Groups, rings, fields and polynomials.
Proprietà dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e principio di induzione. Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni, principio di inclusione-esclusione*. Numeri interi: divisibilità, teorema di fattorizzazione unica, massimo comune divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide. Numeri primi. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. Congruenze. Teorema cinese del resto. Equazioni e sistemi di congruenze ed equazioni diofantee di primo grado. %Numeri complessi: operazioni fondamentali e calcolo delle radici ennesime. Polinomi a coefficienti razionali, reali e complessi, e nei campi con un numero primo di elementi. Proprietà del grado e divisione euclidea. Teorema di Ruffini. Polinomi irriducibili e fattorizzazione unica.
Gruppi e sottogruppi. Classi laterali e teroema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Omomorfismi e isomorfismi. Primo teorema di omomorfismo per gruppi. Corrispondenza fra sottogruppi indotta da un omomorfismo. Classificazione dei gruppi ciclici. Il gruppo degli automorfismi. Automorfismi interni. Azione di un gruppo su un insieme. Classi di coniugio. Formula delle classi, applicazioni ai p-gruppi e teorema di Cauchy. Gruppi di permutazioni. Classi di coniugio nel gruppo di permutazioni su n elementi. Prodotti diretti di gruppi. Teorema di struttura per i gruppi abeliani finiti*.
Anelli e sottoanelli, corpi e campi. Anelli commutativi,
domini d'integrità e divisori dello zero. Il gruppo delle unità
di un anello. Ideali e anelli quoziente. Ideale generato da un sottoinsieme.
Operazioni sugli ideali. Omomorfismi tra anelli e teorema di omomorfismo.
Teorema cinese per gli anelli. Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità.
%(Localizzazione per un sottoinsieme moltiplicativamente
chiuso).
Anelli euclidei, anelli a ideali principali e anelli
a fattorizzazione unica. L'anello dei polinomi. Lemma di Gauss e fattorizzazione
unica dei polinomi a coefficienti in un anello a fattorizzazione unica.
Metodi di fattorizzazione.
Numeri algebrici e numeri trascendenti. Estensioni algebriche ed estensioni finite. Estensioni semplici. Esistenza di una chiusura algebrica di un campo*. Teorema fondamentale dell'algebra*. Radici multiple di un polinomio. Immersioni di un'estensione algebrica in una chiusura algebrica. Campo di spezzamento di un polinomio ed estensioni normali. Gruppo di Galois.
Teorema dell'elemento primitivo. Corrispondenza di Galois. Campi finiti. Calcolo del campo di spezzamento di polinomi di grado basso e del polinomio X^n-a.
NOTE: 1. Dei teoremi contrassegnati con un asterisco non
\`e richiesta la dimostrazione.
TESTI DI RIFERIMENTO:
B. Scimemi, Algebretta, Ed. Decibel (Zanichelli)
N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
S. Lang, Undergraduate Algebra (Second Ed.), Springer-Verlag.