Dati registro

insegnamento: Teoria Geometrica della Misura
corso di studi: Matematica (specialistica)
anno accademico: 2008-2009
docente: Giovanni Alberti
codice insegnamento: AA428
totale ore: 40

Lezioni
  1. Lun 02/03/2009 17:00-18:30 (2 ore) lezione.
    Breve panoramica dei diversi approcci al problema di Plateau (o dell'area minima) alternativi a quello delle correnti. In dimensione 1: curve parametrizzate oppure insiemi (chiusi e connessi). In dimensione 2: superfici parametrizzate (Douglas). In codimensione 1: insiemi di perimetro finito (De Giorgi). In  dimensione e codimensione qualunque: insiemi (Reifenberg), correnti (Federer e Fleming).
  2. Mer 04/03/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Ricapitolazione delle nozioni fondamentali di teoria della misura: misure positive; integrale delle funzioni positive; integrale delle mappe a valori in un Banach separabile; misure a valori reali o vettoriali; variazione totale; teorema di Radon-Nikodym; rappresentazione delle misure vettoriali; dualità misure-funzioni continue; teorema di Banach-Alaoglu e compattezza delle misure. Definizione di misure esterne ed insiemi misurabili (nel senso di Caratheodory).
  3. Lun 09/03/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Gli insiemi misurabili secondo una misura esterna formano una sigma-algebra, la restrizione della misura a questa sigma-algebra è sigma-additiva. Teorema di Caratheodory: i Boreliani sono misurabili per ogni misura esterna additiva sugli insiemi distanti [argomento fondamentale; riferimento: Mattila, cap. 1, oppure Falconer, cap. 1]
  4. Mer 11/03/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Costruzione di Caratheodory. Esempi: misura di Lebesgue in R^n e misura di Hausdorff d-dimensionale su un qualunque spazio metrico. Prime proprietà della misura di Hausdorff e confronto con la misura di Lebesgue. Dimensione di Hausdorff [argomento fondamentale; riferimento: Mattila, cap. 4, oppure Falconer, cap. 1]. Dimensione e misura di Hausdorff dell'insieme di Cantor (viene rimandata la dimostrazione della stima dal basso per la misura di Hausdorff).
  5. Lun 16/03/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Dimostrazione del fatto che la misura di Hausdorff n-dimensionale coincide con la misura di Lebesgue su R^n; dimostrazione completa a parte un lemma di ricoprimento per la misura di Lebesgue, rimandato ad una lezione successiva.
  6. Mer 18/03/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Misura di Haar su un gruppo compatto e localmente compatto; dimostrazione dell'esistenza nel caso di un gruppo compatto commutativo; dimostrazione solo accennata dell'unicità. Teoremi di ricoprimento di Vitali e di Besicovitch, con dimostrazioni solo accennate [argomento fondamentale; riferimento: Mattila, cap. 2 e 3].
  7. Lun 23/03/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Ricoprimento di un insieme con palle disgiunte a meno di un insieme di misura nulla a partire dai teoremi di ricoprimento di Vitali e di Besicovitch [argomento fondamentale; riferimento: Mattila, cap. 2 e 3]. Dimostrazione del lemma di ricoprimento utilizzato per dimostrare l'uguaglianza della misura di Lebesgue e della misura di Hausdorff n-dimensionale su R^n.
  8. Mer 25/03/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Conseguenze dei teoremi di ricoprimento: punti di densità di un insieme; punti di continuità approssimata di ordine p per funzioni L^p anche vettoriali (teorema di Lebesgue); esistenza della densità di una misura rispetto ad un'altra misura (versione puntuale del teorema di Radon-Nikodym) [argomento fondamentale; riferimento: Mattila, cap. 2].
  9. Lun 30/03/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Risultati sulla densità d-dimensionale degli insiemi con misura di Hausdorff d-dimensionale finita e sulla densità d-dimensionale di una misura, quando una misura si rappresenta in termini della misura di Hausdorff? [riferimento: Mattila cap. 6]. Dimostrazioni rimandate alla lezione successiva.
  10. Mer 01/04/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione dei teoremi enunciati nella lezione precedente. Costruzione di Hutchinson di un compatto autosimile a partire da una famiglia finita di omotetie e calcolo della dimensione di Hausdorff [dimostrazione accennata e largamente incompleta; riferimento: Falconer, cap. 8.3].
  11. Lun 06/04/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Alcune formule di "calcolo" avanzato (senza dare dimostrazioni ma solo giustificazioni nel caso di oggetti sufficientemente regolari): formula dell'area per mappe da R^n in R^m con m>n; formula asintotica del volume degli r-intorni delle superfici regolari (punto di partenza della definizione di contenuto di Minkowski).
  12. Mer 08/04/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Altro "calcolo" avanzato: formula di coarea per mappe da R^n in R^m con m < n. Funzioni di Lipschitz [argomento fondamentale, non ho trovato però dei riferimenti soddisfacenti]: compattezza, lemma di estensione di McShane, derivata distribuzionale e relazione con gli spazi di Sobolev, teorema di Rademacher sulla differenziabilità in quasi ogni punto in senso classico (è stata dimostrata in effetti la differenziabilità delle funzioni di Sobolev nel caso che valga l'immersione nelle funzioni continue), teorema di tipo Lusin con le funzioni di classe C^1(solo enunciato).
  13. Lun 20/04/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Insiemi k-rettifficabili e k-puramente non rettificabili in R^n; dimostrazione dell'equivalenza delle varie definizioni.
  14. Mer 22/04/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Esempi di insiemi 1-puramente non rettificabili nel piano di dimensione grande. Decomposizione in parte rettificabile e puramente non rettificabile. Fibrato tangente di un rettificabile, versione ultra debole. Esistenza del piano tangente approssimato in quasi ogni punto di un rettificabile (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 5.4). Definizioni alternative della Grasmanniana dei k-piani in R^n.
  15. Lun 27/04/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Misura integralgeometrica k-dimensionale (riferimento: Mattila, fine del capitolo 5, Krantz&Parks, paragrafo 2.1.4). Complementi alla teoria degli insiemi rettificabili (senza dimostrazioni, questi argomenti sono coperti in dettaglio nei capitoli 15, 17 e 18 del libro di Mattila): l'esistenza del piano tangente approssimato implica la rettificabilità (accenno di dimostrazione per alcune versioni più deboli di questo enunciato); teorema di proiezione di Besicovich-Federer; teorema di densità di Marstrand-Preiss.
  16. Mer 29/04/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Completamento di alcuni argomenti avanzati dalla lezione precedente. Definizione di k-vettore in R^n; prodotto esterno; norma euclidea; k-vettori semplici. I k-vettori semplici di norma unitaria sono in corrispondenza biunivoca con i k-piani orientati. Definizione di k-vettore in R^n; dualità -tra k-vettori e k-covettori; k-forme; differenziale di una funzione (0-forma) e di una k-forma (riferimento: Krantz&Parks, capitoli 1.4 e 6).
  17. Lun 04/05/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Orientazione di una superficie regolare. Orientazione canonica del bordo. Teorema di Stokes. Dimostrazione di alcuni fatti elementari sui k-vettori semplici (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 6).
  18. Mer 06/05/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Il differenziale del differenziale è zero. Push-forward di un k-vettore; pull-back di un k-covettore e di una k-forma. Integrazione di una forma tramite pull-back. Il pull-back di una forma commuta con il differenziale esterno. Dimostrazione del teorema di Stokes. Lo spazio delle correnti k-dimensionali su un aperto di R^n come duale dello spazio delle k-forme regolari a supporto compatto. Esempi di correnti: superfici orientate, ma anche campi di vettori.
  19. Lun 11/05/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Definizione di bordo e di massa di una corrente; interpretazione nel caso delle superfici orientate. Le correnti di massa finite intese come misure vettoriali; primo risultato di compattezza. Correnti normali; secondo risultato di compattezza (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 7).
  20. Mer 13/05/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Correnti rettificabili a molteplicità reale o intera, massa di una corrente rettificabile, correnti intere. Esempi di correnti intere: superfici orientate e correnti poliedrali. Enunciati dei teoremi fondamentali sulle correnti intere: compattezza, rettificabilità del bordo, approssimazione con correnti poliedrali. Soluzione del problema di Plateau nel contesto delle correnti intere; relazione con il problema di Plateau classico (massa invece di area; superfici orientate invece di superfici qualunque). Cenno alla regolarità (all'interno) per correnti intere di massa minima. Esempi e controesempi riguardanti il teorema di compattezza.
  21. Lun 18/05/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Applicazione del teorema di rettificabilità del bordo: rettificabilità degli insiemi di perimetro finito. Push-forward di una corrente: definizione astratta, push-forward delle correnti di massa finita e delle correnti rettificabili (riferimento: Krantz&Parks, paragrafo 7.4.4).
  22. Mer 20/05/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione della formula per il push-forward di una corrente rettificabile. Bordo di una n-corrente in un aperto di R^n e legame con la derivata (distribuzionale) di una funzione. "Constancy lemma" e sue varianti. Il supporto di una k-corrente normale non banale deve avere misura integralgeometrica k-dimensionale positiva (dimostrazione solo accennata).
  23. Lun 25/05/2009 17:30-18:30 (1 ora) lezione.
    Esempi di calcolo del bordo. Costruzione del cono su una corrente senza bordo (riferimento: Krantz&Parks, paragrafo 7.4.4).
  24. Mer 27/05/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.Norma flat, sue proprietà fondamentali e caratterizzazione duale (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 8.2). Il teorema di deformazione poliedrale per correnti intere o normali, con e senza bordo (dimostrazione non sviluppata in tutti i dettagli; riferimento: Krantz&Parks, capitolo 7.7).
  25. Lun 08/06/2009 14:00-15:00 (1 ora) lezione.
    Teorema isoperimetrico per correnti intere (solo in R^n, riferimento: Krantz&Parks, capitolo 7.9). Approssimazione in massa con correnti poliedrali (dimostrazione solo accennata nel caso di correnti intere senza bordo, l'unico riferimento sarebbe eventualmente il Federer). Nozione di massa e comassa per k-vettori e k-covettori: collegamento con il teorema di approssimazione in massa per correnti normali. La convergenza debole per successioni equilimitate in massa è metrizzata dalla norma flat (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 8.2).
  26. Mer 10/06/2009 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    "Slicing" di correnti rettificabili e di correnti normali (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 7.6). Dipendenza BV delle "slice" dal parametro (rispetto alla norma flat). Criterio di rettificabilità per slicing (Brian White e altri) e sue applicazioni: dimostrazione del teorema di rettificabilità del bordo e del teorema di chiusura (o compattezza) per le correnti intere (riferimento: Krantz&Parks, capitolo 8.1; di tutti i risultati esposti in questa lezione è stata data solo un'idea della dimostrazione).