Dati registro
insegnamento: Analisi
Matematica I
corso di studi: Ingegneria
Gestionale
(triennale)
anno accademico: 2012-2013
docenti: Giovanni Alberti
(responsabile) e Vincenzo Maria
Tortorelli
codice: 004AA
totale ore: 109 (lezione:
53
ore, esercitazione: 56 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 68
(lezione:
51 ore, esercitazione: 17 ore)
totale ore Vincenzo Maria Tortorelli: 43
(lezione: 4 ore, esercitazione: 39 ore)
Lezioni
- Mer 26/09/2012 09:30-11:30 (2 ore, Giovanni Alberti, Vincenzo
Maria Tortorelli), lezione.
Presentazione del corso: docenti, programma del corso,
prerequisiti, cosa bisogna saper fare alla fine, libri di testo,
mailing list e pagina web del corso, modalità d'esame.
Svolgimento di
alcuni esercizi di verifica delle conoscenze di base.
- Mer 26/09/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Ripasso delle nozioni di base sui grafici delle funzioni
elementari: funzioni lineari, potenze, esponenziali, logaritmo
(in base
e). Operazioni sui grafici: dato il grafico di f(x) ed un numero
positivo a, disegnare il grafico di f(x+a), f(x-a), a f(x),
-f(x),
f(-x). Svolgimento di alcuni esercizi.
- Gio 27/09/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Prima ora presentazione del corso di studio da parte del
presidente del consiglio di CdS G. Dini.
Seconda ora esercizi di ripasso su domini di definizione,
equazioni
algebriche e trigonometriche, disequazioni e loro
interpretazioni
grafiche qualitative: primi tre esercizi a pagina 2 del primo
gruppo di
esercizi (reperibile in
www.dm.unipi.it/~alberti/files/didattica/12-13_An1Gest/VMT-esercizi1.pdf).
- Ven 28/09/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Ripasso delle nozioni di base di trigonometria. Definizione di
seno, coseno e tangente. Relazioni fondamentali (con cenno di
dimostrazione), formula per il seno ed il coseno della somma di
due
angoli (senza dimostrazione). Grafici delle funzioni seno,
coseno e
tangente.
- Sab 29/09/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Terminologia di base sulle funzioni: dominio, codominio,
immagine, funzioni iniettive e suriettive (con interpretazione
in
termini di grafici). Funzione inversa. Condizioni necessarie e
sufficienti per l'esistenza della funzione inversa. Esempi:
inverse
delle funzioni ax+b, e^x, x^2, sin x, cos x, tan x (negli ultimi
quattro esempi l'inversa esiste solo a patto di restringere la
funzione
ad opportuni sottoinsiemi del dominio di definizione).
Definizione
astratta di funzione.
- Mer 03/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su disequazioni e loro interpretazione grafica,
richiamo della formula della distanza di un punto da una retta,
richiami di trigonometria, formula per la differenza di potenze
ad
esponente intero di due enumeri, grafici basati su grafici
elementari;
terzo e quarto esercizio di pagina 2, secondo esercizio di
pagina 4 del
primo foglio di esercizi (reperibile in:
www.dm.unipi.it/~alberti/files/didattica/12-13_An1Gest/VMT-esercizi1.pdf).
- Mer 03/10/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Funzioni crescenti e decrescenti (in senso stretto oppure no).
Osservazioni sparse sulle funzioni inverse: risoluzione
dell'equazione
f(x)=a e della disequazione f(x) < a (oppure f(x) > a) nel
caso
di f crescente o decrescente, grafici di log x e radice di x
(ottenuti
partendo da quello di e^x e x^2 rispettivamente), grafici di
arcsin x,
arccos x, arctan x. Esercizi sui grafici di funzioni: dato il
grafico
di f(x) disegnare quello di -f(-x), |f(x)| e f(|x|) (lasciato da
fare
per casa). Altri esercizi sui grafici di funzioni.
- Gio 04/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sui grafici di funzioni (disegnare il grafico
di una funzione elementare, disegnare insiemi di punti del piano
definiti da equazioni o disequazioni, risolvere graficamente
un'equazione o una disequazione, trovare una formula compatibile
con un
dato grafico).
- Ven 05/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Numeri naturali, interi, razionali e reali. Perché i razionali
non bastano e servono i reali (irrazionalità della radice
quadrata di
2). Espansione decimale dei numeri reali. Caratterizzazione dei
numeri
razionali come quelli con espansione decimale
periodica.Definizione di
massimo e di estremo superiore di un insieme A di numeri reali.
Completezza dei numeri reali: ogni insieme A non vuoto e
limitato
superiormente ammette un estremo superiore. Definizione rigorosa
di
limite di una successione di numeri reali.
- Sab 06/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su disegno di grafici a partire da grafici
elementari, in evidenza il disegno dei grafici di |f(x)|,
f(|x|), f(|x|
-c) a partire da quello di f(x). Riconoscere figure piane quali
grafici, riconoscere l'iniettività di funzioni a partire dai
loro
grafici e grafici delle inverse; trovare formule compatibili con
un
dato grafico; definizione di una funzione per casi; restrizione
di una
funzione a un sottodominio; somme geometriche di ragione
strettamente
compresa tra -1 ed 1 e loro limite. Secondo e terzo esercizio di
pagina
4, ed esercizi di pagina 5 del primo foglio di esercizi
(reperibile in
www.dm.unipi.it/~alberti/files/didattica/12-13_An1Gest/VMT-esercizi1.pdf).
Terzo
e ultimo esercizi a pagina 1 del secondo foglio di esercizi.
- Mer 10/10/2012 09:30-10:30 (1 ora, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Grafico di f(x)= arcsin(sin x), impostazione dello
studio del grafico di arcsin(cos x). Come derivare dall'assioma
di
completezza l'illimitatezza dei numeri naturali. La successione
1/n
risulta quindi infinitesima.
Limiti e diseguaglianze: se B>1 e x > 1/(B-1) allora
Bx> x+1
quindi B^n > n+c. Se |a|<1 la successione a^n è
infinitesima.
Somma geometrica infinita. Allineamenti decimali 0,999... e
0,0..010..01.. con le somme geometriche. Calcolo di estremi
superiori
ed estremi inferiori.
- Mer 10/10/2012 10:30-11:30
(1
ora), lezione non tenuta per sospensione didattica per
assemblea degli
studenti.
- Mer 10/10/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Definizione formale di limite di una successione (reprise) e
di limite di una funzione (in un punto di accumulazione del
dominio).
Limiti delle funzioni elementari. Esempi di successioni e di
funzioni
per cui il limite non esiste. Definizione formale di funzione
continua.
- Gio 11/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Definizione di funzione continua (reprise); tutte le
funzioni costruite a partire da funzioni elementari sono
continue nel
dominio di definizione. Esercizi sui limiti di funzioni: dare
esempi di
(sotto forma di disegni) di funzioni con certi limiti, limiti da
calcolare usando il grafico della funzione, limiti da calcolare
sulla
base dei limiti delle funzioni note e di poche regolare
elementari (non
dimostrate). Esempi di limiti problematici ("forme
indeterminate").
- Ven 12/10/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
Motivazione geometrica: la derivata è la pendenza della retta
tangente
al grafico. Motivazione fisica: la velocità è la derivata dello
spostamento (il vettore velocità è la derivata del vettore
posizione).
Esempi di funzioni non derivabili. Calcolo di alcune derivate
partendo
dalla definizione. Procedura effettiva per il calcolo delle
derivate:
tabella delle derivate delle funzioni elementari e insieme di
regole di
derivazione.
- Ven 12/10/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sul calcolo delle derivate.
- Sab 13/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Dimostrazione di tutte le regole per il calcolo delle derivate
e di tutte le formule per le derivate delle funzioni elementari
date
nella lezione precedente.
- Mer 17/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Teorema di Lagrange (con dimostrazione geometrica). Derivate
se proprietà geometriche dei grafici di funzioni: se una
funzione ha
derivata positiva su un intervallo allora è crescente
(dimostrazione
sia geometrica che analitica, tramite il teorema di Lagrange).
Viceversa una funzione crescente ha derivata positiva. Derivata
strettamente positiva e funzioni strettamente crescenti.
Funzioni
decrescenti. Definizione di punti di massimo e di minimo sia
assoluti
che locali (o relativi). Il teorema di Weierstrass
sull'esistenza dei
punti di massimo e di minimo (senza dimostrazione). Nei punti di
massimo e minimo locale interni la derivata, se esiste, vale
zero (con
dimostrazione sia geometrica che analitica). Procedura per la
ricerca
dei punti di massimo e minimo di una funzione derivabile.
- Mer 17/10/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Definizione geometrica di funzione convessa su un intervallo,
e definizione analitica. Se la derivata seconda di una funzione
è
positiva allora la derivata prima è crescente e quindi la
funzione è
convessa (con dimostrazione); viceversa se una funzione è
convessa
allora la derivata prima è crescente (con dimostrazione), e la
derivata
seconda è positiva.
Enunciato degli analoghi risultati per le funzioni concave.
- Mer 17/10/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sulla ricerca dei punti di massimo e minimo, e
sul disegno del grafico di una funzione.
- Gio 18/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su limiti, derivate, studio di diseguaglianze e
grafici, tratti dal terzo foglio di esercizi (reperibile in:
http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2168.INGA-es3-4.pdf).
Primi tre
punti di pagina 1; tutta pagina 2 tranne l'ultimo e il
quartultimo
punto; pagina 3, quarto e quinto punto.
- Ven 19/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli
in
compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi),
esercitazione.
Assistenza e consulenza agli studenti che affrontano la prova di
autovalutazione.
(Testo reperibile in
http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2170.INGA-modificatoGio.pdf).
- Sab 20/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Soluzione pubblica dei quesiti proposti per la prova di
autovalutazione del giorno precedente.
- Mer 24/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su limiti e studi di funzione (reperibili in
http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2168.INGA-es3-4.pdf e in
http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2178.INGA-es4.pdf)
Terzultimo esercizio, terza pagina del terzo foglio di esercizi.
Quarto foglio di esercizi: esercizi B1a, B2 (pagina 1), esercizi
C1, 2,
3, 4, 5 iniziati a svolgere dagli studenti con la collaborazione
del
docente.
- Mer 24/10/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Nozioni utili per il confronto di due funzioni in prossimità
di un punto dato: equivalenza asintotica, nozione di funzione
trascurabile rispetto ed un altra, notazione di Landau ("o
piccolo" e
"O grande"). Esempio di uso di queste notazioni nel calcolo dei
limiti
(principio di sostituzione di infiniti e infinitesimi). Teorema
dello
sviluppo di Taylor di una funzione in 0 (solo enunciato).
- Gio 25/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su studi di funzione, limiti, disuguaglianze e
sviluppi di Taylor (reperibili in
http://www.dm.unipi.it/syl/upload_doc/2178.INGA-es4.pdf).
Soluzione pubblica esercizi iniziati dagli studenti nella
precedente
esercitazione. Dal quarto foglio di esercizi: C1, 2, 3, 4, 5,
D6a
(variante impegnativa aggiungendo 1 al secondo membro), D6d,
esercizio
7a,b.
Calcolo degli sviluppi di Taylor dell'esponenziale, di seno e
coseno del
logaritmo di (1+x).
Illustrazione grafica dell'approssimazione di Taylor;
risoluzione
dell'esercizio D6d con polinomi di Taylor e resto di Lagrange.
Resto di Lagrange.
- Ven 26/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Ricapitolazione di quanto detto nella lezione precedente.
Teorema di Cauchy (con dimostrazione). Dimostrazione del teorema
sullo
sviluppo di Taylor (con resto di Lagrange). Caratterizzazione
del
polinomio di Taylor in termini della decomposizione f(x) = P (x)
+
o(x^d).
- Sab 27/10/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Verifica delle varia proprietà del resto nello sviluppo
di Taylor. Calcolo dello sviluppo di Taylor delle seguenti
funzioni
elementari: e^x, sin x, cos x, log(x+1), (1+x)^a, 1/(1+x),
1/(1-x).
Esempi di uso dello sviluppo di Taylor: calcolo di un limite,
calcolo
approssimato del valore di una funzione (l'esponenziale) in un
punto.
- Mer 31/10/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su diseguaglianze risolte con problemi di
minimo e confronto di derivate, approssimazione con razionali di
valori
di funzioni trascendenti mediante l'uso dei polinomi di Taylor,
uso
della notazione di Landau ("o piccolo" e "o grande")
nell'utilizzo del
polinomio di Taylor per la risoluzione di limiti. Unicità del
polinomio
di Taylor e suo uso per il calcolo di polinomi di Taylor di
funzioni
composte.
Dal quarto gruppo di esercizi: esercizi D6bc, 8ab, 9a E11 primi
due
punti. Esercizi su richiesta degli studenti.
- Mer 31/10/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Ultimi dettagli sugli sviluppi di Taylor: sviluppo di un
polinomio, sviluppo di (1+x)^n, formula del binomio di Newton.
Notazione compatta per la somma. Parte principale di una
funzione per x
che tende a 0 o all'infinito; calcolo delle parti principali
usando gli
sviluppi di Taylor.
- Mer 31/10/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sul calcolo delle parti principali di funzioni (per x
che
tende a 0).
- Mer 07/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su parti principali e notazione di Landau
(reperibili in
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3):
dal
quarto gruppo di esercizi, pagina 7: 14 primo punto, 15, 16, 17
primo punto.
- Mer 07/11/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione in un caso
particolare. Confronto delle funzioni log x, x^a (potenze) e b^x
(esponenziali) per x che tende all'infinito. Confronto di log x
e
x^(-a) (potenze negative) per x che tende a zero.
- Mer 07/11/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sui limiti basati sui confronti delle funzioni
fondamentali all'infinito e in zero.
Esercizi sui limiti con l'uso di
parti principali e sviluppi di Taylor.
- Gio 08/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sul calcolo di limiti e delle parti principali
sia per x che tende a 0 che per x che tende all'infinito.
- Ven 09/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Definizione di integrale (definito) di una funzione positiva
come area del sotto-grafico, definizione di integrale per una
funzione
qualunque. Approssimazione dell'integrale con somme finite
(somme di
Riemann), e stima dell'errore in termini del massimo del valore
assoluto della derivata. Un'interpretazione fisica
dell'integrale: lo
spazio percorso da un oggetto è uguale all'integrale della
velocità
v(t). Definizione di primitiva di una funzione. Teorema
fondamentale
del calcolo integrale: data una funzione f su [a,b] con
primitiva F,
l'integrale di f tra a e b è uguale a F(b)-F(a). Uso del teorema
fondamentale per il calcolo esatto degli integrali.
- Sab 10/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Calcolo di integrali e primitive. Elenco delle primitive di
alcune funzioni elementari (con verifica) e regole fondamentali
(tutte
dimostrate): formula per la primitiva (e l'integrale) della
somma e
della differenza di due funzioni, e del prodotto di una funzione
per
una costante. Formula di integrazione per parti, formula di
cambio di
variabile. Alcuni esempi di uso di queste regole.
- Mer 14/11/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli
in
compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi),
esercitazione.
Illustrazione del metodo per l'integrazione delle funzioni
razionali,
esercizi svolti dai docenti, ed esercizi svolti dagli studenti
su
ricerca di primitive e calcolo di integrali: casi elementari di
sostituzione, integrazione per parti, esempi di integrazione di
razionali con varia complessità di calcolo.
(Materiale reperibili in
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3).
Dal
quinto gruppo di esercizi e dalle note dottoressa Massaccesi:
pagina 4, es. 1, es. 2 prima riga; pagine 6, 7.
- Mer 14/11/2012 14:30-15:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Calcolo delle aree: l'area di una figura piana è uguale
all'integrale
delle lunghezza delle sezioni (formula parzialmente
giustificata).
Verifica della formula per l'area della cerchio.
- Mer 14/11/2012 15:30-16:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sul calcolo delle aree.
- Gio 15/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Calcolo dei volumi: il volume di una figura solida è uguale
all'integrale delle aree delle sezioni (formula parzialmente
giustificata). Principio di Cavalieri. Verifica della formula
per il
volume della sfera e per il volume di un cono con base
qualunque.
Formula per il volume di un solido di rotazione. Alcuni esempi
di
calcolo del volume.
- Ven 16/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Lunghezza di una curva nel piano, intesa come distanza
percorsa da un punto in movimento di coordinate x(t) e y(t).
Lunghezza
del grafico di una funzione. Esempi di calcolo delle lunghezze.
Esercizi sul calcolo delle aree.
- Ven 16/11/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sul calcolo delle aree tramite integrali.
- Sab 17/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo
Maria Tortorelli), esercitazione.Esercizi su integrali
(materiale
reperibile in
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3).
Dal
quinto gruppo di esercizi: esercizio 1, settima, ottava;
esercizio
2 prima, terza, quarta, quinta, ottava; esercizio 3 prima,
seconda;
esercizio 4, quinta; esercizio 6, seconda parte; esercizio 7.
- Mer 21/11/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli
in
compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi),
esercitazione.
Funzioni iperboliche: motivazione ed integrazione di radici di
somme di
quadrati. Integrali per il calcolo di volumi per sezione e per
il
calcolo di lunghezze. Dal quinto gruppo di esercizi (reperibile
in
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3):
esercizio
4, terzo integrale. Dal sesto gruppo di esercizi: paragrafi
A], B], C], esercizio 1, 2, 3, 5.
- Mer 21/11/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Integrali impropri "semplici" tra a e b di una funzione f(x).
Casi di riferimento: b = +infinito, oppure f(x) continua su
[a,b) ma
non definita in b. Esempi.
Definizione dell'integrale improprio come area del sotto-grafico
(nel
caso di funzioni positive) o in alternativa come il limite per m
che
tende a b degli integrali di f(x) tra a e m. Tale limite esiste
sempre
se f(x) è positiva.
Esempi d calcolo di integrali impropri, inclusi alcuni esempi
chiave
(integrale tra 1 e +infinito di 1/x^a e d 1/e^x, integrale tra 0
e 1 di
1/x^a).
- Gio 22/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Ricapitolazione veloce di quanto detto fino ad adesso sugli
integrali improprio "semplici" tra a e b, cioè impropri solo ad
un
estremo dell'intervallo di integrazione (per convenzione
l'estremo
superiore b). Il comportamento dell'integrale improprio
(esistenza/non
esistenza/finitezza) non cambia se si cambia l'altro estremo di
integrazione (con dimostrazione); per le funzioni positive, o
positive
"vicino a b", l'integrale improprio esiste sempre ma può essere
+infinito (con dimostrazione). Per le funzioni a segno variabile
può
succedere che l'integrale improprio, inteso come limite, non
esista.
Criteri di finitezza per gli integrali impropri di funzioni
positive, o
positive "vicino a b": criterio del confronto e del confronto
asintotico (con dimostrazione). Alcuni esempi.
- Ven 23/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
lezione.
Conclusione della teoria degli integrali impropri: l'integrale
(improprio ad un estremo) di una funzione f(x) a segno variabile
esiste
ed è finito se l'integrale improprio del valore assoluto |f(x)|
è
finito (giustificazione geometrica). Gli integrali impropri in
più di
un punto, o in un punto interno all'intervallo di integrazione,
vanno
calcolati spezzandoli come somme di integrali impropri
"semplici".
- Ven 23/11/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esempi di calcolo di integrali impropri non semplici per
scomposizione in integrali impropri semplici: integrale tra -1 e
1 di
1/x e 1/x^2, integrale tra 0 e +infinito di 1/x, 1/x^2, e 1/(x
log(x)).
- Sab 24/11/2012 10:30-11:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Esercizi sugli integrali impropri (semplici e non) e in
particolare sull'integrale di 1/(x log(x)) e 1/(x log^a(x)) tra
0 e 1/2
e tra 2 e +infinito. Calcolo di un'area tramite integrale
improprio.
- Sab 24/11/2012 11:30-12:30 (1 ora, Giovanni Alberti),
esercitazione.
Svolgimento di esercizi su parti principali e limiti proposti
dai
presenti.
- Mer 28/11/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli
in
compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi),
esercitazione.
Integrazione in senso improprio e sommabilità. Esercizi su
convergenza
di integrali su domini eventualmente illimitati e per funzioni
eventualmente illimitate tratti dal settimo foglio di esercizi
(reperibile in:
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3).
A
scelta una decina di temi dal primo esercizio del gruppo.
- Mer 28/11/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Serie (o somme infinite) di numeri reali. Definizione di serie
come limite (se esiste) della successione delle somme parziali.
Esempio
fondamentale: la serie geometrica (somma di a^n per n da 0 e
infinito,
con a numero reale assegnato).
Il comportamento della serie (convergenza/divergenza a + o -
infinito/non convergenza) non cambia se si cambiano i termini
iniziali
della serie. Per le serie convergenti il termine della serie
tende a 0.
Le serie a termini positivi ammettono solo due comportamenti: o
convergono a un numero finito o divergono a +infinito. Criteri
di
convergenza per serie a termini positivi: confronto e confronto
asintotico (senza dimostrazione); criterio dell'integrale (con
dimostrazione); comportamento della serie di 1/n^a al variare
dell'esponente a.
- Gio 29/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su integrali impropri e sommabilità: onda
"quadra" di ampiezza illimitata non negativa ed area finita
(strizzamento dei picchi piuttosto che avvicinamento agli assi)
integrande di segno variabile oscillanti eventualmente smorzate.
Esercizi tratti dal settimo gruppo di esercizi (reperibile in:
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3):
temi
dal primo e secondo esercizio, settimo esercizio parte a.
- Ven 30/11/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Criterio del rapporto per serie a termini positivi (con
dimostrazione). La serie di Taylor di exp(x) converge alla
funzione
(con dimostrazione).
Conseguenze di questo fatto: definizione del numero e (costante
di
Nepero) come serie, definizione di exp(z) con z complesso come
serie,
"dimostrazione" dell'identità exp(ix) = cos(x) + i sin(x).
Espressione
di pigreco/4 come serie a partire dall'integrale tra 0 e 1 della
funzione 1/(1+x^2) (senza giustificazione rigorosa).
- Sab 01/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su somme ricorrenti e serie definitivamente di
segno costante: parallelo con gli integrali impropri confronto,
confronto asintotico, diseguaglianze, parti principali e
sviluppi.
Dall'ottavo gruppo di esercizi (reperibile in
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3):
esercizio
1, esercizio 2a, b, c, d, esercizio 3, esercizio 4 a, esercizio
6 serie:prima, seconda, terza, quarta e quinta.
- Mer 05/12/2012 09:30-11:30 (2 ore, Vincenzo Maria Tortorelli
in
compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi),
esercitazione.
Esercizi
sulla convergenza di serie usando assoluta convergenza,
confronto
asintotico e sviluppi. Relazione tra comportamento di integrale
e serie
con integranda ovvero termine generale monotono. Esercizi
sull'uso del
criterio della radice. Su richiesta degli studenti breve
esposizione
dell'argomento per provare la densità nell'intervallo tra -1 ed
1 dei
valori della successione sin(n).
Parte degli esercizi svolti dal docente parte dagli studenti in
modo
assistito.
Dall'ottavo gruppo di esercizi: esercizio B6: serie quinta,
sesta,
settima, ottava, undicesima, diciottesima, diciannovesima,
ventesima,
ventitreesima; esercizio B7
serie quarta; esercizio B8, parte a.
- Mer 05/12/2012 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Ultime osservazioni sulle serie: convergenza delle serie
assolutamente convergenti e delle serie a segni alterni con
termine
infinitesimo (con cenni di dimostrazioni ed esempi).
Esempi di equazioni differenziali tratti dalla meccanica: moto
di un
corpo in caduta libera in assenza di attrito (prima con
accelerazione
costante, e poi con accelerazione proporzionale all'inverso del
quadrato della distanza dal centro della terra): moto di un
corpo
agganciato ad una molla in assenza di attrito (oscillatore
armonico).
- Gio 06/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Altri esempi di equazioni differenziali: moto del pendolo
(senza attrito); equazione di decadimento. Cenni sulle proprietà
generali delle equazioni differenziali del primo ordine (senza
dimostrazioni). Risoluzione delle equazioni differenziali a
variabili
separabili (con esempi).
- Ven 07/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine: formula
risolutiva generale tramite fattore integrante (con esempi).
Proprietà
generali delle equazioni differenziali del secondo ordine (senza
dimostrazioni). Equazioni differenziali lineari del secondo
ordine: le
soluzioni di un'equazione omogenea formano uno spazio vettoriale
di
dimensione due (con dimostrazione parziale). Risoluzione nel
caso
omogeneo e a coefficienti costanti (con dimostrazione). Esempi.
- Mer 12/12/2012 09:30-10:30 (1 ora, Vincenzo Maria Tortorelli
in
compresenza con la dottoressa Annalisa Massaccesi),
esercitazione.
Esercizi introduttori su equazioni differenziali:
Unicità per u' = u, u(0)=0: se u è soluzione -u è soluzione, ove
non
negativa la soluzione è crescente e convessa, riducendosi quindi
al
caso non negativo dal teorema fondamentale del calcolo
confrontando per
convessità con l'area del triangolo di vertici (0,0), (t,0), (t,
u(t))
si ottiene 0 < o = u(t) < o =1/2 tu(t).
Soluzioni delle equazioni lineari del primo ordine: metodo di
quadratura, metodo di linearità: soluzione particolare +
soluzione
dell'equazione omogenea.
Stesso metodo di linearità presentato per un'equazione lineare
del
secondo ordine (su richiesta). Osservazioni sulla linearità, e
sui
termini noti che siano soluzioni dell'omogenea.
Dal nono gruppo di
esercizi: esercizio 12, primo e terzo tema.
http://www.dm.unipi.it/www2/modules/pd_m.php?func=view_all&id_pd=749&id_sede=2&id_tipo=3
- Mer 12/12/2012 10:30-11:30 (1
ora),
lezione non tenuta per sospensione didattica per assemblea degli
studenti.
- Mer 12/12/2012 14:30-15:30 (1 ora, Vincenzo Maria
Tortorelli),
lezione.
1 - Risoluzione dell'equazione differenziale lineare del
secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti reali nel caso
in cui
l'equazione caratteristica ha soluzioni complesse: cenno
all'interpretazione fisica e verosimiglianza per l'esistenza di
soluzioni oscillatorie, richiamo sull'esponenziale complesso,
derivata
dell'esponenziale complesso, soluzioni fondamentali con
esponenziale
complesso, calcolo delle soluzioni fondamentali con funzioni
trigonometriche "smorzate''.
2 - Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non
omogenee: a)
linearità dell'equazione (analogia con l'equazione di una retta)
differenza di soluzioni è soluzione dell'omogenea;
b) la soluzione generale si trova sommando una soluzione
particolare
dell'equazione di partenza con tutte le soluzioni dell'equazione
omogenea associata.
- Mer 12/12/2012 15:30-16:30 (1 ora, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi preliminari su equazioni lineari del secondo
ordine a coefficienti costanti: esempio di equazione del primo
ordine
non omogenea per illustrare l'analogia del metodo "soluzione
particolare
più soluzione generale dell'omogenea", u''+u =1; esercizio 19
del nono
gruppo di esercizi, ultimo tema con diverse condizioni iniziali;
esercizio 20, quarto tema con termini noti diversi: costante,
p(t)=t,
soluzione dell'omogenea.
- Gio 13/12/2012 10:30-11:15 (1 ora, Vincenzo Maria
Tortorelli),
lezione.
Espressione con parametri di ampiezza e
fase della soluzione generale di un equazione lineare del
secondo
ordine omogenea a coefficienti costanti e comportamento
qualitativo del
grafico. (Vincenzo Maria Tortorelli)
- Gio 13/12/2012 11:15-12:30 (1 ora, Vincenzo Maria
Tortorelli in compresenza con la dottoressa Annalisa
Massaccesi),
esercitazione.
Esercizi su equazioni lineari del primo ordine, equazioni
autonome,
equazioni a variabili separabili fenomeno delle soluzioni
costanti e
delle barriere, problemi con condizioni ausiliarie e condizione
di dato
iniziale.
Dal nono foglio di esercizi: esercizio 12, terzo tema, nono
tema,
variazione sul nono tema con imposizione della condizione di
limitatezza, decimo tema;
esercizio 14 primo tema, secondo tema, impostazione quarto e
sesto
tema, quinto tema; esercizio 15 impostazione primo tema;
esercizio 16
impostazione primo tema.
- Ven 14/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Giovanni Alberti),
lezione.
Un esempio significativo di equazione differenziale lineare
del secondo ordine: l'oscillatore armonico smorzato.
Risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo
ordine
con coefficienti costanti e non omogenee nel caso di termini
noti di
tipo particolare (polinomi, esponenziali, combinazioni lineari
di seni
e coseni). Esempio significativo: il fenomeno della risonanza
nell'oscillatore armonico forzato.
- Sab 15/12/2012 10:30-12:30 (2 ore, Vincenzo Maria
Tortorelli),
esercitazione.
Esercizi su equazioni differenziali ordinarie lineari
del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: termini
noti
speciali e metodo dei coefficienti indeterminati, uso
dell'esponenziale
complesso nel caso di termini noti risonanti del tipo
esponenziale per
trigonometrica (indicazioni su come e quando nel corso del
calcolo
conviene esplicitare le radici del polinomio caratteristico e le
soluzioni dell'omogenea o indicarle simbolicamente usando solo
le
proprietà); termini noti oscillanti non risonanti per
oscillatori senza
attrito; un metodo diverso dalla variazione delle costanti per
trattare
termini noti generici: integrale tra 0 e t di u(t-s) f(s) ds,
dove f è
il termine noto e u la soluzione dell'omogenea per cui u(0)=0
u'(0)=1
(parallelo con le equazioni del primo ordine). Esercizi tratti
dal nono
foglio di esercizi.