Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Matrice di un endomorfismo in una fissata base. Relazione tra le matrici associate ad un endomorfismo in basi diverse. Similitudine fra matrici. Endomorfismi a cui è associata la stessa matrice in ogni base. Rango, determinante e traccia come invarianti per similitudine e quindi proprietà intrinseche di un endomorfismo.

Triangolazione e diagonalizzazione. Autovalori e autovettori. Autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Endomorfismi triangolabili; basi a bandiera. Endomorfismi diagonalizzabili; basi di autovettori. Condizioni necessarie e sufficienti per la triangolabilità e per la diagonalizzabilità. Endomorfismi simultaneamente diagonalizzabili.

Forma canonica di Jordan. Decomposizione di Fitting. Forma di Jordan per un endomorfismo nilpotente. Lemmi di commutatività. Autospazi generalizzati. Forma di Jordan per un endomorfismo con tutti gli autovalori nel campo. Unicità della forma di Jordan. Forma di Jordan reale.

Forme bilineari e hermitiane. Forme bilineari e hermitiane. Matrice associata a una forma bilineare; relazione di congruenza fra matrici. Ortogonalità fra vettori; basi ortogonali e ortonormali. Ortogonale di un sottospazio. Nullspazio e rango di un prodotto scalare/hermitiano. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma associata a un prodotto scalare/hermitiano definito positivo. Spazi vettoriali metrici. Isometrie. Endomorfismi ortogonali e unitari; matrici ortogonali e unitarie. Relazione tra forme bilineari e dualità. Aggiunta di un'applicazione lineare. Endomorfismi autoaggiunti: operatori simmetrici e hermitiani. Diagonalizzazione di una forma bilineare simmetrica. Classificazione delle forme bilineari simmetriche su R e su C: teorema di Sylvester, segnatura. Forme quadratiche. Criterio di positività per una forma quadratica.

Teorema spettrale. Esistenza di una base ortonormale di autovettori per un endomorfismo autoaggiunto di un R-spazio vettoriale. caso hermitiano. Diagonalizzabilità di una matrice simmetrica con una matrice ortogonale. Classificazione affine delle quadriche in Rⁿ e in Cⁿ .

Nota. Per il materiale propedeutico il corso fa riferimento al corso di Elementi di Geometria Analitica.