Dati registro

insegnamento: Matematica
corso di studi: Scienze Geologiche (triennale)
anno accademico: 2011-2012
docenti: Giovanni Alberti
codice: 010AA
totale: 90 ore (lezione: 48 ore, esercitazione: 42 ore)

Lezioni

1. Lun 03/10/2011 14:00-15:00 (1 ora) lezione.
   Presentazione del corso: descrizione sommaria del programma e dei prerequisiti necessari, materiale didattico, pagina web e mailing list del corso, modalità d'esame (scritti, orali, compitini).
2. Lun 03/10/2011 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione.
   Svolgimento di alcuni esercizi elementari per avviare il richiamo delle nozioni di base (equazioni e disequazioni, risoluzione di disequazioni per via grafica).
3. Mar 04/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Richiamo di alcune nozioni di base: numeri naturali, interi, razionali e reali. Potenze. Logaritmo in base "e" (costante di Napier). Misura degli angoli. Definizione geometrica delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente. Valori per alcuni angoli significativi. Svolgimento di alcuni esercizi di trigonometria elementare.
4. Lun 10/10/2011 14:00-15:00 (1 ora) esercitazione.
   Svolgimento di esercizi su: trigonometria elementare e disuguaglianze.
5. Lun 10/10/2011 15:00-16:00 (1 ora) lezione.
   Definizione di funzione come "procedura" (formula, algoritmo o altro) che ad ogni input (numerico) x associa un output (numerico) f(x). Esempi di funzioni dati da formule e non solo. Insieme di definizione e immagine di una funzione data da una formula. Grafico di una funzione. Risoluzione di alcune semplici equazioni e disequazioni per via grafica.
6. Mar 11/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Descrizione dei grafici delle funzioni elementari (funzioni lineari, potenze, esponenziali, logaritmo, seno, coseno, tangente). Operazioni sui grafici: a partire dal grafico di f(x) costruire quelli di: f(x)+a, f(x+a), -f(x), f(-x), -f(-x), a*f(x), f(a*x). Alcuni esempi.
7. Lun 17/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione.
   Esercizi sparsi sul disegno di grafici di funzioni.
8. Mar 18/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
   Definizione astratta di funzione inversa, l'iniettività come condizione necessaria (e sufficiente) per l'esistenza dell'inversa. Uso della funzione inversa per la risoluzione di equazioni. Esempi significativi di funzioni inverse: esponenziale, logaritmo, potenze e radici, inverse delle funzioni trigonometriche di base. Inversa di una funzione crescente o decrescente, risoluzione di disequazioni elementari collegate a funzioni crescenti o decrescenti (quest'ultimo punto è stato in parte rimandato alla lezione successiva).
9. Lun 24/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione non tenuta a causa della sovrapposizione con i colloqui dell'esame di ammissione al dottorato in Matematica
10. Mar 25/10/2011 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Completamento di alcuni argomenti avanzati dalla lezione precedente sulle funzioni inverse, esercizi sparsi sul disegno di grafici di funzioni.
11. Lun 31/10/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione non tenuta per sospensione didattica decisa dal presidente di corso di laurea
12. Lun 07/11/2011 14:00-14:30 (1/2 ora) lezione.
    Grafici in scala logaritmica (in una o entrambe le variabili). Grafico delle funzioni esponenziali e delle funzioni di tipo potenza. Coordinate polari e formule di conversione con le coordinate cartesiane.
13. Lun 07/11/2011 14:30-16:00 (1 ora e 1/2) esercitazione.
    Esercizi su: calcolo delle coordinate polari, disegno di insiemi definiti in termini di coordinate cartesiane o polari (e viceversa: descrizione in termini di coordinate cartesiane e polari di un insieme dato in termini grafici).
14. Mar 08/11/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Coordinate sferiche e formule di conversione con le coordinate cartesiane. Numeri complessi: prodotto, somma, reciproco, coniugato, modulo. Esempi di calcolo con i numeri complessi. Rappresentazione dei numeri complessi come punti del piano: la somma corrisponde all'usuale somma di vettori. Rappresentazione di un numero complesso in forma cartesiana / trigonometrica / esponenziale.
15. Lun 14/11/2011 14:00-14:30 (1/2 ora) lezione.
    Ripasso delle varie forme di rappresentazione dei numeri complessi: cartesiana, trigonometrica, esponenziale. Utilità della forma esponenziale.
16. Lun 14/11/2011 14:30-16:00 (1 ora e 1/2) esercitazione.
    Esercizi su: forma esponenziale dei numeri complessi, calcolo di potenze, calcolo della radici quadrate di un numero complesso (senza usare la forma esponenziale), risoluzione di equazioni di secondo grado,
17. Mar 15/11/2011 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sui numeri complessi, ed in particolare sul calcolo delle radici n-esime; esercizi su richiesta degli studenti (disequazioni, disegno di insiemi di punti del piano definiti da equazioni e disequazioni).
18. Lun 21/11/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Introduzione al concetto di derivata: motivazioni geometriche (pendenza della retta tangente al grafico di una funzione) e fisiche (definizione di velocità, accelerazione, portata). La derivata è definita come limite del rapporto incrementale, con un approccio "intuitivo" alla nozione di limite. Esempi di derivate calcolate a partire dalla definizione: ax+b, x^2, x^3, e^x (con l'aiuto della calcolatrice).
19. Mar 22/11/2011 11:00-12:00 (1 ora) lezione.
    Calcolo delle derivate tramite la tabella delle derivate elementari (ax+b, x^a, a^x, log x, funzioni trigonometriche) e una lista di "regole" (derivata della somma, del prodotto, del rapporto e della composizione di due funzioni). Dimostrazione di alcune regole e determinazione delle derivate di alcune funzioni elementari.
20. Mar 22/11/2011 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi di calcolo delle derivate.
21. Lun 28/11/2011 14:00-15:00 (1 ora) lezione.
    Dimostrazione delle regole di calcolo e determinazione delle derivate delle funzioni elementari non considerate nella lezione precedente.
22. Lun 28/11/2011 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle derivate.
23. Mar 29/11/2011 11:00-12:00 (1 ora) lezione.
    Ambiti di applicazione del concetto di derivata: modellistica (impostazioni di leggi fisiche), risoluzione di equazioni differenziali, espressione delle funzioni in serie di potenze, studio del grafico di una funzione. Cominciamo con l'ultimo argomento: relazione tra segno della derivata e monotonia della funzione, e come usare questo fatto per disegnare grafici di funzioni.
24. Mar 29/11/2011 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi su disegno del grafici di funzioni e calcolo delle derivate.
25. Lun 05/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione.
    Svolgimento in classe di una simulazione di prova scritta, sugli argomenti previsti per il primo compitino (esercitazione svolta in presenza di un sostituto per assenza docente).
26. Mar 06/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Risoluzione degli esercizi dati nella simulazione di prova scritta del giorno precedente (esercitazione svolta da Maria Stella Gelli per assenza del docente).
27. Lun 12/12/2011 14:00-15:00 (1 ora) lezione.
    Definizione di sottoinsieme convesso del piano. Definizione di funzione convessa (o concava) su un intervallo. Relazione tra concavità e convessità, e il segno della derivata seconda.
28. Lun 12/12/2011 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione.
    Uso di quanto visto nell'ora precedente per disegnare il grafico di alcune funzioni note [exp x e tan x] o meno note [exp(-x^2)].
29. Mar 13/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Definizione di punti di minimo e di massimo, assoluti e relativi, di una funzione su un intervallo. Definizione di valore minimo e massimo di una funzione su un intervallo, e di estremo superiore ed inferiore (con esempi in cui massimo e/o minimo non esistono). Esistenza di massimo e minimo per una funzione "ragionevole" (continua) definita su un intervallo chiuso (senza dimostrazione). Metodo per la ricerca dei punti di minimo e di massimo: sono compresi tra gli estremi dell'intervallo e quelli in cui si annulla la derivata. Esempio di applicazione corretta del metodo, e di applicazione errata.
30. Lun 19/12/2011 14:00-16:00 (2 ore) lezione non tenuta per svolgimento del primo compitino
31. Mar 20/12/2011 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Risoluzione degli esercizi assegnati nel primo compitino.
32. Lun 09/01/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Limiti delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmo, etc.). Alcune regole di buon senso per il calcolo dei limiti (non dimostrate). Casi problematici (o forme indeterminate): 0/0, infinito/infinito, 0*infinito, infinito-infinito). Alcuni esempi.
33. Mar 10/01/2012 11:00-12:00 (1 ora) lezione.Teorema di de L'Hôpital (dimostrato solo in alcuni casi particolari). Alcuni esempi significativi. Esempio di uso errato del teorema.
34. Mar 10/01/2012 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione.
    Calcoli di limiti con e senza il teorema di de L'Hôpital. Esercizi sui grafici di funzioni.
35. Lun 16/01/2012 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Nozione di equivalenza asintotica di due funzioni per x che tende a... [notazione: f(x) ~ g(x)] e di trascurabilità asintotica di una funzione rispetto ad un altra [notazione: f(x) < < g(x) o anche f(x)=o(g(x))]. Risultati collegati: 1) f(x) ~ g(x) se e solo se f(x) = g(x) + o(g(x)); 2) due funzioni asintoticamente equivalenti hanno lo stesso limite; 3) principio di sostituzione di infiniti ed infinitesimi (tutti dimostrati). Gerarchia delle funzioni elementari (logaritmo, potenze, esponenziali) all'infinito. Gerarchia delle funzioni elementari (logaritmo e potenze) in zero.
36. Mar 17/01/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo dei limiti, in particolare usando le gerarchie delle funzioni elementari viste nella lezione precedente. Alcuni esercizi di studio di funzioni (trovare il numero di soluzioni di un'equazione, trovare il valore minimo di una funzione).
37. Mer 22/02/2012 11:00-12:30 (1 ora e 1/2) lezione.
    Formula per lo sviluppo di Taylor di ordine d di una funzione (in zero), con dimostrazione. Calcolo degli sviluppi di Taylor di ordine qualunque delle funzioni exp(x), cos(x) e sin(x). Accennato: sviluppi di exp(x), cos(x) e sin(x) come polinomi infiniti (serie di potenze), usati per giustificare l'espressione di e come somma (infinita) di 1/n! e per giustificare la formula exp(ix) = cos(x) + i sin(x) già data in precedenza.
38. Ven 24/02/2012 11:30-13:00 (2 ore) lezione.
    Deduzione di alcuni "limiti notevoli" dagli sviluppi di Taylor di exp(x), cos(x) e sin(x). Sviluppo di Taylor di (1+x)^a con a numero reale qualunque. Caso particolarmente rilevante: 1/(1+x); a partire da questi si ottengono inoltre gli sviluppi di 1/(1-x) e log(1+x). Calcolo di alcuni limiti usando gli sviluppi di Taylor. Facoltativo:: sviluppo di 1/(1+x^2) e di arctan(x); utilizzando quest'ultimo si giustifica (parzialmente) la formula pigreco/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7...
39. Mer 29/02/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Definizione di parte principale (intesa come monomio) di una funzione per x che tende zero o all'infinito. Esercizi su sviluppi di Taylor e calcolo delle parti principali.
40. Ven 02/03/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle parti principali.
41. Mer 07/03/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo di limiti e parti principali.
42. Ven 09/03/2012 11:30-13:00 (1 ora e 1/2) lezione.
    Definizione geometrica di integrale (definito) di una funzione positiva su un intervallo dato come area del sotto-grafico; estensione della definizione a funzioni di segno qualunque. Approssimazione del sotto-grafico con rettangoli, e corrispondente approssimazione dell'integrale definito con opportune somme di valori della funzione. Esempio: calcolo dell'integrale di x^2 da 0 e 1 per approssimazione. Esempi significativi di integrale definito: la distanza coperta da un punto in movimento a velocità variabile è uguale all'integrale della velocità; dato un punto che si muove da un estremo e un altro di un intervallo, il lavoro compiuto su tale punto da una forza che dipende solo dalla posizione è uguale all'integrale della forza sull'intervallo.
43. Mer 14/03/2012 11:00-12:00 (1 ora) lezione.
    Definizione di primitiva di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo (con dimostrazione). Elenco delle primitive di alcune funzioni elementari.
44. Mer 14/03/2012 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione.
    Calcolo di alcuni integrali (tramite il teorema fondamentale del calcolo e l'elenco di primitive di funzioni elementari data poco prima). Calcolo di alcuni integrali impropri.
45. Ven 16/03/2012 11:00-12:30 (1 ora e 1/2) lezione.
    Regole per il calcolo degli integrali (definiti ed indefiniti) con dimostrazioni (solo per gli integrali indefiniti) ed esempi: integrale della somma di due funzioni, formula di integrazione per parti (esempio importante: primitiva di log(x)) formula di cambio di variabile (esempio importante: primitiva di tan(x)).
46. Mer 21/03/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sul calcolo di integrali e primitive.
47. Ven 23/03/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione non tenuta per assenza del docente (partecipazione a convegno)
48. Mer 28/03/2012 11:00-12:00 (1 ora) lezione.
    Integrali impropri. Situazioni base: a) uno degli estremi di integrazione è infinito; b) la funzione da integrare non è definita e anzi tende all'infinito in uno degli estremi di integrazione; c) la funzione non è definita e tende all'infinito in un punto interno all'intervallo di integrazione.
49. Mer 28/03/2012 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione.
    Esercizi sugli integrali impropri.
50. Ven 30/03/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Calcolo di aree e volumi tramite integrazione: l'area di una figura piana è uguale all'integrale delle lunghezze delle sezioni ortogonali rispetto ad un asse assegnato; il volume di una figura solida è uguale all'integrale delle aree delle sezioni ortogonali rispetto ad un asse assegnato; entrambe le formule sono state giustificate in termini di approssimazione (con rettangoli per le figure piane, con cilindri per quelle solide). Esempi: verifica della formula per l'area del cerchio e per il volume della sfera, della piramide a base quadrata e più in generale di un cono qualunque. Esempi di calcolo dell'area di una figura piana definita tramite disequazioni.
51. Mer 18/04/2012 11:30-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Svolgimento di esercizi su richiesta degli studenti (parti principali e calcolo di aree).
52. Ven 20/04/2012 11:00-12:30 (1 ora e 1/2) lezione.
    Equazioni differenziali. Alcuni esempi tratti dalla meccanica: equazione di un corpo in caduta libera (accelerazione costante oppure dipendente dalla distanza dalla terra, dimostrazione del principio di conservazione dell'energia); equazione dell'oscillatore armonico (massa agganciata ad una molla) e del pendolo (in particolare nel limite delle piccole oscillazioni).
53. Ven 27/04/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Altro esempio di equazione differenziale tratta dalla fisica: equazione di decadimento. Equazioni differenziali del primo ordine: esistenza ed unicità della soluzione con dato iniziale assegnato (enunciato non preciso, e senza dimostrazione). Equazioni a variabili separabili: schema di soluzione (con esempio). Equazioni lineari del primo ordine: risoluzione tramite fattore integrante (con esempio).
54. Mer 02/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Fatti generali sulle equazioni differenziali del secondo ordine (la soluzione esiste ed è univocamente determinata da due condizioni iniziali). Equazioni lineari del primo e secondo ordine (omogenee e non, a coefficienti costanti e non). Per ottenere tutte le soluzioni di un'equazione omogenea del secondo ordine è sufficiente trovarne due che non siano una multiplo dell'altra (e analogamente per quelle del primo ordine basta trovare una soluzione non nulla). Risoluzione delle equazioni lineari omogenee del primo e secondo ordine a coefficienti costanti tramite la risoluzione dell'equazione caratteristica. Applicazione della teoria ed esempi concreti.
55. Ven 04/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi sulle equazioni differenziali: a) a variabili separabili; b) lineari del primo ordine, c) lineari del secondo ordine, omogenee e a coefficienti costanti. Lezione tenuta dal dottor Andrea Marchese per assenza imprevista del docente.
56. Mer 09/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Risoluzione delle equazioni lineari a coefficienti costanti *non omogenee* (del primo e secondo ordine) tramite la soluzione dell'equazione omogenea associata e la ricerca di una soluzione particolare: schema per la ricerca della soluzione particolare per determinate classi di termini noti (polinomi, esponenziali, esponenziali e funzioni trigonometriche). Applicazione della teoria ad esempi concreti.
57. Ven 11/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi e applicazioni sulle equazioni differenziali lineari: oscillatore armonico smorzato con coefficiente d'attrito piccolo (incluso il pendolo); oscillatore armonico forzato con forza esterna periodica (con particolare attenzione al caso della risonanza). Alcuni esercizi standard sulle equazioni lineari non omogenee del secondo ordine.
58. Mer 16/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Vettori di dimensione n. Operazioni sui vettori: somma di due vettori, prodotto di un vettore per un numero, prodotto scalare di due vettori, lunghezza (o norma) di un vettore, derivazione di un vettore le cui coordinate dipendono da una variabile. Esempi di oggetti fisici rappresentati da vettori: spostamento, velocità, accelerazione e forza. La velocità è la derivata dello spostamento (rispetto alla variabile tempo) e l'accelerazione è la derivata della velocità. Significato della somma di vettori nel caso dello spostamento e della velocità. Caratterizzazione geometrica del prodotto scalare (con dimostrazione nel caso di vettori del piano). Esercizi sul prodotto scalare.
59. Ven 18/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Matrici m per n. Operazioni sulle matrici: somma di due matrici, prodotto di una matrice per un numero, prodotto di due matrici. Esempi di calcolo; il prodotto di matrici non è commutativo. Matrice identità e matrice inversa (con un esempio di calcolo, la formula generale per trovare l'inversa verrà data alla prossima lezione). Uso di matrici e vettori per scrivere e risolvere sistemi di n equazioni di primo grado con n incognite.
60. Mer 23/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) lezione.
    Determinante di una matrice 2x2, formula di Binet (con dimostrazione), interpretazione del determinante come area; invertibilità di una matrice 2x2 e formula per l'inversa (con dimostrazione). Esempi di calcolo del determinante e dell'inversa. Determinante di una matrice 3x3, il determinante come volume, invertibilità di una matrice 3x3 e formula per l'inversa (senza dimostrazioni). Esempi di calcolo. Estensione alle matrici di ordine qualunque.
61. Ven 25/05/2012 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione.
    Prodotto vettoriale (di vettori nello spazio), definizione analitica e geometrica. Esercizi su matrici e vettori.