Dati registro

insegnamento: Calcolo delle Variazioni A
codice: 096AA
corso di studi: Matematica (WMA-LM)
anno accademico: 2015-2016
responsabile: Giovanni Alberti 
docente: Giovanni Alberti 
totale ore: 47 (lezione: 43 ore, esercitazione: 4 ore)

Lezioni

1. Ven 04/03/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
   Definizione di variazione prima di un funzionale e calcolo della stessa nel caso "classico" (funzioni regolari); determinazione dell'equazione di Eulero-Lagrange.
   Casi fondamentali: funzionale con integranda f=f(x, u, \nabla u) e con u assegnato al bordo del dominio di integrazione (condizione di Dirichlet omogenea e non) oppure senza condizioni al bordo (condizione di Neumann). 
2. Sab 05/03/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
   Le curve con estremi assegnati di lunghezza minima su una superficie S come punti di minimo di due differenti funzionali: lunghezza e azione. Equazione di E.-L. associata al funzionale di azione (prima per una superficie S immersa in R^n, e poi per una varietà Riemanniana, espressa in termini di carte locali). 
3. Gio 10/03/2016, 16:00-18:00 (2 ore), esercitazione.
   Alcuni esempi significativi di problemi variazionali. Le curve con estremi assegnati di lunghezza minima su una superficie S senza bordo come punti di minimo di due differenti funzionali: lunghezza e azione. Equazione di E.-L. associata al funzionale di azione (prima per una superficie S immersa in R^n, e poi per una varietà Riemanniana, espressa in termini di carte locali). Il problema del primo autovalore per una forma quadratica su uno spazio con prodotto scalare, e poi per il Laplaciano. 
4. Gio 17/03/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
   Variazioni interne (o variazioni della variabile indipendente) per funzionali in dimensione 1, forma di Dubois-Raymond dell'equazione di E.-L. Variazioni interne in dimensione qualunque. Esempio significativo: problema con discontinuità libera in dimensione 1. 
5. Ven 18/03/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
   Problemi di esistenza: il metodo diretto (esistenza per semicontinuità e compattezza): un funzionale semicontinuo inferiormente e coercivo su uno spazio X ammette sempre punti di minimo. Esempio: esistenza delle geodetiche in spazi metrici compatti.
   Teorema di Banach-Alaoglu e risultati di compattezza per gli spazi di Sobolev W^{1,p} con 1 < p < infinito dotati della topologia debole.
   Primo esempio significativo: esistenza del minimo per funzionali del tipo energia di Dirichlet + integrale di f(x,u). Secondo esempio: tracce delle funzioni di Sobolev ed esistenza del minimo per l'energia di Dirichlet con dato al bordo assegnato. 
6. Mar 22/03/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
   Caratterizzazione dei funzionali coercivi su W^{1,p}. Disuguaglianza di Poincaré generalizzata e norme equivalenti su W^{1,p}; caratterizzazione dei funzionali coercivi sul sottospazio delle funzioni in W^{1,p} con valori assegnati su (parte del) bordo.
   Semi-continuità forte di un funzionale con integranda f(x,u,\nabla u). Convessità e semicontinuità forte implicano la semi-continuità debole. 
7. Gio 31/03/2016, 16:00-17:00 (1 ora), lezione.
   Esistenza dei minimi per funzionali con integranda f(x,\nabla u) convessa (e s.c.i.) nella seconda variabile e crescita più che lineare dal basso. Per funzionali con integranda f(\nabla u) ed u scalare, la convessità di f è condizione necessaria (oltre che sufficiente) per le semicontinuità debole. Enunciato del risultato generale di semicontinuità per funzionali con integranda f(x,u,\nabla u). 
8. Gio 31/03/2016, 17:00-18:00 (1 ora), esercitazione.
   Esempi di esistenza e non esistenza: funzionale con integranda |\nabla u|^p + g(x,u) con e senza condizioni al bordo, con integranda f(x,\nabla u) a crescita p dal basso ma senza condizioni al bordo, con integranda |\nabla u|^p - c|u|^q. 
9. Ven 01/04/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
   Alcuni risultati ausiliari sulle funzioni di Sobolev: classi di funzioni non regolari che sono di Sobolev, teorema di differenziabilità in senso classico in quasi ogni punto per funzioni in W^{1,p} con p>n, teorema di differenziabilità in senso approssimato L^{P*} in quasi ogni punto per funzioni in W^{1,p} con p<n.
10. Gio 07/04/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Preliminari sulle funzioni convesse su R^n: caratterizzazione in termini di disuguaglianze di convessità in forma integrale (disuguaglianza di Jensen, e variante con gradienti di funzioni test con dato al bordo nullo). Dimostrazione alternativa della semicontinuità debole per funzionali con integranda f(\nabla u) (via blow-up e disuguaglianze di convessità in forma integrale). 
11. Ven 08/04/2016, 16:00-17:00 (1 ora), lezione.
    Completamento della dimostrazione iniziata nella lezione precedente, e dimostrazione di alcuni risultati tecnici utilizzati in precedenza sulla convergenza (debole*) delle misure, sulla composizione di mappe di Sobolev con mappe di Lipschitz, sulla località dei gradienti di funzioni di Sobolev (due funzioni che coincidono su un insieme di Borel E hanno lo stesso gradiente in quasi ogni punto di E). 
12. Ven 15/04/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Definizione di funzione quasi-convessa (nel senso di Morrey). Un funzionale con integranda f(\nabla u) è debolmente semicontinuo se e solo se f è quasi-convessa. Osservazioni sulla definizione di quasi-convessità, la convessità implica la quasi-convessità che implica la convessità di rango-uno. Il determinante è una funzione quasi-convessa delle matrici ma non convessa. 
13. Mar 19/04/2016, 14:00-15:00 (1 ora), lezione.
    Funzioni poli-convesse. Le funzioni poli-convesse sono quasi-convesse (con dimostrazione) ma non vale il viceversa (non dimostrato). Continuità debole dell'operatore che ad ogni mappa di Sobolev u associa il determinante del gradiente. 
14. Gio 21/04/2016, 16:10-18:00 (2 ore), lezione.
    Definizione di rilassamento (sequenziale) di una funzione F definita su un sottoinsieme X' di un dato spazio topologico X (in seguito, X sarà uno spazio di funzioni, ed F tipicamente uno funzionale integrale). Nel caso in cui F è coercivo su X, il rilassato di F permette di determinare il comportamento (asintotico) delle successioni minimizzanti di F. In certi casi i punti di minimo del rilassato sono anche punti di minimo di F.
    Esempio: rilassamento del funzionale di Dirichlet definito su uno spazio funzioni regolari con dato al bordo assegnato, ed esistenza di minimi deboli. Esempio: rilassamento di un problema con ostacolo. 
15. Ven 22/04/2016, 16:00-17:00 (1 ora), esercitazione.
    Esercizio: rilassamento del funzionale di Dirichlet definito definito sullo spazio delle funzioni regolari con dato al bordo u_0 assegnato, e derivata normale nulla al bordo (condizione di Neumann). Esercizio: rilassamento del funzionale di Dirichlet definito sullo spazio delle funzioni regolari con dato al bordo u_0 assegnato, e con valore 0 in un dato punto interno al dominio. (Cosa succede se invece di un punto si prende un insieme K?) 
16. Ven 22/04/2016, 17:00-18:00 (1 ora), lezione.
    Domanda: dato F funzionale semicontinuo debole (e coercivo) su un certo spazio di Sobolev X, è vero che il rilassamento della restrizione di F al sottospazio X' delle funzioni regolari coincide con F stesso? La riposta in generale è no. Più in generale si può avere il fenomeno di Lavrentiev (esempio in dimensione 1). 
17. Mar 26/04/2016, 14:00-16:00 (2 ore), lezione.
    Definizione di p-capacità. La forma del rilassamento del funzionale di Dirichlet definito sullo spazio delle funzioni regolari con valore assegnato u_0 al bordo e valore 0 su un dato sottoinsieme K del dominio, dipende dalla 2-capacità di K.
    Esempio di fenomeno di Lavrentiev per funzionali del tipo integrale di f(u) |\nabla u|^2 con u mappa dal disco nel piano. Appendice: la funzione x/|x| dal disco nel piano appartiene allo spazio di Sobolev W^{1,p} per p<2; criterio generale di rimozione delle singolarità. 
18. Gio 28/04/2016, 17:00-18:00 (1 ora), lezione.
    Caratterizzazione del rilassato su W^{1,p} di funzionali con integranda f(\nabla u) a crescita p (con dimostrazione) con u scalare. Ruolo dell'ipotesi di crescita. Estensione del risultato al caso in cui f dipende da x e anche da u (senza dimostrazione). 
19. Ven 29/04/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Completamento della dimostrazione del teorema di rilassamento iniziata nella lezione precedente. Definizione di inviluppo quasi-convesso di una funzione; rilassamento su W^{1,p} di funzionali con integranda f(\nabla u) con f a crescita p e u vettoriale (traccia della dimostrazione).
    Calcolo della variazione prima per alcuni esempi concreti di funzionali definiti su spazi di Sobolev, per la precisione quelli dati dall'energia di Dirichlet più l'integrale di g(x,u). Validità dell'equazione di Eulero-Lagrange (in senso debole) per minimi con condizioni di Dirichlet al bordo. 
20. Mar 03/05/2016, 14:00-16:00 (2 ore), lezione.
    Strumenti per la regolarità aggiuntiva dei minimi: diversi risultati del tipo "una funzione con Laplaciano in L^p appartiene allo spazio di Sobolev W^{2,p}" (con dimostrazione completa, a parte un risultato fondamentale di analisi armonica nel caso p diverso da 2). 
21. Gio 05/05/2016, 16:00-17:00 (1 ora), lezione.
    Calcolo della variazione prima e regolarità aggiuntiva per i minimi di funzionali dati dall'energia di Dirichlet più l'integrale di g(x,u), senza condizione di Dirichlet al bordo. Un risultato di regolarità aggiuntiva per minimi di funzionali unidimensionali più generali; ruolo della stretta convessità dell'integranda nella regolarità dei minimi. Breve menzione dei risultati validi per il caso di dimensione maggiore di uno (scalare o vettoriale). 
22. Gio 05/05/2016, 17:00-18:00 (1 ora), lezione.
    Problema di Plateau: trovare la superficie in R^m di area minima tra tutte quelle aventi come bordo una curva assegnata. Descrizione dell'approccio di Douglas e Radó: minimizzare l'energia di Dirichlet invece del funzionale area, facendo leva sull'esistenza delle parametrizzazioni conformi (teorema di Lichtenstein). L'approccio non funziona per superfici di dimensione superiore a due per mancanza di parametrizzazioni conformi. 
23. Ven 06/05/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Teorema di Lichtenstein: ogni varietà di Riemann S di dimensione due sufficientemente regolare e diffeomorfa al disco D ammette una parametrizzazione conforme. Dimostrazione per via variazionale (minimizzazione dell'energia di Dirichlet tra le possibili parametrizzazioni da D in S). Primo passo della dimostrazione: esistenza del minimo dell'energia di Dirichlet tra tutte le mappe da D in S la cui restrizione al bordo che coincide a meno di riparametrizzazione con una data parametrizzazione del bordo di S. 
24. Mar 24/05/2016, 14:00-16:00 (2 ore), lezione.
    Seconda parte della dimostrazione del Teorema di Lichtenstein sull'esistenza di una parametrizzazione conforme per una superficie di Riemann diffeomorfa al disco chiuso: la mappa che minimizza l'energia di Dirichlet (sullo spazio X definito in precedenza) è conforme ed è "essenzialmente" bigettiva. (Viene omessa la dimostrazione della regolarità.) Traccia della dimostrazione del Teorema di Douglas sull'esistenza delle superfici minime in R^n. 
25. Gio 26/05/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Teoria astratta delle Gamma-convergenza: definizione di Gamma-limite F di una successione di funzionali (o semplicemente funzioni) F_n su uno spazio metrico X, proprietà fondamentale: i punti di accumulazione dei minimo di F_n sono punti di minimo di F. Ruolo dell'equi-coercività. Varie osservazioni più o meno tecniche.
    Un'applicazione significativa della teoria: comportamento asintotico del modello di Ginzburg-Landau scalare (o di van der Waals-Cahn-Hilliard) per fluidi a due fasi: descrizione del modello, e derivazione *euristica* della convergenza al modello di standard della tensione superficiale. 
26. Ven 27/05/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Preparazione per il teorema di Modica-Mortola (tutti gli enunciati sono stati dati senza dimostrazione): formula di coarea; funzioni BV in più variabili (definizione, esempi base, proprietà funzioni, compattezza, approssimazione con funzioni regolari); insiemi di perimetro finito (definizione, esempi base, compattezza, approssimazione con insiemi regolari). Enunciato del teorema di Modica-Mortola, ed prima parte della dimostrazione (equi-coercività dei funzionali). 
27. Lun 30/05/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Conclusione della dimostrazione del Teorema di Modica-Mortola (dimostrazione della disuguaglianza del Gamma-liminf e del Gamma-limsup).
    Secondo esempio fondamentale di Gamma-convergenza: omogeneizzazione. Esempio di partenza: funzionali uni-dimensionali F_\epsilon(u) con integranda a(x / \epsilon) (u')^2, dove a è una funzione periodica su R. Calcolo esplicito dei minimi con condizioni al contorno affini, e formulazione del teorema di Gamma-convergenza. Importanza della scelta della topologia nella formulazione del teorema di Gamma-convergenza per i funzionali F_\epsilon. Dimostrazione del teorema di Gamma-convergenza.
    Esempi di Gamma-convergenza lasciati per esercizio, incluse alcune estensioni del teorema precedente. 
28. Ven 03/06/2016, 16:00-18:00 (2 ore), lezione.
    Generalizzazione del teorema di omogeneizzazione dimostrato nella lezione precedente: funzionali uni-dimensionali F_\epsilon(u) con integranda f(x/\epsilon, u') dove la funzione f è 1-periodica nella prima variabile e convessa nella seconda. Determinazione dell'integranda g(u') del Gamma-limite tramite un opportuno problema di cella. Si dimostra prima la disuguaglianza del Gamma-liminf nel caso di u funzione affine, e poi si riconduce il caso generale a questo caso particolare per blow-up.
    Con opportune modifiche questa dimostrazione permette di ottenere anche la Gamma-convergenza dei funzionali uni-dimensionali con integranda f(x, x/\epsilon, u'), e dei funzionali in dimensione qualunque con integranda f(x/\epsilon, \nabla u), e f(x, x/\epsilon, \nabla u). (I dettagli sono lasciati per esercizio.)