Dati registro
insegnamento: Analisi in più
variabili III
corso di studi: Matematica
(triennale 270)
anno accademico: 2009-2010
docenti: Giovanni Alberti
(titolare, lezioni), Maria Stella
Gelli
(esercitazioni)
codice: 042AA
totale: 72 ore e 1/2 (lezione:
43 ore e 1/2, esercitazione: 29 ore)
Lezioni
- Lun 28/09/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Presentazione del corso: programma, libri di testo, modalità
d'esame, pagine web del corso e materiale online, mailing list del
corso. Descrizione dei prerequisiti del corso. Serie di Fourier reale e
complessa di una funzione continua e di periodo 2pigreco su R:
definizione
dello spazio di funzioni nel caso complesso, definizione del prodotto
scalare, identificazione dei coefficienti, massimalità del sistema
ortonormale dato dalle funzioni esponenziali immaginarie e teorema di
convergenza della serie di Fourier complessa per funzioni di classe C^1
(solo enunciato). Commenti.
- Mar 29/09/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Dimostrazione della massimalità delle funzioni esponenziali
immaginarie e del teorema di convergenza enunciati nella lezione
precedente. Come modificare questi risultati passando al caso reale.
Estensioni del teorema di convergenza. Enunciato e dimostrazione del
teorema di Stone-Weierstrass.
- Ven 02/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Alcune osservazioni sulle proprietà topologiche e
metriche dello spazio delle funzioni continue e periodiche su
[-pigreco, pigreco] dotato sia della norma infinito che della norma due
(non completezza della norma 2, non validità dell'identità del
parallelogramma per la norma infinito, confronto metrico e topologico
tra le due etc.). Calcolo di alcuni sviluppi in serie di Fourier e
verifica dei teoremi di convergenza. Il caso f(x)=x estesa per
periodicità: calcolo dei suoi coefficienti di Fourier e confronto con i
coefficienti di Fourier di g(x)=1 (sua "derivata").
- Lun 05/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Collegamento tra la regolarità di una funzione ed il
comportamento asintotico (o la sommabilità) dei suoi coefficienti di
Fourier. Derivazione dell'equazione delle onde a partire dalla legge di
Hooke (molle elastiche) per onde di compressione in un mezzo elastico
uni-dimensionale: condizioni al bordo e condizioni iniziali. Equazione
delle onde in dimensione superiore (vibrazioni di una membrana
elastica). Risoluzione dell'equazione delle onde in dimensione uno con
condizioni di periodicità al bordo tramite la serie di Fourier,
motivazione delle condizioni iniziali, e rappresentazione della
soluzione come somma di due onde in movimento. Dimostrazione
dell'unicità della soluzione classica (C^2).
- Mar 06/10/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Richiamo del teorema di unicità della soluzione (C^2)
dell'equazione delle onde. Teorema di esistenza della soluzione (due
diverse dimostrazioni). Derivazione dell'equazione del calore in
dimensione qualunque (trasmissione del calore per conduzione in un
mezzo conduttore isotropo): condizioni al bordo e condizioni iniziali.
Risoluzione dell'equazione del calore in una dimensione con condizioni
di periodicità al bordo tramite la serie di Fourier: enunciato del
teorema di unicità e del teorema di esistenza, con dimostrazioni
parziali (in particolare per l'esistenza). Regolarità C^infinito nel
futuro delle soluzioni. Non risolubilità nel passato.
- Mer 07/10/2009 16:00-18:30 (2
ore e 1/2)
lezione di fuori orario, Giovanni Alberti.Nozioni fondamentali della teoria
delle funzioni olomorfe ed in particolare sul metodo dei residui per il
calcolo degli integrali (la lezione è indirizzata agli studenti che
ancora non hanno seguito il corso di Topologia e Analisi Complessa).
Contenuto: funzioni olomorfe e funzioni analitiche. Integrazione di
forme su curve, forme esatte e forme chiuse, teorema di Gauss-Green.
Formula di rappresentazione di Cauchy per una funzione olomorfa. Serie
di Laurent, singolarità isolate e residui. Teorema dei residui, calcolo
degli integrali tramite il teorema dei residui (strategia generale
illustrata con un esempio).
- Ven 09/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Regolarità di una funzione e sommabilità dei suoi
coefficienti di Fourier:il caso decadimento esponenziale implica
analiticità. Calcolo della norma due di una funzione espressa come
serie trigonometrica attraverso la validità dell'uguaglianza di Bessel
per f
C^1 (regolarità ottenuta dalla sommabilità dei coefficienti).
Estensione della validità dell'uguaglianza di Bessel tramite densità.
- Lun 12/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Correzione e completamento di alcune dimostrazioni date nella
lezione precedente. Regolarità delle soluzioni dell'equazione del
calore (su un intervallo e con condizioni di periodicità al bordo).
Dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica nel piano. Sistema
ortonormale per lo spazio delle funzioni reali e continue su
[0,pigreco]
nulle la bordo e teorema di rappresentazione in serie per le funzioni
di classe C^1 (dimostrato a partire dall'analogo teorema per la serie
di Fourier complessa). Sistema ortonormale per lo spazio delle funzioni
reali e continue sul quadrato [0,pigreco]^2 nulle la bordo e teorema di
rappresentazione in serie per le funzioni di classe C^1 (dimostrato a
partire dall'analogo teorema in dimensione uno).
- Mar 13/10/2009 16:00-17:00 (1 ora)
esercitazione, Maria Stella Gelli.
Esercizi su equazione del calore e delle onde perturbati con
termini lineari o con termini noti regolari sullo spazio X. Lo stesso
tipo di equazioni sullo spazio delle funzioni continue con dato zero al
bordo: analisi delle condizioni al bordo necessarie e possibile metodo
risolutivo in vista di quanto fatto nel caso precedente e dei teoremi
dimostrati a lezione.
- Mar 13/10/2009 17:00-18:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
I sistemi ortonormali introdotti nelle lezioni precedenti come
sistemi di autovettori di operatori auto-aggiunti (la derivata seconda
in dimensione uno, il Laplaciano in dimensione due).
- Ven 16/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Ortogonalità e massimalità del sistema {sin(nx)}_n su
Y via densità delle somme finite rispetto alla norma infinito (teorema
di
rappresentazione e densità delle C^1 con dato zero al bordo).
Risoluzione
esercizi su equazioni alle derivate parziali lasciate la volta scorsa
su X, Y, Z: il
metodo di calcolo esplicito dei coefficienti di Fourier della candidata
soluzione + regolarità via sommabilità dei coefficienti ereditata dai
dati
al bordo + unicità dovuta al teorema di rappresentazione.
- Lun 19/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Esercizi su operatori auto-aggiunti: verifica o meno
della proprietà di essere auto-aggiunto e calcolo di (tutti gli)
autovalori per operatori assegnati. In particolare il caso Tu=u'' su un
opportuno (sotto)spazio delle funzioni continue, continue+periodiche,
continue
reali con dato zero al bordo (Y) ed il caso dell'operatore T_a u = a*u
con
a funzione continua fissata su Y. Analogamente per Tu = Laplaciano di u
su Z, spazio delle funzioni continue sul quadrato con dato zero al
bordo
utilizzando sia la teoria delle serie di Fourier su Z che il metodo di
separazione di variabili. Calcolo del Laplaciano in coordinate polari
per estendere lo stesso metodo allo studio del Laplaciano su C_0(B),
funzioni continue sul cerchio e zero sul bordo.
- Mar 20/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Rappresentazione di una funzione su R in termini di funzioni
esponenziali elementari (immaginarie): deduzione della formula a
partire
dalla teoria della serie di Fourier. Condizioni necessarie per
l'esistenza dell'integrale di funzioni su R (in senso improprio o di
Lebesgue), condizioni necessarie per l'esistenza del prodotto scalare.
Definizione di serie di Fourier di una funzione (continua o comunque
integrabile) con norma L^1 finita. Enunciato della formula di
rappresentazione (detta anche formula di inversione) e dimostrazione
per funzioni C^1 a supporto compatto. Alcune proprietà elementari della
trasformata di Fourier: continuità, stima della norma del sup,
trasformata di traslate e simili, trasformata della derivata, derivata
della trasformata.
- Ven 23/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Calcolo di trasformate di Fourier tramite calcolo
diretto ed utilizzando le proprietà (composizione, traslazione,
trasformate di
derivate e derivate di trasformate) viste a lezione. Calcolo di
trasformate per funzioni non continue ma solo assolutamente integrabili
(costanti a tratti) ed applicazione al calcolo di trasformate via
generalizzazione del risultato F(f')(y) = iy F(f)(y) a funzioni non
C^1.
Calcolo diretto applicando i risultati di teoria dei residui. Commento
sulla risoluzione esercizio sugli autovalori del Laplaciano su
C^0_0(B).
- Lun 26/10/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Ricapitolazione della definizione di trasformata di Fourier e
delle proprietà viste in precedenza. Dimostrazione della disuguaglianza
di Bessel e poi dell'uguaglianza di Bessel e di Parseval per la
trasformata di Fourier. Alcune condizioni che garantiscono la
sommabilità della trasformata. Dimostrazione della formula di
inversione della trasformata di Fourier. (Giovanni Alberti)
- Mar 27/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Trasformata di Fourier per funzioni in più variabili e formula
di inversione. Calcolo della trasformata di Fourier di una Gaussiana.
Prodotto di convoluzione, proprietà del prodotto di convoluzione.
Alcune applicazioni della trasformata di Fourier: dimostrazione del
teorema del limite centrale, risoluzione dell'equazione del calore
sulla retta (con formula esplicita della soluzione in termini di
convoluzione). (Giovanni Alberti)
- Ven 30/10/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Esercizi su TdF: f continua+sommabilità
di x^kf implica F(f) in C^k; f in C^k con derivate sommabili implica
F(f)=O(1/y^k). Esempi di funzioni continue con norma1 finita e norma 2
infinita e viceversa. Dimostrazione dell'iniettività della TdF (tramite
uguaglianza di Parseval ed approssimazione). Calcolo di F(f)
utilizzando l'equazione differenziale
lineare soddisfatta da f e trasformandola in equazione differenziale
per F(f): il caso
delle gaussiane.
- Lun 02/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Diagonalizzazione della trasformata di Fourier (cenno).
Compattezza e compattezza per successioni: richiamo dei risultati
fondamentali. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Tychonov (dimostrato
solo nel caso di prodotto numerabile).
- Mar 03/11/2009 16:00-17:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
Metrizzabilità di un prodotto numerabile di spazi metrici.
Applicazione del teorema di Ascoli-Arzelà: il teorema di unicità di
Peano per le equazioni differenziali ordinarie.
- Mar 03/11/2009 17:00-18:00 (1:0 h)
esercitazione: Esercizi su TdF, equazioni integrali che passano
ad equazioni differenziali in f e quindi algebriche in F(f);
dimostrazione che F(f) è
infinitesima a +-infinito (lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni in
X); caratterizzazione del modulo degli "autovalori" della TdF.
- Ven 06/11/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Risoluzione esercizi lasciati la volta scorsa: calcolo
di trasformate di Fourier attraverso le proprietà "algebriche"
dimostrate (moltiplicazioni per cos(x), composizione con traslazioni,
completamento di quadrati etc; calcolo attraverso quello della derivata
con estensione nel punto 0 + teorema dei residui. Esercizi svolti sul
prodotto di convoluzione e TdF. Applicazione dell'identità di
Bessel/Parseval al calcolo di integrali di funzioni razionali.
Validità della formula di inversione in due variabili.
- Lun 09/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Richiamo delle nozioni e dei risultati fondamentali
sull'integrazione di funzioni scalari e di campi di vettori su curve
(in R^n) e superfici (in R^3) date in forma parametrica: teoremi di
Stokes, della divergenza e di Gauss-Green.
- Mar 10/11/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Richiamo del teorema della funzione inversa e del teorema
della funzione implicita; differenziale di una mappa di classe C^1.
Definizioni equivalenti di superficie d-dimensionale di classe C^k
*senza bordo* in R^n (localmente luogo di zeri / grafico / immagine di
parametrizzazione). Definizioni equivalenti di spazio tangente ad un
punto x di una superficie (kernel nel del differenziale di un'equazione
/
immagine del differenziale di una parametrizzazione / insieme delle
velocità iniziali di cammini che partono da x / insieme dei vettori
direzione generati da successioni di punti della superficie che
convergono a x / etc. etc.).
- Ven 13/11/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Esercizi su prodotto di convoluzione: regolarità
ereditata dalla somma delle regolarità delle funzioni. Nuclei di
convoluzione e mollificatori: convergenza uniforme sui compatti,
convergenza in norma L^1. Densità delle funzioni C^infinito a supporto
compatto rispetto alla norma L^1. Disuguaglianza di Heisenberg per
funzioni C^1 a supporto compatto. Validità della proprietà
F(fg)=F(f)*F(g) per funzioni che verificano le ipotesi del teorema di
inversione.
- Lun 16/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Calcolo esplicito del differenziale per il determinante,
determinazione dello spazio tangente a O(n). Definizioni equivalenti di
mappe di classe C^h da una superficie S di classe C^k in R^m
(estendibilità globale e/o locale ad una mappa regolare in un intorno
di S / regolarità della composizione con delle parametrizzazioni / etc.
etc.)
- Mar 17/11/2009 16:00-18:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Correzione esercizi sulla TdF lasciati la volta
scorsa. In particolare validità della formula T(fg)=1/2pi(T(f)*T(g))
nel caso in cui f,g verifichino le ipotesi del teorema di inversione.
Esercizi su superfici di dimensione 2 regolari in R^3: gli esempi
classici,
cilindro, paraboloide, etc. Il caso del cono: non è una superficie nel
senso dato.
- Lun 23/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Completamento/correzione di una dimostrazione della lezione precedente.
Definizioni equivalenti di differenziale in un punto di una mappa di
classe C^1 tra due superfici.
Costruzione di una partizione dell'unità di classe C^infinito
subordinata ad un ricoprimento aperto di un aperto di R^n. Definizione
di superfici d-dimensionali *con bordo* in R^n, e di mappe regolari su
superfici con bordo.
- Mar 24/11/2009 16:00-17:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
Definizione di modulo del determinante per un'applicazione
lineare da R^d in un sottospazio d-dimensionale di R^n (ovvero di
un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di uguale dimensione
dotati di prodotto scalare). Formule alternative per il determinante
(inclusa la formula di Binet). Formula dell'area per mappe di classe
C^1 da (un aperto di) R^d in R^n.
- Mar 24/11/2009 17:00-18:00 (1 ora)
esercitazione, Maria Stella Gelli.
Dimostrazione che il grafico di |x| non è una
1-superficie S tramite negazione del fatto che esista una retta
tangente in (0,0) con la proprietà che per ogni P in S dist(P,
retta)=o(P). Applicazione del risultato per dimostrare che il cono in
R^3 non può essere una 2-superficie. L'insieme delle matrici n x n
reali
simmetriche come n(n+1)/2 superficie in quanto sottospazio lineare con
questa dimensione.
- Ven 27/11/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Regolarità della funzione det(X) e calcolo del suo
differenziale (prima per calcolo diretto tramite sviluppo di det(X+tH)
al primo ordine in t quando X è invertibile, poi tramite estensione
continua: dimostrazione della densità delle matrici invertibili
rispetto alla norma standard). Calcolo del differenziale
dell'applicazione che manda A in A^t*A-Id a valori nelle matrici
simmetriche e
del suo rango come operatore. Come conseguenza si ottengono le matrici
ortogonali come superficie n(n-1)/2 dimensionale in R^{n^2}. Il caso
delle matrici
ortogonali a det=1: sono descritte da un'ulteriore equazione regolare
ma sono
ancora una sup di dimensionale n(n-1)/2 (in particolare O(n) ha due
componenti
connesse tutte e due superfici a loro volta). Parametrizzazione nel
caso n=2. Esercizio: calcolo del differenziale dell'applicazione che
manda A in (A^t*A-Id,
det(A)-1) e del suo rango.
- Lun 30/11/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
La formula dell'area vista nella lezione precedente comprende
tutte quelle viste in passato (lunghezza di una curva, area di una
superficie, area del grafico di una funzione scalare).
Definizione di integrale di una funzione scalare su una superficie
(tramite parametrizzazioni e formula dell'area); verifica
dell'invarianza per ri-parametrizzazione.
Orientazione di uno spazio vettoriale. La Grassmanniana G(n,d) dei
d-piani in R^n come insieme e come spazio topologico; la Grassmanniana
G_or(n,d) dei d-piani orientati in R^n (caso particolare: d=1);
corrispondenza canonica tra G(n,d) e G(n,n-d) e tra G_or(n,d) e
G_or(n,n-d). Orientazione di una superficie di dimensione d in R^n;
l'orientazione come sollevamento della mappa tangente; orientazione
delle ipersuperfici; orientazione canonica del bordo di una superficie
orientata, orientazione indotta da una parametrizzazione.
- Mar 01/12/2009 16:00-18:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Osservazioni sulla lezione precedente: non orientabilità del
nastro di Moebius (cenno), la Grassmanniana come superficie (senza
dimostrazione). Applicazioni k-lineari alternanti su R^n (o su uno
spazio vettoriale qualunque). k-forme di classe C^h su un aperto di R^n
(incluse 1-forme e 0-forme). Integrazione di una k-forma su una
superficie k-dimensionale orientata; invarianza per
ri-parametrizzazione. Base canonica dello spazio delle applicazioni
k-lineari alternanti su R^n e rappresentazione di una k-forma in
coordinate. Prodotto wedge di due applicazioni multilineari alternanti
e prodotto wedge di due forme. Differenziale (esterno) di una k-forma
di classe C^1. Enunciato del teorema di Stokes.
- Ven 04/12/2009 14:00-15:00 (1 ora) lezione, Giovanni Alberti.
Nozioni e risultati sulle k-forme: n-forme su R^n;
differenziale del prodotto di due forme; d^2=0; pull-back di una forma
secondo una mappa; pull-back del prodotto di due forme; pull-back del
differenziale di una forma; calcolo dell'integrale di una forma su una
superficie parametrizzata tramite il pull-back. Dimostrazione del
teorema di Stokes (per riduzione al caso particolare delle k-forme a
supporto compatto sul semispazio k-dimensionale. Lasciata come
esercizio: derivazione dei teoremi di Stokes (formulazione classica per
le superfici), di Gauss-Green e della divergenza.
- Ven 04/12/2009 15:00-16:00 (1 ora)
esercitazione Maria Stella Gelli.
Esercizi sull'orientazione di superfici: 1-superfici in
R^n, 2-superfici in R^3. Orientazioni locali ottenute tramite
parametrizzazioni locali. Il caso della sfera e del nastro di Moebius.
- Lun 07/12/2009 11:00-13:00 (2 ore)
lezione non tenuta per sospensione della didattica disposta dal
presidente del CdS.
- Ven 11/12/2009 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Esercizi su k-forme in R^n. Esempi svolti di operazioni
di calcolo algebrico e calcolo del differenziale esterno di 2 e 3 forme
in R^3 ed R^n. Calcolo di integrali di 2-forme su superfici orientate
(porzioni di paraboloidi e calotte sferiche). Coerenza o meno di
parametrizzazioni con orientazioni assegnate.
- Lun 14/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione, Maria Stella
Gelli.
Excursus sulle proprietà del pull-back e sulla
dimostrazione del teorema di Stokes: il risultato preliminare per forme
a supporto compatto su semispazi. I teoremi di Gauss-Green, della
divergenza e di Stokes in R^3 come conseguenza del teorema di Stokes.
(Maria Stella Gelli)
- Mar 15/12/2009 16:00-17:00 (1 ora)
esercitazione Maria Stella Gelli.
Esercizi / risultati preliminari su integrali multipli e
superficiali utilizzando la formula dell'area.
- Mar 15/12/2009 17:00-18:00 (1 ora) lezione, Maria Stella Gelli.
Nozione e proprietà delle funzioni armoniche: proprietà della
media sulle sfere. Equivalenza per una f continua della proprietà della
media sulle sfere e sulle palle. Regolarità C^infinito ed "armonicità"
di una f continua con la proprietà della media.
- Ven 18/12/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione, Maria
Stella Gelli.
Principio del massimo per funzioni armoniche. Unicità per
l'equazione di Laplace. Collegamento con le funzioni olomorfe.
- Lun 21/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Definizione di sigma-algebra e di misura (sigma-additiva) su
una sigma-algebra; sigma-algebra dei Boreliani, definizione di misura
regolare sui Boreliani e di misura (fortemente) regolare. Esempi di
misure e di sigma-algebre: la misura di Lebesgue su R^n (data per nota)
e su un sottoinsieme misurabile secondo L. di R^n; la misura che conta
i punti su un insieme qualsiasi. Definizioni equivalenti di funzioni
misurabili (a valori in R o in uno spazio topologico); proprietà delle
funzioni misurabili. Integrale di una funzione misurabile positiva (a
partire dall'integrale delle funzioni semplici); integrale delle
funzioni a valori in R o R esteso; integrale su un insieme misurabile;
linearità dell'integrale (dimostrazione parziale). Enunciato del
teorema di convergenza monotona (di Beppo Levi/Lebesgue), del lemma di
Fatou, e del teorema di convergenza dominata (di Lebesgue).
- Mar 22/12/2009 11:00-13:00 (2 ore) lezione, Giovanni Alberti.
Altri esempi di misure: misura data da una densità;
push-forward di una misura secondo una mappa; volume d-dimensionale su
una superficie d-dimensionale parametrizzata. Per una misura regolare
sui Boreliani, ogni funzione misurabile coincide q.o. con una funzione
Boreliana. Teorema di Lusin. Sigma-algebre prodotto, misure prodotto e
teorema di Fubini (senza dimostrazioni). Definizioni e proprietà della
convergenza in misura (senza dimostrazioni). Gli spazi L^p;
disuguaglianze di Hölder e di Minkowski; lo spazio L^p è uno spazio
normato completo.