Dati registro

insegnamento: Topologia e Analisi Complessa
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2008-2009

docenti: Fabrizio Broglia (titolare, lezioni), Giovanni Alberti (esercitazioni)

codice insegnamento: AA129
totale ore: 71
totale ore Fabrizio Broglia: 33 (lezioni)
totale ore Giovanni Alberti: 5 (lezioni) + 33 (esercitazioni)

Lezioni

1. Lun 23/02/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
   1. Presentazione del corso (testi, orari, modalità svolgimento esame, compitini, ricevimento...)
   2. Richiami di topologia generale: connessione e connessione locale; archi, composizione di archi, esempi e patologie.
2. Lun 23/02/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
   Esercizi su componenti connesse e componenti connesse per archi. Costruzione dell'insieme di Cantor. L'insieme di Cantor è totalmente sconnesso. Per un aperto di R^n, connesso implica connesso per archi affini a tratti o anche C^\infinito.
3. Mer 25/02/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
   1. Connessione per archi e componenti connesse per archi.
   2. Locale connessione per archi e relazione con la connessione.
   3. Nozione di omotopia tra applicazioni continue. Esempi (la mappa antipodale delle sfere in dimensione dispari è omotopa all'identità).
   4. Spazi omotopicamente equivalenti.
4. Mer 25/02/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
   Il complementare di un insieme finito in R^n è connesso per archi. Ogni convesso è connesso per archi. Ogni funzione a valori in un convesso è omotopa ad una costante. Due mappe f, g a valori in una sfera e tali che f(x) è sempre diverso da -g(x) sono omotope. Uno spazio X è connesso se e solo se ogni mappa continua da X a valori in uno spazio discreto è costante. Se X è topologicamente equivalente a Y ed è connesso allora Y è connesso.
5. Gio 26/02/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
   1. Spazi omotopicamente equivalenti hanno lo stesso pigreco_0.
   2. Retrazioni e deformazioni: esempi standard.
6. Gio 26/02/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
   Ogni convesso è contraibile. La sfera meno un punto è contraibile. La palla meno l'origine (o meno un punto qualunque) si deforma sulla sfera. Un semipiano aperto meno un punto si deforma su una circonferenza. Lo spazio meno una circonferenza ed una retta che ci passa attraverso si deforma su un toro.
7. Lun 02/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
   1. Omotopia di cammini. 2. Compatibilità con gli operatori * e i
   2. Riparametrizzazione di cammini.
   3. Associatività in omotopia dell'operatore *.
8. Lun 02/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
   Equivalenza delle diverse rappresentazioni della circonferenza e del toro come spazi topologici (e come gruppi topologici).
9. Mer 04/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
   1. Composizione con l'identità, cammino "inverso".
   2. Spezzamento di un cammino in un numero finito di cammini.
   3. Compatibilità degli operatori * ed i con le applicazioni continue tra spazi topologici.
   4. Definizione del gruppo fondamentale.
10. Mer 04/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Esempi di retratti di deformazione e di equivalenza omotopica (prodotto di due sfere meno la diagonale, matrici invertibili con determinante positivo, etc.). Disegnare una curva in forma parametrica.
11. Gio 05/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    1. Cambiamento del punto base.
    2. Esempi (convessi, applicazione Z---> S^1).
    3. Gruppo fondamentale del prodotto di spazi.
    4. Relazione tra i gruppi fondamentali di spazi omotopicamente equivalenti.
12. Gio 05/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Esempi di retratti di deformazione e di equivalenza omotopica (sfera meno due punti, piano proiettivo meno un punto). Rappresentazione del piano proiettivo come quoziente del quadrato. Un convesso chiuso e limitato con parte interna non vuota in R^n è omeomorfo alla palla chiusa.
13. Lun 09/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    1. Completamento dimostrazione punto 4 della lezione precedente
    2. Numero di Lebesgue
    3. Teorema di Van Kampen (I parte)
    4. Conseguenze immediate: per n>1, S^n e P_n(C) sono semplicemente connessi, P_1(R) genera il gruppo fondamentale di P_n(R)
    5. Esercizio: P_n(C) \ P_k(C) con n>k è semplicemente connesso?
14. Lun 09/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    L'iperboloide di rotazione in R^3 è omeomorfo ad un cilindro; il suo completamento nella compattificazione di Alexandrov di R^3 è omeomorfo alla sfera con due punti opposti identificati; il suo completamente nello spazio proiettivo è omeomorfo al toro (accennato).
15. Mer 11/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    1. Nozione di rivestimento e prime proprietà
    2. Esempi: (a) R--->S^1, e(t)=(cos(2pigreco t) , sen(2pigreco t)); (b) S^n --->P_n(R), (c) S^1--->S^1,  z --->z^d;
    (d) S^1 x S^1 ---> S^1 x S^1, (z,w) ---> (z^2,w^2); (e) C^2-{(0,0)} ---> {(x,y,z) \in C^3 | z^2 -xy=0}-{(0,0,0)}, (u,v) ---> (u^2,v^2,uv).
16. Mer 11/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Il quadrato non è omeomorfo al segmento. Il cubo non è omeomorfo al quadrato (usando il fatto ancora non dimostrato che la circonferenza e quindi il quadrato meno un punto non sono semplicemente connessi). Costruzione della curva di Peano (mappa continua e surgettiva dal segmento nel quadrato). Dimostrazione alternativa del fatto che la sfera è semplicemente connessa: ogni curva continua nella sfera è omotopa ad una curva regolare e quindi non surgettiva, che è contraibile.
17. Gio 12/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    1. Costanza della cardinalità della fibra in un rivestimento; restrizione ad un sottospazio connesso e localmente connesso per archi.
    2. Quoziente di uno spazio topologico per l'azione di un sottogruppo del gruppo degli omeomorfismi.
    3. Proposizione: la mappa sul quoziente è aperta (e se il gruppo è finito è chiusa).
    4. Proposizione: se lo spazio è T_2 ed esiste un aperto A tale che i) A incontra tutte le fibre; ii){g \in G| g(A) \cap A \neq \empty} è finito allora il quoziente è T_2.
    5. Azioni propriamente discontinue.
    6. Se E è localmente connesso per archi, G agisce in modo prop. disc. e E/G connesso allora E --->E/G è un rivestimento (solo enunciato).
18. Gio 12/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Ogni curva sulla sfera è omotopa ad una curva regolare (usando il Teorema di Weierstrass). Esempio di due sottoinsiemi del piano “di dimensione uno” che sono omotopicamente equivalenti ma non omeomorfi. Il piano meno N punti è omotopicamente equivalente al bouquet di N circonferenze. Nastro di Moebius e bottiglia di Klein.
19. Lun 16/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    1. E localmente connesso per archi, G gruppo che agisce su E in modo propriamente discontinuo.Se il quoziente E/G è connesso allora (E,p,E/G) è un rivestimento.
    2. Se E è T_2 e G è un gruppo che agisce liberamente su E + per ogni e in E esiste un intorno U tale che {g\in G| g(U)\cap U \neq \emptyset} è finito allora G agisce in modo propriamente discontinuo su E.
20. Lun 16/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Il gruppo fondamentale di un gruppo topologico è commutativo. Il toro come quoziente del piano per l'azione di un gruppo che agisce in maniera propriamente discontinua.
21. Mer 18/03/2009 11:00-12:00 (1 ora) lezione non svolta per sciopero sindacale.
22. Mer 18/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    La bottiglia di Klein come quoziente del piano per l'azione di un gruppo che agisce in maniera propriamente discontinua.
23. Gio 19/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Proprietà delle sezioni di un rivestimento: non esistenza in generale di sezioni globali; esistenza di sezioni locali.
24. Lun 23/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Unicità ed esistenza di sollevamenti di cammini e omotopie. Conseguenze sul sollevamento di cammini omotopi.
25. Lun 23/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Esempi di rivestimenti. Rivestimento universale della sfera unita ad una circonferenza. Relazione tra le classi di omotopia delle mappe dalla circonferenza in uno spazio ed il gruppo fondamentale di quest'ultimo.
26. Mer 25/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Dimostrazione del teorema che lega i gruppi fondamentali degli spazi di un rivestimento. Cardinalità della fibra e laterali del sottogruppo pigreco*(E,e_0) in pigreco*(X,x_0).
27. Mer 25/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Conclusione di un esercizio della lezione precedente. Quoziente dello spazio R^n rispetto all'azione del gruppo generato dalla mappa x ---> 2x. Rivestimento universale dello spazio ottenuto identificando due punti di uno spazio semplicemente connesso.
28. Gio 26/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Prova del teorema di monodromia e conseguenze.
29. Gio 26/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Un'unione crescente di semplicemente connessi è semplicemente connessa. L'unione di una “catena” di semplicemente connessi è semplicemente connessa. Conclusione di un esercizio della lezione precedente. Calcolo del gruppo fondamentale di alcuni spazi noti.
30. Lun 30/03/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Monodromia.
31. Lun 30/03/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) lezione.
    Tre semirette con i vertici in comune non sono una varietà topologica. Il semipiano aperto è omeomorfo al piano. Il semipiano chiuso non è omeomorfo al piano. Il piano proiettivo, la sfera e la bottiglia di Klein non sono né omeomorfi né omotopicamente equivalenti tra loro. Il cilindro e il nastro di Moebius sono omotopicamente equivalenti ma non omeomorfi.
32. Mer 01/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Costruzione del rivestimento universale.
33. Mer 01/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Un aperto del piano meno un punto non è mai semplicemente connesso; una varietà topologica di dimensione 2 non può essere una varietà topologica di dimensione diversa da 2. Il disco chiuso non è una varietà topologica. Una mappa dalla sfera nella sfera si estende ad una mappa dalla palla nella sfera se e solo se è omotopa a costante. La mappa identica sulla sfera non è omotopa a costante (dimostrato solo per la circonferenza). Teorema di punto fisso di Brower.
34. Gio 02/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Continuazione prova del rivestimento universale.
35. Gio 02/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Teorema di Borsuk-Ulam: non esiste alcuna mappa dispari dalla sfera nella circonferenza. Enunciati equivalenti: una mappa dispari dalla sfera nel piano si annulla da qualche parte, una mappa dalla sfera nel piano mappa almeno una coppia di punti antipodali nello stesso punto; non è possibile ricoprire la sfera con tre aperti (chiusi) che non contengono coppie di punti antipodali. Cenno ai risultati in dimensione superiore. Esercizio sui rivestimenti: è possibile etichettare in modo continuo gli zeri dei polinomi complessi di grado assegnato?
36. Lun 06/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Costruzione di un rivestimento associato a un sottogruppo del gruppo fondamentale di uno spazio.
37. Lun 06/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) lezione.
    Il gruppo libero dato da una famiglia di generatori assegnata. Gruppo dato da una famiglia di generatori ed una famiglia di relazioni. Rappresentazione di alcuni semplici gruppi in termini di generatori e relazioni. Prodotto libero di due gruppi. Il teorema di van Kampen (senza la parte difficile della dimostrazione).
38. Mer 08/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Conclusione della prova iniziata nella lezione precedente (rivestimenti associati a un dato sgr di uno spazio che ammette un rivestimento universale).
39. Mer 08/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Alcuni semplici corollari del teorema di van Kampen: l'unione di due aperti semplicemente connessi con intersezione c.p.a. è semplicemente connessi, il gruppo fondamentale dell'unione di due aperti con intersezione connessa per archi è isomorfo al prodotto libero dei gruppi fondamentali; il gruppo fondamentale di due aperti con intersezione semplicemente connessa e di cui uno è semplicemente connesso è isomorfo (tramite la mappa di immersione) al gruppo fondamentale dell'altro. Calcolo del gruppo fondamentale dei seguenti spazi: bouquet di n circonferenze; piano proiettivo, toro, bottiglia di Klein (visti come quozienti del quadrato). Il gruppo fondamentale di un aperto del piano cambia se si sottrae un punto. Il gruppo fondamentale di un aperto di R^3 non cambia se si sottrae un punto.
40. Lun 20/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Serie formali: struttura di algebra. Famiglie di serie sommabili.
41. Lun 20/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Richiamo delle nozioni fondamentali sui numeri complessi: notazione trigonometrica ed esponenziale; l'esponenziale complesso come serie di potenze, calcolo delle radici di un numero complesso (con esempi). Non è possibile “etichettare” in modo continuo le radici quadrate dei numeri complessi su tutto C, e infatti neanche su S^1 (conseguenza del fatto che la mappa z--->z^2 su S^1 definisce un rivestimento doppio).
42. Mer 22/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Composizione, inversa e reciproca nell'anello delle serie formali.
43. Mer 22/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) lezione.
    La mappa esponenziale è un rivestimento da C in C^*. Impossibilità di definire un'inversa destra continua dell'esponenziale su tutto C^* (logaritmo complesso). Definizione (della determinazione) del logaritmo su C meno una semiretta con estremo nell'origine. Definizione di z^a una volta scelta una determinazione del logaritmo (con esempi per far vedere che il risultato varia cambiando la determinazione del logaritmo). È possibile definire il logaritmo complesso su ogni dominio semplicemente connesso di C^*.
44. Gio 23/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Convergenza di serie di potenze.
45. Gio 23/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Convergenza serie di potenze: continuazione.
46. Lun 27/04/2009 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
    Verifica delle proprietà algebriche della mappa esponenziale. Definizione di funzione analitica. La somma di una serie di potenze è analitica. Esempio di funzione infinitamente derivabile ma non analitica. Criterio di analiticità per la funzioni di una variabile reale.
47. Mer 29/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Principio del prolungamento analitico. Funzioni meromorfe (una variabile). Generalità sulle forme differenziali.
48. Mer 29/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Conclusione della dimostrazione del criterio di analiticità. Criterio del rapporto per calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze. Calcolo del raggio di convergenza di una serie di potenze in alcuni casi concreti. Analiticità delle determinazioni del logaritmo complesso.
49. Gio 30/04/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    1-forme: condizione necessaria e sufficiente affinché una 1 forma ammetta una primitiva. Formula di Green-Riemann.
50. Gio 30/04/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Vari esercizi sull'uso del principio del prolungamento analitico, tra cui: dimostrazione delle proprietà algebriche dell'esponenziale complesso a partire da quello reale, dimostrazione delle proprietà algebriche del logaritmo complesso, derivata del logaritmo complesso.
51. Lun 04/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Primitive lungo un cammino e lungo un rettangolo. Integrale di 1-forme su cammini omotopi. Indice di un cammino.
52. Lun 04/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Vari esercizi su: serie formali, caratterizzazione dell'esponenziale come limite notevole, integrazione di forme su cammini, calcolo di primitive di forme.
53. Mer 06/05/2009 11:00-12:00 (1 ora) lezione non tenuta per sospensione didattica per elezioni studentesche.
54. Mer 06/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Calcolo delle primitive di alcune forme. L'indice del bordo orientato di un compatto rispetto ad un punto interno / esterno.
55. Gio 07/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Compatti con frontiera regolare. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy (se f è olomorfa allora f(z) dz è una forma chiusa). Prova senza supporre la continuità delle derivate parziali.
56. Gio 07/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Calcolo dell'indice di una circonferenza rispetto ad un punto arbitrario. L'indice è localmente costante come funzione del punto. L'indice è invariante rispetto a perturbazioni sufficientemente piccole del cammino. L'indice di un cammino attorno ad un punto può essere calcolato contando le intersezioni con una semiretta che parte da quel punto.
57. Lun 11/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Funzioni olomorfe con parte reale costante. Teorema di Cauchy per funzioni continue olomorfe al di fuori di una retta.Formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe.
58. Lun 11/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Dimostrazione della formula per il calcolo dell'indice di un cammino. Calcolo dell'indice di un cammino in un caso concreto. I complessi come sottocampo delle matrici 2x2; rivisitazione dell'equazione di Cauchy-Riemann e dimostrazione del fatto che prodotto e composizione di funzioni olomorfe sono olomorfi. Verifica dell'olomorfia o meno di alcune funzioni tramite Cauchy-Riemann.
59. Mer 13/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione. Teorema di Morera. Principio di simmetrizzazione di Schwarz.
60. Mer 13/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Ogni funzione olomorfa f non nulla su un aperto semplicemente connesso A si scive come f=exp(g) con g olomorfa (due diverse dimostrazioni: sollevamento di f rispetto all'esponenziale o integrazione di f'/f dz). Una funzione olomorfa non costante su un aperto connesso ha immagine con parte interna non vuota. Una funzione olomorfa non costante su un aperto connesso è una mappa aperta. Limite di funzioni olomorfe è localmente uniforme (tramite il teorema di Morera).
61. Gio 14/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Stime sui coefficienti della serie di Taylor di una funzione olomorfa. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio della media. Principio del massimo.
62. Gio 14/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    L'integrale rispetto ad un certo parametro di una famiglia di funzioni olomorfe è una funzione olomorfa (tramite il teorema di Morera). Calcolo della somma di una serie di potenze. Stima del raggio di convergenza della serie di Taylor di una funzione olomorfa. Generalizzazione del teorema di Liouville: una funzione olomorfa su C a crescita polinomiale è un polinomio. Una funzione olomorfa su C con parte reale limitata dall'alto è costante.
63. Lun 18/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Lemma di Schwartz. Sviluppi di Laurent. Singolarità polari e essenziali. Estensione di funzioni olomorfe limitate. Valori di una funzione vicino ad una singolarità essenziale.
64. Lun 18/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    La proprietà della media sulle circonferenze equivale a quella sui dischi. La proprietà della media per le funzioni reali implica il principio del massimo. Estensione per riflessione di una funzione con valori reali sulla frontiera del disco.
65. Mer 20/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.
    Sfera di Riemann. Generalità sui residui.
66. Mer 20/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Diversi modi di scrivere il differenziale di una funzione definita sui complessi. Esempi. Legame tra il differenziale di una funzione in un punto e lo sviluppo di Taylor all'ordine 1.
67. Gio 21/05/2009 11:00-12:00 (1 ora, Fabrizio Broglia) lezione.Residui.
    Teorema dei residui sulla Sfera di Riemann. Derivata logaritmica. Numero di zeri e poli di una funzione in un compatto.Teorema di Rouché.
68. Gio 21/05/2009 12:00-13:00 (1 ora, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Funzioni olomorfe e antiolomorfe. Le parti reali e immaginarie delle funzioni olomorfe (o antiolomorfe) sono armoniche. Una funzione olomorfa sul disco è determinata dalla sua parte reale sulla frontiera. Costruzione di una funzione olomorfa sul disco avendo assegnato la parte reale sulla frontiera.
69. Lun 25/05/2009 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Esempi di sviluppi di Laurent e di classificazione delle singolarità. Esempi di sviluppi di Laurent all'infinito. Esercizi di calcolo dei residui. Esempi di calcolo degli integrali con il metodo dei residui.
70. Mer 27/05/2009 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) esercitazione.
    Ancora integrali con il metodo dei residui. Esercizi sul teorema di Rouché, inclusa una dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.