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insegnamento: Teoria Geometrica della Misura
codice: 225AA
corso di studi: Matematica (WMA-LM)anno accademico: 2016-2017
responsabile: Giovanni Alberti 
docente: Giovanni Alberti 
totale ore: 50

Lezioni

1. Mer 01/03/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
   Presentazione del corso.
   Il problema di Plateau (ricerca delle superfici di area minima con bordo assegnato) come linea guida: difficoltà e descrizione sommaria dei possibili approcci. La seconda parte del corso sarà dedicata all'approccio basato sugli insiemi di perimetro finito, presentando tutti i dettagli della teoria. La prima parte del corso è dedicata ai concetti di base della teoria (misure di Hausdorff e insiemi rettificabili).
   Richiamo (senza dimostrazioni) di alcune nozioni di base di teoria della misura. Misure positive, integrazione, teorema di Lebesgue-Radon-Nykodim, etc. Misure con segno e misure a valori vettoriali: definizione, massa (variazione totale) e rappresentazione come prodotto di una misura positiva per una densità a valori reali o vettoriali. Lo spazio delle misure vettoriali come duale dello spazio delle funzioni continue.
2. Ven 03/03/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Ripasso dei prerequisiti di teoria della misura. Convergenza di una successione di misure (nella topologia debole star) e compattezza. Proprietà di una successione di misure positive che convergono debole: semicontinuità inferiore sugli aperti e semicontinuità superiore sui compatti. Convergenza in variazione.
   Nozione di misura esterna su un insieme, e di insieme misurabile secondo Caratheodory. Teorema: gli insiemi misurabile secondo C. formano una sigma-algebra, e la restrizione della misura a questa sigma-algebra è sigma-additiva. Teorema: se una misura è additiva sui distanti allora i misurabili secondo C. includono i Boreliani. 
3. Mer 08/03/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
   Costruzione alla Caratheodory di una misura esterna.
   Misura di Hausdorff d-dimensionale: definizione e proprietà fondamentali.
   Dimensione di Hausdorff di un insieme.
4. Ven 10/03/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Insieme di Cantor: calcolo della dimensione di Hausdorff e dimostrazione del fatto che la misura di Hausdorff corrispondente è finita e positiva.
   Simmetrizzazione di Steiner e dimostrazione della disuguaglianza isodiametrica.
   Dimostrazione del fatto che la misura di Hausdorff k-dimensionale in R^k coincide con la misura di Lebesgue (usando anche il seguente lemma, la cui dimostrazione è rimandata alla lezione successiva: un insieme E in R^k può essere ricoperto con una famiglia di palle chiuse tale che la somma delle loro misure secondo Lebesgue eccede di poco quella di E).
5. Lun 13/03/2017 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Teoremi di ricoprimento: lo scopo è ricoprire in maniera ottimale (da specificare) un insieme dato E con palle prese da una famiglia data.
   Prima versione: lemma di ricoprimento alla Vitali su spazi metrici, e teorema di ricoprimento di Vitali per misure "doubling" (si ricopre quasi tutto E con palle disgiunte; variante: si ricopre tutto E con palle non necessariamente disgiunte per cui la somma delle misure eccede di poco quella di E).
   Dimostrazione del lemma di ricoprimento utilizzato nella lezione precedente.
6. Mer 15/03/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
   Teorema di ricoprimento di Besicovitch e corrispondenti teoremi di ricoprimento per misure (finite) qualunque in spazi euclidei.
7. Mer 22/03/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
   Applicazioni dei teoremi di ricoprimento allo studio della densità degli insiemi.
   Data una misura mu localmente finita su uno spazio euclideo (o doubling su uno spazio metrico qualunque), la densità di un insieme E rispetto a mu è uguale a 1 quasi ovunque in E e a 0 quasi ovunque fuori da E.
   Dato un insieme E con misura di Hausdorff d-dimensionale localmente finita, la densità d-dimensionale di E è zero H^d-quasi ovunque fuori da E, mentre la densità superiore è finita e positiva H^d-quasi ovunque in E.
8. Ven 24/03/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Altre applicazione dei teoremi di ricoprimento.
   Date due misure finite lambda e mu, la densità di lambda rispetto a mu (definita come limite del rapporto delle misure delle palle...) è uguale alla densità di Radon-Nikodym in mu-quasi ogni punto.
   Il limite approssimato in senso L^p di una funzione in L^p(mu) esiste e coincide in quasi ogni punto con il valore della funzione.
9. Ven 31/03/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Altre applicazioni dei teoremi di ricoprimento.
   Per una misura data dal prodotto di una densità localmente sommabile per la misura di Hausdorff d-dimensionale, la densità superiore d-dimensionale è finita e positive quasi ovunque.
   Caratterizzazione in termini di densità d-dimensionale delle misure localmente finite che si possono scrivere come prodotto di una densità per la misura di Hausdorff d-dimensionale.
10. Mer 05/04/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Frattali auto-simili associati ad un insieme finito di similitudini contrattive su R^n (costruzione di Hutchinson): definizione, caratterizzazione come punto fisso di un'opportuna mappa dallo spazio dei sottoinsiemi compatti di R^n in sé, calcolo della dimensione, e dimostrazione del fatto che la corrispondente misura di Hausdorff è finita e positiva.
    Esempi significativi di frattali auto-simili: insieme di Cantor, curva di von Koch ("fiocco di neve"), triangolo di Sierpinski, "Sierpinski carpet".
11. Ven 07/04/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Misure invarianti su un gruppo topologico G (anche dette misure di Haar): teorema di esistenza ed unicità (con dimostrazione nel caso di G gruppo compatto commutativo).
    Misure (localmente finite) su uno spazio metrico X invarianti rispetto all'azione di un gruppo G. Esempio di non esistenza e alcuni casi in cui si ha esistenza (G è commutativo, oppure X è il quoziente di G rispetto ad un sottogruppo chiuso).
    Applicazione: costruzione della misura integral-geometrica d-dimensionale. Esempio di insieme nel piano con misura integral-geometrica 1-dimensionale nulla e misura di Hausdorff 1-dimensionale positiva.
    Proprietà fondamentali delle mappe Lipschitziane: compattezza, lemma di estensione di MacShane, teorema di estensione di Kirszbraun (senza dimostrazione), proprietà di Lusin rispetto alle funzioni C^1 (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
12. Mer 12/04/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Teorema di Rademacher: una funzione Lipschitziana su R^n è differenziabile (Lebesgue) quasi ovunque. Il risultato è dimostrato facendo vedere che le funzioni Lipschitziane sono (localmente) di classe di Sobolev W^{1,infinito}, e che le funzioni continue di classe W^{1,p} con p>n sono differenziabili quasi ovunque.
    Proprietà di Lusin delle funzioni di Lipschitz con le funzioni C^1: dimostrazione basata sulla regolarizzazione "locale" fuori da un compatto in cui la funzione è differenziabile con resto uniforme. Dimostrazione alternativa con il teorema di estensione di Whitney (solo accennata).
13. Mer 03/05/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Formula dell'area per mappe C^1 tra superfici di classe C^1 della stessa dimensione.
    Definizione di insieme d-rettificabile in uno spazio metrico X (insieme che può essere ricoperto a meno di un sottoinsieme H^d nullo da una famiglia numerabile di immagini Lipschitziane di R^d).
    Caratterizzazioni equivalenti nel caso Euclideo X=R^n (in particolare, in termini di ricoprimento con superfici d-dimensionali di classe C^1).
    Proprietà di base degli insiemi d-rettificabili; ruolo del sottoinsieme H^d nullo che appare nella definizione.
14. Ven 05/05/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Definizione di insieme d-puramente non rettificabile. Esempi di insiemi nel piano 1-puramente non rettificabili ma con dimensione arbitrariamente vicina a 2. Scomposizione di un insieme H^d finito in parte d-rettificabile e parte d-puramente non rettificabile.
    Caratterizzazione degli insiemi d-rettificabili in termini della densità d-dimensionale (teorema di Marstrand-Mattila-Preiss, senza dimostrazione).
    Caratterizzazione degli insiemi H^d finiti e d-puramente non rettificabili in termini delle proiezioni d-dimensionali (teorema di Besicovitch-Federer).
    Definizione (non puntuale) di fibrato tangente per un insieme d-rettificabile.
    Prima caratterizzazione puntuale del fibrato tangente nel caso di insiemi d-rettificabili (localmente) H^d-finiti in termini di esistenza in quasi ogni punto del piano tangente approssimato (definizione debole). 
15. Lun 08/05/2017 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Definizione (forte) di piano tangente approssimato ad un insieme localmente H^d-finito E in un punto x, tramite il blow-up in x della misura H^d ristretta ad E. Teorema fondamentale: se E è d-rettificabile allora il piano tangente esiste in quasi ogni punto (e coincide con il fibrato tangente definito in precedenza).
    Primo criterio di rettificabilità "facile": se un insieme E ammette in ogni punto un cono tangente in senso classico (con asse di dimensione d) allora E è d-rettificabile.
16. Mer 10/05/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Secondo criterio di rettificabilità "facile": se un insieme E è (localmente) H^d-finito, ha densità d-dimensionale inferiore positive in quasi ogni punto, e ammette un cono tangente approssimato (con asse di dimensione d) in quasi ogni punto, allora E è d-rettificabile.
    Attenzione: è sempre possibile trovare un insieme compatto H^d finito in R^n (con d < n) con densità d-dimensionale inferiore nulla in ogni punto (costruzione di un esempio per n=1, d<1).
    Differenziabilità tangenziale quasi ovunque per una mappa Lipschitziana definita su un insieme d-rettificabile di R^n (e a valori in R^m) e formula dell'area. Ingredienti base della dimostrazione (appena accennata): proprietà di Lusin con le funzioni C^1 e proprietà (N) di Lusin.
17. Ven 12/05/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Rapida introduzione alla teoria delle funzioni BV in più variabili (in stretta analogia con la teoria delle funzioni di Sobolev).
    Definizione delle funzione BV su un aperto di R^n come le funzione in L^1 con gradiente distribuzionale rappresentato da una misura. Caratterizzazione in termini di finitezza della variazione totale.
    Funzioni BV in dimensione uno, e confronto con la teoria classica delle funzioni a variazione limitata.
    Proprietà di BV come spazio funzionale: teorema di estensione e teorema di approssimazione con funzioni regolari (dimostrazione appena accennata).
18. Lun 15/05/2017 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Ulteriori proprietà dello spazio BV: immersioni di Sobolev (non dimostrate), caratterizzazione di BV(R^n) in termini di traslazioni, teorema base di compattezza per le funzioni BV.
    Operatore di traccia (costruzione appena accennata). Attenzione: l'operatore di traccia non è continuo rispetto alla convergenza "debole"; questo si riflette in una difficoltà sostanziale per quanto riguarda l'esistenza di soluzioni di problemi variazionali con condizioni di Dirichlet al bordo.
    Definizione di insiemi di perimetro finito. Teorema base di compattezza per gli insiemi di perimetro finito.
19. Mer 17/05/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Formula di coarea per mappe C^1 (senza dimostrazione) e cenno all'estensione alle mappe Lipschitziane.
    Approssimazione degli insiemi di perimetro finito con insiemi regolari.
    Formulazione di un problema di tipo Plateau per superfici di codimensione uno in termini di insiemi di perimetro finito, con particolare attenzione alla formulazione della condizione al bordo); esistenza della soluzione per compattezza e semicontinuità.
    Formulazione del problema della capillarità in termini di insiemi di perimetro finito. Esistenza delle soluzioni (modulo la semicontinuità del funzionale di capillarità, che verrà dimostrata in seguito).
20. Lun 22/05/2017 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Relazione tra perimetro e misura della frontiera (topologica) per un insieme di perimetro finito.
    Esistono insiemi di perimetro finito la cui frontiera è tutto R^n, ed in particolare è H^{n-1} infinita. Esistono anzi insiemi di perimetro finito per cui il supporto della derivata della funzione indicatrice (e quindi anche la frontiera di ogni rappresentante) coincide con tutto R^n.
    Alcune classi di insiemi per cui il perimetro coincide con la misura della frontiera (frontiera regolare a tratti, frontiera Lipschitziana, etc.)
    Ogni insieme con frontiera di misura H^{n-1} finita ha perimetro finito. 
21. Mer 24/05/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Definizione di frontiera essenziale di un insieme E (insieme dei punti in cui la densità n-dimensionale di E non è né 1 né 0, oppure non esiste).
    Enunciato del teorema di struttura degli insiemi di perimetro finito (De Giorgi-Federer): se E ha perimetro finito allora la frontiera essenziale è (n-1)-rettificabile, il perimetro coincide con la misura H^{n-1} della frontiera essenziale, e vale la solita formula per la derivata della funzione indicatrice di E.
    (Viceversa non dimostrato: se la misura H^{n-1} della frontiera essenziale è finita allora E è di perimetro finito.)
    Definizione di frontiera ridotta di un insieme di perimetro finito, e riformulazione del teorema di struttura in termini di frontiera ridotta.
    Inizio della dimostrazione del teorema di struttura.
22. Ven 26/05/2017 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Completamento della dimostrazione del teorema di struttura per insiemi di perimetro finito.
23. Lun 29/05/2017 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Alcuni argomenti sparsi.
    Dimostrazione della semicontinuità inferiore del funzionale di capillarità introdotto in precedenza.
    Variazione prima "dell'area" (cioè della misura H^{n-1}) per un insieme d-rettificabile in R^n.
    Espressione della variazione prima in termini della curvatura per una superficie con bordo di classe C^2 e dimensione n-1. Conseguenza: una superficie di area minima (rispetto ai competitori con lo stesso dato al bordo) ha curvatura media nulla.
24. Mer 31/05/2017 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Variazione del perimetro per un insieme di perimetro finito, e condizioni necessarie di minimalità (versione debole della condizione di curvatura media nulla).
    Definizione di varifold intero d-dimensionale in R^n con curvatura in L^p.
    Teorema: se E è un insieme di perimetro minimo (nel senso opportuno) allora la frontiera essenziale di E è chiusa e coincide con la frontiere topologica (di un opportuno rappresentante di E) e quindi il perimetro di E coincide con la misura H^{n-1} della frontiera.
25. Gio 01/06/2017 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Struttura dei continui (= insiemi compatti e connessi) di lunghezza finita in R^n. Ogni insieme di questo tipo è connesso per archi rettificabili, è 1-rettificabile (e anzi è l'immagine di un unico cammino rettificabile), e ammette retta tangente in senso classico in quasi ogni punto.
    Teorema di semicontinuità di Golab: la lunghezza (misura H^1) è semicontinua inferiormente per tutte le successioni di continui che convergono in distanza di Hausdorff ad un continuo.
    Calibrazioni per superfici di codimensione uno: l'esistenza di una calibrazione implica la minimalità della superficie. Dimostrazione della minimalità del cono di Simons in R^8 per calibrazione.