Dati registro
insegnamento: Matematica e Statistica
corso di studi: Scienze Biologiche
Molecolari (triennale)
anno accademico: 2008-2009
docenti: Giovanni Alberti
(titolare, lezioni), Vincenzo Maria
Tortorelli
(esercitazioni)
codice insegnamento: AA294
totale ore: 90 (lezione: 57,
esercitazione: 33)
totale ore Giovanni Alberti: 59
(lezione 57, esercitazione: 2)
totale ore Vincenzo Maria Tortorelli 31
(esercitazione: 31)
Lezioni
- Mer 01/10/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Presentazione del corso: programma, libri di testo, modalità
d'esame, pagine web del corso e materiale online (liste di esercizi,
testi d'esame con le soluzioni, materiale degli anni passati), mailing
list del corso, coordinate dei docenti, orario di ricevimento. Breve
lista di prerequisiti del corso: proprietà di potenze e logaritmi,
equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, manipolazione di
espressioni algebriche. Alcune notazioni di base: potenze, numero e,
logaritmi (sempre in base e), misura degli angoli (sempre in radianti).
Domande sulla misura degli angoli: lunghezza di un arco, area di un
settore circolare.
- Ven 03/10/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
1 - Esercizio 4 (modificato: discussione sulla dicitura
"ben definito" relativamente ad un termine matematico) ed esercizio 6
(solo per a>0) dal compito del 14 novembre 2007 (Alberti).
2- Esercizio 5 dal compito del 8 gennaio 2008 (Alberti).
e^2<15,~ e^3<30. Se x>y e x+y>0 allora x^2>y^2.
3-
Esercizio 4.2.1 dal libro di V. Villani "Matematica per Scienze
Biomediche'': discussione per individuare le incognite e modellizzare
il
problema, discussione sulla relatività rispetto ad una popolazione
della nozione di percentuale.
4 - Esercizio del tipo: quali dei seguenti punti stanno nella regione
di semipiano sopra la retta y-5x+3=0: (0,0), (1,1), (4,2)?
5 - Esercizio 1.3 dal compito del 5 Febbario 2008 (Abate): prima parte
svolta, seconda parte solo impostata concettualmente e
"pittoricamente".
- Lun 06/10/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Definizione geometrica delle funzioni trigonometriche
fondamentali: seno, coseno e tangente. Alcune applicazioni geometriche
(digressione sul principio di similitudine e sul riscalamento delle
grandezze geometriche). Relazioni significative tra seno, coseno e
tangente. I valori delle funzioni trigonometriche fondamentali per
alcuni angoli notevoli. Formula per il coseno ed il seno della somma di
due angoli (senza dimostrazione). Sono stati dati alcuni esercizi ;a
cui soluzione è stata solo accennata e lasciata da completare a casa).
- Ven 10/10/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
1 - Esercizio 1.3 dal compito del 5 febbario 2008
svolgimento seconda parte (Abate).
2 - Metodo di quadratura per at^2 + bt +c, a>0 per giustificare la
formula delle radici e la regola per le diseguaglianze utilizzando la
regola A^2-B^2=(A+B)(A-B).
3 - [Benedetto-Degli Esposti-Maffei] Per un singolo bambino da 1 a 5
anni la legge di crescita della massa corporea pare essere del tipo
p+at. Se un bimbo ad un anno pesa 9 Kg e ha un tasso di crescita di 220
gr per mese, mentre una bimba ad un anno pesa 9.5 Kg con un tasso di
crescita di 180 gr per mese è possibile che nell'arco dei cinque anni
il peso del bimbo superi il doppio di quello della bimba?
4 - Disequazioni.
- Lun 13/10/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Definizione (non formale) di funzione come algoritmo che ad
ogni input x associa un output y=f(x). Esempio principlae: funzioni
date da formule. Altro esempio: la legge oraria di un oggetto in
movimento. Dominio di definizione di una funzione, immagine e grafico;
alcuni esempi. Alcuni semplici esercizi: risoluzione grafica di
equazioni e disequazioni. Descrizione dei grafici delle funzioni
elementari.: funzioni lineari y=mx+p (sono rette); funzioni potenza
y=x^a con a intero positivo oppure negativo.
- Mar 21/10/2008 15:30-17:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Descrizione dei grafici delle funzioni elementari: funzioni
potenza con esponente intero negativo, funzioni potenza (y=x^a) con
esponente reale positivo o negativo, funzione esponenziale in base e,
funzioni esponenziali in base a con a reale positivo (y=a^x), logaritmo
in base e, seno, coseno, tangente. Alcune funzioni inverse: radice
logaritmo, arcoseno e arcotangente. Come ottenere a partire dal grafico
della funzione f(x) quello delle funzioni f(x)+a, f(x+a), -f(x), f(-x),
af(x), f(ax).
- Mer 22/10/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Coordinate polari (r e q) di un punto nel piano. L'unità
immaginaria i. Numeri complessi, somma, prodotto e divisione di numeri
complessi. Esempi di calcolo. Soluzioni complesse delle equazioni di
secondo grado a coefficienti reali. Coordinate polari e
rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Calcolo del
prodotto e delle potenze di numeri complessi utilizzando la
rappresentazione trigonometrica. Esercizi: calcolo di (1+i)^10, calcolo
delle radici quarte di –4.
- Ven 24/10/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Soluzione esercizi lasciati: [Batschelet, esempio 5.6.3] vedi;
[Esercitazioni del dott. Saracco, corso Prof. Abate 7/11/06, es. 4.1]
Quante palline di naftalina di...
Compitino del 16 novembre 2007 esercizi IA-5,6,7,8 e IIA-3: testo e
soluzioni. Foglio di esercizi I, 30 ottobre 2007: esercizi 1, 3,
6-a-b-c-d-e-f-g-h-i-l-m-n-o-p, 9, "compressione" e dilatazione di
grafici, cambiamento del periodo.
Esercizi proposti dagli studenti: disequazione da risolvere
graficamente.
- Lun 27/10/2008 11:00-13:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
1 - Ogni numero complesso non nullo ha due radici quadrate.
2 - Calcolo delle radici complesse di z^2+z+1 con il metodo di
quadratura; radici complesse di un trinomio di secondo grado.
3 - Raccolta di esercizi del 24 ottobre 2008 (Alberti):
esercizi 1-a-c con notazione complessa, 2-a, 3, 6-a (due modi di
calcolo)-c,10 (coniugato ed inverso), 11-a-b, 12-b-c, 13-b-c.
Vari esercizi lasciati.
- Mer 29/10/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Espressione approssimata di una grandezza: x=v±e. Valore
stimato (o misurato), errore (o errore assoluto) ed errore relativo.
Significato dell'errore relativo. Formula per l'errore assoluto della
somma e della differenza di due grandezze. Formule precise per l'errore
assoluto e relativo del prodotto di due grandezze; formule approssimate
(affidabili in caso di errori relativi piccoli).
- Ven 31/10/2008 09:00-10:00 (1:0 h)
esercitazione:
Grafici di arctan(x^2), arctan x/(x+1), svolgimento
algebrico e grafico. Grafici di arcsin(sin x) e di arcos(cos x).
Regioni del piano definite con le diseguaglianze:
|x|<1 e |y|<1, |x|+|y| <1, |x|+y<1
usando le simmetrie della funzione valore assoluto senza discutere i
vari casi.
Esercizio lasciato: potendo approssimare a meno di un millesimo sia pi
greco (3.141) che radice di due (1.414)
quale errore e quale valore significativo si ha calcolando l'area di un
settore circolare di raggio radice quarta di 2 e ampiezza un quarto di
angolo piatto?
- Ven 31/10/2008 10:00-11:00 (1 ora, Giovanni Alberti)
lezione.
Formule precise ed approssimate per l'errore assoluto e
relativo dell'inverso di una grandezza e del rapporto di due grandezze.
Esempio di calcolo dell'errore. Media di un insieme di dati numerici.
Madia pesata di un insieme di dati numerici. Esempi di media pesata.
- Lun 03/11/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Media e varianza di un insieme di dati numerici. Ripartizione
dei dati in classi, frequenze assolute e frequenze relative, calcolo di
media e varianza in termini di frequenze relative (media pesata).
Mediana e moda. Notazione compatta per la somma. La media è la costante
che meglio approssima un certo numero di dati. Rappresentazione grafica
dei dati: istogrammi, areogrammi, rappresentazione cartesiana.
Interpolazione lineare.
- Mer 05/11/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Formula alternativa per la varianza (media dei quadrati meno
quadrato della media). Covarianza e coefficiente di correlazione di due
sequenze di dati. Retta dei minimi quadrati e di regressione: la retta
che meglio approssima dei punti assegnati. Cosa significa "meglio"?
Calcolo dei parametri ottimali. L'approssimazione è tanto migliore
quanto più il coefficiente di correlazione è vicino a 1 o –1. Calcolo
della retta di regressione per un esempio con alta correlazione e per
un esempio con bassa correlazione (confronto con la rappresentazione
grafica dei dati).
- Ven 07/11/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Calcolo approssimato: area settore circolare di ampiezza
pigreco quarti e raggio radice quarta di 2 con tali costanti
approssimate
al millesimo.
La conoscenza degli errori relativi non permette la stima dell'errore
assoluto di un prodotto (esempio) ma solo quella
dell'errore relativo.
Calcolo con diverse valutazioni del volume di un parallelepipedo.
Presentazione dati: esercizio 1, quarto foglio di esercizi: determinare
media, mediana e varianza di dieci dati numerici.
Esercizi lasciati:
valutare gli errori relativi di potenze successive di 1 + o - 1/10 con
i diversi metodi di valutazione per i prodotti;
se 6 macchinari producono un'unità di bene in 1, 2, 3, 4, 5, 6 unità di
tempo in quanto tempo si ottiene la quantità media di prodotto?
- Lun 10/11/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Rappresentazione dei dati usando la scala logaritmica per la
variabile y: le leggi esponenziali sono rappresentate da rette.
Determinazione della legge esponenziale che meglio approssima i dati
tramite il metodo dei minimi quadrati. Rappresentazione dei dati usando
la scala logaritmica per entrambe le variabili: le leggi di tipo
potenza sono rappresentate da rette. Motivazione geometrica per
l'introduzione del concetto di derivata di una funzione (il concetto di
limite viene dato solo a livello intuitivo). Calcolo "numerico" della
derivata dell'esponenziale in 0, calcolo rigoroso della derivata del
quadrato. Il concetto di derivata in fisica: la velocità è la derivata
dello spostamento.
- Mer 12/11/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Calcolo delle derivate: elenco delle derivate di funzioni
elementari e di regole. Esempi di applicazione delle regole.
Dimostrazione (non completa) delle regole e dei risultati enunciati.
- Ven 14/11/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Soluzione esercizi lasciati: propagazione errore relativo per le
valutazioni v^2 ± 2ve e v^2 + e^2 ± 2ve di (v ± e)^2.
Media armonica come tempo di produzione del bene medio.
Esercizi 3 e 4-a-b del quarto foglio. Proprietà di minimo della media
pesata.
- Lun 17/11/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Ultime dimostrazioni sulle derivate delle funzioni elementari.
Calcolo di alcuni semplici limiti a partire dalla nozione intuitiva di
limite e da informazioni deducibili dal grafico delle funzioni
elementari. Alcune regole intuitive per il calcolo dei limiti (senza
dimostrazioni).
- Mer 19/11/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Vari esempi di calcolo di limiti con tecniche elementari.
Collegamento tra il segno della derivata e la monotonia — crescenza e
decrescenza — della funzione (giustificato graficamente). Esempio di
applicazione: studio del grafico della funzione y=1/(1+x^2).
Collegamento tra il segno della derivata seconda e la convessità o
concavità della funzione (giustificato graficamente). Punti di massimo
e minimo, locali ed assoluti. Criteri per la determinazione dei punti
massimo e minimo di una funzione su un intervallo.
- Ven 21/11/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Presentazione dati: esercizio 4, quarto foglio:
impossibilità del calcolo della varianza e della mediana di alcune
grandezze per i dati presentati. Esercizio 15, quarto foglio: calcolo
di rette
di regressione in scala decimale logaritmica e doppiamente logaritmica,
errori numerici e previsione teorica. La correlazione per
approssimazione può risultare maggiore di 1.
Dimostrazione teorica del fatto che è minore o eguale a 1.
Confronto quantitativo di stima soggettiva delle pendenze di rette
vicine ai dati con quelle previste teoricamente.
Calcolo di derivate (log(cos x))/sinx.
Non derivabilità di arcsin 2x/(1+x^2) in ±1 e sua derivata altrove.
- Lun 24/11/2008 11:00-13:00 (2
ore) lezione non tenuta per sospensione didattica.
- Mer 26/11/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti)
esercitazione.
Soluzione del compitino di prova. Alcuni esercizi sulla
ricerca dei punti di massimo e minimo e sullo studio dei grafici di
funzioni.
- Ven 28/11/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
1- Si è ultimato l'esercizio iniziato dal docente a
lezione: trovare la massima area del trapezio isoscele con base
maggiore il diametro della semicirconferenza unitaria ove deve essere
iscritto. Si deve render massima la funzione A(x)= (1+x)radice di
(1-x^2), x tra 0 e 1. Poiché nel caso esiste il valore massimo...
1
bis - Risoluzione sintetica (con argomento di simmetria) del problema
precedente.
2- Esercizi 9, 11 e 12 del foglio di esercizi del
16/11/2008.
3- Studio del grafico di A(x) su [-1, 1].
4- Studio dell'estensione log cos x fratto sin x e della
derivablità e del suo grafico.
5- A richiesta degli studenti esercizi 18, 19, 20 del foglio di
esercizi del 24/10/2008.
- Lun 01/12/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Confronto di funzioni che tendono all'infinito o a zero in un
certo punto. Terminologia base: funzione trascurabile rispetto ad
un'altra, "o piccolo", "o grande", funzioni asintoticamente
equivalenti, parte principale. Principio di sostituzione degli infiniti
/ infinitesimi nel calcolo di limiti di prodotti e di rapporti di
funzioni. Teorema di de L'Hospital (con dimostrazione in un caso
particolare). Confronto di esponenziali, potenze e logaritmo
all'infinito, confronto di potenze e logaritmo in zero (con
dimostrazione).
- Mar 02/12/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Lezione di recupero. Esempi ed esercizi su: teorema di de
L'Hospital, uso della notazione "o piccolo", uso del principio di
sostituzione degli infiniti / infinitesimi per il calcolo dei limiti,
determinazione della parte principale di una funzione. Sviluppo di
Taylor in zero di una funzione. Sviluppi di Taylor delle funzioni
fondamentali : exp x, sen x, cos x, log(1+x), 1/(1+x), 1/(1-x).
- Mer 03/12/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Dimostrazione del teorema sullo sviluppo di Taylor.
Applicazioni degli sviluppi fondamentali: espressione della costante di
Nepero e come somma infinita, esponenziale di un numero complesso.
Applicazione degli sviluppi di Taylor delle funzioni fondamentali al
calcolo delle parti principali.
- Ven 05/12/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Dal foglio ``Limiti e parti principlai 2008'':
1- Esercizio 1-b,e..
2- Esercizio 2..
3- Esercizio 3-a,b, c,d,e , f, h,i..
4- Esercizio 3-a,b, c,d,e , f, h,i. Variazione usando le parti
principali e i limiti di rapporti incrementali.
5- Esercizio 8
confronto con il binomio di Newton e formula generale.
6- Esercizio 9-a, c..
7- Esercizio 10-a...
8- Esercizio 11-d,e sostituzione e unicità dello sviluppo di Taylor.
9- Esercizio 12-a, b, e, f..
10- Esercizio 13,
derazionalizzazione.
11-Esercizio 15 con Taylor.
- Mar 09/12/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Lezione di recupero. Definizione di integrale (definito) di
una funzione come area del sottografico. Approssimazione dell'integrale
con somme finite. Il lavoro di una forza come integrale. Definizione di
primitiva (integrale indefinito). Teorema fondamentale del calcolo
integrale (con dimostrazione). Calcolo degli integrali definiti e
indefiniti a partire dalle primitive delle funzioni elementari e da
alcune regole: primitiva della somma, primitiva del prodotto per
costante, regola di integrazione per parti (con dimostrazioni).
- Mer 10/12/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Formula di cambio di variabile per gli integrali. Alcuni
esercizi di calcolo di integrali definiti e indefiniti. Esempi di
integrali con estremi di integrazione infinito. Calcolo di aree e
volumi per integrazione; calcolo del volume della sfera. Esempi di
equazioni differenziali: moto di un corpo soggetto all'attrazione di
gravità (calcoli dettagliati nel caso di forza costante, solo impostato
nel caso di forza dipendente dalla distanza). Il ruolo dei dati
iniziali.
- Ven 12/12/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
(SCIOPERO BIANCO). Calcolo dal grafico dell'integrale di
cos^2x;
esercizi su integrazione per sostituzione, uso naive della notazione di
Leibniz: funzioni di e^x, 1/(1+x)^k, xe^{-x^2} , cos x/(1+ cos^2 x),
1/(a^2-x^2), radice(1-x^2);
esercizi su integrazione per parti: xe^x, e^x cos x;
commenti e precisazioni sugli integrali.
- Lun 15/12/2008 11:00-13:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Altri esempi di equazioni differenziali: oscillatore armonico
semplice (molla), pendolo, equazione di decadimento. Equazioni
differenziali del primo ordine: notazione e significato base del
teorema di esistenza ed unicità (giustificato per discretizzazione).
Equazioni a variabili separabili. Esempi. Equazioni lineari del primo
ordine.
- Mer 17/12/2008 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del primo
ordine e sulle equazioni a variabili separabili. Equazioni
differenziali del secondo ordine. Fatti generali. Soluzione generale
delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti e
omogenee. (Sugli appunti: ricerca delle soluzioni nel caso non
omogeneo).
- Ven 19/12/2008 09:00-11:00 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee tutte le soluzioni si
ottengono sommando ad una particolare soluzione la generica soluzione
dell'equazione omogenea. Viceversa la differenza di due soluzioni è
soluzione dell'omogenea.
Sommando soluzioni della stessa equazione con diversi termini noti
si ottiene una soluzione dell'equazione con termine noto la somma dei
precedenti.
Termini noti di tipo esponenziale, trigonometrico e polinomiale.
Risoluzione di una decina di esercizi.
Cenno al metodo della variazione delle costanti.
Imposizione delle condizioni iniziali.
Problema di Cauchy per le equazioni a variabili separabili y'=1+y^2,
y'=y(1-y).
In generale per g(y) f(t) gli zeri di g danno le soluzioni costanti che
hanno grafico retta orizzontale che non può essere toccato dai grafici
di altre soluzioni.
- Lun 16/02/2009 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Dove si usa la probabilità. Esempi elementari di probabilità
uniforme: lancio di un dado o di una moneta, estrazione del lotto.
Probabilità uniforme: numero dei casi favorevoli diviso numero dei casi
possibili. Tecniche base di enumerazione: numero di coppie xy con x in
un dato insieme X ed y in un dato insieme Y; numero di sigle di k
caratteri presi da un alfabeto di N lettere (disposizioni con
ripetizione), numero di sigle di k caratteri tutti diversi presi da un
alfabeto di N lettere (disposizioni con ripetizione); numero di
permutazioni di un insieme di N oggetti; modi di scegliere k oggetti
tra N a disposizione (combinazioni, coefficienti binomiali). Alcuni
esercizi di calcolo delle probabilità che si possono risolvere con gli
strumenti appena dati.
- Mar 17/02/2009 14:30-16:30 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Equazioni differenziali e fenomeni naturali: crescita
popolazione con risorse limitate, modello preda predatore o simbiosi o
concorrenza e sua riduzione ad un'equazione, equazioni di moto
unidimensionale.
Oscillatori: risonanza, risonanza come limite, battimenti.
Probabilità: come numero di casi favorevoli su numero di casi
possibili,
frequenza relativa, esempio di attribuzione soggettiva non campionaria
di probabilità. Vari esercizi su: calcolo di probabilità finite con il
metodo campionario (fattoriale combinazioni disposizioni confronto tra
le soluzioni proposte e quelle degli studenti: le probabilità
condizionali semplificano i ragionamenti), probabilità come rapporto di
aree per giustificare la formula di esclusione inclusione (probabilità
dell'evenienza di due casi).
- Mer 18/02/2009 10:00-12:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Binomio di Newton. Definizione astratta di spazio di
probabilità (con spazio degli eventi elementari finito). Probabilità
uniforme. Probabilità di un avendo non elementare. Operazioni sugli
insiemi e loro interpretazioni in termini di eventi. Formula per la
probabilità dell'evento complementare. Formula generale per la
probabilità dell'unione di due eventi. Esempio di probabilità non
uniforme: estrazione di una pallina da un sacchetto. Problema: calcolo
della probabilità di errore nella trasmissione di una stringa di 1000
caratteri sapendo la probabilità di errore nella trasmissione di una
singolo carattere. Definizione di probabilità condizionale
(giustificata nel caso della probabilità uniforme). Definizione di
eventi indipendenti.
- Lun 23/02/2009 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Definizione di eventi indipendenti e probabilità condizionale.
Esempi di indipendenza "naturali" e "puramente matematici". Probabilità
di un numero ritardatario nell'estrazione del lotto, distribuzione di
probabilità per il lancio di due dadi, calcolo della probabilità di
eventi indipendenti concomitanti. Definizione di indipendenza per più
di due eventi. Vari esempi di uso della probabilità condizionale nella
risoluzione degli esercizi.
- Mar 24/02/2009 14:30-16:30 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Calcolo delle probabilità di interposizione circolare tra
2 su 20.
diagrammi per probabilità condizionata:sapendo di un test diagnostico
le affidabilità date nel caso positivo e negativo e la percentuale dei
positivi in una popolazione calcolare la probabilità che un individuo
sia malato. Prima legge di Mendel: calcolo mediante diagrammi di
probabilità condizionale della probabilità di un monozigote dominante
per una genotipo biallelico. Lanci di monete, lanci di dadi,
multinomiale, estrazioni senza rimpiazzo.
- Mer 25/02/2009 10:00-12:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Formula di Bayes: dimostrazione ed esempi di applicazione
(test diagnostico). Eventi ripetuti, esempio: probabilità di ottenere k
teste lanciando n monete. Eventi ripetuti, formula generale (con
dimostrazione): probabilità di avere k successi in n esperimenti
indipendenti con probabilità di successo p. Esempi. Variabili
aleatorie: definizione, valore atteso, varianza.
- Lun 02/03/2009 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Formule alternative per il valore atteso e la varianza.
Disuguaglianza di Chebyshev. Proprietà principali del valore atteso.
Covarianza e coefficiente di correlazione di Pearson. Variabili
aleatorie indipendenti. Due variabili aleatorie indipendenti sono
scorrelate. Proprietà principali di varianza e covarianza: varianza
della somma di due variabili aleatorie indipendenti e non. Media
campionaria di variabili aleatorie (con uguale valore atteso ed uguale
varianza) e legge dei grandi numeri in forma debole. Esempio: stima
della probabilità che lanciando N monete la percentuale di teste sia
superiore a 1/2+t o inferiore a 1/2-t per un assegnato t positivo.
- Mar 03/03/2009 14:30-16:30 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Probabilità di k successi nel lotto francese:
disposizioni semplici.
Segregazione sessuale, genitorialità bisessuata ed indipendenza del
genotipo dal sesso danno (calcolo con frequenze genotipiche) alla
seconda generazione la stessa distribuzione del caso ermafrodita non
solo bigenitoriale (calcolo allelico).
Esercizi su media e varianza: successi e guadagni su n lanci di monete,
successi su ripetute estrazioni senza rimpiazzo ed equidistribuzione
dei tentativi.
Somme dei primi H numeri naturali e dei loro quadrati.
- Mer 04/03/2009 10:00-12:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Principali distribuzioni di probabilità discrete, con il
calcolo di valore atteso e varianza (ed esempi di applicazione):
distribuzione di Bernoulli, binomiale, geometrica (senza dimostrazione
per quanto riguarda valore atteso e varianza), di Poisson. Cenno sulle
distribuzioni di probabilità continue: definizione, valore atteso e
varianza. Esempi: distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale.
- Lun 09/03/2009 14:30-16:30 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Dimostrazione della disuguaglianza di Chebyshev. Distribuzione
normale (o Gaussiana). Introduzione al teorema del limite centrale.
Vettori in R^n.
Somma e prodotto scalare di vettori: definizione
algebrica ed interpretazione geometrica. Matrici. Prodotto di matrici.
Prodotto di matrice per un vettore.
- Mar 10/03/2009 14:30-16:30 (2 ore, Vincenzo M. Tortorelli)
esercitazione.
Esercizi sulle principali distribuzioni (geometrica, di
Poisson, binomiale, esponenziale). Mancanza di memoria per la legge
binomiale ed esponenziale.
- Mer 11/03/2009 10:00-12:00 (2 ore, Giovanni Alberti) lezione.
Matrice identica e matrice inversa. Come scrivere un sistema
di equazioni lineari in termini di matrici e vettori e risolverlo
calcolando l'inversa della matrice dei coefficienti. Determinante di
una
matrice inversa: significato geometrico e calcolo del determinante (in
particolare nel caso 2x2 e 3x3). Calcolo della matrice inversa (in
particolare nel caso 2x2 e 3x3).