Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica 3
codice: 547AA
corso di studi: Matematica (MAT-L e WMA-LM)
anno accademico: 2020-2021
responsabile: Giovanni Alberti
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 72 (lezioni: 56 ore, di cui 8 fuori programma; esercitazioni: 16 ore, di cui 2 fuori programma)

Lezioni

1. Mer 23/09/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione fuori programma.
   Presentazione del corso: programma, prerequisiti, modalità dell'esame, strumenti (pagina web del docente, mailing list, ricevimento...)
   Ripasso di teoria della misura e dell'integrazione (argomento fuori programma): misure positive su una sigma-algebra; proprietà di base, esempi fondamentali: misura di Lebesgue, misura che conta i punti, delta di Dirac.
2. Gio 24/09/2020 16:00-17:45 (2 ore) lezione fuori programma.
   Continua il ripasso di teoria dell'integrazione (argomento fuori programma). Funzioni e mappe misurabili; funzioni semplici. Definizione di integrale (partendo dalle funzioni semplici positive e arrivando alle funzioni a valori vettoriali). Proprietà di base dell'integrale. Interpretazione delle somme infinite come integrali rispetto alla misura che conta i punti.
   Teoremi di convergenza dell'integrale: teorema di convergenza monotona (Beppo Levi), lemma di Fatou, teorema di convergenza dominata (Lebesgue). Misure associate ad una densità. Teorema di cambio di variabile. Teorema di Fubini-Tonelli.
3. Lun 28/09/2020 11:00-12:45 (2 ore) esercitazione fuori programma.
   Esercizi su calcolo e/o stima degli integrali; costruzione di un insieme compatto con parte interna vuota e misura (di Lebesgue) positiva nella retta; ogni insieme di misura positiva in R contiene un sottoinsieme non misurabile; costruzione di sottoinsiemi di misura assegnata di un insieme dato.
4. Mer 30/09/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
   Inizio della teoria degli spazi L^p. Disuguaglianza di Jensen, norma L^p di una funzione, disuguaglianze di Young, Hölder e Minkowski.
5. Gio 01/10/2020 16:00-17:45 (2 ore) lezione.
   Definizione degli spazi L^p. La norma L^2 deriva da un prodotto scalare definito positivo; identità di polarizzazione e del parallelogramma. La norma L^p non deriva da un prodotto scalare.
   Caratterizzazione delle applicazioni lineari e continue tra spazi normati. Su uno spazio di misura finita L^p è contenuto in L^q per p>q, e l'immersione è continua.
6. Lun 05/10/2020 11:00-12:45 (2 ore) lezione.
   Completezza di L^p.
   Nozioni di convergenza per successioni di funzioni definite su uno spazio di misura: uniforme, puntuale, puntuale q.o., in L^p, in misura. Relazioni tra queste nozioni: la convergenza puntuale o in L^p implicano la convergenza in misura, la convergenza in misura implica la convergenza puntuale q.o. a meno di sottosuccessioni; teorema di Severini-Egorov.
7. Mer 07/10/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
   La convergenza in misura e quella in L^p non implicano la convergenza quasi ovunque.
   Approssimazione di funzioni in L^p con classi di funzioni più semplici: funzioni limitate con supporto limitato, funzioni semplici con supporto limitato, funzioni continue con supporto compatto.
   Teorema di Lusin.
8. Gio 08/10/2020 16:00-17:45 (2 ore) esercitazione.
   Esercizi sui seguenti argomenti: inclusione e non di L^p in L^q; continuità e non dell'integrale su L^p.
9. Lun 12/10/2020 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione.
   Esercizi: disuguaglianza di interpolazione per le norme L^p, convessità del logaritmo della norma L^p in funzione di 1/p, continuità della norma L^p nell'intervallo di finitezza, separabilità di L^p per p finito, non separabilità per p=infinito.
10. Lun 12/10/2020 12:00-12:45 (1 ora) lezione.
    Inizio della teoria della convoluzione (per funzioni su R^d). Definizione. Esempi significativi di convoluzione: potenziale del campo gravitazionale generato da una distribuzione di massa, distribuzione della somma di due variabili aleatorie indipendenti.
    Il prodotto f*g è ben definito se f e g sono funzioni positive; f*g(x) è ben definito e finito se |f|*|g|(x) è finito; f*g è be definito quasi ovunque se f e g appartengono a L^p ed L^q con 1/p + 1/q \ge 1; stima della norma L^r di f*g in termini delle norme L^p di f e L^q di g per 1/r = 1/p + 1/q - 1 (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
11. Mer 14/10/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione della stima sulla norma L^r del prodotto di convoluzione enunciata alla fine della lezione precedente.
    Continuità di f*g se f e g appartengono a L^p e L^q con p e q coniugati.
12. Gio 15/10/2020 16:00-17:00 (1 ora) lezione.
    Gradiente del prodotto di convoluzione (se uno dei fattori è regolare). Approssimazione per convoluzione delle funzioni in L^p; approssimazione con funzioni di classe C^infinito.
13. Gio 15/10/2020 17:00-17:45 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sulla convoluzione: il supporto del prodotto è contenuto nella somma dei supporti; la somma di insiemi di misura positiva in R^d ha parte interne non vuota; una funzione f con integrale nullo su tutte le palle è nulla q.o.; una funzione f tale che l'integrale di fg è nullo per ogni funzione g C^infinito con supporto compatto è nulla q.o.
14. Lun 19/10/2020 11:00-12:45 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria degli spazi di Hilbert. Definizione di spazio di Hilbert, esempi, definizione di base di Hilbert (sistema ortonormale completo). Teorema della base (rappresentazione di un elemento in termini di una base) e applicazioni.
    Osservazioni sparse sugli spazi di Hilbert: se H ha dimensione infinita una base di Hilbert non è mai una base algebrica, un sistema ortonormale è una base se e solo se è massimale, ogni sistema ortonormale può essere completato ad una base.
15. Mer 21/10/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Osservazioni sparse sugli spazi di Hilbert: H è separabile se e solo se ammette una base di H. numerabile; la serie nella rappresentazione di x rispetto ad una base converge incondizionatamente; come modificare il teorema della base nel caso di sistemi ortonormali più che numerabili.
    Decomposizione di H come somma di un sottospazio chiuso V e del suo ortogonale, proiezioni ortogonale di H su V e caratterizzazione come proiezione metrica; rappresentazione dei funzionali continui su H tramite prodotto scalare.
16. Gio 22/10/2020 16:00-17:00 (1 ora) lezione.
    Spazi di Hilbert complessi.
    Lemma di Riemann-Lebesgue.
17. Gio 22/10/2020 17:00-17:45 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sparsi: ogni applicazione lineare su spazi di dimensione finita è continua; esistono funzionali lineari non continui su spazi normati di dimensione infinita; il prodotto di convoluzione su L^1 non ha elemento neutro; la palla unitaria chiusa di uno spazio di Hilbert non è compatta, e lo stesso vale per gli spazi L^p.
18. Lun 26/10/2020 11:00-12:45 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria della serie di Fourier. Definizione di serie di Fourier complessa; dimostrazione della completezza della base trigonometrica complessa (basata sul teorema di Stone-Weierstrass).
    Esempi di calcolo della serie di Fourier.
19. Mer 28/10/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Relazione tra la regolarità di una funzione e il comportamento asintotico dei suoi coefficienti di Fourier.
    Espressione delle somme parziali della serie di Fourier come convoluzione con il nucleo di Dirichlet; convergenza della SdF nei punti di continuità Hölderiana di una funzione (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
20. Gio 29/10/2020 16:00-16:45 (1 ora) lezione.
    Dimostrazione della convergenza della serie di Fourier nei punti di continuità Hölderiana; seconda dimostrazione della completezza della base trigonometrica complessa (solo accennata).
21. Gio 29/10/2020 16:45-17:45 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sugli spazi di Hilbert: base di Haar, sottospazi chiusi, proiezioni ortogonali.
22. Lun 02/11/2020 11:00-12:45 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sparsi su spazi di Hilbert (proiezioni ortogonali) e serie di Fourier.
23. Mer 04/11/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Derivazione dell'equazione del calore da principi fisici elementari (argomento fuori programma).
    Equazione del calore in dimensione uno con condizioni di periodicità al bordo: risoluzione formale tramite la serie di Fourier, enunciato del teorema di esistenza (nel futuro) e regolarità della soluzione, primi lemmi usati nella dimostrazione.
24. Gio 05/11/2020 16:00-17:45 (2 ore) lezione.
    Ancora sull'equazione del calore con condizioni di periodicità al bordo: dimostrazione del teorema di esistenza e regolarità enunciato nella lezione precedente; teorema di unicità.
25. Lun 09/11/2020 11:00-12:45 (2 ore) lezione.
    Non risolubilità dell'equazione del calore nel passato.
    Equazione delle onde, due interpretazioni fisiche.
    Derivazione dell'equazione delle onde da principi elementari nel caso di onde longitudinali in dimensione uno (argomento fuori programma).
26. Mer 11/11/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Equazione delle onde in dimensione 1 con condizioni di periodicità al bordo: risoluzione formale tramite SdF, teorema di esistenza (tramite SdF e tramite formula di rappresentazione della soluzione come somma di onde viaggianti), teorema di unicità.
27. Gio 12/11/2020 16:00-17:45 (2 ore) lezione.
    Varianti della serie di Fourier ed applicazioni: SdF per funzioni in più variabili (su [-pi,pi]^d), SdF reale, serie in seni.
    Operatori auto-aggiunti; esempi di operatori auto-aggiunti e calcolo degli auto-spazi, esempi di basi ortonormali di autovettori (senza il teorema spettrale).
    Disuguaglianza isoperimetrica nel piano.
28. Lun 16/11/2020 11:00-12:45 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sulla risoluzione di EDP tramite la serie di Fourier (e varianti); l'equazione u_ttt = u_xx non è risolubile né nel futuro né nel passato; esempio di non unicità per l'equazione del calore con condizioni al bordo sotto-determinate.
29. Mer 18/11/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria della Trasformata di Fourier. Derivazione formale della formula di inversione. Definizione della TdF per funzioni L^1 su R. La TdF è una funzione continua e infinitesima all'infinito; TdF della traslata e della riscalata; relazione tra TdF e derivata; TdF del prodotto di convoluzione.
30. Gio 19/11/2020 16:00-18:00 (2 ore) lezione non tenuta per sovrapposizione con un impegno istituzionale del docente.
31. Lun 23/11/2020 11:00-12:45 (2 ore) esercitazione.
    Esempi di calcolo della trasformata di Fourier.
32. Mer 25/11/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Formula di inversione per la TdF su L^1.
    Identità di Plancherel ed estensione della TdF alle funzioni L^2..
33. Gio 26/11/2020 16:00-17:00 (1 ora) lezione.
    Proprietà della TdF su L^2, TdF del prodotto di due funzioni, TdF di una funzione C^1 a tratti.
34. Gio 26/11/2020 17:00-17:45 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sulla TdF, incluso il Teorema di Paley-Wiener.
35. Lun 30/11/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione fuori programma.
    Osservazioni conclusive sulla TdF: TdF per funzioni di più variabili e sue proprietà (elencate ma non dimostrate). Risoluzione dell'equazione di Poisson su R^d tramite TdF e determinazione della soluzione fondamentale del Laplaciano. Risoluzione delle equazioni differenziali lineari tramite TdF: vantaggi e limiti. Derivazione della formula risolutiva dell'equazione del calore in R; discussione dell'unicità.
36. Mer 02/12/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Disuguaglianza di Heisenberg e conclusione della teoria della TdF.
    Inizio della teoria delle funzioni armoniche. Definizione di funzione armonica come soluzione dell'equazione di Laplace.
    Equivalenza della proprietà della media sulle sfere e sulle palle. Enunciato dei due risultati fondamentali: le funzioni armoniche hanno la proprietà della media; le funzioni continue con la proprietà della media sono C^infinito e armoniche.
37. Gio 03/12/2020 16:00-17:45 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione dell'equivalenza tra armonicità e proprietà della media enunciata nella lezione precedente.
    Conseguenze della proprietà della media: principio del massimo per le funzioni armoniche, unicità e principio del confronto per le soluzioni dell'equazione di Poisson con condizione al bordo di Dirichlet.
38. Lun 07/12/2020 11:00-12:45 (2 ore) lezione.
    Relazioni tra funzioni armoniche e funzioni olomorfe; analiticità delle funzioni armoniche in dimensione 2.
    Risoluzione dell'equazione di Poisson con dati polinomiali su una palla o su un ellissoide (in dimensione qualunque).
    Risoluzione dell'equazione di Laplace con dato al bordo assegnato sul disco unitario (soluzione espressa sia come serie che tramite il nucleo di Poisson).
39. Mer 09/12/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    Inizio della teoria dell'integrazione su superfici. Ripasso della nozione di superficie k-dimensionale (senza bordo) in R^n e concetti collegati: definizione di una superficie in termini di esistenza delle parametrizzazioni locali; definizione equivalente in termini equazioni.
    Spazio tangente ad una superficie; mappe regolari su una superficie; differenziale di una mappa regolare.
    Definizione della misura (di Lebesgue) su uno spazio vettoriale con prodotto scalare; definizione di |det T| per una mappa lineare T tra spazi con prodotto scalare.
40. Lun 14/12/2020 11:00-12:00 (1 ora) lezione.
    Formule alternative per |det T| per T applicazione lineare da R^k in R^d.
    Determinante Jacobiano di una mappa da un aperto di R^k in R^d, definizione e formule alternative. Definizione della misura di volume k-dimensionale su una superficie di dimensione k tramite parametrizzazioni regolari. Calcolo dell'integrale di una funzione su una superficie tramite parametrizzazioni (di classe C^1 ma non regolari).
41. Lun 14/12/2020 12:00-12:45 (1 ora) esercitazione.
    Parametrizzazione della sfera S^d tramite le coordinate angolari sferiche e calcolo dello Jacobiano. Parametrizzazione di R^d tramite coordinate sferiche e calcolo dello Jacobiano.
42. Mer 16/12/2020 09:00-10:45 (2 ore) lezione.
    k-covettori su uno spazio vettoriale V (funzionali k-lineari alternanti su V^k); prodotto esterno di k-covettori (con esempi di calcolo); pull-back di un k-covettore tramite un'applicazione lineare.
    Base dello spazio dei k-covettori su V associata ad una base dello spazio V; rappresentazione di un k-covettore in termini della base; formula di Binet generalizzata.
43. Gio 17/12/2020 16:00-17:45 (2 ore) lezione.
    Orientazione di uno spazio vettoriale V. Orientazione di una superficie. Definizione di superficie con bordo; orientazione del bordo di una superficie orientata.
    k-forme (su un aperto di R^d): differenziale esterno e pull-back (con esempi di calcolo); integrazione su una superficie k-dimensionale orientata; teorema di Stokes (solo enunciato).