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Andrea Marchese
Construzione degli insiemi di Besicovitch (I)

Sunto.
Un insieme di Besicovitch nel piano è un insieme compatto di area (misura di Lebesgue) nulla che contiene segmenti di lunghezza uno in tutte le direzioni. La costruzione originale di questi insiemi, dovuta appunto a Besicovitch, è piuttosto complicata. In tempi più recenti sono stati messe a punto altre costruzioni più semplici. La prima consiste nell'applicare una forma elementare di dualità proiettiva e costruire un insieme nel piano di lunghezza finita, puramente non rettificabile e con una proiezione che contiene un intervallo. Si fa quindi vedere che un certo algoritmo casuale produce insiemi di questo tipo con probabilità uno.

Ilaria Lucardesi
Il teorema di Golab

Sunto.
Il teorema di Golab dice che la misura di Hausdorff 1-dimensionale è semicontinua inferiormente sulla classe dei sottoinsiemi chiusi e compatti di R^n dotata della distanza di Hausdorff. Come applicazione  si ottiene che tra tutti gli insiemi connessi che contengono un certo compatto assegnato ne esiste uno di lunghezza minima. 
La dimostrazione del teorema di Golab da presentare in questo seminario è basata su un lemma di parametrizzazione degli insiemi connessi di lunghezza finita.

Nayam Al-hassem
Il teorema isoperimetrico per le correnti intere

Sunto.
Data una k-corrente intera T in R^n, se esiste almeno di un corrente intera U di cui T è il bordo, allora è anche possibile scegliere U in modo tale che la massa di U si controlli a meno di una costante che dipende solo da n e da k con la massa di T elevata alla potenza 1+1/k. Un analogo risultato vale per le correnti intere contenute nella chiusura di un aperto regolare A di R^n. Utilizzando questo risultato di dimostra che le classi di equivalenza per cobordismo di correnti intere sono chiuse, ed è dunque possibile trovare correnti di area minima in ogni classe di omologia della chiusura di A.

Minh Mach Nguyet
Construzione degli insiemi di Besicovitch (II)

Sunto.
Una costruzione degli insiemi di Besicovitch dovuta a T.W. Körner consiste nel dimostrare che in un opportuna classe di compatti del piano dotati della distanza di Hausdorff, la sottoclasse degli insiemi di Besicovitch è intersezione numerabile di aperti densi, e dunque risulta essere non vuota per via del teorema di Baire. In questo seminario viene illustrata una variante della costruzione di Körner dovuta a Terence Tao.

Samuele Mongodi
Forme di Kähler e calibrazioni

Sunto.
La forma di Kähler è una 2k-forma costante in C^n, cioè un 2k-covettore, con la seguente proprietà: se applicata ad un generico 2k-vettore semplice di norma 1 dà sempre un valore minore o uguale a 1, e vale l'uguale se e solo se il 2k-vettore in questione genera un k-spazio complesso di C^n (disuguaglianza di Wirtinger). Da questo segue immediatamente che la forma di Kaehler è una calibrazione per ogni k-superficie complessa, e quindi ogni regione di una k-superficie complessa minimizza l'area tra tutte le correnti intere (e normali) con lo stesso bordo. Lo stesso discorso vale per gli spazi analitici complessi, una volta mostrato che la corrente associata all'integrazione sulla parte regolare (cioè fuori dall'insieme singolare) ha massa localemente finita e non ha bordo.

 
Alessandro Carlotto
Capacità, dimensione di Hausdorff e applicazioni

Sunto.
La dimensione di Hausdorff di un dato insieme è collegata alla finitezza o meno di certe capacità, vale a dire dell'energia data dall'integrale di certi potenziali o equivalentemente (per il lemma di Frostman) all'esistenza di misure supportate su detto insieme con certe stime sulla densità. Utilizzando quete caratterizzazioni della dimensione di Hausdorff verranno dimostrati alcuni risultati tutt'altro che immediati sulla dimensione del prodotto di due insiemi, sulla dimensione della proiezione su un k-piano generico e sulla dimensione dei moti Browniani.