Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica 3
codice: 547AA
corso di studi: Matematica (MAT-L e WMA-LM)
anno accademico: 2021-2022 responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti, Maria Stella Gelli
totale ore: 69 (lezioni: 51 ore di cui 6 fuori programma; esercitazioni: 18 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 51 (lezioni: 51 ore)
totale ore Maria Stella Gelli: 18 (esercitazioni: 18 ore)

Lezioni

1. Lun 27/09/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione fuori programma, Giovanni Alberti.
   Presentazione del corso: programma, prerequisiti, modalità dell'esame, strumenti (Teams, pagina web del docente).
   Ripasso di teoria della misura e dell'integrazione (argomento fuori programma). Misure positive su una sigma-algebra, proprietà di base, esempi fondamentali: misura di Lebesgue, misura che conta i punti, delta di Dirac.
2. Mer 29/09/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione fuori programma, Giovanni Alberti.
   Ripasso di teoria dell'integrazione .
   Funzioni e mappe misurabili; definizione di integrale (partendo dalle funzioni semplici positive e arrivando alle funzioni a valori vettoriali), proprietà di base dell'integrale, relazione con l'integrale di Riemann, interpretazione delle serie come integrali rispetto alla misura che conta i punti.
   Teoremi di convergenza: teorema di convergenza monotona (Beppo Levi), lemma di Fatou, teorema di convergenza dominata (Lebesgue). Misure associate ad una densità.
   Teorema di cambio di variabile. Teorema di Fubini-Tonelli.
3. Gio 30/09/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Inizio della teoria degli spazi L^p.
   Disuguaglianza di Jensen, definizione di norma L^p di una funzione, disuguaglianze di Young, Hölder e Minkowski.
4. Lun 04/10/2021 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
   Dimostrazione della crescenza e della numerabile subadditività di una generica misura. Esempi di funzioni misurabili rispetto a Lebesgue ed integrabili. Caratterizzazione per funzioni non negative di avere integrale nullo come proprietà di essere quasi ovunque nulle.
   Disuguaglianze di interpolazione, applicazione alla Hölder generalizzata ad n fattori.
   Cambio di variabile con coordinate "sferiche" ed applicazione alla stima di integrali del tipo 1/|x|^beta con |x| norma euclidea o confrontabile su palle intorno all'origine o sul complementare in R^n.
5. Mer 06/10/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Definizione dello spazio L^p come quoziente dello spazio delle funzioni p-sommabili dotato della seminorma L^p.
   Completezza degli spazi L^p: enunciato e dimostrazione
6. Gio 07/10/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Nozioni di convergenza per successioni di funzioni definite su uno spazio di misura: uniforme, puntuale, puntuale q.o., in L^p, in misura. Relazioni tra queste nozioni: la convergenza puntuale o in L^p implicano la convergenza in misura, la convergenza in misura implica la convergenza puntuale q.o. a meno di sottosuccessioni; teorema di Severini-Egorov.
   La norma L^2 deriva da un prodotto scalare definito positivo; identità di polarizzazione e del parallelogramma.
   La norma L^p non deriva da un prodotto scalare.
7. Lun 11/10/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Esempio che mostra che la convergenza in misura e la convergenza in L^p non implicano la convergenza q.o., e che l'ipotesi che la somma delle misure sia finita è necessaria nel lemma di Borel-Cantelli.
   Alcune classi di funzioni dense in L^p: le funzioni semplici, le funzioni semplici a supporto limitato (per X spazio metrico), le funzioni continue a supporto compatto.
8. Mer 13/10/2021 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
   Confronto tra spazi L^p(X) nel caso mu(X) finita: risultato di inclusione di L^q in L^P se q>p. Non confrontabili se X=(0,+\infty) e mu misura di Lebesgue: esempi espliciti di funzioni che stanno in uno solo degli L^p/L^q. L^p(0,1) come spazio vettoriale di dimensione algebrica infinita: esempi di insiemi di N funzioni linearmente indipendente, per ogni N.
   Osservazione che in L^p(0,1) gli insiemi chiusi e limitati non sono compatti (per successioni): esempio di successione che non ammette nessuna sottosuccessione di Cauchy. Caso L^p(X) con X = numeri naturali e mu misura che conta i punti: costruzione diretta degli stessi esempi/controesempi sopra. Esibizione di un insieme compatto in ell^1: {(x_n): |x_n|\le1/n^2}; dimostrazione tramite convergenza puntuale ottenuta per processo di diagonalizzazione sulle sottosuccessioni delle singole componenti ed uso del Teorema di convergenza dominata di Lebesgue.
   Assegnazione di esercizi vari.
9. Gio 14/10/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
   Avanzato dalla lezione precedente: densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p, secondo enunciato.
   Mancanza di densità nel caso p = infinito.
   Teorema di Lusin.
10. Lun 18/10/2021 11:00-12:00 (1 ora ) lezione non tenuta per sospensione della didattica in occasione della cerimonia di inaugurazione dell'anno accademico.
11. Lun 18/10/2021 12:00-13:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
    Caratterizzazione della continuità per applicazioni lineari tra spazi normati. Esempi di applicazione.
    Definizione del prodotto di convoluzione per funzioni su R^d. Il prodotto è ben definito per funzioni a valori positive. Esempi di convoluzione: potenziale gravitazionale di una distribuzione di massa, distribuzione di probabilità della somma di due variabili aleatorie indipendenti.
12. Mer 20/10/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Prosegue la teoria della convoluzione. Condizioni che garantiscono l'esistenza del prodotto di convoluzione in un dato punto (oppure in q.o. punto). Disuguaglianza di Young per convoluzioni: derivazione della condizione sugli esponenti di sommabilità via riscalamento, dimostrazione nel caso p_1 qualunque e p_2=1, e nel caso p_1 e P_2 esponenti coniugati.
13. Gio 21/10/2021 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esempio di funzionale lineare su (un sottospazio di) L^p(R) e non continuo: l'integrale di u (per p>1). Continuità nel caso in cui R è sostituito da un insieme di misura finita.
    Assegnazione di esercizi sulla chiusura o meno di insiemi definiti da alcune relazioni (affini).
    Esempi di sottospazi non chiusi in L^p ed in ell^p (densi).
    Separabilità degli spazi L^p(R^d) per p diverso da infinito e non separabilità per p=infinito (anche nel caso ell^p).
14. Lun 25/10/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Derivata del prodotto di convoluzione; regolarità del prodotto di convoluzione a partire dalla regolarità di uno dei due fattori (o entrambi).
    Approssimazione per convoluzione (con un nucleo in L^1) e regolarizzazione per convoluzione (con un nucleo C^infinito a supporto compatto).
15. Mer 27/10/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Inizia la teoria degli spazi di Hilbert.
    Definizione di spazio di Hilbert (reale). Esempio base: L^2(X). Identità di polarizzazione e continuità del prodotto scalare. Definizione di base di Hilbert (sistema ortonormale completo);esempio: base di H. di l^2.
    Teorema della base (per un sistema ortonormale numerabile). Corollario: isometria con l^2 e identità di Parseval.
16. Gio 28/10/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Osservazioni sparse sugli spazi di H.: un sistema ortonormale infinito non è mai una base algebrica; uno spazio di H. è separabile (cioè esiste un sottoinsieme numerabile denso) se e solo se ogni base di H. è numerabile; la completezza di un sistema ortonormale equivale alla massimalità (rispetto all'inclusione); ogni sistema ortonormale può essere completato ad una base di Hilbert; la serie nella rappresentazione rispetto ad una base converge incondizionatamente (anche se non assolutamente); enunciato del teorema della base nel caso non numerabile (non dimostrato).
    Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come somma diretta di un dato sottospazio chiuso e del suo complemento ortogonale; proiezione su un sottospazio chiuso e caratterizzazione in termini di minima distanza. Rappresentazione di un funzionale lineare e continuo in termini di prodotto scalare (Teorema di Riesz).
17. Mer 03/11/2021 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Calcolo della proiezione di sin(x) sul sottospazio dei polinomi di grado minore od uguale a 2 in L^2(-1,1): risolto tramite ortogonalizzazione di Gram-Schmidt di una base; individuazione dei coefficienti della proiezioni imponendo le condizioni di ortogonalità, studio della funzione distanza al quadrato in L^2 come funzione di 3 variabile e condizioni sui coefficienti ottenute dal gradiente uguale a zero).
    Esempi di basi hilbertiane; base di Haar.
    Esercizio su densità o meno dell'insieme delle funzioni a media nulla in L^p(R).
18. Gio 04/11/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Spazi di Hilbert complessi: cosa cambia nei risultati fondamentali rispetto al caso reale?
    Inizia la teoria delle serie di Fourier.
    Rappresentazione in serie di Fourier (complessa) di una funzione in L^2(-pi,pi), e base di Hilbert sottostante. Dimostrazione dell'ortonormalità e della completezza, cioè della densità dei polinomi trigonometrici (tramite il teorema di Stone-Weierstrass).
19. Lun 08/11/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Esempi di calcolo della SdF e formula di Eulero per la serie di 1/n^2.
    Coefficienti di Fourier della derivata di una funzione C^1 con condizioni di periodicità al bordo. Sommabilità dei coefficienti di tale funzione e convergenza totale della SdF. Estensione a derivate di ordine superiore.
    Rappresentazione delle somme parziali della SdF come convoluzione.
20. Mer 10/11/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Lemma di Riemann-Lebesgue. Convergenza della SdF di f in un punto dove f è Hölderiana (a partire dalla rappresentazione delle somme parziali come convoluzione).
    Introduzione all'equazione del calore: equazione su un dominio spaziale qualunque, interpretazione fisica, ruolo delle condizioni al bordo e delle condizioni iniziali, derivazione da principi fisici elementari (fuori programma).
21. Gio 11/11/2021 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Serie di Fourier reale; esercizi sulla serie di Fourier reale e complessa (calcolo dei coefficienti, relazione tra i coefficienti della serie reale e quella complessa...)
22. Lun 15/11/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Risoluzione tramite SdF dell'equazione del calore su [-pi,pi] con condizioni di periodicità al bordo: derivazione formale della soluzione (rappresentata in SdF nello spazio), teorema di esistenza (nel futuro), teorema di regolarità, teorema di unicità.
23. Mer 17/11/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Ancora sull'equazione del calore (su [-pi,pi] con condizioni di periodicità al bordo): non risolubilità nel passato anche per dati iniziali molto regolari.
    Equazione delle onde (lineare e scalare): condizioni al bordo e condizioni iniziali, interpretazione fisica, derivazione per onde longitudinali in dimensione d=1 (fuori programma). Risoluzione tramite SdF dell'equazione delle onde su [-pi,pi] con condizioni di periodicità al bordo: derivazione formale della soluzione come SdF, e rappresentazione come somma di onde viaggianti.
24. Gio 18/11/2021 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi sulla serie di Fourier: caratterizzazione delle funzioni reali/immaginarie in termini dei coefficienti, risoluzione di equazioni alle derivate parziali (di tipo calore).
25. Lun 22/11/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Prosecuzione della risoluzione dell'equazione delle onde. Teorema di esistenza dimostrato tramite la rappresentazione della soluzione come somma di onde viaggianti; teorema di esistenza dimostrato tramite la SdF della soluzione; teorema di unicità.
    Disuguaglianza isoperimetrica nel piano e dimostrazione tramite SdF (per domini regolari con bordo parametrizzato da una curva).
26. Mer 24/11/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Varianti della serie di Fourier.
    SdF complessa su [-pi,pi]^d, relativa base di Hilbert, formula per la SdF del gradiente.
    Serie in seni per funzioni su [0,pi], relativa base di Hilbert, formula per la serie della derivata seconda. Applicazione: risoluzione delle EDP sull'intervallo spaziale [0,pi] con condizioni di Dirichlet al bordo. Esempio: l'equazione del calore.
27. Gio 25/11/2021 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi su equazione del tipo onde/calore anche con operatori di ordine superiore. Esempi e controesempi di esistenza/unicità anche a seconda delle condizioni al bordo (periodicità/Dirichlet).
28. Lun 29/11/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Osservazioni finali sulla SdF: la SdF e la serie in seni come rappresentazione di una funzione in termini di una base di Hilbert di autovettori di un operatore differenziale.
    Per quali operatori si può sperare che esista una base di Hilbert di autovettori? Operatori auto-aggiunti (da un sottospazio delso di H in H) e utilità di un teorema spettrale (che non diamo). Esempi di operatori auto-aggiunti e di relative basi di autovettori.
    Inizio della teoria della Trasformata di Fourier. Derivazione *formale* della rappresentazione di una funzione come integrale di esponenziali complessi a partire dalla rappresentazione in serie di Fourier su intervalli. Definizione di TdF di una funzione f in L^1(R); la TdF di f appartiene a C_0(R).
29. Mer 01/12/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Proprietà elementari della TdF; TdF della derivata (di una funzione C^1 in L^1 con derivata in L^1), derivata della TdF (di una funzione f in L^1 con x f(x) in L^1), la trasformata del prodotto di convoluzione di due funzioni in L^1 è il prodotto delle trasformate.
    Teorema di inversione (per una funzione in L^1 con TdF in L^1) e iniettività della TdF.
30. Gio 02/12/2021 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Osservazioni sulla risoluzione del primo compitino.
    Esercizi sul calcolo della Trasformata di Fourier (calcolo diretto e con il metodo dei residui).
31. Lun 06/12/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Comportamento della norma L^2 per TdF, ed estensione della TdF a L^2; identità di Plancherel. Calcolo della TdF di una funzione in L^2 come integrale improprio.
    Proprietà della TdF su L^2: TdF della derivata di una funzione C^1; le funzioni C^2 in L^1 con derivata in L^2 soddisfano le ipotesi del teorema di inversione; la trasformata del prodotto di due funzioni è 2pi volte il prodotto di convoluzione dell trasformate.
32. Gio 09/12/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Relazione tra la sommabilità di x^k f(x) e la regolarità della TdF di f. Teorema di Paley-Wiener: se exp(a|x|) f(x) è sommabile la TdF di f è analitica.
    Formula risolutiva per l'equazione del calore su R (teorema di esistenza solo enunciato; commento sulle condizioni al bordo e sull'unicità). Commento sull'applicazione della TdF alla risoluzione di EDP. Disuguaglianza di Heisenberg (con dimostrazione parziale).
33. Lun 13/12/2021 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella Gelli.
    Esercizi sugli operatori auto-aggiunti: verifica che un operatore è auto-aggiunto, (semi-) definito positivo oppure negativo; calcolo di autovalori e autovettori; ricerca di basi ortonormali per la risoluzione di EDP con diverse condizioni al bordo.
    Esercizi sul calcolo della Trasformata di Fourier.
34. Mer 15/12/2021 09:00-11:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Inizia la teoria dell'integrazione su superfici.
    Definizione di superficie k-dimensionale (senza bordo) in R^d di classe C^m (tramite parametrizzazioni regolari locali); caratterizzazione in termini di equazioni e di rappresentazione come grafici (senza dimostrazioni).
    Spazio tangente ad una superficie in un punto (tramite il differenziale di una parametrizzazione), caratterizzazione in termini di equazioni e di velocità di cammini (senza dimostrazioni).
    Definizione di mappa regolare da una superficie in R^n o in un'altra superficie; differenziale della mappa in un punto come applicazione lineare tra spazi tangenti.
    Misura di Lebesgue su spazi vettoriali con prodotto scalare. Modulo del determinante di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali con prodotto scalare e trasformazione della misura di Lebesgue. Modulo del determinante di un'applicazione lineare da R^k in R^d; rappresentazioni alternative in termini della matrice associata.
35. Gio 16/12/2021 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Definizione di misura (di Lebesgue) su una superficie tramite parametrizzazioni, e integrazione di una funzione. Caratterizzazione geometrica della misura e coincidenza con la misura di Hausdorff.
    k-covettori su uno spazio vettoriale V = funzioni k-lineari alternanti; proprietà elementari, pull-back secondo un'applicazione lineare, prodotto esterno.
36. Lun 20/12/2021 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
    Prodotto esterno di k-covettori: esempi di calcolo. Base dello spazio dei k-covettori su V associata ad una base di V. Rappresentazione esplicita degli elementi della base come determinanti. Formula di Binet generalizzata.
    k-forme su aperti di R^d, rappresentazione in termini della base, differenziale esterno, pull-back secondo una mappa C^1.
    Solo accennato, e fuori programma: orientazione di uno spazio vettoriale e di una superficie, integrazione di una k-forma su una superficie k-dimensionale, orientazione del bordo di una superficie e teorema di Stokes.