[Fa] K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge University Press, 1985.
[Fe] H. Federer: Geometric measure theory. Springer, 1969.
[KP] S.G. Krantz, H.R. Parks: Geometric Integration Theory. Birkhäuser, 2008.
[Ma] P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press, 1995.

È facile far vedere che se E è un insieme d-rettificabile in R^n, la proiezione ortogonale di E su V ha misura d-dimensionale positiva per quasi ogni sottospazio d-dimensionale V di R^n.
Vale anche il seguente viceversa, tutt'altro che banale: se E è d-puramente non rettificabile e ha misura di Hausdorff d-dimensionale finita, allora la proiezione ortogonale di E su V è H^d-trascurabile per q.o. sottospazio d-dimensionale V di R^n.
Riferimento: [Ma].

Un insieme E in R^n ha perimetro finito se la corrente n-dimensionale associata ha bordo con massa finita (o, equivalentemente, se la sua funzione caratteristica appartiene allo spazio BV(R^n)).
Si può dimostrare che il bordo di E è una corrente rettificabile associata a uno specifico insieme rettificabile noto come "frontiera ridotta". Questo risultato, dovuto a E. De Giorgi, è un precursore del teorema di rettificabilità del bordo di Federer e Fleming.
Dimostrazioni di questo risultato si trovano in diversi libri di testo, tuttavia è preferibile darne una che si basi il più possibile sui risultati dimostrati nel corso (verrà fornito uno schema di dimostrazione).

Sia \mu una misura finita in R^n e sia d un numero positivo tale che la densità d-dimensionale di \mu esiste per \mu-q.o. punto ed è finita e positiva. Allora d è necessariamente un numero intero.
(Una versione più semplice ma equivalente di questo enunciato dice che se E è un insieme di Borel in R^n con H^d(E) positiva e finita tale che la densità d-dimensionale di E esiste in H^d-q.o. punto di E, allora d è un numero intero.) La dimostrazione di questo risultato si basa sulla nozione della misura tangente.
Riferimento: [Ma]

Sia K un continuo (cioè un insieme compatto connesso) in R^n con lunghezza finita (dove per lunghezza si intende la misura di Hausdorff 1-dimensionale H^1). Allora K è l'immagine di un cammino chiuso Lipschitziano e ammette uno spazio tangente in senso classico in q.o. punto.
Usando un raffinamento di questo risultato si può dimostrare il teorema di semicontinuità di S. Golab, cioè che la lunghezza è semicontinua inferiormente sulla classe dei continui in R^n, dotata della distanza di Hausdorff.

La p-capacità è una misura della grandezza di un insieme con un ruolo importante in molte aree dell'analisi. Il risultato principale di questo seminario è il lemma di Frostman, che dà una relazione tra p-capacità e misura di Hausdorff d-dimensionale, mostrando che la dimensione di Hausdorff e la dimensione capacitaria coincidono.
Questo lemma può essere utilizzato per dimostrare diversi risultati non ovvi sulla dimensione Hausdorff del prodotto di insiemi e delle proiezioni ortogonali "generiche" di un insieme.
Riferimento: [Ma].

Partendo dal teorema di deformazione poliedrale (la cui dimostrazione è stata abbozzata a lezione) si può dimostrare che le correnti intere possono essere approssimate in massa da quelle poliedrali a coefficienti interi, e che le correnti normali possono essere approssimate in massa da quelle poliedrali a coefficienti reali.
Riferimento: [KP]

Usando la nozione di misura di reticolo comparabile (con la misura di Hausdorff) si possono dimostrare i seguenti risultati non banali:
a) Un insieme chiuso in R^n con misura di Hausdorff d-dimensionale infinita contiene un sottoinsieme con misura finita e positiva.
b) Dati A e B contenuti in spazi euclidei, la dimensione di Hausdorff del prodotto A x B è maggiore o uguale alla somma delle dimensioni di A e di B (ma l'uguaglianza può non valere).
Riferimento: [Fa]

Sia f una mappa della classe C^{h,a} da R^n a R^N, e per ogni intero k sia S_k l'insieme dei punti x di R^n tali che il differenziale di f in x  ha un rango al più k.
Una versione del teorema di Sard dovuta a H. Federer fornisce un limite superiore per la dimensione di Hausdorff dell'immagine f(S_k), espressa in termini di d h, a e k.
Opportuni esempi mostrano che tale stima è ottimale.

Una d-corrente intera T si dice "decomponibile" se si scrive come T = T'+T" con T' e T" correnti intere non nulle per cui M(T) = M(T') + M(T'") e M(bd(T)) = M(bd(T')) + M(bd(T'")) dove M(T) indica la massa di una corrente T e bd(T) indica il bordo. Analogamente una corrente si dice "indecomponibile" se non è decomponibile. Nel caso in cui T è la corrente associata ad una superfice regolare S con bordo, T è indecomponibile se e solo se S è connessa.
Il risultato principale di questo seminario consiste nel dimostrare che ogni d-corrente intera si decompone come somma (numerabile) di correnti indecomponibili. La dimostrazione usa in modo essenziale il teorema isoperimetrico per le correnti intere.
Riferimenti: [Fe, sezione 4.2.25], [P. Bonicatto, G. Del Nin, E. Pasqualetto: Decomposition of integral metric currents, 2021]

Recentemente C. De Lellis, F. Ghiraldin e F. Maggi hanno proposto un nuovo approccio al problema di Plateau basato su metodi di teoria della misura che consente loro di dimostrare l'esistenza di un insieme compatto con misura d-dimensionale minima tra tutti i compatti K che soddisfano determinate condizioni topologiche (condizioni che formalizzano il concetto intuitivo che "il bordo di K è un dato insieme G").
Riferimento: [C. De Lellis, F. Ghiraldin e F. Maggi: A direct approach to Plateau's problem, 2017]

Un insieme (compatto) E in R^n è detto di Besicovitch se è trascurabile secondo Lebesgue e contiene segmenti di lunghezza di almeno 1 in ogni direzione. L'esistenza di tali insiemi è un fatto non banale, e una dimostrazione relativamente semplice basata sul teorema di Baire è stata data recentemente da T.W. Körner.
Inoltre R. Davies ha dimostrato che nel piano (cioè per n=2) ogni insieme di Besicovitch deve avere dimensione di Hausdorff pari a 2. L'estensione di questo risultato a dimensione superiore è noto come congettura di Kakeya.
Riferimenti: [T.W. Körner: Besicovitch via Baire, 2003] + [Fa]

Siano d, n numeri interi con d<n: allora ogni d-corrente T in R^n, intera e senza bordo, coincide con il bordo di una corrente intera U; inoltre la massa di U può essere controllata dalla massa di T alla potenza 1+1/d. La dimostrazione è un facile corollario del teorema di deformazione poliedrale.
Un'enunciato simile vale quando lo spazio ambiente R^n viene sostituito da un insieme con bordo regolare o da una varietà regolare X; usando questo risultato si dimostra che le classi di cobordismo delle correnti intere in X sono chiuse, cosa che a sua volta permette di dimostrare l'esistenza di correnti intere di massa minima in ogni classe di omologia di X.
Riferimenti: [KP] per il risultato di base, [Fe] per i risultati avanzati.

Sia E un insieme di Borel di lunghezza finita. È noto che la densità 1-dimensionale superiore di E è 1 in q.o. punto di E. Inoltre la densità 1-dimensionale inferiore di E è 1 in q.o. punto di E se e solo se E è rettificabile, ed è strettamente inferiore a 1 in q.o. punto di E se e solo se E è puramente non rettificabile.
Riferimenti: [Fa] oppure [Ma]

Sia S una superficie complessa k-dimensionale in C^n, vale a dire una superficie compatta con bordo
di classe C^1 tale che lo spazio tangente in ogni punto è un sottospazio complesso (e non solo reale).
Allora S minimizza la misura H^2k tra tutte le superfici (reali) orientate con lo stesso bordo di S.
Questo risultato è una conseguenza della disuguaglianza di Wirtinger, che mostra che la forma di Kähler è una calibrazione (nel senso delle forme differenziali) per ogni superficie complessa.

Si può dimostrare che esistono insiemi compatti nel piano con dimensione di Hausdorff arbitrariamente piccola che non possono essere coperti da una quantità numerabile di immagini di cammini Lipschitziani. (Per inciso, l'esistenza di tali insiemi mostra che il sottoinsieme H^1-trascurabile che appare nella definizione di insieme 1-rettificabile non può essere omesso senza alterare la definizione.)
Viene quindi naturale la seguente domanda: quali insiemi nel piano possono essere coperti da un cammino di lunghezza finita? Il "teorema del commesso viaggiatore" di P.W. Jones caratterizza questi insiemi usando un criterio puramente geometrico legato alla distribuzione dell'insieme nei quadrati diadici.
Riferimenti: [P.W. Jones: Rectifiable sets and the Travelling Salesman Problem, 1990] + altri

Consideriamo due misure finite su uno spazio metrico X che assumono gli stessi valori su tutte le palle.
Se X è (un sottoinsieme di) R^n allora segue dal Teorema di Radon-Nikodym che le due misure coincidono, ma questo non è vero in generale, come mostrato da un esempio di R. Davies.
Tuttavia le misure coincidono se soddisfano alcune ipotesi aggiuntive, ad esempio se sono "asintoticamente doubling". (Una misura localmente finita \mu su X è detta asintoticamente doubling se per \mu-q.o. punto x il rapporto \mu(B(x, 2r)) diviso \mu(B(x, r)) ha limsup finito per r che tende a zero.)
Si noti infine che anche per X = [0,1] non tutte le misure finite sono asintoticamente doubling.

Una corrente intera di dimensione 1 in R^n può essere scritta come somma di una quantità numerabile di cammini semplici e rettificabili (o meglio, come somma delle correnti associate a tali cammini).
Riferimento: [Fe, sezione 4.2.25]