Dati registro
insegnamento: Analisi
Matematica I
codice: 004AA
corso di studi: Ingegneria
Gestionale (IGE-L)
anno accademico: 2013-2014
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti,
Vincenzo Maria Tortorelli
totale ore: 114 (lezione:
56
ore, esercitazione: 58 ore)
Lezioni
- Mer 02/10/2013, 09:30-11:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti,Vincenzo Maria Tortorelli).
Presentazione del corso: programma, prerequisiti, libri di
testo,
modalità d'esame, pagina web, mailing list.
Alcuni esercizi di verifica delle conoscenze di base.
- Mer 02/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Ripasso di alcune nozioni di base: quando è definita la potenza
a^b?
significato della radice di un numero, misura degli angoli
(sempre in
radianti), logaritmo (sempre in base e).
Significato del grafico di una funzione. Grafici delle funzioni
elementari: ax+b; x^a; a^x; log x.
Operazione elementari sui grafici: ricavare a partire dal
grafico di
f(x) quello di f(x)+c e quello di f(x+c).
Alcuni esempi.
- Gio 03/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Dalla pagina 1 del manoscritto del primo gruppo. Ripasso dei
prerequisiti (disequazioni, diseguaglianze ed identità notevoli,
trigonometria). Esercizi sui grafici dal I foglio, pagina 1
manoscritto,
le prime tre equazioni e la penultima, le disequazioni tranne la
prima,
la sesta e l'ultima, esercizio di riconoscimento di grafici
della
pagina 4 del manoscritto, principali proprietà di seno e coseno
sul
cerchio unitario, a richiesta richiamo delle formule
parametriche in
tan(x/2), per sen(x), (a^n - b^n) = (a-b)... quadratura di
trinomi di
secondo grado e risoluzione grafica di equazioni a partire dal
grafico
di x^2.
- Ven 04/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Altre operazioni sui grafici di funzioni: ottenere dal grafico
di f(x)
quello di: cf(x), f(cx), -f(x), f(-x), |f(x)|, f(|x|) (per
esercizio).
Funzioni pari e funzioni dispari.
- Ven 04/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sui grafici di funzioni: disegnare i grafici di certe
funzioni
date; proporre formule per alcuni grafici disegnati alla
lavagna.
- Sab 05/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Ripasso veloce delle definizione di seno, coseno e tangente.
Valori di
queste quantità per alcuni angoli significativi. Grafico delle
funzioni
sen x, cos x, tan x.
- Sab 05/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sui grafici di funzioni, e in particolare delle
funzioni
trigonometriche.
- Mar 08/10/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Esercizi sulle operazioni di traslazione dilatazione e valore
assoluto
di funzioni elementari, esercizi di risoluzione grafica di
equazione e
disequazioni dal primo foglio, pagina 3 del manoscritto: il
secondo
punto (tranne gli ultimi due esercizi); il terzo (tranne il
primo
esercizio) grafici qualitativi di sin(2x), sin(4x), sin(x^2); il
quarto
(in più soluzione grafica di f(x) > x^2).
Spiegazione dei grafici di f(|x|) e |f(x)| a partire dal grafico
di
f(x). Simulazione di prova di esame (prima parte) dal I foglio
dattiloscritto: esercizi 13Cprova2P1E1-E2-E4 (15-20 minuti).
- Mer 09/10/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Riconduzione dello studio grafico di (3x+1)/(x+4) a quello di
1/x.
Dal I foglio dattiloscritto, esercizi da esame 13C1P1G1E1,
13C1P1G1E8,
13Ex4P1G1E1, richiamo del grafico di 1/x^2, proposto
13Cprova1P2E1 come
esercizio impegnativo da risolvere in seguito.
- Mer 09/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Notazione per gli intervalli.
Esempi di funzioni (date da formule e non). Definizione astratta
di
funzione: dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione
da un
sottoinsieme di R a valori in R (funzioni di una variabile) e da
R^2 in
R (funzioni di due variabili).
Interpretazione grafica di dominio e immagine per funzioni di
una
variabile.
- Mer 09/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Definizione di inversa di una funzione f da X in Y. L'inversa
esiste se
e solo se f è iniettiva e suriettiva.
Interpretazione grafica di iniettività e surgettività.
Calcolo dell'inversa come risoluzione di un equazione: alcuni
esempi
semplici di calcolo dell'inversa. Esempio di funzione da R in R
invertibile per cui non si riesce a trovare esplicitamente
l'inversa.
Il logaritmo è l'inversa dell'esponenziale, definito come
funzione da R
in (0,+infinito). In che senso la radice è l'inversa del
quadrato?
- Gio 10/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Esempi significativi di funzioni inverse (modulo un'opportuna
scelta di
dominio e codominio): logaritmo ed esponenziale, radice quadrata
e
quadrato, seno e arcoseno, coseno e arcocoseno, tangente e
arcotangente.
Relazione tra il grafico y=f(x) e x=f(y).
Se g è l'inversa di f, il grafico y=f(x) coincide con quello
x=g(y). Il
grafico y=g(x) si ottiene da y=f(x) per riflessione rispetto
alla retta
y=x.
Grafici delle funzioni trigonometriche inverse.
- Ven 11/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi di risoluzione esplicita e grafica di equazioni e
disequazioni.
Esercizi sul disegno di sottoinsiemi del piano definiti da
equazioni e
disequazioni.
- Ven 11/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
I foglio di esercizi dattiloscritto: esercizio 13Cprova1P2E1.
I foglio di esercizi, primo punto pagina 5 manoscritto: i
grafici
sin(arsin x), cos(arcos x), arcos(cos x); relazione tra arcos x
e arsin
x, arsin(sin x).
- Mar 15/10/2013, 08:30-10:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Limite di una funzione f(x) per x che tende a + infinito:
significato
intuitivo e definizione rigorosa (sia per il limite finito che
per il
limite + o - infinito); interpretazione grafica della
definizione.
Limite di una funzione f(x) per x che tende a x_0: significato
intuitivo e definizione rigorosa.
Discussione di esempi dati da funzioni elementari, oppure da
grafici
disegnati. Esempi di funzioni che non ammettono limite (sen x
per x che
tende a +infinito, 1/x per x che tende a 0).
- Mer 16/10/2013, 09:30-10:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Limite destro e sinistro. Definizione di funzione continua (in
un punto
/ sul tutto il dominio). Esempi di funzioni non continue in un
punto
del dominio. Le funzioni elementari (e quelle ottenute a partire
da
queste) sono tutte continue nell'insieme di definizione.
- Mer 16/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esempi di calcolo dei limiti usando alcune regole intuitive: il
limite
della somma di due funzioni è la somma dei limiti, il limite del
prodotto di due funzioni è il prodotto dei limiti, limite del
rapporto
e della funzione composta, etc.
Cosa fare quando uno i limiti sono infiniti (aritmetica dei
limiti).
Casi problematici ("forme indeterminate" come 0/0, etc.).
- Mer 16/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
Interpretazione geometrica della derivata come pendenza della
retta
tangente al grafico della funzione. La velocità (scalare e
vettoriale)
come derivata. Esempio di funzione non derivabile. Calcolo della
derivata a partire dalla definizione.
Calcolo della derivata a partire dalle derivate delle funzioni
elementari (lista completa) e di alcune regole (lista completa a
parte
la derivata della funzione inversa).
- Gio 17/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
A) Trovare formule che definiscano funzioni con grafici
"compatibili"
con le informazioni qualitative date da un grafico disegnato e
confronto tra approccio grafico ed analitico degli andamenti al
limite
evidenziati nei disegni: funzioni che valgono 1 su una
semiretta, 0
sull'altra e non definite nell'estremo, lo stesso per gli
intervalli,
grafici oscillanti.
B) uso dei teoremi dei carabinieri e di cambio di variabile nei
limiti
evidenziato nei grafici oscillanti mostrati in A).
C) Anticipo di teoria: determinazione (tramite la geometria
elementare)
del limite per x -> 0 di sinx / x e quindi di (1-cos x)/x, (1
- cos
x)/x^2; interpretazione grafica.
D) III foglio di esercizi pagina 2 primo e secondo punto:limiti
di
rapporti di somme di infiniti ed infinitesimi confrontabili.
- Ven 18/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Inizio delle dimostrazioni riguardanti il calcolo delle
derivate:
regola per la derivata della somma, del prodotto, e della
funzione
composta, derivata della funzione inversa, derivata delle
funzioni
ax+b, e^x e log x.
- Mar 22/10/2013, 08:30-09:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Conclusione delle dimostrazioni riguardanti il calcolo delle
derivate:
derivata di a^x, derivata di x^a, derivata del rapporto di due
funzioni, derivate di sen x, cos x, tan x, arcsin x, arctan x.
- Mar 22/10/2013, 09:30-10:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Funzioni crescenti e decrescenti: definizione e
caratterizzazione in
termini di segno della derivata prima (dimostrazione basata
sull'intuizione geometrica). Funzioni strettamente crescenti e
strettamente decrescenti.
Punti di massimo e minimo (assoluto) di una funzione
relativamente al
dominio o a un sottoinsieme del dominio; punti di massimo e
minimo
relativo (o locale). Teorema: la derivata di una funzione si
annulla
nei punti di massimo o minimo (locali o assoluti) interni al
dominio
(dimostrazione basata sull'intuizione geometrica).
Algoritmo per la ricerca dei punti di massimo e minimo assoluto
di una
funzione, quando esistono.
Esempi di funzioni che non hanno punti di minimo o massimo.
Teorema:
una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette
punti di minimo e massimo (senza dimostrazione).
- Mer 23/10/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli, in compresenza con il dottor Marco Caroccia).
Esercizi su studi di funzione.
A) Richiamo di limiti notevoli e derivate di funzione composta.
B) simulazione di una prima parte di esame scritto: 4 esercizi
in 30
minuti. III foglio di esercizi: 13CProva1P1E4, 13C1P1G3E4,
13C1P1E5,
13Ex1P1G1E2.
C) Risoluzione dei quesiti proposti.
D) Studio del grafico di arcsin( 2x/(1+x^2)).
E) Proposto 13C1P2G1E3 (tempo indicativo un ora).
- Mer 23/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Ricapitolazione dei concetti introdotti nella lezione
precedente;
esempi riguardanti l'esistenza dei punti di massimo e di minimo.
Funzione convesse (e concave) definite su un intervallo:
definizione
geometrica ed esempi.
Caratterizzazione della convessità (concavità) di una funzione
in
termini di crescenza decrescenza) della derivata (dimostrazione
basata
sull'intuizione geometrica).
Esercizio: dire se la disuguaglianza e^x > 2x vale per ogni x
reale
oppure no. Impostazione in termini di calcolo del valore minimo
di una
funzione. Eventuali problemi di una soluzione puramente grafica.
- Gio 24/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi tipici collegati allo studio del grafico di una
funzione:
trovare il numero di soluzioni di un equazione, dimostrare una
disuguaglianza, trovare il numero *intero* che rende minima (o
massima)
una certa funzione.
- Gio 24/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Regola di de L'Hôpital per il calcolo del limite del rapporto di
due
funzioni: versione approssimativa e versione precisa.
Dimostrazione in
un caso semplice.
Esempi di uso corretto e di uso scorretto. Esempio di rapporto
di
funzioni il cui limite esiste, ma non esiste il limite del
rapporto
delle derivate.
- Ven 25/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Applicazione fondamentale della regola di de L'Hôpital:
confronto
(espresso in termini di limite del rapporto) delle funzioni log
x, x^a
e a^x per x che tende ad infinito; confronto delle funzioni log
x e
1/x^a per x che tende a 0.
Nozione fondamentale: f(x) è trascurabile rispetto a g(x) per x
che
tende a x_0 (notazione << e "o piccolo").
Tabella dei confronti per le funzioni log x, x^a e a^x per x che
tende
ad infinito.
Tabella dei confronti per le funzioni log x e x^a per x che
tende a 0.
Nozione fondamentale: f(x) è asintoticamente equivalente a g(x)
per x
che tende a x_0 (notazione: ~).
Principio di sostituzione di infiniti e infinitesimi nel calcolo
del
limite di un prodotto o di un rapporto di funzioni;
caratterizzazione
dell'equivalenza asintotica in termini di "o piccolo" (le
dimostrazioni
sono rimandate alla lezione successiva).
Esempio di calcolo dei limiti usando quanto appena fatto.
- Mar 29/10/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Esercizi su studi di funzione, calcolo del numero di soluzioni
dell'equazione f(x) =p, massimi e minimi locali.
Svolgimento del testo di esame (seconde parto) 13C1P2G1E3 III
foglio di
esercizi.
III Foglio di esercizi pagina 3 manoscritto: quante soluzioni ha
l'equazione (x^2+1)/(x^4+1) =p al variare di p?
III Foglio di esercizi pagina 2 manoscritto: disegnare il
grafico di
log(1+ sin ( x^2/(1+x^2)) senza usar le derivate.
Quante soluzioni ha log(1+ sin ( x^2/(1+x^2))=x?
- Mer 30/10/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Calcolo dei valori di massimo e minimo come via per dimostrare
diseguaglianze dipendenti da parametri.
Verifiche di surgettività ed iniettività.
Calcolo della derivata in un punto di una funzione inversa non
esplicitabile.
Funzioni oscillanti infinite volte vicino a un punto:
determinazione
grafica dell'eventuale tangente; verifica con il limite del
rapporto
incrementale.
Richiami di teoria delle funzioni continue su intervallo:
immagine e
iniettività. Rivisitazione grafica della definizione di limite.
Permanenza del segno nei limiti graficamente.
III Foglio dattiloscritto pag.5 Esercizio 2. III Foglio
manoscritto
pagina 3: quarto punto, settimo punto.
- Mer 30/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Vincenzo Maria
Tortorelli).
Introduzione ai problemi di conteggio:
1. Numero delle "parole" di k caratteri da un "alfabeto" di n
simboli
(disposizioni con ripetizione). Interpretazione in termini di
funzioni.
2. Numero delle "parole" con k caratteri diversi da un
"alfabeto" di n
simboli (disposizioni senza ripetizione). Interpretazione in
termini di
funzioni.
3. Numero dei modi di scegliere k oggetti n assegnati
(combinazioni).
Interpretazione in termini di sottoinsiemi con k elementi di un
insieme
con n elementi. Metodo del testimone. Esempi e interpretazioni:
estrazioni con o senza re-immissione, numero di anagrammi con o
senza
ripetizione, probabilità di essere nati lo stesso giorno della
settimana.
Formula del binomio di Newton e formula di Leibniz per la
derivata
n-esima del prodotto.
- Gio 31/10/2013,
10:30-12:30,
lezione non tenuta per sospensione didattica.
- Mar 05/11/2013, 08:30-09:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Ripartiamo dalle nozioni di trascurabilità ("o piccolo" oppure
<<) e di equivalenza asintotica (~). Dimostrazione del
principio
di sostituzione di infiniti e infinitesimi nei limiti e della
caratterizzazione dell'equivalenza asintotica in termini di
resto.
Definizione di "o grande" (versione precisa e versione
semplificata).
Confronto tra "o piccolo" e "o grande".
Definizione di parte principale di una funzione (come monomio)
per x
che tende a 0 o all'infinito.
- Mar 05/11/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi elementari sull'uso delle nozioni di "o piccolo","o
grande",
equivalenza asintotica e parte principale.
- Mer 06/11/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli, in compresenza con il dottor Marco
Caroccia.).
Simulazione interattiva di prova d'esame con esercizi di
combinatoria
di base, limiti e convessità.
Simulazione di prima parte (mezz'ora a disposizione):
1a) quanti sono i numeri maggiori di 10000 che si possono
scrivere con
5 cifre diverse?
1b) usando solo le lettere A e B quante sono le parole di cinque
caratteri che si possono scrivere con almeno 2 A e almeno 2 B?
2) foglio III, esercizio 13C2P1G1E2.
3) foglio III, esercizio 13Ex2P1G2E3.
4) foglio III, esercizio 3 dattiloscritto pagina 5.
Risoluzione degli esercizi.
Simulazione di seconda parte (mezz'ora a disposizione): foglio
III,
esercizio 13C1provaP2E2.
- Mer 06/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Teorema dello sviluppo di Taylor in 0 di una funzione (enunciato
completo, inclusa l'unicità dello sviluppo e la formula del
resto di
Lagrange; dimostrazione rimandata alle lezioni seguenti).
Calcolo dello sviluppo di e^x. Uso dello sviluppo di e^x e della
formula del resto di Lagrange per calcolare il numero alla 3
cifra
decimale.
Calcolo degli sviluppi di sen(x) e cos(x); giustificazione della
formula e^(it) = cos(t) + i sen(t).
- Gio 07/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Proprietà utili degli sviluppi di Taylor: sviluppo della
funzione e
sviluppo della derivata, sviluppo delle funzioni pari e delle
funzioni
dispari.
Calcolo dello sviluppo delle funzioni log(1+x), 1/(1+x),
1/(1-x);
(1+x)^a.
Dimostrazione del teorema sullo sviluppo di Taylor enunciato
nella
lezione precedente (solo per ordine d=1, 2, ed esclusa la
formula del
resto di Lagrange).
- Ven 08/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Dimostrazione della formula del binomio di Newton usando lo
sviluppo di
Taylor di (1+x)^n.
Esercizi sul calcolo di sviluppi di Taylor e parti principali
(usando
gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari).
- Mar 12/11/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Concavità: foglio III, esercizio 13C1provaP2E2.
Combinatoria: percorrendo i lati di una scacchiera quanti sono i
"cammini di lunghezza minima" che congiungono due vertici con
differenza delle coordinate 3 e 4?
Quante password si scrivono con 3 cifre diverse e quattro
caratteri
dall'alfabeto inglese di 26 lettere?
Polinomi di Taylor e parti principali: sviluppo centrato in 1 di
log x;
resti di Lagrange (in 0) di 1/(1+x), di sin x, sviluppo di
exp(x-x^3).
Esercizi sul calcolo delle parti principali (per x che tende sia
a 0
che all'infinito) usando gli sviluppi di Taylor delle funzioni
elementari.
Alcuni esercizi elementari di combinatoria.
- Mer 13/11/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sul calcolo delle parti principali (per x che tende sia
a 0
che all'infinito) usando gli sviluppi di Taylor delle funzioni
elementari.
Alcuni esercizi elementari di combinatoria. (Giovanni Alberti)
- Mer 13/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Combinatoria e calcolo della probabilità come rapporto tra il
numero
di casi favorevoli su numero di casi possibili (quando lo si può
fare?).
Che probabilità c'è di indovinare un numero al lotto con una
cinquina?
Con una moneta non truccata, con che probabilità si hanno
esattamente 3
teste su 4 lanci? E almeno 3 teste?
Qual è la probabilità di estrarre 2 volte la pallina nera
facendo 6
estrazioni da un'urna che contiene un pallina gialla una bianca
ed una
nera? E se ho due palline gialle e una nera?
Parti principali e sviluppi di Taylor. IV foglio di esercizi:
13C1P1G1E7, 13Ex3P1G4E4.
Confronto tra resto di Lagrange e resto esatto di 1/(1+x).
Valutazione
con frazioni di log(1,1) mediante il polinomio di Taylor (IV
foglio
pag4 manoscritto terzo punto). Altre parti principali.
- Gio 14/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Lezione "teorica".
Numeri interi e numeri razionali.
Caratterizzazione dei numeri razioni come numeri con espansione
decimale periodica.
I numeri reali come numeri con espansione decimale qualunque.
Perché sono importanti i numeri reali. Definizione di massimo (e
minimo) di un insieme numerico, e poi di estremo superiore (e
inferiore).
Esempi. Completezza dei numeri reali: ogni insieme limitato
superiormente e non vuoto ammette un estremo superiore (con
giustificazione non del tutto rigorosa).
- Ven 15/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Combinazioni con ripetizione.
a) In quanti modi posso distribuire 10 monete a 6 persone, una
almeno
ad ognuno?
b) In quanti modi posso distribuire 10 monete a 6 persone, anche
non
dando nulla a qualcuno?
Parti principali e sviluppi di Taylor.
"Regole" utilizzate negli esercizi: se pp(A) + pp(B) non è 0
allora
pp(A+B) = pp(A) + pp(B) fatte le dovute semplificazioni.
Calcolo p.p. di log(5^x +1) per x -> infinito (due
soluzioni).
Limite di [exp(x) -1]/x elevato alla cos x/x per x che va a 0.
Foglio IV, esercizi 13Ex3P1G4E4, 13C1P2G1E1a).
- Mar 19/11/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Esercizi di combinatoria:
1) Quanti sono i possibili risultati del lancio di due monete
uguali?
2) Quanti di due dadi diversi?
3) Quanti quelli di due dadi uguali?
4) Quanti sono i risultati di 10 lanci ordinati di dadi eguali?
5) Quanti i risultati di 10 lanci di dadi egual?
Esercizi su limiti, Taylor e parti principali:
1) limite di x log 2x per x->0;
2) pp di sin cos x per x->0;
3) pp di (sin x)^2 - sin (x^2) + ... (foglio IV, esercizio
13Ex4P2G1E2).
- Mer 20/11/2013, 09:30-10:30,
lezione non tenuta per assenza del docente (recuperata in
seguito).
- Mer 20/11/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi su parti principali e sviluppi di Taylor.
- Mer 20/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Esempi
(semplici)
di calcolo dei limiti. Le successioni crescenti e decrescenti
hanno
sempre limite.
Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue (con
dimostrazione).
- Gio 21/11/2013,
10:30-12:30,
lezione non tenuta per sospensione didattica (prove scritte
dell'esame
di stato per Ingegneri) e recuperata in seguito.
- Ven 22/11/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Esercizi di combinatoria.
1) Quanti sono i numeri di 7 cifre maggiori di un milione che
non
contengono lo zero?
2) Quante sono le parole di 7 caratteri tra quelli dell'alfabeto
di 26
lettere che si scrivono con esattamente tre lettere uguali e le
altre
diverse anche fra di loro?
3) Quanti sono i possibili risultati con esattamente 6 palline
rosse
dell'estrazione di 10 palline da un'urna che contiene 14 palline
bianche e 13 palline rosse?
- Ven 22/11/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
1) parte principale di f(x) - f(a) - f'(a) (x-a) per x che
tende
ad a (non sempre esiste).
1b) esempio exp(-1/x^2) per x>0 e 0 altrimenti: il suo
rapporto con
potenze di esponente positivo di x tende a 0 per x->0. Quindi
NON ha
parte principale. Quindi i suoi polinomi di Taylor son tutti
nulli.
2) Parte principale di exp (x^2) - cos (x^2).
3) Parte principale 1 / [1+ log(1+x)] -1 per x->0.
4a) Provare che x^5 -x^3 +3x è iniettiva e suriettiva.
4b) Per quali a x^5 -a x^3 +3a è iniettiva? E per quali è
convessa?
4c) Calcolo della parte principale dell'inversa per y ->
+infinito
della
funzione al punto precedente.
- Mar 26/11/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Risoluzione degli esercizi della prima prova in itinere.
I parte, gruppo 1, esercizi dall'1 all'8; I parte, gruppo 3,
esercizi
dall'1 all'8; II parte, gruppo 3, esercizi 1a, 1b, 2a, 2b, 3a,
3b.
- Mer 27/11/2013, 09:30-11:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Teorema di Cauchy, dimostrato a partire dal teorema di Lagrange.
Dimostrazione della formula del resto di Lagrange nello sviluppo
di
Taylor usando il teorema di Cauchy (per d=1 e 2).
Definizione di integrale definito di una funzione positiva in
termini
di area del sotto-grafico. Definizione di integrale definito di
una
funzione a segno variabile.
Altri esempi di integrale definito: lo spazio percorso da un
punto come
integrale della velocità, il lavoro di una forza non costante
(lungo un
cammino rettilineo).
Calcolo dell'integrale definito di una funzione continua per
approssimazione con somme finite. Calcolo dell'integrale di x^2
tra 0 e
1 per approssimazione.
- Mer 27/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Definizione di primitiva di una funzione, teorema fondamentale
del
calcolo integrale e calcolo effettivo degli integrali definiti,
con
esempi.
Calcolo delle primitive tramite lista delle primitive delle
funzioni
elementari e alcune "regole": linearità dell'integrale, formula
di
integrazione per parti, formula di cambio di variabile.
Esempi di applicazione delle varie formule.
- Gio 28/11/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Dimostrazione delle regole di integrazione enunciate nella
lezione
precedente.
- Gio 28/11/2013, 11:30-13:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sul calcolo delle primitive e degli integrali.
- Ven 29/11/2013, 10:30-12:30,
lezione
non tenuta per sospensione didattica.
- Mar 03/12/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Calcolo di integrali e primitive (fogli V e VI).
Per parti, per sostituzione con binomi di primo grado, per
sostituzione, integrali di funzioni razionali semplici.
Foglio V: esercizi 13C2P1G1E3, 13C2P1G1E4, 13Ex2P1G1E4,
variazione
13Ex1P1G1E5.
Primitiva di 1/(3x^2 -2), primitiva di log x, primitiva di 1/x
su due
semirette.
Le potenze delle funzioni trigonometriche si possono esprimere
come
somme di multipli di funzioni trigonometriche con frequenze
intere:
richiamo della notazione esponenziale per i numeri complessi.
Primitiva nulla in 0 di radice di (1-x^2) come esempio di
sostituzione
"indiretta"; confronto del risultato con quello ottenuto con
metodi
elementari.
- Mer 04/12/2013, 09:30-11:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Formule per l'area di una figura piana come integrale della
lunghezza
delle sezioni (con giustificazione euristica).
Esempi di calcolo di aree.
Formula per il volume di una figura solida come integrale delle
aree
delle sezioni (con giustificazione euristica).
Formule per il volume dei solidi di rotazione (cioè dei solidi
ottenuti
dalla rotazione del grafico di una funzione y=f(x) attorno
all'asse
delle x oppure attorno all'asse delle y) ottenute a partire dal
risultato precedente.
Esempi: il volume della sfera e del cono.
- Mer 04/12/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Integrali impropri semplici. Motivazione (dal calcolo delle
aree),
definizione precisa come limite, e possibili comportamenti.
Esempi di integrali impropri semplici.
Esempi fondamentali: integrale da 1 a infinito di 1/x^a;
integrale da 0
a 1 di 1/x^a.
Cosa si può dire su un integrale improprio semplice senza
calcolare la
primitiva della funzione integranda? a) il comportamento
dell'integrale
improprio non dipende dal valore dell'estremo in cui non è
improprio;
b) l'integrale improprio di una funzione positiva esiste sempre
(con
dimostrazione).
Altre proprietà verranno date nella lezione successiva.
- Gio 05/12/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Riprendiamo la teoria degli integrali impropri: principio del
confronto
e del confronto asintotico (in versione completa e
semplificata).
Studio di alcuni integrali impropri usando i criteri appena
enunciati e
i risultati sugli integrali impropri fondamentali.
- Gio 05/12/2013, 11:30-13:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Integrazione mediante primitive (fogli V e VI) e integrali (di
funzioni) razionali. Integrali razionali notevoli, esempi
primitive per
reciproci di polinomi di grado 2 e 3: 1 / (x^3 -x^2-4); 1 /
(x^2+x+1);
1 / (x^2 -1); 1 / (Ax^2 +Bx+C) con discriminante negativo.
Gli integrali di funzioni razionali di e^x si riconducono ad
integrali
razionali.
Calcolo delle aree: area dell'insieme dei punti (x,y) con 1
<|y|<
e^x< e; con arctan|x| < y< 1.
Esempi di integrazione per parti: calcolo delle primitive di
e^(3x) sin
x; e^(ax) sin bx; x 5^x.
- Ven 06/12/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esempi di calcolo di integrali impropri.
- Ven 06/12/2013, 11:30-12:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Integrali impropri di funzioni a segno variabile: il criterio
della
convergenza assoluta (con dimostrazione parziale).
Serie numeriche (somme di infiniti numeri): definizione come
limite
delle somme parziali e possibili comportamenti.
Esempio fondamentale: somma di x^n con x numero reale assegnato
(serie
geometrica).
- Mar 10/12/2013, 08:30-10:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Enunciamo e dimostriamo alcuni risultati fondamentali per lo
studio del
comportamento delle serie numeriche:
a) una serie a termini positivi (o definitivamente positivi)
esiste
sempre;
b) criterio dell'integrale per serie numeriche a termini
positivi;
c) criterio del confronto e del confronto asintotico.
Esempio fondamentale: comportamento della serie di 1/n^a con a
numero
reale positivo (per confronto con l'integrale).
- Mer 11/12/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Calcolo di aree, volumi di rotazione, integrali impropri.
Area dell'insieme dei punti (x,y) t.c. 1< xy<2 e 0<2x.
Volume dell'insieme degli (x,y,z) tali che x^2+y^2 < (sin
z)^2 e 0
< pi (traduzione a parole: volume del solido di rotazione
attorno
all'asse x del grafico di sin x con x tra 0 e pi).
Esistenza e finitezza di integrali impropri: integrale di 1/x
tra -1 e
1; di 1/x^2 tra -1 e 1; di tan x tra pi/2 e -pi/2; di 1 /
(radice
quadrata di |x^2 -1|) tra 0 e +infinito; di 1/log x tra 0 e 1.
- Mer 11/12/2013, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sulle serie.
- Gio 12/12/2013, 10:30-12:15 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Integrali impropri e serie. integrale di 1/(log x) su ]1;2[ e su
[2;+infinito[; int. di pi/2 -arctan x su [0;+infinito[; int. di
1/(1-x^a) su [0;1[;
int. 1/[x^a|log x|^b] su [2;+infinito[; int. 2^{ radice di
x-1}/[ rad.x
(4^{rad.x} -1)] su [0;+infinito[; serie di 1/(radice di n) -
1/n^2;
serie di
(1+1/n)^n; serie di (1+1/n)^(-n^2).
Parti principali, confronto e confronto asintotico per serie e
integrali impropri.
Serie con addendi a termini positivi come aree di funzioni "a
scala"
con gradini di base 1.
Esempio di una funzione non negativa con integrale finito sulla
retta
ma non infinitesima (rettangoli con basi di cui la serie delle
lunghezze è finita).
- Gio 12/12/2013, 12:30-13:15 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli, in compresenza con il dottor Marco Caroccia).
Simulazione assistita della prima parte di una prova scritta su
integrazione, integrali impropri, serie:
1) calcolare l'integrale di 5^x sin x su [0;1].
2) primitiva di 1/(t^2-1) che vale 0 per t=2.
3) Dire se è finito il volume di rotazione attorno all'asse y di
(x,y):
0< y<1/x e 0<1.
4) Per quali a converge la serie di sin(a/n) -1/n?
Risoluzione degli esercizi assegnati.
- Ven 13/12/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Ultime osservazioni sulle serie:
a) serie di numeri a segno variabile e criterio della
convergenza
assoluta;
b) serie di Taylor, le serie di Taylor delle funzioni e^x,
sen(x),
cos(x) convergono ovunque (senza dimostrazione).
Inizio della teoria delle equazioni differenziali.
Esempio: trovare la legge oraria di un corpo in caduta libera a
partire
dalle leggi fisiche elementari (forza di gravità costante, forza
di
gravità costante più resistenza dell'aria, forza di gravità non
costante).
Il ruolo delle condizioni iniziali nella determinazione delle
soluzioni.
- Mar 17/12/2013, 08:30-09:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Fatti generali sulle equazioni differenziali del primo ordine.
Equazioni differenziali del primo ordine lineari: risoluzione
tramite
fattore integrante.
Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili:
calcolo delle eventuali soluzioni costanti e delle soluzioni non
costanti.
- Mar 17/12/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine, lineari
e a
variabili separabili.
- Mer 18/12/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Integrali impropri e serie (fogli VII, VIII).
Singolarità in punti diversi da 0.
Integrali impropri per le serie: serie di n^a exp(-n) e
integrale su
[1;+infinito[ di x^a exp(-x); serie di n^a exp(- radice di n).
Criteri di confronto: integrale su [1;+infinito[ di (log x)^a/
x^2;
integrale
su [2;+infinito[ di (x^3+1)/(x^a+3); serie di (n^3+1)/(n^a+3);
integrale su
[0; pigreco/2[ di 1 / [(tan x)^4-1].
Serie con termini di segno variabile e assoluta integrabilità.
- Mer 18/12/2013, 10:45-11:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Prime equazioni differenziali. Calcolo delle primitive:
x'(t) =
1/t , x(-1)=2:la condizione iniziale determina la costante.
Equazioni
lineari del primo ordine omogenee, quadratura e formula
risolutiva: x'
=
-sin(t) x, x(0)=2 (anche come equazione a variabili separabili).
Lineari del primo ordine non omogenee: x' = -sin(t) x +
exp(cos(t)),
x(0)=2.
Equazioni lineari del primo ordine: risoluzione per linearità:
1)
ricerca soluzioni equazione omogenea e 2) ricerca di una
soluzione
particolare z. Per 2): tentativi o metodo della variazione delle
costanti: z del tipo g x con x soluzione dell'omogenea.
- Mer 18/12/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni
Alberti).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine.
Classificazione (omogenee e non, a coefficienti costanti e non).
Risultato fondamentale: le soluzioni di un'equazione lineare
omogenea
del secondo ordine formano uno spazio vettoriale di dimensione
due: ne
segue che due soluzioni linearmente indipendenti permettono di
trovare
tutte le altre.
Soluzione generale delle equazioni differenziali del secondo
ordine
lineari omogenee e a coefficienti costanti a partire dalle
soluzioni
dell'equazione caratteristica (con giustificazione delle formule
date).
Alcuni esempi.
- Gio 19/12/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni
Alberti).
Equazioni del secondo ordine lineari e non omogenee: la
soluzione
generale la si ottiene sommando la soluzione generale
dell'equazione
omogenea ed una soluzione particolare dell'equazione di partenza
(con
dimostrazione).
"Ricettario" per la ricerca delle soluzioni particolare di
equazioni a
coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare
(senza
dimostrazioni).
- Gio 19/12/2013, 11:30-13:15 (2 ore), esercitazione (Vincenzo
Maria Tortorelli).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a
coefficienti
costanti: x"-x = sin t; x"-x = sin t + exp(2t); x"-x = sin t +
exp(2t)
+2 exp(-t).
Problema di Cauchy con condizioni x(0)=x(1)=0.
Problema con condizioni all'infinito.
Equazioni differenziali a variabili separabili: x'= sin(t)
exp(x) e
x(pi)=0; x' = 1/x; x' = cos(t)/2x e x(0)=2; x' = x^2 e x(3)=1.
- Ven 20/12/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni
Alberti).
Esercizi sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti
del secondo e anche del primo ordine.
Esempio importante: l'equazione del pendolo (smorzato e non) e
il
fenomeno della risonanza.