Prof. Ferruccio Colombini
 

1) Misura di Lebesgue. Insieme di Cantor. Integrale di Lebesgue. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Misure prodotto, teorema di Fubini-Tonelli. Teoremi di Severini-Egoroff e di Lusin. Misure di Radon.

2) Spazi normati e di Banach. Spazi uniformemente convessi. Applicazioni lineari e continue tra spazi normati. Teorema di Hahn-Banach: forma analitica e forme geometriche. Il teorema di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso. Duale e biduale.Topologia debole e debole*. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi riflessivi, spazi separabili.

3) Spazi di Hilbert. Proiezioni ortogonali. Il teorema di rappresentazione di Riesz. Sistemi ortonormali. Ortonormalizzazione di Graham-Schmidt. Serie di Fourier.

4)Spazi L-p. Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Riflessività separabilità. Convoluzione e regolarizzazione.Criteri di compattezza in L-p.

5)Funzioni di una variabile assolutamente continue e funzioni a variazione totale limitata. Spazi di Sobolev in R-n. Disuguaglianze di Sobolev. Regolarizzazione per convoluzione. Formulazione variazionale di alcuni problemi ai limiti ellittici.

6) Spazi di Frechet. Spazi C-k e C-infinito. Le distribuzioni. Ordine di una distribuzione. Derivate.

7) Trasformata di Fourier su L-1. Trasformata di Fourier e derivazione. Lo spazio di Schwartz. Trasformata di Fourier e convoluzione. Trasformata di Fourier su L-2.

8)Equazioni a derivate parziali. Applicazioni della trasformata di Fourier all'equazione di Laplace e all'equazione delle onde. Il problema di Cauchy per equazioni a derivate parziali: teorema di Cauchy-Kowalewski e teorema di Holmgren.