b volo describere unam circuli portionem recipientem in circumferentia angulum equalem angulo c. Si igitur fuerit angulus c rectus, divisa a b per medium describam super eam semicirculum factumque erit propositum per primam partem 30 huius. Si autem sit obtusus, ducam lineam d a cum linea b a continentem equalem angulum angulo c et a puncto a ducam lineam a e perpendicularem super lineam a d et super punctum b faciam angulum equalem angulo e a b in quo obtusus excedit rectum ducta linea b f usque ad perpendicularem a e eruntque per 6 primi linee f a, f b equales. Facto itaque puncto f centro circuli describam secundum quantitatem linee f a circulum h a b eritque per corollarium 15 huius linea a d contingens circulum. Quare per premissam angulus qui fit in portione a h b est equalis angulo d a b, quare et angulo c. Quod est propositum.

Si autem angulus c sit acutus, producam lineam a g continentem cum linea a b angulum equalem angulo c et a puncto a ducam a e perpendicularem ad lineam a g et super punctum b faciam angulum equalem angulo e a b in quo rectus excedit acutum ducta linea b f usque ad perpendicularem a e eruntque per 6 primi linee f a, f b equales. Facto itaque puncto f centro circuli describam secundum quantitatem linee f a circulum a k b eritque per corollarium 15 huius linea a g contingens circulum. Quare per premissam angulus qui fit in portione a k b est equalis angulo g a b et angulo c. Quod est propositum.

A dato circulo dato angulo equum angulum capientem portionem abscindere.

Sit a b datus circulus et c datus angulus. Volo ergo a circulo a b [f.24r] abscindere portionem unam capientem equalem angulum angulo c. Produco lineam d a e contingentem datum circulum in puncto a a quo ducam in circulum lineam a b continentem cum linea a e angulum equalem angulo c eritque per 31 huius portio a b existens a parte linee a d recipiens angulum equalem angulo c. Quod est propositum.

Si intra circulum due recte linee sese invicem secent, quod de duabus partibus unius earum procedit equum est ei rectangulo quod sub duabus alterius linee partibus continetur.

Sint due linee a c et b d secantes se in circulo a b c d super punctum e. Dico quod illud rectangulum quod fit ex a e in e c equum est ei quod fit ex b e in e d. Aut enim ambe linee a c et b d transibunt per centrum circuli aut altera tantum aut neutra. Quod si ambe transeant per centrum, erit e centrum circuli omnesque 4 linee equales. Quare liquet propositum.

Quod si altera earum tantum transit per centrum, sit illa b d centrumque circuli sit f. Aut ergo b d secabit a c per equalia aut per inequalia. Secet ergo primo per equalia eritque per primam partem 3 huius secans eam orthogonaliter. Ducatur itaque linea f c eritque per 5 secundi quod fit ex b e in e d cum quadrato e f equale quadrato linee f d, quare et quadrato linee f c, ergo per penultimam primi et quadratis duarum linearum f e et e c. Dempto ergo utrimque quadrato e f erit quod fit ex b e in e d equale quadrato linee e c. Et quia e c est equalis a e, patet propositum.

Quod si b d transiens per centrum secat a c per inequalia, a centro f ducatur f g perpendicularis ad a c eritque per secundam partem 3 huius a g equalis g c. Et ducatur linea f c eritque per 5 secundi quod fit ex b e in e d cum quadrato e f et ideo per penultimam primi cum quadratis duarum linearum f g et g e propter id quod angulus f g e est rectus equale quadrato linee d f et ideo linee f c propter quod per penultimam primi et quadratis duarum linearum f g et g c. Dempto ergo utrimque quadrato linee f g erit quod fit ex b e in e d cum quadrato linee g e equale quadrato linee g c. Sed per 5 secundi quod fit ex a e in e c cum quadrato linee g e est equale quadrato linee g c, ergo quod fit ex b e in e d cum quadrato linee g e est equum ei quod fit ex a e in e c cum quadrato eiusdem g e. Dempto ergo utrimque quadrato linee g e erit quod fit ex b e in e d equale ei quod fit ex a e in e c. Quod est propositum.

Quod si neutra earum transit per centrum sive altera dividat alteram per equalia sive per inequalia, producam lineam g f e h diametrum circuli transeuntem per punctum sectionis earum. Et si altera dividat alteram per equalia ut b d, a c, tunc g f dividit etiam a c per equalia, ergo orthogonaliter per 3 huius, ergo per secundum modum huius conclusionis quod fit ex g e in e h equum est ei quod fit ex a e in e c. Et per tertium modum huius quod fit ex g e in e h equum est ei quod fit ex b e in e d, ergo quod fit ex a e in e c equum est ei quod fit ex b e in e d. Quod est propositum.

At si neutra dividit alteram per equalia, erit per tertium modum huius quod fit ex g e in e h equale utrique eorum que fiunt ex a e in e c et b e in e d, quare unum eorum erit equale alteri. Quod est propositum. [f.24v]

Si extra circulum punctus sumatur, ab eo autem ad circulum alia secans, alia contingens due recte linee ducantur, quod sub tota secante atque parte sui extrinseca continetur equum est ei quadrato quod ex contingente linea describitur.

Sit a punctus signatus extra circulum b c d cuius centrum e a quo ducantur ad circulum due linee a b contingens et a d c secans. Dico quod illud quod fit ex a c in d a equum est quadrato linee a b. Aut enim a d c transit per centrum aut non. Transeat ergo primo per centrum quod est e et ducatur linea e b que per 17 huius perpendicularis erit super lineam a b. Et quia linea d c divisa est per equalia in puncto e et est ei adiuncta linea d a erit per 6 secundi quod fit ex c a in a d cum quadrato linee e d et ideo cum quadrato linee e b equale quadrato linee e a et ideo per penultimam primi equale quadratis duarum linearum e b et b a propter id quod angulus b est rectus. Dempto ergo utrimque quadrato e b erit quod ex c a in a d equale quadrato linee a b. Quod est propositum.

Quod si linea a d c non transeat per centrum, sumatur a f e g transiens per centrum et ducantur linee e d et e h et sit e h perpendicularis ad a d c eritque per 3 huius d h equalis h c. Quia ergo linea d c divisa est per equalia in puncto h et addita est sibi linea a d, erit per 6 secundi quod fit ex c a in a d cum quadrato d h equale quadrato linee a h. Ergo addito utrique quadrato h e erit quod fit ex c a in a d cum quadratis duarum linearum d h et h e et ideo per penultimam primi cum quadrato d e propter id quod angulus h est rectus et ideo cum quadrato e f propter id quod e d et e f sunt equales equale quadratis duarum linearum a h et h e et ideo per penultimam primi quadrato linee a e. Sed etiam per 6 secundi quod fit ex g a in a f cum quadrato f e equale est quadrato linee a e. Quia ergo utrumque eorum que fiunt ex c a in a d et ex g a in a f cum quadrato linee f e est equale quadrato linee a e, ipsa erunt inter se equalia. Dempto ergo utrimque quadrato linee e f erit quod fit ex c a in a d equale ei quod fit ex g a in a f. Sed id quod fit ex g a in a f est equale quadrato linee a b per premissum modum huius, ergo quod fit ex c a in a d est equale quadrato linee a b. Quod est propositum.

. Ex hac nota quod puncto extra circulum signato si ab ipso ad circulum quotlibet secantes linee ducantur, rectangula que continentur sub totis et earum portionibus extrinsecis ad invicem sunt equalia quoniam omnia sunt equalia quadrato linee contingentis.

Nota etiam quod si a quolibet puncto extra circulum signato due linee contingentes ad circulum ipsum ducantur, ipse erunt ad invicem equales. Erit enim quadratum utriusque earum equale ei quod fit ex linea secante ab ipso puncto ducta in circulum in eius partem extrinsecam. Hoc autem evidentius patet ex penultima primi.

Sit a punctus signatus extra circulum b c d cuius centrum e et ab ipso ducantur due linee a b et a d contingentes circulum in punctis b, d. Dico ipsas esse equales. Producam enim lineas e a, e b, e d eritque per 17 huius uterque angulorum b et d rectus, quare per penultimam primi quadratum a e erit equale duobus quadratis duarum linearum a b et b e. Similiter quoque et duobus duarum linearum [f.25r] a d et d e. Quare quadrata duarum linearum a b et b e sunt equalia quadratis duarum a d et d e. Et quia quadrata duarum que sunt b e et e d sunt equalia, erunt quadrata duarum que sunt a b et a d equalia, ergo a b est equalis a d. Quod est propositum.

Aliter etiam ducatur linea b d eritque per 5 primi angulus e b d equalis angulo e d b propter id quod linea e b est equalis linee e d. Et quia uterque duorum angulorum b et d est rectus, erit per communem scientiam angulus a b d residuus equalis angulo a d b residuo, per 6 ergo primi est linea a b equalis linee a d. Quod est propositum.

Si fuerit punctus extra circulum, a quo due linee ad circumferentiam ducantur, altera secans, altera circumferentie applicata, fueritque quod ex ductu totius secantis in partem sui extrinsecam equum ei quod ex ductu applicate in se ipsam fit, erit linea applicata ex necessitate circulum contingens.

Sit a punctus signatus extra circulum b c d cuius centrum e a quo ducantur ad circulum linea a b d secans ipsum et linea a c applicata circumferentie. Et esto ut quod fit ex d a in a b sit equale quadrato a c. Dico lineam a c esse contingentem et hec est conversa prioris. Si enim non est contingens, sit ergo contingens linea a f, quare quadratum linee a f est equale quadrato linee a c, ergo a c est equalis a f. Quod est impossibile per 8 huius. Erit ergo a c contingens. Quod est propositum.

Idem maneant prior dispositio et ypothesis. Et si linea a b d transit per centrum, ducatur linea c e eritque per 6 secundi quod fit ex d a in a b cum quadrato e b et ideo cum quadrato c e equale quadrato a e. Sed quod fit ex d a in a b positum est equale quadrato a c, ergo quadratum a c cum quadrato c e est equale quadrato a e, ergo per ultimam primi angulus c est rectus, ergo per corollarium 15 huius linea a c est contingens circulum. Quod est propositum.

Si autem a b d non transit per centrum, ducatur a puncto a linea transiens per centrum et quia quod fit ex hac tota in eius partem extrinsecam est equale ei quod ex d a in a b per premissam, ipsum etiam erit equale quadrato linee a c, quare ut prius a c erit contingens circulum.

Explicit liber tertius.