Programma di Processi Stocastici
Prof. G. Letta
 

• Primo e secondo lemma di Borel-Cantelli
• Uniforme integrabilità: definizione; proprietà elementari; teorema di Vitali.
• Successioni stazionarie: tribú degli eventi invarianti; teorema ergodico (o legge dei grandi numeri per successioni stazionarie); caso particolare dell'indipendenza (legge forte di Kolmogorov).
• Martingale discrete: generalità sui processi; lemma di misurabilità di Doob; proprietà della speranza condizionale; martingale e sottomartingale; esempi elementari; processi prevedibili; trasformazione di uàna martingala secondo Burkholder; tempi d'arresto; teorema d'arresto; interpretazione nell'ambito delle scommesse; diseguaglianza di Doob sul numero degli attraversamenti; convergenza quasi certa per una sottomartingala limitata in L¹; compensatore prevedibile di un processo; compensatore del quadrato di una martingala; convergenza di serie di variabili aleatorie indipendenti; leggi dei grandi numeri; problema dei segni aleatori; martingale con incrementi maggiorati in L¹; estensione del secondo lemma di Borel-Cantelli; lemma di Wald; rovina del giocatore; martingale chiuse e loro caratterizzazione mediante l'uniforme integrabilità dimostrazione probabilistica del teorema di Radon-Nikodym.
• Nuclei: nozione di nucleo; trasformazione di una funzione o di una misura mediante un nucleo; composizione di nuclei; le nozioni di misura definita da una densità e di misura immagine col linguaggio dei nuclei; teoremi delle classi monotone; loro applicazione al concetto di nucleo e al principio per la coincidenza di due misure; le leggi condizionali col linguaggio dei nuclei; schema di Bayes; la misura prodotto e il teorema di Fubini col linguaggio dei nuclei; enunciato del teorema di Ionescu-Tulcea.
• Catene di Markov: definizione di catena di Markov; realizzazione canonica di un nucleo markoviano; forma forte della proprietà di Markov; funzioni invarianti e funzioni eccessive; legami col concetto di martingala; caso di uno spazio degli stati discreto; comunicazione tra stati; stati transitori e stati ricorrenti; caso irriducibile; esistenza di misure invarianti.
• Il teorema di Ionescu-Tulcea: dimostrazione; applicazione alla costruzione del prodotto di una famiglia infinita di misure di probabilità.
• Esistenza di leggi condizionali: il teorema di Irina; casi topologici di sua applicabilità spazi misurabili ``regolari"; sistemi proiettivi di leggi e loro limiti.
• Moto browniano: processi additivi; lemma di continuità di Kolmogorov; costruzione di un moto browniano; misura di Wiener; proprietà delle traiettorie.

Saranno disponibili note dattiloscritte fornite dal docente. Il seguente libro potrà servire come testo di  consultazione:
 

N. Pintacuda: Probabilità Decibel-Zanichelli (1994)