Proprietà dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e principio di induzione. Elementi di calcolo combinatorio. Definizione di gruppo, anello e campo. Numeri complessi e teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Numeri interi e polinomi a coefficienti in un campo: teorema di divisione, divisibilità e massimo comun divisore, algoritmo di Euclide, identità di Bé zout, teorema di fattorizzazione unica. Teorema di Ruffini. Congruenze tra numeri interi e tra polinomi. Equazioni e sistemi di congruenze: teorema cinese del resto, interpolazione di Lagrange. Classi resto. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero.
Anelli (commutativi con unità): elementi invertibili e divisori di zero, domini di integrità. Caratteristica di un dominio di integrità. Anello delle frazioni e campo quoziente di un dominio d'integrità. Ideali. Operazioni con gli ideali. Omomorfismi tra anelli, anello quoziente e teorema di omomorfismo. Prodotto diretto di anelli. Teorema cinese del resto per gli anelli. Anelli euclidei, anelli a ideali principali e anelli a fattorizzazione unica.
Moduli: moduli su un campo, sull'anello degli interi, sull'anello dei polinomi in una variabile. Sottomoduli, quozienti e omomorfismi, somma diretta. Generatori di un modulo,moduli ciclici. Teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un anello a ideali principali (dimostrazione solo nel caso euclideo).
Gruppi e sottogruppi. Gruppi abeliani, gruppi di permutazioni e gruppi diedrali. Ordine di un elemento in un gruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Gruppi ciclici. Classi laterali e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Omomorfismi e isomorfismi. Teorema di omomorfismo per gruppi. Azione di un gruppo su un insieme. Automorfismi interni. Classi di coniugio. Formula delle classi. Prodotti diretti di gruppi.
Derivata di un polinomio e fattori multipli. Lemma di Gauss e fattorizzazione unica dei polinomi a coefficienti in un anello a fattorizzazione unica. Metodi di fattorizzazione. Estensioni di campi, numeri algebrici e numeri trascendenti. Estensioni algebriche ed estensioni finite. Estensioni semplici. Campo di spezzamento di un polinomio ed estensioni normali. Teorema dell'elemento primitivo. Campi finiti. Gruppo di Galois. Corrispondenza di Galois. Calcolo del gruppo di Galois di polinomi di grado basso.
TESTI DI RIFERIMENTO
B. Scimemi, Algebretta, Ed. Decibel (Zanichelli)
N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti L.
Childs, ALGEBRA un'introduzione completa
1) I NUMERI REALI E I NUMERI COMPLESSI .
Proprietà elementari dei numeri reali. L'assioma di Dedekind. Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Generalità sui numeri complessi.
2) SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE .
Successioni. Limite di una successione. Operazioni con i limiti. Serie numeriche. Limiti di successioni monotone; serie a termini positivi. Il criterio di Cauchy. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi. Serie a segno alterno. Riordinamento di una serie.Serie di potenze. Raggio di convergenza.
3) FUNZIONI E LORO LIMITI; FUNZIONI CONTINUE .
Definizione di funzione; grafico di una funzione. Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni. Limiti di funzioni monotone. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Teorema degli zeri di una funzione continua, teorema di Weierstrass. Uniforme continuità. Funzioni continue invertibili.
4) CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE .
La derivata: introduzione, definizione e prime proprietà. Differenziale. Derivate successive. Massimi e minimi relativi. Il teorema del valor medio. Calcolo dei limiti; teorema di de l'Hospital. Funzioni convesse e concave. La formula di Taylor; sviluppi delle funzioni elementari.
5) CALCOLO INTEGRALE .
L'integrale di Cauchy Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Prime proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. L'integrale in senso generalizzato. Criteri di convergenza per integrali impropri.
Testi consigliati:
E.Giusti "Analisi Matematica" Vol. I ed Boringhieri.
G.Prodi "Analisi Matematica", ed. Boringhieri.
MISURE E UNITÀ DI MISURA
Unità di misura. Analisi dimensionale.
I VETTORI IN FISICA
Riferimenti. Vettori e loro componenti. Vettori e pseudovettori. Indipendenza delle leggi fisiche dal sistema di coordinate,
CINEMATICA DEL PUNTO
Legge oraria e traiettoria. Velocità vettoriale. Velocità scalare. Accelerazione vettorialee accelerazione scalare. Coordinate cilindriche. Velocità e accelerazione in coordinate cilindriche.
I PRINCIPI DELLA DINAMICA
Sul concetto di forza. I riferimenti inerziali. La massa. Le unità di forza. L'equazione F=ma come equazione del moto.
DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE NON VINCOLATO
L'oscillatore armonico in una dimensione. Posizioni di equilibrio. L'oscillatore armonico tridimensionale isotropo. Campi di forza centrali. Il Momento Angolare. Costanti del moto. Orbite circolari nel moto Kepleriano. Moto in un mezzo viscoso. L'oscillatore armonico soggetto ad una forza costante.
DINAMICA DI SISTEMI ESTESI
Il terzo principio e la prima equazione cardinale. Il terzo principio per corpi macroscopici. Sistemi isolati e conservazione della Quantità di Moto. Il sistema di due corpi: la massa ridotta.
VINCOLI
Vincoli lisci. Fili e funi. Vincoli scabri: attrito statico. Vincoli scabri: attrito dinamico.
ENERGIA
Il teorema delle forze vive. Forze conservative. Conservazione dell'energia. Soluzione di problemi mediante le leggi di conservazione. Relazione fra potenziale e forza. Posizioni di equilibrio stabile. Teorema delle forze vive generalizzato.
MOTO IN CAMPO CENTRALE
Il vettore di Lenz e le traiettorie nel moto Kepleriano.
IL PENDOLO
Il pendolo isocrono. Il pendolo smorzato.
OSCILLAZIONI FORZATE
Bilancio energetico.
CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE ASSIALE
CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
Il moto del corpo rigido (legge oraria). Casi particolari ed esempi. Il campo delle accelerazioni.
CAMBIAMENTI DI RIFERIMENTO
Legge oraria. Composizione delle velocità. La formula di Coriolis per le accelerazioni.
LA DINAMICA NEI RIFERIMENTI NON INERZIALI
Le forze fittizie sulla Terra. Equivalenza fra forze gravitazionali e forze di inerzia. Potenziale delle forze apparenti.
LA DINAMICA DEI SISTEMI
La seconda equazione cardinale. Proprietà del Momento Angolare totale e del Momento risultante. Conservazione del Momento Angolare. Il Momento Angolare di un Corpo rigido. Statica e dinamica del Corpo rigido. Forze gravitazionali su un Corpo rigido.
ENERGIA DEI SISTEMI
Il Teorema delle forze vive. Il Teorema del Koenig. Il lavoro delle forze interne. Il Teorema delle Forze Vive per un Corpo rigido. Sistemi conservativi: l'Energia potenziale. Energia potenziale di un Corpo rigido. Soluzione di problemi mediante le leggi di conservazione. Moto libero di un solido attorno al centro di massa. Il Teorema dell'Impulso e dell'Impulso angolare - Forze impulsive.
IL PROBLEMA DELL'ENERGIA DAL PUNTO DI VISTA MICROSCOPICO
ELEMENTI DI TERMODINAMICA
INTRODUZIONE
SISTEMI TERMODINAMICI
Le variabili termodinamiche. La pressione. Significato microscopico della pression.e L'Equazione di stato dei gas ideali e il significato microscopico della Temperatura. L'equazione di van der Waals. Trasformazioni termodinamiche. Lavoro e Calore.
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
L'Energia interna. Lavoro sul sistema e Lavoro del sistema. Lavoro delle forze di pressione. Macchine termiche. Il ciclo di Carnot.
IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Il Teorema di Carnot. La diseguaglianza di Clausius.
L'ENTROPIA
Variazioni di Entropia. Sistemi termicamente isolati.
Entropia ed Energia interna. Alcune semplici conseguenze del secondoo Principio.
Entropia e Lavoro. I potenziali termodinamici. Potenziali termodinamici
e condizioni di equilibrio. Il significato microscopico dell'Entropia e
il Teorema di Boltzmann.
Questo corso consisterà in una introduzione elementare alla topologia generale e all'algebra lineare, e sarà articolato in due parti.
TOPOLOGIA GENERALE
Richiami di teoria degli insiemi - spazi metrici - spazi topologici - connessione e compattezza - funzioni continue - topologia prodotto - teorema di Tychonoff - assiomi di separazione - teorema di estensione di Tietze - compattificazione mediante un punto - completezza di spazi metrici - teorema di Baire - spazi normati.
ALGEBRA LINEARE
Prime nozioni sugli spazi vettoriali - indipendenza lineare e basi - spazi duali - prodotti scalari - trasformazioni lineari - polinomio minimo - autovalori - matrici - forme canoniche - determinanti - trasformazioni hermitiane, unitarie e normali - forme quadratiche.
Testi consigliati:
Prima parte:
I.M. Singer, J.A. Thorpe, ``Lezioni di topologia elementare e di geometrià', Boringhieri.
È anche consigliata la lettura di: K. Janich, ``Topologià', Zanichelli.
Seconda parte:
I.N. Herstein, ``Algebrà', Editori Riuniti.
1) Calcolo integrale per le funzioni reali di più variabili
Preliminari. Funzioni semplici. Integrali di funzioni semplici. Funzioni integrabili secondo Riemann. La misura secondo Jordan per insiemi limitati in R^n. Esempi di insiemi misurabili in R^2. Integrale di funzioni definite su un insieme misurabile di R^n. Esempi di insiemi misurabili in R^n. Integrabilità di una funzione continua su un insieme misurabile e chiuso. Formule di riduzione per integrali doppi. Formule di riduzione per integrali tripli. Funzioni integrabili in senso generalizzato. Applicazioni R^n -> R^m e applicazioni R^n -> C^m integrabili.
2) Calcolo differenziale per le funzioni reali di più variabili
Derivata parziale di una funzione. Derivata secondo una direzione y. Differenziale di una funzione; piano tangente ad un grafico. Apploicazioni R^n -> r^m differenziabili. Applicazioni R^n -> C^m differenziabili. Differenziale di una funzione composta. Formula di leibniz per la derivata del prodotto di due funzioni. Formuls di taylor per le funzioni di più variabili. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni omogenee e teorema di Eulero. Punti di massimo e di minimo relativo per funzioni reali di più variabili; punti stazionari. Funzioni f in C^2(Omega); condizioni necessarie perchè un punto stazionario sia di massimo o di minimo relativo. Funzioni f in C62(A); condizioni sufficienti perchè un punto stazionario sia di massimo o di minimo relativo. Un metodo algebrico per trovare m e M. Integrali che dipendono da un parametro.
3) Funzioni definite implicitamente
Preliminari. Teorema del Dini. Un teorema sulle contrazioni. Caso generale. Invertibilità locale R^n -> R^n.
4) Cambiamento di variabili negli integrali multipli
Preliminari. Cambiamento di variabili di tipo particolare. Caso generale.
5) Successioni e serie di funzioni
Successioni convergenti e uniformemente convergenti. Completezza
di spazi normati L(A), C^0(A), R(A).
Completezza dello spazio normato C^k(A). Serie di funzioni
convergent i ed uniformemente convergenti. Successioni e serie di applicazioni
A -> R^m e A -> C^m. Serie di potenze su R. Funzioni sviluppabili in serie
di Taylor. Serie di Fourier. Serie trigonometriche.
6) Equazioni differenziali ordinarie
Preliminari. Equazioni differenziali lineari; preliminari. Lemma di Gronwall e alcune conseguenze. Sistemi lineari del I ordine omogenei; caratterizzazione di Vo. Il caso dei sistemi omogenei Du=Au con A matrice costante. Sistemi differenziali dei I ordine non omogenei, ricerca di una u_f e quindi di V_f. Sistemi quasi lineari del I ordine; esistenza di soluzioni locali; teorema di Picard; prlungabilità della soluzione locale; un teorema di Peano. Qualche caso di risolubilità concreta. Equazioni differenziali lineari di ordine K maggiore di 1. Dimostrazioni a) e b).
7) Integrali lungo una curva e forme differenziali
Curve di classe C^k. Curve rettificabili. Alcune classi di curve rettificabili. Integrale di una funzione lungo una curva. Forme differenziali lineari. Integrale di una forma differenziale lungo una cirva. Integrale lungo una curva di una forma differenziale esatta. Forme differenziali esatte di classe C^1. Formule di gauss Green per insiemi nel piano più generali degli insiemi normali.
8) Area di una superficie e integrali superficiali
Porzione di superficie regolare in R^3. Proprietà relative a superfici regolari. Area di una porzione di superficie regolare. Integrale di una funzione estesa ad una superfice. Formula di Stokes. Osservazioni conclusive.
9) Punti stazionari vincolati per le funzioni di più variabili
Preliminari. Punti stazionari vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Testo: Lezioni di Analisi Matematica II parte, III Edizione (S. Campanato), Libreria Scientifica Giordano Pellegrini - Pisa - 1991
Fatti sperimentali: isolanti e conduttori, induzione elettrostatica, elettrizzazione positiva e negativa, la carica elettrica, l'elettroscopio a foglia, conservazione della carica.
Interazioni tra cariche: la legge di Coulomb. Unità di misura delle grandezze elettriche. Forze elettrostatiche e gravitazionali. Il campo elettrico, il potenziale elettrico.
Campi irrotazionali: il gradiente, la circuitazione. Il teorema di Gauss, la divergenza e il flusso di un campo con sorgenti. Il teorema di Coulomb. Il problema generale dell'elettrostatica nel vuoto. Calcolo del campo elettrico nel vuoto per distribuzioni particolari di cariche. Il metodo delle immagini. Leggi di trasformazione del campo Elettrico per rotazioni, traslazioni e riflessioni delle sorgenti. Il campo Elettrico di distribuzioni simmetriche: distribuzione a simmatria sferica; distribuzione lineare su un filo rettilineo; distribuzione piana. Il campo Elettrico in un condensatore a facce piane parallele. Discontinuità del campo Elettrico attraverso una distribuzionIl dipolo elettrico. Integrazione dell'equazione di Laplace. Sviluppo in serie di multipoli. Lo strato e il; doppio strato. Il potenziale di estrazione degli elettroni dai metalli e l'effetto Volta, la pila di Volta. Condensatori, capacit\à di un conduttore. Energia di un condensatore Energia del campo elettrostatico. Il campo elettrico nella materia, i dielettrici.
La corrente elettrica continua, le leggi di Ohm, la legge di Joule. Il generatore elettrico. La forza elettromotrice. Estensione della legge di Ohm. Le leggi di Kirchoff.
Interazione tra una carica in movimento e latre cariche in movimento. Interazione tra due fili percorsi da corrente. Il vettore B. Il campo magnetico costante nel vuoto. La rotazione il potenziale vettore. La forza di Lorenz. Campo elettrico e magnetico generato da una carica in moto rettilineo uniforme. Forza che agisce su una carica in movimento da parte di un campo generato da altre cariche. L'oscillografo catodico. Il teorema della circuitazione. Equivalenza tra una spira percorsa da corrente ed un ago magnetico. Il principio di funzionamento degli strumenti a bobina mobile per la misura delle correnti. Amperometri voltmetri e il loro uso. Lo strumento universale.
Il campo magnetico nella materia: diamagnetismo e paramagnetismo, cenni sul ferromagnetismo. Campi elettrici e magnetici lentamente variabili. Fenomeni periodici, il teorema di Fourier. Le correnti indotte e la legge di Faraday-Neumann. Il fenomeno dell'autoinduzione. Induttanze. L'energia del campo magnetico. Circuiti con resistenze, induttanze e capacità circuiti oscillanti.
Circuiti elettrici lineari: reti di circuiti, il metodo delle maglie. Il teorema di sovrapposizione, il teorema di Theverin e le sue applicazioni. Misura della forza elettromotrice di un generatore. Misura di una resistenza con il ponte di Weatstone. Le correnti alternate. Il metodo simbolico. Il coefficiente di mutua induzione, il trasformatore.
Campi elettrici e magnetici rapidamente variabili: le correnti di spostamento. Le equazioni di Maxwell. Integrazione delle equazioni di Maxwell nel vuoto: i potenziali ritardati.
Equazioni dell'elettrodinamica dei mezzi materiali in quiete. Nozioni sulle onde elettromagnetiche. Energia e impulso delle onde elettromagnetiche. Il principio dell'ottica geometrica. La luce. La riflessione e la rifrazione delle onde elettromagnetiche. le leggi di Cartesio. La dispersione. Applicazioni dell'ottica geometrica: prismi, lenti, specchi. Misura della costante dielettrica e dell'indice di rifrazione di un mezzo. Ottica fisica: interferenza e diffrazione.
Le equazioni di maxwell scritte in forma covariante. Campi elettrici e magnetici in riferimenti in moto.
TESTI DI RIFERIMENTO :
1. Sistemi dinamici discreti. Il teorema di Hartman-Grobman per i diffeomorfismi, stabilità di punti fissi e soluzioni periodiche, i teoremi di Liapunoff, diffeomorfismi che conservano i volumi, il teorema del `ritorno' di Poincarè, applicazioni ai sistemi hamiltoniani, l'equazione logistica e il suo significato nella dinamica delle popolazioni, sistemi dinamici caotici secondo Devaney, il teorema della varietà stabile e instabile.
2. Sistemi dinamici continui. Teoremi di esistenza unicità e dipendenza continua dai dati, sistemi lineari, sistemi autonomi, il piano delle fasi e i suoi fenomeni,soluzioni periodiche, il teorema di linearizzazione, teoremi di stabilità,applicazioni, oscillatori elettrici, le equazioni di Volterra-Lotka, il triodo oscillante e l'equazione di Van der Pol, il sistema di Lorenz.
3. Sistemi dinamici continui. Teoremi di esistenza unicità e dipendenza continua dai dati, sistemi lineari, sistemi autonomi, il piano delle fasi e i suoi fenomeni, soluzioni periodiche, il teorema di linearizzazione, teoremi di stabilità, applicazioni, oscillatori elettrici, le equazioni di Volterra-Lotka, il triodo oscillante e l'equazione di Van der Pol, il sistema di Lorenz.
4. Calcolo delle variazioni. Problemi classici, la brachistocrona, superfici di rotazione di area minima, il problema di Didone, minimi forti e deboli, i lemmi fondamentali, l'equazione di Eulero, le condizioni di Erdman-Weierstrass, regolarità degli estremali, condizioni naturali, la diseguaglianza isoperimetrica, funzionali che dipendono da derivate di ordine superiore, il problema della trave elastica incastrata e appoggiata.
1) ANALISI DIMENSIONALE.
Dimensioni di una grandezza fisica. I gruppi adimensionali. Enunciato del teorema pi-greco e sua applicazione alla ricerca delle dipendenze possibili fra grandezze assegnate.
2) ANALISI TENSORIALE.
Tensori, tensori invarianti o pseudoinvarianti, operazioni tensoriali. Funzioni isotrope e pseudoisotrope e - in dettaglio - funzioni (pseudo) isotrope di vettori a valori vettoriali o scalari.
3) I FONDAMENTI DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA.
Il concetto di osservatore. Rapporto di casualita. Il
principio d'inerzia e il problema della sincronizzazione. Linearita delle
trasformazioni spazio-temporali fra osservatori (teorema di Hegerfeldt).
Il principio di relatività. Cinematica relativistica. Esistenza
di una velocita invariante e altre importanti conseguenze del principio
di relatività. Formulazione tensoriale quadridimensionale nello
spazio di Minkowski. Dinamica relativistica della particella. Cenni sulla
dinamica dei sistemi di particelle.
1) L'EQUAZIONE DELLE ONDE DI D'ALAMBERT IN UNA DIMENSIONE.
Soluzione generale e soluzioni particolari. Richiamo dei principali risultati della teoria delle serie e degli integrali di Fourier e loro applicazione all'equazione delle onde.
2) I FONDAMENTI DELL'ELETTRODINAMICA DI MAXWELL-LORENZT.
I concetti e le equazioni di base nella formulazione tridimensionale. Le forze ponderomotrici. Conservazione della carica elettrica. Unità di carica elettrica. Invarianza relativistica della carica. Formulazione quadridimensionale. Il tensore energia-impulso. I sistemi chiusi e i principi di conservazione. Equazione delle onde e.m. ed onde piane in particolare. Onde periodiche con applicazione della teoria della serie di Fourier. Pacchetti d'onde ed applicazione della teoria degli integrali di Fourier.
Calcolo Tensoriale
I MODULO: Parte I - Pagg. 1 - 9 . Parte II - Pagg. 1 - 16 , 32 - 33 , 39 - 43 , 57 - 68 . Parte III - Pagg. 1 - 10 . Parte IV - Pagg. 1 - 7 .
Calcolo Tensoriale
Si fa riferimento alle dispense a stampa.
II MODULO: Parte I - Pagg. 9 - 16 . Parte II - Pagg. 16 - 31 , 33 - 39 , 43 - 56 , 69 - 87 . Parte III - Pagg. 10 - 15 . Parte V - Pagg. 98 - 109 .
Il corso saràdedicato all'uso di alcuni metodi topologici in "Analisi non lineare" con lo scopo di studiare sia alcuni fatti interessanti negli spazi di dimensione finita, sia alcune classi di equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali.
In particolare saranno studiati alcuni metodi diretti di "calcolo delle variazioni", quali il teorema della sella, il teorema delle sfere complementari, il teorema dell'allacciamento, e, se ci sarà tempo, qualche "nabla-teorema";
la teoria della categoria di Lusternik e Schnirelman, la categoria relativa, la categoria invariante;
il caso dei funzionali "fortemente indefiniti".
Queste teorie saranno di volta in volta utilizzate per lo studio di alcune classi di equazioni della dinamica, di equazioni e sistemi di tipo ellittico, di equazioni di tipo iperbolico.
Le necessarie proprietà degli spazi funzionali e in particolare degli spazi di Sobolev, saranno ben chiarite e, se necessario, dimostrate.
Lo spazio di Teichmuller, le sue compattificazioni e qualche fatto di Gravità 2+1.
Teoremi di confronto in geometria riemanniana
Secondo la formula di Gauss-Bonnet, data una superficie S chiusa e orientata, l'integrale su S della curvatura (un invariante *locale* che dipende dalla metrica di S) determina la topologia *globale* di S. Questo risultato ha notevoli estensioni in dimensioni più alte. Ad esempio: solo un numero finito di tipi topologici di n-varietà ammettono metriche che soddisfano prefissate limitazioni inferiori sul volume e limitazioni superiori sul diametro ed il valore assoluto della curvatura scalare (teorema di Cheeger). Le relazioni tra la curvatura e la topologia sono state oggetto di intensa ricerca per tutto questo secolo, ed il corso si propone di presentare alcuni dei profondi risultati dimostrati. Più specificamente, dopo alcuni brevi richiami della terminologia basilare della geometria riemanniana, saranno dimostrati i teoremi di confronto classici (tra cui quelli di Synge, Myers, Hadamard-Cartan, Bishop-Gunther, Preissman, Klingenberg). Saranno quindi trattati argomenti più recenti (come la teoria della convergenza di Gromov e il teorema di Cheeger sopra menzionato), eventualmente omettendo qualche dimostrazione.
Bibliografia:
Testi di riferimento:
I programmi del I e del II modulo saranno parti del seguente
insieme di argomenti da definire insieme con gli studenti, tenendo conto
dei loro interessi.
Il corso sarà incentrato su attività didattiche seminariali relative a tematiche di interesse specifico per l'insegnamento nelle scuole secondarie superiori, con corrispondenti approfondimenti teorici. Le attività seminariali saranno svolte dagli studenti del corso.
Più precisamente verranno presi in considerazione i seguenti aspetti: lettura ed esposizione critica di capitoli scelti di un testo di matematica per la scuola secondaria superiore; approfondimenti teorici a livello universitario; confronti con altre possibili impostazioni e con le trasposizioni didattiche attuate in altri testi scolastici (italiani e stranieri); problemi di correttezza, di rigore e di comprensione dei testi esaminati; aderenza alle indicazioni dei programmi ministeriali vigenti; modellizzazioni matematiche di situazioni non completamente formalizzate; problematiche relative alla valutazione dell'apprendimento.
Primo semestre
Si affronteranno contenuti aventi attinenza con l'analisi matematica.
Secondo Semestre
Si affronteranno contenuti di geometria del piano e dello spazio.
N.B. Per nessuno dei due semestri sono richiesti prerequisiti specifici. Tuttavia la frequenza del corso egrave; vivamente sconsigliata a quanti non avessero ancora superato gli esami del primo biennio. I programmi dei due semestri sono indipendenti; quindi, su richiesta della maggioranza dei potenziali interessati al corso, egrave; possibile un'inversione tra i programmi dei due semestri.
Il corso, di carattere monografico, ha per tema la risoluzione
numerica di equazioni differenziali ordinarie. Sono previste l'implementazione
e la sperimentazione, mediante calcolatore, di alcuni degli algoritmi trattati
e l'analisi e la risoluzione di problemi del mondo reale modellizzabili
da equazioni differenziali ordinarie (moto di corpi nello spazio soggetti
a forze gravitazionali, dinamica di popolazioni, ecc.).
Per un maggiore approfondimento della materia:
Inoltre i capitoli dedicati all'argomento sui più diffusi testi di Analisi Numerica.
Il corso è rivolto agli studenti dell'indirizzo
didattico. Vengono sviluppati elementi di analisi numerica con particolare
attenzione agli aspetti algoritmici e modellistici della matematica. I
metodi numerici presentati nel corso verranno utilizzati per risolvere
semplici problemi del mondo reale, in un processo che parte dalla descrizione
del modello matematico, affronta la costruzione e l'analisi di algoritmi
specifici di risoluzione, procede alla implementazione in linguaggio Pascal
degli algoritmi stessi e si conclude con la esecuzione dei programmi (simulazione)
e con la analisi critica dei risultati. Le lezioni, che si svolgono nell'aula
informatica, prevedono l'uso interattivo dei personal computers in ambiente
Turbo Pascal.
Richiami dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie
e campi di vettori - teorema fondamentale di esistenza e unicità
locale per equazioni differenziali ordinari; soluzioni generalizzati e
la loro unicità; sistemi lineari a coefficienti costanti ed esponenziale
di una matrice; sistemi lineari a coefficienti variabili, dipendenza
delle soluzioni su dati iniziali e su parametri; campi
di vettori e il teorema di Frobenius.
Trasformata di Fourier, richiami di base della teoria delle distribuzioni, spazi di Sobolev in spazio euclideo e in un dominio limitato; teorema di Schwartz su nucleo distribuzionale.
Equazioni di Laplace e Poisson, esistenza delle soluzioni,
principio di massimo e cenno sulla regolarit&;agrave; delle soluzioni;
equazione delle
onde - corda e membrane vibranti; equazione delle onde
in un dominio limitato rispetto i variabili spaziali e domini illimitati;
sistema di Maxwell
Il problema di Cauchy - il teorema di Cauchy - Kowalewski e teorema di Holmgren sull'unicità.
Il problema di Cauchy per sistemi fortemete iperbolici in spazio unidimensionale - Sistemi lineari di tipo fortemente iperbolico a coefficienti regolari; risoluzione del problema di Cauchy con il metodo delle cartteristiche, stima di energia e l'unicità, propagazione delle singolarità.
Equazioni quasi lineari di tipo iperbolico - equazione di Burger e tempo di esitenza della soluzione; soluzione debole dell'equazione di Burger; cenno su sistemi iperbolici con genuina nonlinearità.
Sistemi lineari e simmetrici secondo Friedrichs e stima di energia; l'esistenza e l'unicità, propagazione delle singolarità ottica geometrica, formazione delle caustiche, il metodo della fase stazionaria.
Perturbazioni nonlineari dell' equazione delle onde; teoremi di esistenza globale per equazione delle onde nonlineare con dati iniziali piccoli in spazio di dimensione strettamene maggiore di 3 e con "null condizione in dimensione 3; perturbazioni nonlineari dell'equazione di Klein - Gordon.
Il corso è indirizzato agli studenti del terzo e del quarto anno che abbiano, oltre la conscenza del contenuto del corso di Analisi II, una discreta conoscenza della teoria dell' integrale di Lebesgue.
1. POSIZIONE DEL PROBLEMA - Il problema della determinazione orbitale. Esempi: pianeti; scoperta di Nettuno; comete/asteroidi; Spaceguard Survey.
2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE - Flusso integrale, equazione alle variazioni, lemma di Gronwall, esponenti di Lyapounov. Problema dei due corpi. Esempi: problema degli N corpi, coordinate eliocentriche.
3. MINIMI QUADRATI - Caso quasi lineare, correzioni differenziali. Regione di confidenza: interpretazione ottimizzazione. Controllo di convergenza.
4. PROBLEMA DEGLI N CORPI - Equazioni di Lagrange; coordinate baricentriche, eliocentriche, jacobiane. Sistemi gerarchici: accuratezza dei modelli dinamici del sistema solare. Equazioni di Hamilton, problemi ristretti.
5. TEORIE ANALITICHE - Espansione in serie delle soluzioni. Nozione di ordine, serie di Fourier. Perturbazioni secolari. Esempi: stabilità dei semiassi maggiori, perturbazioni secolari alla Laplace, teoria di Kozai, effetti relativistici.
6. UNITÀ DI MISURA - Cambiamenti di scala, unità di misura in meccanica celeste, costante di gravitazione.
7. PROBLEMA DIRETTO: INCONTRI RAVVICINATI - Asteroidi incrociatori della Terra; classificazione dinamica, teorie statistiche. Incontri ravvicinati ed esponenti di Lyapounov. Regioni di confidenza e predizioni di incontri ravvicinati. Scenari catastrofici.
8. PROBLEMA DELL'IDENTIFICAZIONE - Popolazioni di corpi celesti: asteroidi/comete, satelliti artificiali e debris spaziale. Procedimenti di scoperta; predizione, ritrovamento, identificazione. Cataloghi e proposte di identificazione.
ORGANIZZAZIONE
Il corso comprenderà 30-35 ore di lezioni, 3 ore alla settimana; avrà inizio il 19 ottobre alle ore 15, in aula...; in tale occasione sarà concordato l'orario.
1. POSIZIONE DEL PROBLEMA - Il problema della determinazione orbitale. Esempi: deriva dei continenti; potenziale terrestre/lunare; portare gli astronauti a casa; debris spaziale.
2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE - Richiami.
3. MINIMI QUADRATI - Regione di linearità , correzioni differenziali. Regione di confidenza: interpretazione probabilistica. Metodi di inversione per matrici simmetriche.
4. PROBLEMA DEL SATELLITE - Teoria del potenziale, armoniche sferiche, problema di convergenza. Traccia al suolo e risonanze, satelliti sincroni.
5. INTEGRAZIONE NUMERICA - Metodi multistep, calcolo dei coefficienti, stima dell'errore locale. Metodi di Runge-Kutta; cenni ai metodi simplettici. Trattamento numerico dell'equazione alle variazioni. Errore accumulato ed esponenti di Lyapounov.
6. TEORIE ANALITICHE - Principio della media. Esempi: propagazione dell'errore numerico, satelliti geosincroni, satelliti lunari. Perturbazioni non gravitazionali: attrito, pressione di radiazione, loro effetti secolari.
8. SISTEMI DI RIFERIMENTO - Coordinate equatoriali, eclittiche. Precessione, nutazione, moto dei poli. Tempo e rotazione diurna.
9. PROBLEMA INVERSO: MISSIONI GEODETICHE - Inseguimento elettromagnetico. Satelliti geodetici, sistemi di navigazione. Accelerometri e drag-free. Mascon e anomalie locali. Problemi al contorno incompleti.
Il corso del secondo semestre può essere seguito indipendentemente da quello del primo. Seguirli entrambe consente di comprendere l'unità metodologica sottostante ad applicazioni molto diverse.
ORGANIZZAZIONE
Il corso comprenderà 30-35 ore di lezioni, 3 ore alla settimana; avrà inizio il 22 febbraio alle ore 15, in aula...; in tale occasione sarà concordato l'orario.
Introduzione alla geometria algebrica su un corpo reale chiuso.
Parte 1. Generalità su insiemi algebrici reali
e complessi.
Il corso è rivolto agli studenti del terzo e/o quarto anno, non sono richiesti prerequisiti particolari. Questa seconda parte può essere seguita indipendentemente dalla prima.
Nozioni fondamentali. Algebre di Lie risolubili e nilpotenti. Teroremadi Engel.
Teorema di Lie. Criteri di Cartan; forma di Killing. Algebre di Lie semplici e semisemplici. Criteri di Weyl. Totale riducibilità.
Sistemi di radici. Gruppo di Weyl. Matrice di Cartan. Diagrammi di Dynkin.
Classificazione delle algebre semplici complesse. Sottoalgebre di Cartan, di Borel e paraboliche.
Teoremi di isomorfismo e di coniugio.
Algebra inviluppante universale.
Introduzione alla teoria delle rappresentazioni. Pesi e moduli corrispondenti.
Formule di molteplicità.
Caratteri. Teorema di Harish-Chandra.
Formule di Weyl, Konstant e Steinberg.
Algebre e gruppi di Chevalley.
BIBLIOGRAFIA
J.E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972.
N.Bourbaki, Groupes et Algèbres de Lie, Chap. I, IV, V, VI,VII, VIII, Masson (Paris), 1990.
V.S.Varadarajan, Lie groups, Lie algebras and their representations, Prentice-Hall 1974, Springer 1984.
N. Jacobson, Lie algebras, Interscience Pub. 1962, Dover 1979.
Testi consigliati:
Yu. I. Manin, A Course in Mathematical logic, 1977.
Testi consigliati:
Il corso intende affrontare i problemi dell'insegnamento-apprendimento della matematica dal punto di vista psico-pedagogico. Il corso si divide in due parti, tra loro connesse, ma che potranno essere seguite anche indipendentemente.
Nella prima parte, che puo' essere considerata di introduzione ai problemi generali dell'insegnamento e apprendimento della matematica, saranno trattate le linee generali delle più importanti "teorie" che forniscono il quadro di riferimento classico alla ricerca in didattica della matematica.
La seconda parte, che puo' considerarsi di approfondimento, tratterà temi specifici seguendo una suddivisione classica per settori disciplinari. In questa seconda parte, un posto particolare verrà riservato all'analisi del rapporto tra l'educazione matematica e l'uso dei mezzi informatici, intesi come particolare supporto didattico. Verrà analizzato un particolare software per la didattica della geometria rispetto alla sua utilizzazione pratica in un curriculum regolare. Il corso si articolerà nel modo seguente.
Primo Modulo
Il Corso di MECCANICA CELESTE (I° semestre) presso il Corso di Laurea in Matematica si rivolge a studenti del secondo biennio dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria Aerospaziale. Nell'anno accademico 1998/1999 verranno trattati i seguenti argomenti:
Potenziale mareale e teoria delle maree terrestri. Si ricava il potenziale che genera le maree terrestri (causate da Luna e Sole) e se ne evidenziano le diverse armoniche
Attrito delle maree nel Sistema Solare. Si calcolano gli effetti più importanti dell'attrito delle maree nel Sistema Solare (e.g.mancanza di satelliti di Mercurio e Venere, satelliti che rivolgono sempre la stessa faccia al pianeta, rotazione di Mercurio).
The 2-Body problem and perturbation equations. Motions of the Earth as an extended body. Theory of Earth tides. Tidal friction in the Solar System.Corso di Meccanica Celeste, Primo Semestre, a.a. 1998/1999-Sommario degli argomenti principali:
Il problema dei 2 corpi e le equazioni perturbative. I moti della Terra come corpo esteso. Le maree terrestri. L' attrito delle maree nel Sistema Solare.
Il Corso di MECCANICA CELESTE (II° semestre) presso il Corso di Laurea in Matematica si rivolge a studenti del secondo biennio dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria Aerospaziale. Nell'anno accademico 1998/1999 verranno trattati i seguenti argomenti:
Verifica della Relatività Generale nello spazio. Missioni spaziali sul Principio di Equivalenza (GG e STEP), analisi delle perturbazioni agenti sull'orbita del satellite, sul suo assetto, sulle masse test e sull'apparato di misura. Dinamica di rotori supercritici nello spazio e loro utilizzo per la centratura delle masse test con grande precisione (posizioni di equilibrio, dissipazione, moti di whirl e stabilizzazione).
Principles of space navigation. Gravitational and non gravitational perturbations on the motion of artificial satellites. Analysis of space missions to test the Equivalence Principle.Corso di MECCANICA CELESTE, IIo Semestre, a.a. 1998/1999-Sommario degli argomenti principali:
Principi di navigazione spaziale. Perturbazioni gravitazionali e non gravitazionali sul moto dei satelliti artificiali. Analisi di missioni spaziali per la verifica del Principio di Equivalenza.
Breve introduzione storica: la crisi della fisica classica e i tentativi per superarne le difficoltà ("Old Quantum Mechanics": Einstein, Bohr, de Broglie... anni 1905-1923).
Introduzione ai postulati MQ a partire dall'analisi critica di esperimenti di fisica ondulatoria con singolo fotone e di fisica "corpuscolare" con singolo neutrone.
I postulati della MQ.
I livelli energetici dell'oscillatore armonico.
La rappresentazione di Schroedinger.
Applicazioni (l'effetto tunnel, metodi perturbativi...).
L'evoluzione temporale.
Il momento angolare.
I livelli energetici dell'atomo di idrogeno.
Lo spin dell'elettrone.
Il principio di esclusione di Pauli.
Discussione sui problemi interpretativi della MQ.
Il Corso di MECCANICA SUPERIORE (II° semestre) presso il Corso di Laurea in Matematica si rivolge a studenti del secondo biennio dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria Aerospaziale. Nell'anno accademico 1998/1999 erranno trattati i seguenti argomenti:
Il problema dei tre corpi ristretto circolare in due e in tre dimensioni. Integrale di Jacobi e criterio di stabilità di Hill. Il problema dei tre corpi ristretto ellittico. Applicazioni al Sistema Solare.
Formulazione Hamiltoniana. Variabili di Delaunay. Variabili di Poincarè
Piccoli divisori e moti caotici. Effetti del caos nel Sistema Solare. Relazione tra caos e instabilità macroscopica. Esempi di "Caos stabile".
The 2-Body and 3-Body problems. Small divisors and chaos. Chaos and macroscopic instability. Applications to Solar System dynamics.Corso di Meccanica Superiore, IIo Semestre, a.a. 1998/1999-Sommario degli argomenti principali:
Il problema dei 2 e dei 3 corpi. Piccoli divisori e caos. Caos e instabilità macroscopica. Applicazioni al Sistema Solare.
PROBLEMI DI FLUSSO
Complessità computazionale. Algoritmi polinomiali. Elementi di teoria dei grafi (cammini, cicli, alberi, matrice di incidenza). Formulazioni di problemi e modelli matematici. Visita dei grafi. Problemi di flusso di costo minimo e problemi di potenziali. Soluzioni di base ed alberi. Visite anticipate e posticipate degli alberi. Integralità delle soluzioni di base. I costi ridotti. Teorema di Bellman. Simplesso per flussi: cambio di base ed aggiornamento del flusso. Il problema dell'albero dei cammini minimi: formulazioni e proprietà. Algoritmo del simplesso per cammini. Algoritmo di Dijkstra: correttezza e complessità. Il problema del flusso massimo: formulazioni e proprietà. Teorema del "flusso massimo-taglio minimo". Algoritmo di Ford e Fulkerson: correttezza.
PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA: Formulazioni di problemi tramite variabili intere (zaino, commesso viaggiatore), modelli matematici. Proprietà di unimodularità. Valutazioni superiori ed inferiori. Il metodo del "Branch and Bound". Regole di visita implicita. I tagli di Gomory.
PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA:
Formulazioni di problemi: carico fisso, vincoli disgiuntivi, variabile a valori prefissati, unione di insiemi, partizione, copertura, riempimento. Teorema di equivalenza tra PL e PLI. La teoria delle disuguaglianze valide: arrotondamento intero, disuguaglianze disgiuntive, disuguaglianze superadditive. Combinatorica poliedrale: il politopo dell'accoppiamento perfetto, il politopo del ricoprimento per archi, il politopo dell'assegnamento. Il 1 teorema di Edmonds. Teoria della dualità nella PLI: teorema di dualità debole per accoppiamento. Teorema di Konig-Egervary. Il 2 teorema di Edmonds.
PROGRAMMAZIONE NONLINEARE:
Caratteristiche generali: problemi vincolati e non vincolati. Metodi di convergenza locale o globale. Metodo di discesa, metodo del gradiente. Ricerca esatta ed inesatta. Regole di Armijo-Goldstein. Teorema di Wolfe. Teorema di convergenza globale. Tecnica del "backtracking". Metodi per la programmazione nonlineare vincolata. Penalizzazione esatta e asintotica. Il teorema di Courant. Lagrangiane aumentate. Teorema di convergenza globale. Il metodo dei moltiplicatori. Lemma astratto di convergenza per metodi di PNL. I metodi di linearizzazione. Il metodo di Frank-Wolfe: teorema di convergenza globale. Cenni di ottimizzazione nondifferenziabile.
PROBLEMI E MODELLI
Il problema delle scorte: il modello del lotto economico con o senza "rottura". La teoria dei giochi: strategie pure e miste. Il teorema di Von Neumann. Il P.E.R.T.: tempi minimi, massimi, ritardi. Il problema delle file di attesa. Il sistema di equazioni differenziali di Kolmogorov. Risoluzione in alcuni casi particolari. Proprietà applicative della distribuzione esponenziale.
È un corso di base sull'inferenza statistica, che richiede come prerequisito un corso semestrale di Calcolo delle Probabilità.
1. Generalità sui processi stocastici.
Applicazione: Funzione di rischio e tasso di guasto in studi di affidabilità.
2. Integrale stocastico.
Applicazione: processi autoregressivi di ordine 1; verosimiglianza asintotica.
3. Prodotto integrale.
Applicazione: Teoremi per la convergenza stabile di stimatori di massima verosimiglianza; stimatori di Kaplan - Meier per l'analisi dei dati di sopravvivenza.
4. Metodo delta funzionale.
Applicazione: Stimatori jackknife per la riduzione della distorsione; varianza jackknife.
Il corso è diviso in due moduli, largamente indipendenti.
Nel primo modulo si studieranno le Coniche di Apollonio dedicando particolare attenzione a quegli aspetti che la critica moderna ha voluto vedere come "precorrimenti" della geometria proiettiva. Dopo un'introduzione di carattere generale sulle Coniche, si affronterà più da vicino lo studio del III libro analizzando anche ciò che Pappo dice al riguardo.
Nel secondo modulo si prenderà in esame la nascita delle tecniche prospettiche e il loro legame con le nuove concezioni geometriche che il recupero dei testi matematici antichi permisero nel corso del Rinascimento e in particolare nel Cinquecento. Si cercherà di valutare il rapporto fra queste tecniche e gli aspetti dellla teorie dele curve apolloniana con particolare riferimento all'opera di Guidobaldo Dal Monte e G. Desargues.
Non sono richiesti particolari prerequisiti, salvo l'interesse verso la ricerca storica e l'analisi critica di testi matematici.
Scopo del corso è fornire i concetti di base per "capire" un linguaggio di programmazione e una sua particolare realizzazione, al fine di usarne coscientemente caratteristiche e strutture e di valutarne l'adeguatezza ad una particolare area di applicazione. A tale scopo è cruciale dare una descrizione matematica dei linguaggi di programmazione, ovvero definire la loro semantica. Nel corso verrano presentati e confrontati tra loro i modelli semantici più diffusi, cioè quello operazionale e quello denotazionale.
Testo di riferimento:
Testi di consultazione:
Obiettivo
Il corso intende fare una panoramica delle proprietà classiche delle soluzioni delle seguenti equazioni differenziali alle derivate parziali: equazione del trasporto, equazione di Laplace, equazione del calore, equazione delle onde. Verranno studiate anche le prime proprietà delle soluzioni delle equazioni non lineari del prim'ordine, in particolare le equazioni di Hamilton-Jacobi e le leggi di conservazione. Nel corso saranno illustrati parecchi esempi.
Durata
Il corso avrà una durata di circa 30-40 ore (a partire dal 19 ottobre).
Orario
Da concordare con gli studenti sulla base delle esigenze reciproche in una riunione che verrà convocata la settimana 19-25 ottobre. Indicativamente saranno svolte lezioni di due ore, almeno una volta la settimana. Fisseremo due orari in modo da avere a disposizione un orario di recupero.
Testi di riferimento
Il testo base di riferimento sarà il libro: Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society, 1998.
Prerequisiti
Sostanzialmente Analisi I e II. In ogni caso si terrà conto delle esigenze dell'uditorio
Programma
Formule di rappresentazione per l'equazione del trasporto.
Formule di rappresentazione per l'equazione di Laplace.
Soluzione fondamentale.
Formule della media.
Qualche proprietà delle funzioni armoniche.
Funzione di Green.
Equazione del calore.
Formula della media.
Proprietà delle soluzioni.
Metodi dell'energia.
Equazione delle onde.
Principio di Duhamel.
Soluzioni con l'uso delle medie sferiche.
Metodi dell'energia.
Equazioni non lineari del prim'ordine.
Metodo delle caratteristiche.
Soluzioni locali. Introduzione alle equazioni di Hamilton-Jacobi.
Formula di Hopf. Introduzione alle leggi di conservazione.
Shocks.
Formula di Lax-Oleinik.
Unicità.
Obiettivo
Il corso intende fare una panoramica degli argomenti classici di teoria del controllo ottimale (con particolare riferimento al principio del massimo di Pontryagin e al metodo della programmazione dinamica di Bellman) e di alcune applicazioni economiche di tale teoria. Si partirà dallo studio di alcuni problemi economici (controllo delle variabili macroeconomiche, crescita del PIL, investimento ottimale) come esempi chiave.
Durata
Il corso avrà una durata di circa 25-30 ore (dal 22 Febbraio al 21 Maggio).
Orario
Da concordare con gli studenti sulla base delle esigenze
reciproche in una riunione che verrà convocata per metà febbraio.
Indicativamente saranno svolte lezioni di due ore una volta la settimana
verso il finesettimana.
Fisseremo due orari in modo da avere a disposizione un
orario di recupero.
Testi di riferimento
Il testo base di riferimento sarà il libro: Zabczyk Mathematical Control Theory: an Introduction Birkhauser, 1992.
Altri testi che potranno risultare utili:
Fleming - Rishel Deterministic and Stochastic Control Theory; Fleming - Soner Controlled Markov processes and viscosity solutions Springer - Verlag, 1993; e altri che verranno comunicati durante il corso.
Prerequisiti
Sostanzialmente Analisi I e II. Si useranno anche varie
cose di Algebra Lineare e qualcosa di Analisi III.
In ogni caso si terrà conto delle esigenze dell'uditorio.
Programma
N.B. Il programma è indicativo;sarà possibile fare variazioni a seconda delle esigenze di coloro che seguono il corso.
Introduzione alla teoria dei controlli; esempi chiave di applicazioni economiche (controllo delle variabili macroeconomiche, crescita del PIL, investimento ottimale) e non.
Elementi della teoria classica dei controlli (controllabilità,osservabilità, stabilità e stabilizzabilità, realizzazione) ed esempi.
Teoria del controllo ottimale: problemi di esistenza, il principio del massimo di Pontryagin, il metodo della programmazione dinamica di Bellman, l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman: esempi.
Controllo stocastico e controllo di equazioni alle derivate parziali: qualche idea di fondo e qualche esempio di applicazione.
Geometria Poliedrale e CW complessi.
Fibrati.
Omologia e Coomologia simpliciali e singolari.
Teoria dell'omotopia.
Topologia della dimensione bassa.
Nodi, curve si superficie e varietà di dimensione
3 e 4.
Geometria e topologia delle curve algebriche reali.
Geometria dei Poliedri Convessi.
2. N. Jacobson, Lie Algebras, Wiley Interscience.
3. V.S. Varadarajan, Lie Groups, Lie Algebras and their Representations, Springer Verlag.
4. W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, Springer Verlag.
5. D.P. Zelobenko, Compact Lie Groups and their Representations, Am. Math. Soc., Providence, Rhode Island.