Dati registro
insegnamento: Analisi Matematica 1
codice: 561AA
corso di studi: Matematica (MAT-L)
anno accademico: 2022-2023
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti,
Alessandra Pluda
totale ore: 126 (lezioni:
73 ore; esercitazioni: 53 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 83
(lezioni: 63 ore; esercitazioni: 20 ore)
totale ore Alessandra Pluda: 43
(lezioni: 10 ore; esercitazioni: 33 ore)
Lezioni
- Mar 27/09/2022 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Lezione introduttiva: descrizione del programma del
corso, struttura degli esami, strumenti (lezioni, ricevimenti,
uso del Team, materiale didattico).
- Mar 27/09/2022 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Svolgimento in autonomia di un test di verifica
articolato su 8 domande scritte. Correzione parziale del test di
verifica.
- Mer 28/09/2022 16:00-18:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso delle notazioni (logaritmi, angoli) e delle
nozioni di base: potenze, funzioni trigonometriche.
Grafici delle funzioni elementari: potenze, esponenziali,
logaritmo, seno, coseno, tangente.
Elenco delle operazioni sui grafici da sapere fare.
- Lun 03/10/2022 14:00-15:50 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Ripasso: descrivere in termini di disuguaglianze
insiemi del piano rappresentati graficamente.
Operazioni sui grafici: f(x+a), f(x)+a, f(-x),-f(x), |f(x)|,
f(|x|).
Esercizi sulle operazioni sui grafici. Esercizio: disegnare il
grafico della funzione 1/f dato il grafico di f. Esercizio:
determinare al variare di a il numero di soluzioni
dell'equazione f(x)=a.
- Mar 04/10/2022 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Notazione: insiemi di numeri (naturali, interi,
razionali, etc.); R^2, R^3, R^d; intervalli.
Definizione di funzione f da X in Y (di solito sottoinsiemi di
R). Funzioni date da formule e non; insieme di definizione di
una formula. Funzioni iniettive, surgettive e bigettive (e
interpretazione grafica di queste nozioni). Definizione di
inversa. L'esistenza dell'inversa equivale alla bigettività.
- Mer 05/10/2022 16:00-17:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Esempi di funzioni inverse (radici, logaritmo).
Grafico della funzione inversa.
Definizione delle funzioni trigonometriche inverse. Coordinate
polari.
- Mer 05/10/2022 17:00-18:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi su grafici di funzioni e sul calcolo delle
inverse.
- Lun 10/10/2022 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di funzione continua (da X contenuto in
R a R). Le funzioni elementari (tranne la parte intera) sono
continue sull'insieme di definizione (senza dimostrazione);
somme, prodotti e composizioni di funzioni continue sono
continue (senza dimostrazione).
Limiti per funzioni definite su un'unione finita di intervalli
disgiunti (sono state date solo alcune definizioni—le altre sono
state lasciate per esercizio).
- Mar 11/10/2022 08:00-09:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Osservazioni sui limiti di funzioni: unicità; il
limite può essere finito, + o - infinito, o non esistere
(esempi). Quando ha senso parlare di limite? Definizione di
limite destro e sinistro. Regole "di buon senso" per il calcolo
dei limiti: cambio di variabile.
- Mar 11/10/2022 10:15-11:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su funzioni iniettive, suriettive, inverse.
- Mer 12/10/2022 16:00-17:45 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Regole "di buon senso" per il calcolo di limiti elementari:
limite della somma, del prodotto e del reciproco (senza
dimostrazione). Forme indeterminate. Teorema del confronto
(dimostrazione per esercizio). Esercizi sul calcolo dei limiti.
- Lun 17/10/2022 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di derivata di una funzione.
Un'interpretazione geometrica: pendenza della retta tangente al
grafico. Un'interpretazione fisica: definizione della velocità
istantanea (scalare) di un punto in movimento a partire dalla
distanza percorsa.
Calcolo delle derivate usando le derivate delle funzioni
elementari e le regole di derivazione.
- Lun 17/10/2022 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sul calcolo della derivata a partire dalla
definizione. Esercizi sul calcolo delle derivate usando le
derivate delle funzioni elementari e le regole di derivazione.
- Mar 18/10/2022 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Dimostrazione di tutte le formule per le derivate
delle funzioni elementari e di tutte le regole di derivazione
(la dimostrazione che (e^x)'=e^x è stata fatta assumendo la
caratterizzazione di e tramite il limite del rapporto
incrementale in 0; la definizione precisa di "e" verrà data
nella seconda parte del corso; le dimostrazioni delle formule
per la derivata della funzione inversa e della funzione composta
sono incomplete e verranno completate nella seconda parte del
corso).
- Mer 19/10/2022 16:00-17:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema di de L'Hôpital (con dimostrazione in un
caso particolare: la dimostrazione completa verrà data nella
seconda parte del corso). Esempi di uso, ed esempi in cui non si
può usare.
Nozione di funzione trascurabile rispetto ad un altra. Confronto
delle funzioni elementari a +infinito.
- Mer 19/10/2022 17:10-18:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su: retta tangente al grafico di una
funzione, funzioni definite a tratti continue e derivabili.
- Lun 24/10/2022 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esempi di funzioni trascurabili per x che tende a
zero. Esempi di utilizzo della trascurabilità nei limiti.
Definizione di asintotica equivalenza. Definizione di parte
principale. Esempi. Proprietà dell'equivalenza asintotica e
principio di sostituzione nei limiti. Esempi di utilizzo
dell'equivalenza asintotica nei limiti.
- Mar 25/10/2022 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di "o grande".
Definizione della derivata k-esima di una funzione f, del
polinomio di Taylor di f di ordine d in 0 (P_d) e del resto R_d.
Teorema di Taylor (formule di Peano del resto): R_d(x)=o(x^d);
R_d(x)=O(x^{d+1}).
Il polinomio di Taylor è l'unico polinomio P di grado d tale che
f(x) = P(x) + o(x^d).
- Mer 26/10/2022 16:00-17:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Sviluppi di Taylor fondamentali: e^x, sin(x),
cos(x), (1+x)^a, log(1+x) svolgendo i calcoli necessari.
Polinomi di Taylor delle funzioni pari/dispari. La derivata del
polinomio di Taylor è il polinomio di Taylor della derivata.
Applicazione: dimostrazione della formula del binomio di Newton.
Cenno alle future applicazioni: formula per "e" come somma
infinita, definizione come di e^z con z complesso come somma
infinita, dimostrazione della formula e^{ix} = cos(x) + i
sin(x).
- Mer 26/10/2022 17:05-18:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sulla trascurabilità (mettere in ordine le
funzioni date rispetto a << per x che tende a zero/per x
che tende all'infinito).
Dato il comportamento all'infinito di f, ricavare informazioni
sul comportamento all'infinito dell'inversa di f.
- Lun 31/10/2022 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Massimo e minimo; estremo superiore ed inferiore
(solo per insiemi dati da un'unione finita di intervalli).
Massimo/minimo ed estremo superiore/inferiore dei valori di una
funzione; punti di massimo e di minimo; punti di massimo e di
minimo locale. Teorema di Weierstrass (la dimostrazione verrà
data nella seconda parte del corso): una funzione continua su un
intervallo chiuso e limitato ammette massimo e minimo.
Lemma base per la ricerca dei punti di massimo e minimo: in un
punto di massimo o minimo (locale) interno al dominio la
derivata è nulla. Procedura per la ricerca di massimo e minimo
di una funzione su un intervallo chiuso e limitato; procedura
per una funzione definita su un'unione finita di intervalli
(aperti/chiusi, illimitati/illimitati).
Criterio per decidere se un punto critico è un punto di massimo
o minimo locale.
- Mer 02/11/2022 16:05-17:40 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sugli sviluppi di Taylor.
- Lun 07/11/2022 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo delle parti principali.
- Mar 08/11/2022 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di funzione crescente (strettamente o
meno) e di funzione decrescente; caratterizzazione in termini
del segno della derivata (dimostrazione parziale).
Definizione di insieme convesso (nel piano e in R^d).
Definizione di funzione convessa / concava in termini di
convessità del sopra-grafico / sotto-grafico. Caratterizzazione
in termini di disuguaglianze. Caratterizzazione in termini di
monotonia della derivata e quindi di segno della derivata
seconda (si dimostra solo che f convessa implica f' crescente).
- Mer 09/11/2022 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Dimostrazione avanzata dalla lezione precedente (f
convessa implica f' crescente).
Esercizi su: funzioni crescenti, decrescenti, convesse e
concave; dimostrazione di disuguaglianze, determinazione del
numero di soluzioni di un'equazione.
- Lun 14/11/2022 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di integrale (definito) di una funzione
(come area). Approssimazione dell'integrale con somme finite.
Definizione di primitiva (di una funzione su un intervallo) e
teorema fondamentale del calcolo integrale. Altri
interpretazioni dell'integrale: distanza percorsa da un punto in
movimento, lavoro di una forza su un punto in movimento.
- Mar 15/11/2022 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Calcolo di integrali e primitive usando un elenco
di primitive di funzioni elementari e alcune "regole": integrale
della somma di due funzioni, formula di integrazione per parti,
formula di cambio di variabile.
- Mar 15/11/2022 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sul calcolo di integrali e primitive.
- Mer 16/11/2022 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi su: calcolo di integrali e primitive,
disegno del grafico di funzioni e affini (numero di soluzioni di
un'equazione, comportamento delle soluzioni al variare di un
parametro), problemi di minimo.
- Lun 21/11/2022 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su legge oraria, velocità, distanza
percorsa, traiettoria. Seno e coseno iperbolico: definizione,
proprietà elementari, utilizzo negli integrali.
- Mar 22/11/2022 09:15-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Primitive di funzioni razionali (rapporto di
polinomi).
- Mer 23/11/2022 16:00-18:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Applicazioni dell'integrale: l'area di una figura
piana è l'integrale delle lunghezze delle sezioni rette, il
volume di un solido è l'integrale delle aree delle sezioni
piane. Volume della sfera e di un cono qualunque. Formule per il
volume dei solidi di rotazione.
- Lun 28/11/2022 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Equazioni differenziali ordinarie: esempi tratti
dalla fisica (movimento di un corpo in un campo di forza,
equazione di decadimento). Equazioni differenziali del primo
ordine: forma normale, teorema di esistenza ed unicità
(enunciato in modo informale e non dimostrato). Equazioni a
variabili separabili; equazioni lineari del primo ordine.
- Mar 29/11/2022 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sul calcolo dei volumi (di solidi di
rotazione e non). Esercizi sulle equazioni a variabili
separabili (inclusi esempi di non unicità).
- Mer 30/11/2022 16:10-18:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Equazioni differenziali del second'ordine:
enunciato (informale) del teorema di esistenza e unicità per il
problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del
second'ordine: l'insieme delle soluzioni di un'equazione
omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione 2. Risoluzione
delle equazioni omogenee a coefficienti costanti.
- Lun 05/12/2022 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Risoluzione delle equazioni differenziali lineari
del secondo ordine a coefficienti costanti e con termine noto di
tipo speciale (polinomio per esponenziale reale o complesso).
- Lun 05/12/2022 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sulla risoluzione delle equazioni
differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti.
- Mar 06/12/2022 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Equazione del pendolo e sua linearizzazione
(equazione dell'oscillatore armonico); equazione del pendolo
smorzato e sua linearizzazione. Risoluzione esplicita delle
equazioni linearizzate: la frequenza di oscillazione è costante
nel tempo e non dipende dai dati iniziali (frequenza propria del
sistema). Equazione dell'oscillatore armonico forzato; fenomeno
della risonanza.
- Mar 06/12/2022 10:15-11:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti
costanti: due metodi risolutivi a confronto.
- Mer 07/12/2022 15:30-17:30 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi vari sulle equazioni differenziali lineari del
second'ordine.
- Lun 12/12/2022 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Nozioni di base di teoria degli insiemi: unione,
intersezione, prodotto, insieme delle parti (P(A)) di un insieme
A; definizione formale di funzione come grafico.
Principali insiemi di numeri: naturali (N), interi (Z),
razionali (Q), algebrici, reali (R), complessi (C).
Rappresentazione dei numeri reali tramite l'espansione decimale.
Caratterizzazione dei numeri razionali come numeri periodici
(con traccia di dimostrazione).
Insiemi finiti e infiniti.
- Mar 13/12/2022 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di insiemi equipotenti, cioè con la
stessa cardinalità (|A|=|B|). Un sottoinsieme proprio di un
insieme infinito può avere la stessa cardinalità dell'insieme di
partenza.
Insiemi numerabili. Esempi (con dimostrazione): Z, Z^2, Q,
{numeri algebrici}. Un'unione numerabile di insiemi numerabili è
numerabile, un prodotto finito di insiemi numerabili è
numerabile.
Esempi di insiemi non numerabili (con dimostrazione): R e P(N)
(parti di N).
- Mer 14/12/2022 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Definizione di ordine delle cardinalità (|A| \le
|B|) e caratterizzazioni. Teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein
(senza dimostrazione). Esercizio: |R|=|P(N)|.
Derivazione di alcune funzioni definite da integrali. Esercizio:
disegnare il grafico della funzione f(x) data dall'integrale di
exp(-t^2) da 0 a x.
Esercizi sul calcolo dei limiti e parti principali e sulle
equazioni differenziali ordinarie.
- Mar 28/02/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Completezza dei numeri reali.
Modello corrente dei numeri reali: numeri con espansione
decimale infinita (si nota che l'ordinamento è ben definito, ma
non le operazioni...). Numeri reali estesi.
Definizione di sup e inf di un insieme in R (o in R esteso);
esistenza di sup e inf.
Preparazione per la caratterizzazione astratta dei numeri reali:
insiemi ordinati (totalmente e parzialmente); assioma di
completezza e collegamento con l'esistenza di sup e inf. Nozione
di campo (già vista in altri corsi) e di campo ordinato. Non è
possibile ordinare i numeri complessi.
- Gio 02/03/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Caratterizzazione astratta dei numeri reali: un
campo ordinato e completo è isomorfo a R.
Successioni di numeri reali: definizione e notazione; esempi;
definizione di sottosuccessione.
Definizione di limite di una successione (sia classica, sia
usando la nozione di intorno per punti di R esteso).
- Ven 03/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Fatti elementari sui limiti di successioni: unicità
del limite, convergenza delle sottosuccessioni; esempio di
successione che non ammette limite.
Successioni monotone. Teorema: le successioni monotone ammettono
limite.
Successioni di Cauchy. Teorema: una successione ha limite finito
se e solo se è di Cauchy. (Lemma importante: teorema del
confronto per successioni.)
- Mar 07/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su cardinalità ed insiemi numerabili.
- Gio 09/03/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Completamento della dimostrazione della convergenza
delle successioni di Cauchy.
Definizione di liminf e limsup di una successione; proprietà
elementari ed esempi.
Teorema di Bolzano-Weierstrass (ogni successione in R esteso
ammette una sottosuccessione convergente ad un limite in R
esteso).
- Ven 10/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione non tenuta:
Giovanni Alberti
Lezione non tenuta per assenza dei docenti.
- Mar 14/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi di tipo teorico su sup, inf e successioni.
- Gio 16/03/2023 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Successioni definite per ricorrenza. Successioni
che soddisfano formule ricorsive (equazioni alle differenze)
lineari del primo ordine, autonome, omogenee: formula del
termine n-esimo e comportamento. Equazioni alle differenze
lineari del primo ordine, autonome, non omogenee: formula del
termine n-esimo data da soluzione omogenea + soluzione
particolare. Equazioni alle differenze lineari del secondo
ordine, autonome, omogenee: formula risolutiva. Esempio:
successione di Fibonacci.
- Ven 17/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
L'insieme delle successioni che soddisfano un'equazione
alle differenze lineare di ordine k è uno spazio vettoriale di
dimensione k. Equazioni alle differenze motivate come
approssimazione delle equazioni differenziali ordinare.
Successioni che soddisfano ricorrenze non lineari:
visualizzazione dei termini della successione, algoritmo di
Erone, esempi di successioni monotone e esempi di uso di
sottosuccessione dei termini pari e dispari.
- Mar 21/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di continuità (in un punto) per una
funzione definita su un sottoinsieme di R (esteso) e a valori in
R (esteso). Definizione di punto di accumulazione di un insieme.
Definizione di limite di una funzione in un punto di
accumulazione del dominio. Relazione tra limiti di funzioni e
limiti di successioni.
- Gio 23/03/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Collegamenti tra limiti e continuità.
Proprietà di base delle funzioni continue (e dei limiti):
continuità della funzione composta (formula di cambio di
variabile nei limiti); continuità della somma e del prodotto di
due funzioni continue (il limite della somma di due funzioni è
la somma dei limiti; il limite del prodotto è il prodotto dei
limiti). Sottoprodotto della dimostrazione della continuità
della somma: propagazione dell'errore nella somma.
- Ven 24/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Continuità del prodotto di due funzioni continue;
sottoprodotto della dimostrazione: propagazione dell'errore nel
prodotto.
Cenno: intorni destri e sinistri; limiti destri e sinistri;
continuità a destra e sinistra. Le funzioni monotone ammettono
limite destro e sinistro in ogni punto.
Teorema di esistenza degli zeri , prima dimostrazione.
- Mar 28/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Seconda dimostrazione del teorema di esistenza
degli zeri (per bisezione). Sottoprodotto: algoritmo per il
calcolo (approssimato) degli zeri. Teorema dei valori intermedi.
Teorema di Weierstrass (esistenza dei punti di massimo e
minimo); giustificazione dell'algoritmo per la determinazione
dei punti di massimo e minimo visto al primo semestre.
Alcuni esercizi sul teorema di esistenza degli zeri.
- Gio 30/03/2023 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi di applicazione del teorema degli zeri e
dell'algoritmo di bisezione. Esercizi sulle funzioni continue.
- Ven 31/03/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Derivata di una funzione, e definizioni collegate:
funzioni derivabili (in un punto o in tutto il dominio),
derivate di ordine k, funzioni C^k.
Risultati elementari: caratterizzazione della derivabilità in
termini di esistenza dello sviluppo di Taylor di ordine 1;
derivata della somma, del prodotto e della composizione di due
funzioni continue; derivata della funzione inversa. La derivata
si annulla nei punti di massimo/minimo locale interni al
dominio.
- Mar 04/04/2023 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange.
- Mar 04/04/2023 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su funzioni continue
- Mar 18/04/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Applicazioni del Teorema di Cauchy: dimostrazioni
di alcuni enunciati già visti nel primo semestre.
Caratterizzazione delle funzioni monotone in termini di segno
della derivata.
Caratterizzazione delle funzioni convesse/concave in termini di
monotonia della derivata.
Teorema di de L'Hôpital (dimostrazione dettagliata solo nel caso
0/0, l'altro caso viene solo accennato).
Lemma utile: l'esistenza del limite della derivata implica
l'esistenza della derivata.
- Gio 20/04/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema dello sviluppo di Taylor: espressione del
resto d-esimo come (a) o(x^d); (b) O(x^{d+1}); (c) formula di
Lagrange; (d) formula integrale. Dimostrazione della formula in
(d), derivazione di (c), (b) ed (a) da (d), a cascata, Cenno
alla dimostrazione di (a), (b) e (c) sotto ipotesi ottimali.
Collegamento tra la natura dei punti critici (minimi locali
oppure massimi locali) e il segno della derivata seconda.
- Ven 21/04/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Teoria dell'integrazione secondo Riemann.
Definizione di partizione di un intervallo, partizione
equi-spaziata, parametro di finezza di una partizione, quando
una partizione "è più fine" di un'altra.
Definizione di somma di Riemann inferiore/superiore, proprietà
delle somme di Riemann. Definizione di integrale di Riemann
inferiore/superiore, di funzione integrabile e di integrale
(secondo Riemann).
Funzioni uniformemente continue: definizione, esempi e
controesempi. Le funzioni continue su un intervallo chiuso [a,b]
sono uniformemente continue (con dimostrazione).
- Lun 24/04/2023 14:30-16:30 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Teorema: una funzione continua sull'intervallo [a,b] è
integrabili secondo Riemann.
Approssimazione dell'integrale con somme di Riemann.
Proprietà dell'integrale di Riemann: additività, linearità,
monotonia... (senza dimostrazione).
Primitiva di una funzione continua su un intervallo; due
primitive differiscono per una costante. Teorema fondamentale
del calcolo integrale.
- Gio 27/04/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Integrali impropri semplici: esempi; definizione;
possibili comportamenti.
Determinazione del valore esatto usando una primitiva. Alcuni
esempi, tra cui l'integrale di 1/x^a tra 0 e 1, e tra 1 e
infinito.
Problema: determinazione del comportamento senza conoscere una
primitiva esplicita. Alcuni fatti fondamentali sul comportamento
degli integrali impropri; in particolare se la funzione ha segno
costante i comportamenti ammissibili sono solo due.
- Ven 28/04/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Criteri del confronto per integrali impropri (in
forma asintotica e non).
Esercizi sul calcolo degli integrali impropri a partire dalla
primitiva.
Esercizi sulla determinazione del comportamento degli integrali
impropri senza una primitiva esplicita. Esempio importante:
integrale tra 2 e +infinito di 1/[x^a (log x)^b].
- Mar 02/05/2023 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Criterio della convergenza assoluta per gli integrali
improprio semplice. Esempi. Definizione di integrale improprio
non semplice.
- Mar 02/05/2023 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul comportamento di integrali impropri.
- Gio 04/05/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Serie (o somme infinite). Definizione e possibili
comportamenti. Esempio fondamentale: la serie geometrica.
Studio del comportamento di una serie, fatti base: condizione
necessaria per la convergenza, le serie a termini positivi
ammettono solo due comportamenti, teorema del confronto
serie-integrale.
Criteri di convergenza / non convergenza per serie a termini
positivi: confronto e confronto asintotico (debole e forte).
- Ven 05/05/2023 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sulle serie: esempio di serie telescopica,
uso dei criteri del confronto (e del teorema di confronto
serie-integrale).
- Ven 05/05/2023 12:00-13:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Serie a segno variabile. Risultato fondamentale: la
convergenza assoluta implica la convergenza. Teorema di Cauchy
per le serie a segni alterni; esempio di serie che converge ma
non converge assolutamente.
Stima della coda di una serie con un'integrale. Esercizio:
trovare la somma parziale che approssima la serie di 1/n^2 con
errore inferiore a 0,01.
- Mar 09/05/2023 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sul calcolo del raggio di convergenza di
serie di potenze.
- Mar 09/05/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Criterio del rapporto e criterio della radice
determinare il comportamento di una successioni e di una serie.
Variante. del criterio della radice con il limsup al posto del
limite. Esempi di uso dei due criteri.
Serie di Taylor. Definizione. La serie di Taylor di exp(x)
converge alla funzione per ogni x reale. Le serie di Taylor di
sen(x) e cos(x) convergono alle rispettive funzioni per ogni x
reale (dimostrazione lasciata per esercizio).
Definizione di e come serie di 1/n!; definizione di exp(z) con z
complesso come serie di potenze; verifica dell'identità
exp(ix) = cos(x) + i sin(x).
- Gio 11/05/2023 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Relazione tra criterio del rapporto e criterio
della radice.
Breve excursus sulle successioni e le serie a termini complessi
(incluso il criterio della convergenza assoluta).
Serie di potenze: definizione del raggio di convergenza R e
risultato base (la serie converge per |x| < R e non converge
per |x| > R). Esempi di calcolo del raggio di convergenza.
- Gio 11/05/2023 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sparsi su: calcolo del raggio di
convergenza; calcolo esatto di serie; calcolo di "e" con errore
inferiore a 10^{-3}; e^x come limite di (1+x/n)^n;
rappresentazione di (1+x)^a come serie di Taylor (con dettagli);
rappresentazione di log(1+x) e arctan(x) come serie di Taylor
(accennata); rappresentazione di pigreco/4 come serie; formula
di Stirling per il fattoriale (dimostrazione parziale).
- Ven 12/05/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine
n. Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy
(solo enunciato).
L'insieme delle soluzioni di una ODE lineare omogenea di ordine
n è uno spazio vettoriale di ordine n; costruzione di una base
nel caso a coefficienti costanti.
Interpretazione operatoriale e giustificazione teorica della
costruzione di una base.
Metodo degli annichilatori per risolvere le equazioni lineari a
coefficienti costanti non omogenee.
- Mar 16/05/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su equazioni differenziali lineari di
ordine n a coefficienti costanti.
Esempio di funzione liscia con tutte le derivate uguali a zero
in zero.