[f.1r]

Punctus est cuius pars non est.

Linea est longitudo sine latitudine,

cuius quidem extremitates duo puncta sunt.

Linea recta est ab uno puncto ad alium extensio in extremitates suas utrumque eorum recipiens.

Superficies est que longitudinem et latitudinem tantum habet,

cuius termini quidem linee.

Superficies plana est ab una linea ad aliam extensio in extremitates suas eas recipiens.

Angulus planus est duarum linearum alternus contactus, quarum expansio supra superficiem applicatioque non directa.

Quando que angulum continent due linee recte fuerint, rectilineus angulus nominatur.

Quando recta linea super rectam lineam steterit duoque anguli utrobique fuerint equales, eorum uterque rectus erit, lineaque linee superstans ei cui superstat perpendicularis vocatur.

Angulus vero qui recto maior est obtusus dicitur.

Angulus minor recto acutus appellatur.

Terminus est quod cuiusque finis est.

Figura est que termino vel terminis continetur.

Circulus est figura plana una quidem linea contenta que circumferentia nominatur, in cuius medio punctus est a quo omnes linee ad circumferentiam exeuntes sibi invicem sunt equales;

et hic quidem punctus centrum circuli dicitur.

Diametros circuli est linea recta, que supra centrum [f.1v] eius transiens extremitatesque suas circumferentie applicans circulum in duo media dividit.

Semicirculus est figura plana diametro circuli et medietate circumferentie contenta.

Portio circuli est figura recta linea et parte circumferentie contenta semicirculo quidem aut maior aut minor.

Rectilinee figure sunt que rectis lineis continentur, quarum quedam trilatere tribus rectis lineis, quedam quadrilatere quatuor rectis lineis, quedam multilatere pluribus quam quatuor rectis lineis continentur.

Figurarum trilaterarum alia est triangulus tria habens equalia latera, alia triangulus duo habens equalia, alia triangulus trium inequalium laterum.

Earum item alia est orthogonium unum scilicet rectum angulum habens, alia ambligonium aliquem obtusum habens angulum, alia oxigonium in qua tres anguli sunt acuti.

Figurarum autem quadrilaterarum alia est quadratum equilaterum atque rectangulum. Alia est tetragonus longus, estque figura rectangula, sed equilatera non est. Alia est elmuahym, que est equilatera, sed rectangula non est. Alia est similis elmuahym, quod opposita latera habet equalia atque oppositos angulos equales, idem tamen nec rectis angulis nec equis lateribus continetur. Preter has autem omnes quadrilatere figure helmuarifa nominantur.

Equidistantes linee sunt que in eadem superficie collocate atque in alterutram partem protracte non convenient, etiam si in infinitum protrahantur.

Petitiones sunt quinque.

A quolibet puncto in quemlibet punctum rectam lineam ducere atque lineam definitam in continuum rectumque quantumlibet protrahere.

Super centrum quodlibet quantumlibet occupando spatium circulum designare.

Omnes rectos angulos sibi invicem esse equales.

Si linea recta [f.2r] super duas lineas rectas ceciderit duoque anguli ex una parte duobus angulis rectis minores fuerint, illas duas lineas in eandem partem protractas procul dubio coniunctum iri.

Item duas lineas rectas superficiem non includere.

Communes animi conceptiones sunt he.

Que uni et eidem sunt equalia, sibi invicem sunt equalia.

Si equalibus equalia addantur, tota quoque fient equalia.

Et si ab equalibus equalia auferantur, que relinquuntur sunt equalia.

Et si inequalibus equalia addas, ipsa quoque fient inequalia.

Si fuerint due res quibus sit una et eadem equalis, utraque earum erit equalis alteri.

Si fuerint due res, quarum utraque unius et eiusdem dimidium erit, utraque erit equalis alteri.

Si aliqua res alicui superponatur appliceturque ei nec excedat altera alteram, ille sibi invicem sunt equales.

Omne totum maius sua parte est.

Sciendum autem quod preter has communes scientias multas alias que numero sunt incomprehensibiles pretermisit Euclides quarum hec est una: Si due quantitates equales ad quamlibet tertiam eiusdem generis comparentur, simul erunt ambe illa tertia aut eque maiores aut eque minores aut simul equales. Item alia. Quanta est aliqua quantitas ad quamlibet aliam eiusdem generis, tantam esse quamlibet tertiam ad aliquam quartam eiusdem generis. In quantitatibus continuis: hoc universaliter verum est sive antecedentes maiores fuerint consequentibus suis sive minores. Magnitudo enim decrescit in infinitum. In numeris autem non sic, sed si fuerit primus submultiplex secundi, erit quilibet tertius eque submultiplex alicuius quarti quoniam numerus crescit in infinitum, sicut magnitudo in infinitum minuitur.

Triangulum equilaterum supra datam lineam collocare.

Esto data linea recta a b. Volo super ipsam triangulum equilaterum constituere. Super alteram extremitatem eius scilicet in puncto a ponam pedem circini immobilem et alterum mobilem extendam usque ad b et describam secundum quantitatem ipsius linee date per secundam petitionem circulum c b d f. Rursus aliam eius extremitatem scilicet punctum b faciam centrum et per eandem petitionem et secundum eandem quantitatem lineabo circulum c a d h qui circuli intersecabunt se in duobus punctis qui sunt c et d et alteram duarum sectionum sicut sectionem d continuabo cum ambabus extremitatibus date linee protractis lineis d a, d b per primam petitionem. Quia ergo a puncto a quod est centrum circuli c b d protracte sunt linee a d et a b usque ad eius circumferentiam, ipse erunt equales per diffinitionem circuli. Similiter quoque quia a puncto b quod est centrum circuli c a d protracte sunt linee b a et b d usque ad eius circumferentiam, ipse etiam per eandem diffinitionem sunt equales. Quia ergo utraque duarum linearum a d, b d equalis est linee a b ut probatum est, ipse erunt equales inter se per primam conceptionem. Quod est propositum. Ergo supra datam lineam collocavimus triangulum equilaterum. Quod est propositum. [f.2v]

. Si autem supra datam lineam libeat collocare reliquas duas triangulorum species scilicet triangulum duum equalium laterum et triangulum trium inequalium laterum, protrahatur linea a b in utramque partem usque quo concurrat circumferentie amborum circulorum super duo puncta f et h et posito centro in puncto a lineetur circulus e h g secundum quantitatem linee a h. Itemque posito centro in puncto b lineetur alius circulus e f g secundum quantitatem linee b f. Hii autem circuli intersecabunt se in duobus punctis que sunt e, g. Coniungantur igitur intra extremitates date linee et alteram dictarum sectionum per duas lineas rectas que sint a g, b g. Et quia linee a b et a f exeunt a centro circuli c b d f ad eius circumferentiam, ipse sunt equales. Similiter quoque b a et b h quia exeunt a centro circuli c a d h usque ad eius circumferentiam, et ipse erunt equales. Quia ergo utraque duarum linearum a f et b h equalis est linee a b, ipse sunt inter se equales, ergo posita a b communi erit b f equalis a h, sed b f est equalis b g quia ambe exeunt a centro circuli e f g ad circumferentiam. Similiter quoque a h est equalis a g quia exeunt a centro circuli e h g ad circumferentiam, ergo b g est equalis a g et utraque earum est maior a b eo quod utraque duarum linearum b f et a h maior est a b quare super datam lineam collocavimus etiam triangulum duum equalium laterum.

Triangulum etiam trium inequalium laterum super eandem lineam collocabimus: Si aliquod punctum existens in circumferentia alterutrius duorum maiorum circulorum quod non sit in altera duarum sectionum et cui non obviet linea f h cum in utramque partem protracta fuerit in continuum et directum coniunxerimus per duas lineas rectas cum ambabus extremitatibus linee date. Sit enim punctum k signatum in circumferentia circuli e f g et non sit in altera sectionum nec occurrat ei f h cum protrahetur in continuum et directum usque ad eius circumferentiam, protraham igitur lineas a k et b k et secabit linea a k circumferentiam circuli e h g, secet in puncto l eritque b k equalis a l quia b k est equalis b g et a l equalis a g. Quare a k est maior b k, sed et b k est maior a b. Triangulus igitur a b k est trium inequalium laterum. Sic ergo super datam lineam collocavimus triangulum et duum equalium laterum et trium inequalium.

A dato puncto cuilibet linee recte proposite equam rectam lineam ducere.

Sit a punctus datus et b c linea proposita. Volo a puncto a ducere lineam unam equalem linee b c in quamcumque partem contingat. Coniungam ergo punctum a cum altera extremitate linee b c cum qua voluero et coniungam ipsum a cum extremitate c per lineam a c super quam constituam triangulum equilaterum secundum doctrinam precedentis qui sit a c d et in illa extremitate linee date cum qua coniunxi punctum datum scilicet in extremitate c ponam pedem circini immobilem et describam super ipsum circulum secundum quantitatem ipsius date linee qui sit circulus e b et latus trianguli equilateri quod opponitur puncto dato scilicet latus d c protraham per centrum circuli descripti usque ad eius circumferentiam et sit tota linea sic protracta linea d e secundum cuius quantitatem lineabo circulum posito centro in d qui sit circulus e f et postea protraham latus d a usque ad circumferentiam huius ultimi circuli et occurrat circumferentie ipsius in puncto f. Dico igitur quod a f est equalis b c nam b c et c e sunt equales quia exeunt a centro circuli e b ad eius circumferentiam. Similiter quoque d f et d e sunt equales quia exeunt a centro circuli e f ad circumferentiam. Sed d a et d c sunt equales quia latera trianguli equilateri, ergo si d a et d c demantur de d f et d e que sunt equales, erunt residua que sunt a f et c e equalia. Quia igitur utraque duarum linearum a f et c b est equalis c e, ipse sunt equales inter se, quare a puncto a protraximus lineam a f equalem linee b c. Quod est propositum etcetera. [f.3r]

Propositis duabus lineis inequalibus de longiore earum equalem breviori abscindere.

Sint due linee date a b et c d, a b minor. Volo ex c d abscindere unam que sit equalis a b. A puncto c protraham lineam equalem a b secundum quod docuit precedens que sit c e. Posito ergo centro in puncto c describam circulum secundum quantitatem c e qui secabit lineam c d. Sit ergo ut secet in puncto f eritque linea c f equalis linee c e quia ambe exeunt a centro eiusdem circuli ad circumferentiam. Et quia utraque duarum linearum a b et c f est equalis c e, ipse sunt equales inter se. Quod est propositum.

Omnium duorum triangulorum, quorum duo latera unius duobus lateribus alterius equalia fuerint duoque anguli eorum illis equis lateribus contenti equales fuerint alter alteri, latera quoque illorum reliqua sese respicientia equalia. Reliqui vero anguli unius reliquis angulis alterius equales ac totus triangulus toti triangulo equalis.

Sint duo trianguli a b c, d e f sitque latus a b equale lateri d e et latus a c equale lateri d f et angulus a equalis angulo d. Tunc dico quod basis b c est equalis etiam basi f e et angulus b equalis angulo e itemque angulus c equalis angulo f. Quod sic probatur. Superponam triangulum a b c super triangulum d e f ita quod angulus a cadat super angulum d et latus a b super latus d e et latus a c super latus d f. Et patet per penultimam conceptionem quod nec anguli nec latera se excedunt eo quod angulus a equalis est angulo d et latera superposita hiis quibus superponuntur per ypothesim. Puncta ergo b, c cadent super puncta e, f. Si ergo linea b c cadit super lineam e f, patet propositum. Quia cum linea b c superposita linee e f non excedat eam neque excedatur ab ea, est ei equalis per conversionem penultime conceptionis et eadem ratione erit angulus b equalis angulo e et angulus c equalis angulo f. Si autem linea b c non cadit super lineam e f, sed cadat intra triangulum sicut linea e g f aut extra sicut linea e h f, tunc due linee recte concludunt superficiem quod est contra ultimam petitionem.

Omnis trianguli duum equalium laterum angulos qui supra basim sunt equales esse necesse est. Quodsi eius equa duo latera directe protrahantur, fient quoque sub basi duo anguli invicem equales.

Sit triangulus a b c cuius latus a b sit equale lateri a c. Dico quod angulus a b c est equalis angulo a c b. Quod si protrahantur a c et a b usque ad d et e, fiet angulus d b c equalis angulo b c e. Quod sic probatur. Protractis a b et a c ponam per tertiam a d equalem a e et protraham lineas e b et d c [f.3v] et intelligam duos triangulos a b e et a c d quos probabo esse equilateros et equiangulos. Sunt enim duo latera a b et a e trianguli a b e equalia duobus lateribus a c et a d trianguli a c d et angulus a est communis, ergo per premissam basis b e est equalis basi c d et angulus e est equalis angulo d et angulus a b e equalis angulo a c d. Item intelligo duos triangulos d b c et e c b quos similiter probabo esse equilateros et equiangulos, nam duo latera b d et d c trianguli b d c sunt equalia duobus lateribus e c et e b trianguli e b c et angulus d angulo e, ergo per premissam basis basi et reliqui anguli reliquis angulis, ergo angulus d b c est equalis angulo e c b. Et hoc est secundum propositum scilicet quod anguli sub basi equales sunt et angulus d c b est equalis angulo e b c. Sed totus a b e est equalis toti a c d ut probatum fuit supra, ergo angulus a b c residuus est equalis angulo a c b residuo quorum uterque est super basim. Et hoc est primum propositum.

Si duo anguli alicuius trianguli equales fuerint, duo quoque latera eius angulos illos respicientia equalia erunt.

Hec est conversa premisse quantum ad primam partem ipsius. Sit enim triangulus a b c cuius duo anguli b et c sunt equales. Dico quod latus a b est equale lateri a c. Si enim non sunt equalia, erit alterum maius sitque a b maius quod resecetur ad equalitatem a c per tertiam ut superfluum sit ad partem a et resecetur in puncto d sitque d b equalis a c et ducatur linea d c. Intelligo ergo duos triangulos a b c et d b c quos probabo esse equilateros et equiangulos. Sunt enim duo latera d b et b c trianguli d b c equalia duobus lateribus a c et c b trianguli a b c et angulus b equalis angulo c totali, ergo basis d c est equalis basi b a et angulus d c b equalis angulo a b c, sed angulus a b c est equalis angulo a c b per ypothesim, ergo angulus d c b est equalis angulo a c b, pars videlicet toti. Quod est impossibile.

Si a duobus punctis aliquam lineam terminantibus due linee ad punctum unum concurrentes exierint, ab eisdem punctis alias duas lineas singulas suis conterminalibus equales, que ad alium punctum concurrant, in eandem partem educi est impossibile.

Sit linea a b a cuius extremitatibus protrahantur due linee in partem unam que concurrant in eodem puncto ut sint linee a c, b c que concurrunt in puncto c. Dico quod in eandem partem non protrahentur alie due ab extremitatibus que concurrant ad aliud punctum ita quod illa que egredietur a puncto a sit equalis linee a c et que egredietur a puncto b sit equalis linee b c. Quod si fuerit possibile, protrahantur alie due in eandem partem que concurrant in puncto d et sit linea a d equalis linee a c et linea b d equalis linee b c. Aut ergo punctus d cadet intra triangulum a b c aut extra, nam in altero laterum a c, b c non cadet quia tunc pars esset equalis toti. Si autem cadet extra aut altera linearum a d, b d secabit alteram linearum a c et b c aut neutra neutram. Et secet primo altera alteram et protrahatur linea c d. Quia ergo trianguli a c d duo latera a c et a d sunt equalia, erit [f.4r] angulus a c d equalis angulo a d c per 5. Similiter quia in triangulo b c d duo latera b c et b d sunt equalia, erunt anguli b c d et b d c equales per eandem et quia angulus b d c est maior angulo a d c sequitur angulum b c d esse maiorem angulo a c d partem scilicet toto. Quod est impossibile. Si autem d cadat extra triangulum a b c ita quod linee non secent se, protraham lineam d c et producam b d et b c sub basim usque ad f et ad e. Et quia linee a c et a d sunt equales, erunt anguli a c d et a d c equales per 5. Similiter quia b c et b d sunt equales, erunt anguli sub basi qui sunt c d f et d c e equales per secundam partem eiusdem. Quia ergo angulus e c d minor est angulo a c d, sequitur angulum f d c esse minorem angulo a d c. Quod est impossibile. Eodem modo ducetur adversarius ad inconveniens si d punctus cadat intra triangulum a b c.

Omnium duorum triangulorum, quorum duo latera unius duobus lateribus alterius fuerint equalia basisque unius basi alterius equalis, duos angulos equis lateribus contentos equales esse necesse est.

Sint duo trianguli a b c, d e f sitque a c equalis d f et b c equalis e f et a b equalis d e. Dico quod angulus c est equalis angulo f et angulus a angulo d et angulus b angulo e. Superponam basim a b basi d e que cum sint equales, neutra excedet alteram per penultimam conceptionem. Aut ergo punctus c cadet super punctum f aut non. Si sic, tunc quia angulus c superpositus est angulo f et neuter eorum excedit alterum, ipsi sunt equales per conversionem dicte conceptionis. Similiter argue reliquos angulos esse equales. Si autem punctus c non cadet super f, sed super quemlibet alium qui sit punctus g, quia e g est equalis b c immo eadem, itemque d g equalis a c, erit e g equalis e f et d g equalis d f. Quod est impossibile per precedentem.

Datum angulum per equalia secare.

Sit datus angulus quem oportet dividere angulus a b c. Lineas ipsum continentes que sunt a b et b c ponam equales per tertiam et producam lineam a c supra quam constituam triangulum equilaterum a d c et protraham lineam b d. Dico quod ipsa dividit datum angulum per equalia. Intelligo duos triangulos a b d et c b d. Duo latera a b et b d trianguli a b d sunt equalia duobus lateribus c b et b d trianguli c b d et basis a d basi c d, ergo per precedentem angulus a b d est equalis angulo c b d. Quod oportebat efficere.

Proposita recta linea eam per equalia dividere.

Sit proposita linea quam oportet dividere per equalia linea a b, super ipsam constituo triangulum equilaterum a b c et angulum c divido per equalia secundum doctrinam precedentis per lineam c d. Dico quod linea c d dividit datam lineam a b per equalia. Intelligo duos triangulos a c d et b c d, duo latera a c et c d trianguli a c d sunt equalia duobus lateribus b c et c d trianguli b c d et angulus c unius angulo c alterius, ergo per 4 basis a d basi b d. Quod est propositum.

Data linea recta a puncto in ea assignato perpendicularem [f.4v] extrahere duobus quidem angulis equalibus ac rectis utrimque subnixam.

Sit data linea a b in qua sit datus punctus c a quo oportet perpendicularem extrahere. Pono per tertiam lineam c b equalem linee a c et super totam a b constituam triangulum equilaterum a b d et protraham lineam c d de qua dico ipsa est perpendicularis super lineam a b. Intelligo duos triangulos a c d et b c d et quia duo latera a c et c d trianguli a c d sunt equalia duobus lateribus c b et c d trianguli c b d et basis a d basi b d, erit per 8 angulus a c d equalis angulo b c d quare uterque eorum erit rectus per diffinitionem anguli recti et linea c d perpendicularis super lineam a b per diffinitionem perpendicularis. Quod est propositum.

A puncto extra assignato ad datam lineam indefinite quantitatis perpendicularem ducere.

Sit a punctus assignatus extra lineam b c a quo ad ipsam oportet nos ducere perpendicularem. Protraham b c in utramque partem quantum libuerit et super punctum a describam circulum b c sic ut secet lineam datam in punctis b, c et protraham lineas a b et a c. Et dividam angulum b a c per equalia per lineam a d secundum doctrinam 9. Dico quod a d est perpendicularis super lineam b c. Intelligo duos triangulos a b d et a c d et quia duo latera a b et a d trianguli a b d sunt equalia duobus lateribus a c et a d trianguli a c d et angulus a unius angulo a alterius, erit per 4 basis b d equalis basi d c et angulus a d b equalis angulo a d c quare uterque eorum rectus et linea a d perpendicularis super lineam b c per diffinitionem anguli recti et perpendicularis. Quod est propositum.

Omnes recte linee super rectam lineam stantis duo utrobique anguli sunt recti aut duobus rectis equales.

Sit ut linea a b stet super lineam c d que si fuerit super eam perpendicularis faciet duos angulos rectos per conversionem diffinitionis. Si autem non fuerit super eam perpendicularis, a puncto b ducatur b e perpendicularis super c d per 11 eruntque duo anguli e b c et e b d recti per conversionem diffinitionis. Quia ergo duo anguli d b a et a b e adequantur angulo d b e, ipsi cum angulo c b e erunt equales duobus rectis quare tres anguli qui sunt d b a, a b e et c b e sunt equales duobus rectis, sed angulus c b a est equalis duobus angulis qui sunt c b e et e b a, ergo duo anguli c b a et a b d sunt equales duobus rectis. Quod est propositum. Ex quo patet totum spatium quod in qualibet superficie punctum quodlibet circumstat 4 rectis angulis esse equale etcetera.

Si due linee a puncto unius linee in diversas partes exierint duosque circa se angulos rectos aut duobus rectis equales fecerint, ille due linee sibi directe coniuncte sunt et linea una.

Sit ut a puncto b linee a b exeant due linee [f.5r] in oppositas partes que sunt b c et b d et faciant duos angulos qui sunt c b a, d b a equales duobus rectis. Tunc dico quod due linee c b et b d sunt sibi invicem directe coniuncte et linea una et est hec quasi conversa prioris. Quod si non fuerint linea una, tunc protrahatur c b in continuum et directum que quia non est linea una cum b d transibit supra eam ut b e aut infra eam ut b f. Quia ergo super lineam rectam que est c b e cadit linea a b, erunt anguli c b a et e b a equales duobus rectis per precedentem et quia omnes recti sunt ad invicem equales per 3 petitionem, anguli quoque c b a et d b a sunt equales duobus rectis per ypothesim, erunt duo anguli c b a et e b a equales duobus angulis c b a et d b a, ergo dempto communi angulo c b a erit angulus e b a equalis angulo d b a. Pars toti. Quod est impossibile. Simili modo probabis angulum d b a esse equalem angulo f b a, si forte dicat adversarius lineam c b protractam cadere infra b d.

Omnium duarum linearum se invicem secantium omnes anguli contra se positi sunt equales. Unde manifestum est quotiens due linee recte se invicem secant qui fiunt angulos 4 rectis esse equales.

Sint due linee a b et c d se invicem secantes in puncto e. Dico quod angulus b e d est equalis angulo a e c et angulus b e c equalis angulo a e d. Erunt enim per 13 duo anguli a e c et c e b equales duobus rectis. Similiter quoque duo anguli c e b et b e d equales duobus rectis per eandem. Quare duo primi sunt equales duobus postremis eo quod omnes recti sunt ad invicem equales per 3 petitionem. Dempto ergo communi angulo qui est c e b erit angulus a e c equalis angulo d e b. Eodem modo probabitur angulum c e b esse equalem angulo a e d.

Si quodlibet laterum trianguli directe protrahatur, faciet angulum extrinsecum utroque angulo trianguli sibi intrinseco opposito maiorem.

Sit ut trianguli a b c latus a b protrahatur usque ad d. Dico quod angulus d b c maior est utroque duorum angulorum intrinsecorum sibi oppositorum qui sunt b a c et b c a. Dividam per 10 lineam c b per equalia in puncto e et protraham a e usque ad f ita ut e f fiat equalis a e per 3 et protraham lineam f b. Intelligo itaque duos triangulos c e a et b e f et quia duo latera a e et e c trianguli a e c sunt equalia duobus lateribus f e et e b trianguli f e b et angulus e unius est equalis angulo e alterius per 15 quia oppositi, erit per 4 angulus e c a equalis angulo e b f et ideo angulus e b d maior erit angulo b c a. Similiter quoque probabitur quod est maior angulo c a b, nam dividam a b per equalia in puncto g per 10 et protraham lineam g h et ponam c g equalem g h per 3. Postea protraham h b f eruntque duorum triangulorum qui sunt a g c et b g h duo latera a g et g c primi equalia duobus lateribus b g et g h secundi et angulus g unius angulo g alterius per 15, ergo per 4 angulus g a c est equalis angulo g b h quare per 15 et angulo f b d et quia angulus c b d est maior angulo f b d, erit etiam maior angulo b a c. Quod est propositum.

Omnis trianguli duo quilibet anguli duobus rectis angulis sunt minores.

Sit triangulus a b c. Dico quod quilibet duo anguli eius duobus rectis sunt minores. [f.5v] Protrahatur enim unum latus eius ut b c usque ad d eritque per precedentem angulus c extrinsecus maior a et maior b, sed et c extrinsecus cum c intrinseco est equalis duobus rectis per 13, ergo angulus b et c intrinsecus sive angulus a et c intrinsecus sunt minores duobus rectis. Similiter si protrahatur latus b a, probabitur quod duo anguli a et b sunt minores duobus rectis.

Omnis trianguli longius latus maiori angulo oppositum est.

Sit ut triangulo a b c angulus a sit maior angulo c. Dico quod latus c b maius erit latere a b. Si enim sit equale, erit per 5 angulus a equalis angulo c. Quod est contra ypothesim. Si autem a b sit maius, resecetur ad equalitatem c b per 3 sitque d b equale c b. Erit ergo per 5 angulus b d c equalis angulo b c d, sed b d c est maior d a c per 16, ergo b c d est maior b a c, quare multo fortius maior a c b. Quod est impossibile etcetera.

Omnis trianguli maior angulus longiori lateri est oppositus.

Sit ut in triangulo a b c latus c b sit maius latere a b. Dico quod angulus a erit maior angulo c et est conversa precedentis. Si enim sit equalis, tunc per 6 latus a b est equale lateri b c. Quod est contra ypothesim. Si autem c sit maior, tunc per precedentem latus b a est maius latere b c. Quod est contra ypothesim. Quare astruitur propositum.

Omnis trianguli duo quelibet latera simul iuncta reliquo sunt longiora.

Sit triangulus a b c. Dico quod duo latera a b et a c simul iuncta sunt longiora latere b c. Protrahatur linea b a usque ad d ita ut a d sit equalis a c et protrahatur c d eritque per 5 angulus a c d equalis angulo d. Quare b c d est maior angulo d, ergo per 18 latus b d est maius latere b c, sed b d est equale b a et a c quare b a et a c simul iuncta sunt maiora b c. Quod est propositum.

Si de duobus punctis terminalibus unius lateris trianguli due linee exeuntes intra triangulum ipsum ad punctum unum conveniant, eedem duabus reliquis quidem trianguli lineis breviores erunt, et maiorem angulum continebunt.

Sit ut in triangulo a b c ab extremitatibus lateris b c concurrant due linee b d et c d ad punctum d intra triangulum a b c. Dico quod ipse simul iuncte sunt breviores duabus lineis a b et a c simul iunctis et quod angulus d est maior angulo a. Protraham b d usque quo secet latus a c in puncto e et erunt per 20 b a et a e simul iuncte maiores b e, ergo b a et a c sunt maiores b e et e c. At vero d e et e c simul iuncte per eandem sunt maiores d c, quare b e et e c sunt maiores b d et d c. Et quia b a et a c sunt maiores b e et e c ut probatum est prius, erunt multo fortius maiores b d et d c. Quod est primum propositum. At quoniam angulus [f.6r] b d c est maior angulo d e c per 16 et angulus d e c maior angulo e a b per eandem, erit angulus b d c multo fortius maior angulo b a c. Quod est secundum propositum.

Propositis tribus rectis lineis quarum due quelibet simul iuncte reliqua sunt longiores, de tribus aliis rectis lineis sibi equalibus triangulum constituere.

Sint tres linee recte proposite a, b, c et sint quelibet due simul iuncte longiores reliqua. Aliter enim ex tribus lateribus non posset triangulus constitui per 20. Cum ergo ex tribus equalibus voles constituere triangulum, sumo lineam rectam que sit d e cui non pono finem determinatum a parte e de qua sumo per tertiam d f equalem a et f g equalem b et g h equalem c factoque puncto f centro describo secundum quantitatem linee f d circulum d k. Itemque facto g centro describo secundum quantitatem g h circulum h k qui circuli intersecabunt se in duobus punctis quorum unum sit k, alioquin sequeretur unam duarum linearum esse equalem aliis duabus simul iunctis aut maiorem eis. Quod est positioni contrarium. Duco ergo lineas k f et k g eritque triangulus f g k constitutus ex tribus lineis equalibus lineis a, b, c datis. Sunt f d et f k equales quoniam sunt a centro ad circumferentiam, quare f k est equalis a. Similiter quoque g h et g k sunt equales quia a centro ad circumferentiam, quare g k est equalis c et quia g f sumpta fuit equalis b, patet propositum.

Data recta linea super terminum eius cuilibet angulo proposito equum angulum designare.

Sit data linea f e que est in superiori figura et sint linee b, a continentes angulum datum cui subtendam basim c. Supra punctum f linee e f iubemur facere equalem angulum angulo dato ad lineam e f. Adiungo f d equalem linee a et ex f e sumo f g equalem b et ex g e sumo g h equalem c et super puncta f et g describo duos circulos d k et k h secundum quantitatem duarum linearum f d et g h intersecantes se in puncto k sicut docuit precedens. Ductisque lineis k f et k g erunt duo latera k f et f g trianguli k f g equalia duobus lateribus a et b trianguli a b c et basis g k equalis basi c, ergo per 8 angulus k f g equalis erit angulo contento ab a et a b. Quod est propositum.

Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius fuerint equalia, si fuerit angulorum sub illis equis lateribus contentorum alter altero maior, basis quoque eiusdem basi alterius maior erit.

Sint duo trianguli a b c, d e f sintque duo latera a b et a c equalia duobus lateribus d e et d f unumquodque suo relativo, sitque angulus a maior angulo d. Dico quod basis b c maior erit basi e f. Faciam enim iuxta doctrinam [f.6v] precedentis angulum e d g equalem angulo a eritque angulus e d f pars eius et ponam d g equalem a c et protraham e g que aut transibit supra e f ut secet lineam d f aut supra e f ut sit secum linea una aut infra. Transeat primo supra et quia a b et a c latera trianguli a b c sunt equalia e d et d g lateribus trianguli e d g et angulus a angulo d totali, erit per 4 basis b c equalis basi e g. At vero quia d g et d f sunt equales, nam utraque est equalis a c, erit per 5 angulus d f g equalis angulo d g f, quare d f g maior erit f g e, ergo e f g multo fortius maior est eodem f g e, ergo per 18 latus e g maius est latere e f, quare et b c maior e f quod est propositum. Si vero e g transeat super e f et sit linea una, tunc e f erit pars e g, per ultimam ergo conceptionem patet propositum. Si vero e g transeat sub e f, protrahantur due linee d f et d g que sunt equales ut probatum est usque ad k et ad h. Fientque per secundam partem 5 sub basi f g anguli k f g et f g h equales, quare angulus e f g maior erit angulo f g e, ergo per 18 latus e g maius est latere e f, quare b c maior est e f. Quod est propositum.

Istud ultimum membrum potest etiam probari per 21 per ipsam enim erunt in dispositione tertia due linee d g et g e maiores duabus d f et f e et quia d g est equalis d f propter hoc quod ambe sunt equales a c, erit g e maior e f, quare et b c maior eadem. Quod est propositum. Melius tamen est demonstrare priori modo ut in dispositione omni arguatur per 5.

Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius fuerint equalia, basis vero unius basi alterius maior fuerit, erit quoque angulus trianguli maioris alkaide equis lateribus contentus angulo alterius se respiciente maior.

Sint duo trianguli a b c, d e f, sintque duo latera a b et a c primi equalia duobus lateribus d e et d f secundi unumquodque suo relativo sitque basis b c maior basi e f. Dico quod angulus a maior erit angulo d. Hec est conversa prioris. Equalis quidem non erit, sic enim esset per 4 basis b c equalis basi e f. Quod est contra ypothesim. Sed nec minor quia sic esset, d maior et ita per precedentem basis e f maior basi b c. Quod est contrarium positioni. Quare erit maior. Sicque astruitur propositum.

Omnium duorum triangulorum, quorum duo anguli unius duobus angulis alterius uterque se respicienti equales fuerint latusque unius lateri alterius equale, fueritque latus illud inter duos angulos equales aut uni eorum oppositum, erunt quoque duo unius reliqua latera duobus reliquis alterius trianguli lateribus unumquodque se respicienti equalia, angulusque reliquus unius angulo reliquo alterius equalis.

Sint duo trianguli a b c, d e f sitque angulus b equalis [f.7r] angulo e et angulus c equalis angulo f. Sitque latus b c equale lateri e f. Aut alterum duorum laterum a b et a c equale alteri duorum laterum d e et d f ita quod a b sit equale d e aut a c equale d f. Dico quod reliqua duo latera unius erunt equalia duobus reliquis lateribus alterius et reliquus angulus equalis reliquo angulo scilicet angulus a angulo d. Ponam ergo primo ut latus b c super quod iacent anguli b, c sit equale lateri e f super quod iacent anguli e, f qui positi sunt equales angulis b, c. Tunc dico quod latus a b est equale lateri d e et latus a c lateri d f et angulus a angulo d. Si enim latus a b non sit equale lateri d e, erit alterum maius. Sit ergo maius d e quod resecabo ad equalitatem a b sitque g e equale a b et producam lineam g f. Eritque per 4 angulus g f e equalis angulo a c b, quare et angulo d f e, pars toti. Quod est impossibile. Erit ergo d e equale a b, ergo per 4 d f equale a c et angulus d equalis angulo a. Quod est primum membrum disiunctionis proposite.

Sint rursus ut prius duo anguli b, c equales duobus angulis e, f sitque latus a b quod opponitur angulo c equale lateri d e quod opponitur angulo f qui est positus equalis angulo c. Dico quod latus b c erit equale lateri e f et latus a c lateri d f et angulus a angulo d. Si enim latus e f non fuerit equale lateri b c, erit alterum maius. Sit ergo e f maius, ponam itaque e g equale b c et producam lineam d g eritque per 4 angulus d g e equalis angulo a c b, quare et angulo d f e extrinsecus videlicet intrinseco. Quod est impossibile per 16. Erit ergo e f equale b c, ergo per 4 d f equale a c et angulus d totalis angulo a. Quod est secundum membrum disiunctionis proposite. Quare patet totum.

Si recta linea super duas rectas lineas ceciderit duosque angulos coalternos sibi invicem equales fecerit, ille due linee erunt equidistantes.

Sit ut linea a b cadat super duas lineas c d, e f et secet lineam c d in puncto g et lineam e f in puncto h. Sitque angulus d g h equalis angulo e h g. Dico quod linee c d et e f sunt equidistantes. Si enim non, concurrent aut ad partem c e super punctum k aut ad partem d f super punctum l. Qualitercumque fuerit accidit impossibile per 16 videlicet angulum extrinsecum esse equalem angulo intrinseco. Nam unus dictorum angulorum coalternorum qui positi sunt equales erit extrinsecus et reliquus intrinsecus. Quia ergo impossibile est eas concurrere in alterutram partem protractas, ipse erunt equidistantes per diffinitionem. Quod est propositum.

Si linea recta duabus lineis supervenerit fueritque angulus extrinsecus angulo intrinseco sibi opposito equalis aut duo anguli intrinseci ex una parte duobus angulis rectis equales, ille due linee erunt equidistantes.

Sit ut linea a b secet lineas c d et e f in duobus punctis g et h sitque angulus g extrinsecus angulo equalis h intrinseco ex eadem parte sumpto aut duo anguli g et h intrinseci ex eadem parte sumpti sint equales duobus rectis. Dico quod due linee c d et e f sunt equidistantes. Sit ergo primo angulus d g a equalis angulo f h g eritque per 15 angulus c g h equalis eidem angulo scilicet f h g, quare per premissam d c et e f sunt equidistantes. [f.7v] Sint rursus duo anguli d g h et f h g equales duobus rectis et quia per 13 duo anguli d g h et c g h sunt similiter equales duobus rectis, erit angulus c g h equalis angulo f h g. Quare per premissam linee c d et e f erunt equidistantes. Quod est propositum.

Si duabus lineis equidistantibus linea supervenerit, duo anguli coalterni equales erunt angulusque extrinsecus angulo intrinseco sibi opposito equalis. Itemque duo anguli intrinseci ex alterutra parte constituti duobus rectis angulis equales.

Sint due linee a b et c d equidistantes super quas cadat linea e f secans eas in punctis g et h. Dico quod anguli g et h coalterni sunt equales et angulus g extrinsecus est equalis angulo h intrinseco sibi opposito ex eadem parte sumpto et quod anguli g et h intrinseci ex eadem parte sumpti sunt equales duobus rectis. Hec est conversa duarum precedentium. Primum sic patet. Si enim angulus b g h non est equalis angulo c h g, alter eorum erit maior. Sit ergo maior angulus c h g et quia duo anguli c h g et d h g sunt equales duobus rectis per 13, erunt duo anguli b g h et d h g minores duobus rectis, ergo per 4 petitionem due linee a b et c d si protrahantur concurrant in parte b et d ad aliquod punctum ut ad k. Non ergo sunt equidistantes per diffinitionem. Quod est contra ypothesim. Et quia hoc est impossibile, erunt duo anguli coalterni b g h et c h g equales. Quod est primum propositum. Ex hoc autem patet secundum. Est enim per 15 angulus b g h equalis angulo a g e, ergo angulus a g e est equalis angulo c h g extrinsecus videlicet intrinseco. Quod est secundum propositum. Ex hoc rursus patet tertium. Sunt enim per 13 duo anguli a g e et a g h equales duobus rectis, ergo duo anguli a g h et c h g erunt etiam equales duobus rectis qui sunt duo intrinseci ex eadem parte sumpti. Quod est tertium propositum.

Si fuerint due linee uni equidistantes, eedem sibi invicem equidistantes erunt.

Sint due linee a b et c d quarum utraque sit equidistans linee e f. Dico quod a b et c d sunt equidistantes. Hoc autem est universaliter verum sive due linee a b et c d sint in una superficie cum linea e f sive non. Hic tamen non intelligitur nisi secundum quod omnes in superficie una. Secundum autem quod sunt in diversis superficiebus probatur quod ipse sibi invicem equidistent in nona undecimi. Sint ergo omnes in superficie una. Protraham autem lineam g h secantem lineas a b, e f et c d in punctis k, l et m et quia a b equidistat e f, erit angulus b k l equalis angulo e l k per primam partem precedentis cum ipsi sunt coalterni. At quia c d equidistat e f, erit angulus k l e extrinsecus equalis angulo l m c intrinseco per secundam partem precedentis, ergo angulus b k l est equalis angulo c m l qui cum sint coalterni, erunt per 27 linee a b et c d equidistantes. Quod est propositum.

A puncto extra dato lineam linee proposite equidistantem [f.8r] ducere.

Punctus extra lineam datus intelligitur cum linea quelibet utrimque protrahatur per ipsum non transibit. Sit ergo punctus a datus extra lineam b c a quo oportet protrahere lineam equidistantem b c. Ad lineam b c protraham lineam a d qualitercumque contingat et super punctum a qui est extremitas linee a d constituo angulum e a d secundum doctrinam 23 equalem angulo b d a sibi coalterno eritque a e equidistans b c per 27. Quod est propositum.

Omnis trianguli angulus extrinsecus duobus intrinsecis sibi oppositis est equalis. Omnes autem tres angulos eius duobus rectis equos esse necesse est.

Sit triangulus a b c cuius latus b c protrahatur usque ad d. Dico quod angulus c extrinsecus equalis est duobus angulis a et b intrinsecis sibi oppositis simul iunctis et quod tres anguli trianguli a b c simul iuncti sunt equales duobus rectis. A puncto c protraham c f equidistantem a b secundum doctrinam precedentis eritque angulus f c a equalis angulo a, qui sunt coalterni, per primam partem 29 et angulus f c d extrinsecus equalis angulo b intrinseco per secundam partem eiusdem, quare totus a c d extrinsecus est equalis duobus angulis a et b intrinsecis sibi oppositis. Quod est primum. Et quia duo anguli a c b et a c d sunt equales duobus rectis per 13, erunt tres anguli a, b et c intrinseci equales duobus rectis. Quod est secundum.

. Ex hac autem nota quod omnis figure poligonie omnes anguli simul sumpti tot rectis angulis sunt equales quotus est numerus quo a prima distiterit duplicatus. Verbi gratia: Poligoniarum figurarum est triangula prima quia si esset duarum linearum cum figura sit clausio linearum, tunc due linee recte includerent superficiem. Quod est impossibile per ultimam petitionem. Quadrilatera secunda, pentagona tertia, simpliciter autem quelibet tota erit in ordine quotus erit numerus laterum aut angulorum eius inde dempto binario. Dico ergo quod cum triangule que est prima omnes anguli sunt equales duobus rectis, quadrilatere que est secunda erunt equales 4 rectis et pentagone que est tertia 6. Hoc autem inde manifestum est quoniam cum quelibet talis figura sit in tot triangulos resolubilis quota ipsa fuerit a prima ductis rectis lineis a quovis angulorum eius ad omnes angulos oppositos sintque omnes anguli omnis trianguli duobus rectis equales. Erunt omnis laterate figure omnes anguli bis tot rectis equales quota ipsa fuerit a prima. Quod est propositum. Exempli gratia: Sit pentagonus a b c d e a cuius angulo a ducam lineas ad angulos c et d sibi oppositos eritque totus pentagonus resolutus in triangulos a b c, a c d, a d e quorum cum cuiusque sint anguli equales duobus rectis, erunt pentagoni anguli equales sex rectis quod est duplum eius numeri quo a prima distat sive duplum numeri angulorum aut laterum eius inde dempto binario.

Possumus quoque et sic idem proponere dicentes quod omnis figure poligonie omnes anguli pariter accepti sunt tot rectis angulis equales quantus est numerus quem eius anguli duplicant inde demptis 4. Puncto enim quolibet intra totalem figuram signato et ab eo ad singulos angulos lineis protractis erit ipsa figura in tot triangulos resoluta quanti fuerit eius anguli ideoque omnes anguli omnium illorum triangulorum pariter accepti tot rectis angulis erunt equales quantus est numerus quem duplicant anguli proposite figure. Cum itaque sint omnes anguli triangulorum in quos ipsa resoluta est punctum medium circumstantes 4 rectis equales [f.8v] per 13, manifeste constat propositum.

Similiter quoque patet quod omnis figure poligonie anguli omnes extrinseci 4 angulis rectis sunt equales. Sunt enim intrinseci et extrinseci bis tot rectis equales quot habuerint angulos per 13. Intrinseci autem sunt bis tot rectis equales quot habuerint angulos demptis inde 4, ergo extrinseci sunt 4 rectis equales. Quod est propositum. Exempli gratia: Propositi pentagoni latera protrahantur ut fiant anguli extrinseci, a b quidem protrahatur usque ad f, b c usque ad g, c d usque ad h, d e usque ad k, e a usque ad l eruntque per 13 duo anguli a intrinsecus et a extrinsecus equales duobus rectis. Eadem ratione duo anguli b intrinsecus et b extrinsecus sic etceteri, quare a b c d e anguli intrinseci et extrinseci erunt equales 10 rectis, demptis ergo intrinsecis qui sunt equales 6 rectis, erunt extrinseci videlicet b a l, c b f, d c g, e d h et a e k equales 4 rectis.

Patet etiam quod omnis pentagoni cuius unumquodque latus duo secat ex reliquis habet 5 angulos duobus rectis equales. Sit qualis proponitur pentagonus a b c d e et secet latus a c latus b e in puncto g, et latus a d idem latus b e in puncto f. Eritque angulus a f g equalis duobus angulis b et d cum sit extrinsecus ad ipsos in triangulo f d b. Itemque angulus f g a erit equalis duobus angulis c et e cum sit extrinsecus ad ipsos in triangulo g c e, sed duo anguli a f g et f g a cum angulo a sunt equales duobus rectis, ergo 4 anguli b, d et c, e cum angulo a sunt equales duobus rectis. Quod est propositum.

Si in summitatibus duarum linearum equidistantium et equalis quantitatis alie due linee coniungantur, ipse quoque equales et equidistantes erunt.

Sint due linee a b et c d equales et equidistantes quarum extremitates coniungantur per lineas a c et b d quas dico esse equales et equidistantes. Protraham enim lineam a d et quia linee a b et c d sunt equidistantes, erit angulus b a d equalis angulo a d c per primam partem 29. Erunt ergo duo latera a b et a d trianguli a b d equalia duobus lateribus d c et d a trianguli d c a et angulus a primi equalis angulo d secundi, ergo per 4 basis b d primi est equalis basi a c secundi et angulus a d b primi angulo d a c secundi. At quia ipsi sunt coalterni, erunt linee b d et a c equidistantes per 27 et quia prius probatum est eas esse equales, patet utrumque propositum.

Omnis superficies equidistantibus contenta lateribus lineas atque angulos ex adverso collocatos habet equales diametro dividente eam per medium.

Sit superficies equidistantium laterum a b c d ita quod a b equidistet c d et a c, b d. Dico duas lineas a b et c d itemque duas a c et b d esse equales. Similiter etiam dico angulum a esse equalem angulo d et angulum b angulo c. Protraham diametrum a d que etiam dividet superficiem illam per medium. Cum a b et c d sint equidistantes, erunt anguli b a d et c d a qui sunt coalterni equales per 29. At quia etiam a c et d b sunt equidistantes, erunt anguli c a d et b d a qui sunt etiam [f.9r] coalterni equales per eandem. Intelligo duos triangulos a d b et d a c et quia duo anguli a et d trianguli a d b sunt equales duobus angulis d et a trianguli d a c et latus a d super quod iacent illi anguli in utroque triangulo est commune, erit per 26 latus a b equale lateri c d et latus a c lateri b d et angulus b angulo c et quia angulum a totalem patet esse equalem angulo d totali per secundam conceptionem, liquet totum propositum ac etiam corollarium.

Omnes superficies equidistantium laterum super unam basim atque in eisdem alternis lineis constitute equales esse probantur.

Sint due linee a b et c d equidistantes inter quas a c f e superficies equidistantium laterum super basim c e et super eandem basim et inter easdem lineas fiat alia superficies g c h e similiter equidistantium laterum. Dico duas predictas superficies esse equales. Quod sic probatur. Aut enim linea c g secabit lineam a b in aliquo puncto linee a f aut in puncto f aut in aliquo puncto linee f b. Secet ergo primo in aliquo puncto linee a f ut in prima figuratione apparet. Et quia utraque duarum linearum a f et g h est equalis linee c e per precedentem, una earum erit equalis alteri. Dempta ergo linea g f communi remanebit a g equalis f h. At quia per precedentem iterum est a c equalis f e et angulus h f e angulo g a c per secundam partem 29 videlicet extrinsecus intrinseco, erit per 4 triangulus a c g equalis triangulo f e h, ergo irregulari figura quadrilatera est que g c f e addita utrique erit superficies a c f e equalis superficiei g c h e. Quod est propositum.

Secet ergo linea c g lineam a b in puncto f ut in secunda figuratione apparet eruntque simili argumentatione priori duo trianguli a c f et f e h equales, quare utrobique addito triangulo f c e patet propositum.

Secet tertio modo linea c g lineam a b inter duo puncta f, b ut in tertia figuratione apparet secabitque lineam f e sicut in puncto k. Et quia simili argumentatione priori linea a f est equalis linee g h facta communi linea f g erit a g equalis f h et triangulus a c g equalis triangulo f e h addito ergo utrobique triangulo c k e et detracto ab utroque triangulo f g k erit superficies a c f e equalis superficiei g c h e. Quod est propositum.

Omnia paralellograma in basibus equalibus atque in eisdem alternis lineis constituta equalia esse est necesse.

Paralellogramum dicitur superficies equidistantium laterum. Sint due superficies a b c d et e f g h equidistantium laterum constitute inter duas lineas equidistantes que sunt a f, c h super equales bases que sunt c d, g h. Dico eas esse equales. Nam protraham duas lineas c e, d f eritque per 33 superficies c d e f equidistantium laterum propter hoc quod e f est equalis et equidistans c d, nam utraque earum est equalis g h. Quia ergo per premissam utraque duarum superficierum a b c d et e f g h est equalis superficiei c d e f, ipse erunt sibi invicem equales. Quod est propositum.

37 Equales sunt sibi cuncti trianguli qui super eandem basim atque inter duas lineas equidistantes fuerint constituti. [f.9v]

Sint duo trianguli a b c et d b c constituti super basim b c inter lineas a e et b f equidistantes. Dico eos esse equales. Protraham enim c g equidistantem a b et c h equidistantem b d. Eruntque due superficies a b c g et d b c h per 35 equales et quia dicti trianguli sunt earum dimidia per corollarium 34, ipsi erunt equales per communem scientiam que est: quorum tota sunt equalia, et dimidia. Sicque patet propositum.

Si trianguli super bases equales atque inter duas lineas equidistantes ceciderint, equales eos esse necesse est.

Sint duo trianguli a b c, d e f constituti super bases b c et e f equales et inter lineas a g et b h equidistantes. Dico eos esse equales. Protraham enim c k equidistantem b a et f l equidistantem e d eruntque due superficies a b c k et d e f l equales per 36 et quia dicti trianguli sunt earum dimidia per corollarium 34, ipsi erunt equales per antedictam scientiam.

Omnes duo trianguli equales si in eandem basim et ex eadem parte ceciderint, inter duas lineas equidistantes erunt.

Sint duo trianguli a b c, d b c constituti super basim b c ex una eademque parte sintque equales. Dico eas esse inter lineas equidistantes. Et est hec conversa 37. A puncto a protraham equidistantem linee b c que si transierit per punctum d liquet propositum. Si autem transibit supra aut infra, transeat primo supra et sit a e, producam quoque b d usque quo secet lineam a e in puncto e et protraham lineam e c. Et quia triangulus e b c est equalis triangulo a b c per 37 et triangulus d b c positus est equalis triangulo a b c, erit triangulus d b c equalis triangulo e b c. Pars toti. Quod est impossibile. Non ergo transibit linea que a puncto a ducitur equidistanter b c supra d. Transeat ergo infra. Et sit a f secans lineam d b in puncto f. Protraham ergo lineam f c et quia per 37 triangulus f b c est equalis triangulo a b c, ipse etiam erit equalis triangulo d b c videlicet pars toti. Quod est impossibile. Quia ergo linea ducta a puncto a equidistanter b c non transibit nisi per punctum d, patet propositum.

. Ex hac autem et premissa nota quod si aliqua linea recta duo alicuius trianguli latera per equa secuerit, ipsa erit tertio equidistans. Quod sic probatur. Sit triangulus a b c cuius duo latera que sunt a b et b c secet linea d e per equalia a b quidem in puncto d et b c in puncto e. Dico quod ipsa est equidistans a c. Protraham enim in quadrilatero a c e d diametros a e et d c eritque per 38 triangulus a e d equalis triangulo d e b propter id quod linea a d posita est equalis linee d b. Itemque per eandem triangulus c e d erit equalis eidem triangulo d e b propter id quod linea c e posita est equalis linee e b quare triangulus a e d est equalis triangulo c e d. Quia ergo ipsi sunt constituti super eandem basim videlicet lineam e d et ex eadem parte, ipsi erunt per hanc 39 inter lineas equidistantes, ergo linea d e est equidistans linee a c. Quod est propositum. Hoc autem ad 5 quarti tibi valebit. [f.10r]

Si duo trianguli equales super equales bases unius eiusdemque linee ex eadem parte fuerint constituti, eos inter duas lineas equidistantes necesse est contineri.

Sint duo trianguli a b c, d e f equales constituti super bases duas equales que sunt b c, e f unius eiusdemque linee ex eadem parte. Dico eos esse inter lineas equidistantes. Et hec est conversa 38. Et probatur per ipsam sicut precedens per 37. A puncto a ducatur linea equidistans linee b f que si transierit per punctum d, patet propositum. Sin autem, transeat primo supra ut a g et producatur e d usque ad ipsam que sit e g et ducatur linea g f eritque per 38 triangulus a b c equalis triangulo g e f quare et triangulus d e f erit equalis triangulo g e f pars toti. Quod est impossibile. Non ergo transibit supra. Transeat ergo infra et secet lineam d e in puncto h et ducatur linea h f eritque per 38 triangulus h e f equalis triangulo a b c quare et triangulo d e f, pars toti. Quod est impossibile. Quia ergo non transibit nisi per punctum d, patet propositum.

Si paralellogramum triangulusque in eadem basi atque in eisdem alternis lineis fuerint constituta, paralellogramum triangulo duplum esse conveniet.

Sint paralellogramum a b c d et triangulus e b d super basim b d et inter lineas a e et b d que sint equidistantes. Dico paralellogramum esse duplum triangulo. Protraham in paralellogramo diametrum a d eritque triangulus a b d dimidium paralellogrami per corollarium 34. Et quia triangulus e b d est equalis triangulo a b d per 37, patet triangulum e b d esse dimidium paralellogrami a b c d. Quod est propositum.

Similiter quoque potest probari quod si paralellogramum triangulusque in equis basibus atque inter lineas equidistantes fuerint constituta, paralellogramum duplum erit triangulo. Quod ideo non posuit Euclides quia leviter patet ex hac precedente et 38. Diviso paralellogramo per diametrum in duos triangulos vel super basim paralellogrami inter easdem lineas equidistantes triangulo constituto ad quem duplum erit paralellogramum per hanc precedentem et ipse equalis alteri triangulo per 38.

Equidistantium laterum superficiem designare, cuius angulus sit angulo assignato equalis, ipsa vero superficies triangulo assignato equalis.

Sit angulus assignatus a et assignatus triangulus b c d. Volo describere superficiem equidistantium laterum equalem triangulo b c d cuius uterque duorum angulorum contra se positorum sit equalis a. Divido basim c d per medium in puncto e et protraho lineam b e et a puncto [f.10v] b duco b f equidistantem c d eritque per 38 triangulus b e d equalis triangulo b e c. Quare triangulus b e d est dimidium totalis trianguli b c d, ergo super punctum e linee d e constituo angulum d e g equalem angulo a et perficio paralellogramum g e d f quod etiam quia per precedentem est duplum ad triangulum b e d, erit equale triangulo b c d per hanc communem scientiam: quorum dimidia sunt equalia, ipsa quoque equalia erunt. Est enim triangulus b e d utriusque dimidium quare descripsimus paralellogramum g e d f equale triangulo b c d cuius uterque duorum angulorum g e d et d f g contra se positorum est equalis angulo a. Quod fuit propositum.

Omnis paralellogrami spatii eorum que circa diametrum sunt paralellogramorum supplementa equa sibi invicem esse necesse est.

Sit paralellogramum a b c d in quo protraham diametrum b c et protraham e f equidistantem utrique duorum laterum a b et c d que secet diametrum in puncto k a quo ducam k g equidistantem utrique duorum laterum a c, b d. Item producam eam usquoque secet utrumque latus a b et c d sitque tota g k h eritque totum paralellogramum a b c d divisum in 4 paralellograma quorum duo scilicet e c k h et g k b f dicuntur consistere circa diametrum, reliqua duo scilicet a e g k, k h f d dicuntur supplementa. Hec duo supplementa dicuntur esse equalia. Sint duo trianguli a b c et c d b equales per corollarium 34. Similiter quoque duo trianguli g k b et f k b sunt equales per idem corollarium 34. At duo trianguli c e k et k h c similiter equales per idem corollarium. Demptis igitur duobus triangulis b g k et k e c de totali triangulo a b c ac duobus triangulis reliquis b f k et k h c de totali triangulo reliquo c d b erunt per communem scientiam residua que sunt duo supplementa equalia. Quod est propositum.

Proposita recta linea super eam superficiem equidistantium laterum, cuius angulus sit angulo assignato equalis, ipsa vero superficies triangulo assignato equalis, designare.

Designare superficiem equidistantium laterum super lineam aliquam est lineam ipsam facere latus unum ipsius superficiei. Sit ergo data linea a b et datus angulus c et datus triangulus d e f. Super lineam a b volo designare superficiem unam equidistantium laterum ita quod linea a b sit unum ex lateribus eius cuius uterque duorum angulorum contra se positorum sit equalis angulo c et ipsa totalis superficies sit equalis triangulo d e f. Differt autem hec a 42 quia hic datum latus unius superficiei describende scilicet linea a b, ibi autem nullum. Cum ergo hoc volo facere ad lineam a b, adiungo secundum rectitudinem lineam a g quam pono equalem linee e f basi trianguli dati super quam constituo triangulum unum ei equalem et equilaterum. Quod hoc modo facio. Constituo angulum a g k equalem angulo e et angulum g a k equalem angulo f per 23. Et quia g a posita fuerat equalis e f, erit per 26 triangulus g a k equalis et equilaterus triangulo e f d. Dividam ergo g a per equalia in puncto h et protraham k h et producam a puncto k lineam m k n equidistantem linee g h eritque per 38 triangulus a h k equalis triangulo g h k. Tunc super punctum a linee g a [f.11r] faciam angulum g a l equalem angulo c dato et complebo super basim a h et inter lineas g h et m n equidistantes superficiem equidistantium laterum m l h a que per 41 dupla erit ad triangulum k h a, quare equalis totali triangulo k g a quare et triangulo d e f proposito. Protraham ergo b n equidistantem a l et producam diametrum n a quam protraham quousque concurrat cum m h in puncto o et complebo superficiem equidistantium laterum m o n q et protraham l a usque ad p. Eritque per precedentem supplementum a b p q equale supplemento m l h a, quare triangulo d e f et quia per 15 angulus l a h est equalis angulo b a p et ideo angulus b a p equalis angulo c, patet super datam lineam a b descriptam superficiem esse equidistantium laterum a b p q equalem dato triangulo d e f cuius uterque duorum angulorum contra se positorum qui sunt a et q est equalis dato angulo c. Quod fuit propositum.

Ex data linea quadratum describere.

Sit data linea a b ex qua volo quadratum describere. A punctis a et b linee a b educo per 11 lineas a c et b d perpendiculares ad lineam a b que erunt equidistantes per ultimam partem 28. Et pono utramque earum eidem a b equalem et protraham lineam c d eritque ipsa equalis et equidistans linee a b per 33 et quia uterque duorum angulorum a et b est rectus, erit uterque duorum c et d rectus per ultimam partem 29. Ergo per diffinitionem a b c d est quadratum. Quod est propositum.

Idem aliter sit a c perpendicularis super lineam a b per 11 et sit ei equalis ut prius et a puncto c per 31 ducatur c d equidistans a b et ponatur ei equalis et ducatur d b que per 33 erit equalis et equidistans a c et omnes anguli recti per ultimam partem 29, quare per diffinitionem habemus propositum.

In omni triangulo rectangulo quadratum quod a latere recto angulo opposito in semetipsum ducto describitur equum est duobus quadratis que ex duobus reliquis lateribus conscribuntur.

Sit triangulus a b c cuius angulus a sit rectus. Dico quod quadratum lateris b c equum est quadrato a b et quadrato a c simul iunctis. Quadrabo ergo tria latera secundum doctrinam precedentis sitque quadratum b c superficies b c d e et quadratum b a superficies b f g a et quadratum a c superficies a c h k. Ab angulo a recto ducam ad basim d e maximi quadrati tres lineas scilicet a l equidistantem utrique lateri b d et c e que secet b c in puncto m et ypothenusas a d et a e. Item a duobus reliquis angulis trianguli qui sunt b et c ducam ad duos angulos duorum quadratorum minimorum duas lineas se intersecantes intra ipsum triangulum que sint b k et c f. Quia uterque duorum angulorum b a c et b a g est rectus, erit per 14 c g linea una. Eadem ratione erit b h linea una quia uterque duorum angulorum c a b et c a h est rectus. Quia ergo super basim b f et inter duas lineas equidistantes que sunt c g et b f constituta sunt paralellogramum b f g a et triangulus b f c, erit per 41 paralellogramum b f g a duplum triangulo b f c, sed [f.11v] triangulus b f c est equalis triangulo b a d per 4 quia f b et b c latera primi sunt equalia a b et b d lateribus secundi et angulus b primi est equalis angulo b postremi eo quod uterque constat ex angulo recto et angulo a b c communi. Ergo paralellogramum b f g a est duplum ad triangulum a b d, sed paralellogramum b d l m est duplum ad eundem triangulum per 41 quia constituti sunt super eandem basim scilicet b d et inter lineas equidistantes que sunt b d et a l, ergo per communem scientiam quadratum a b f g et paralellogramum b d l m sunt equalia quia eorum dimidia videlicet predicti trianguli sunt equalia. Eodem modo et per easdem propositiones mediantibus triangulis k b c et a e c probabimus quadratum a c h k esse equale paralellogramo c e m l. Quare patet propositum.

Si quod ab uno trianguli latere in se ipsum ducto producitur equum fuerit duobus quadratis que a duobus reliquis lateribus describuntur, rectus est angulus cui latus illud opponitur.

Lineam in se ipsam ducere est eius quadratum describere. Sit triangulus a b c sitque quadratum lateris a c equale quadratis duorum laterum a b et b c simul iunctis. Dico angulum b cui latus a c opponitur esse rectum. Et hec est conversa prioris. A puncto b extraho lineam b d perpendicularem super lineam b c quam pono equalem a b et produco lineam d c eritque per precedentem quadratum d c equale duobus quadratis duarum linearum d b et b c. Et quia d b posita est equalis b a, erunt per communem scientiam que est linearum equalium equalia esse quadrata, quadrata duarum linearum a b et d b equalia quapropter erit quadratum d c equale quadrato a c, ergo per aliam communem scientiam que est conversa prioris scilicet lineas quarum quadrata sunt equalia esse equales, erit d c equalis a c, quare per 8 angulus b trianguli a b c est rectus. Quod est propositum.