Dati registro

insegnamento: Topologia e Analisi Complessa
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2007-2008
docenti: Fabrizio Broglia (lezioni), Giovanni Alberti (esercitazioni)
codice insegnamento: AA129

Lezioni di Giovanni Alberti

  1. 27/02/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Richiamo delle definizione di base sugli insiemi connessi e lista di esercizi collegati (non svolti). SO(n) è connesso per archi. Componenti connesse di O(n). Costruzione dell'insieme di Cantor e dimostrazione di alcune sue proprietà (non ci sono punti isolati, le componenti connesse sono i punti). O(n) è il retratto di deformazione (forte) di GL(n). Dato un convesso C in R^n, ogni punto di C è un suo retratto di deformazione (forte). La sfera n-1 dimensionale è un retratto di deformazione (forte) di R^n meno l'origine.
  2. 28/02/2008 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Completamento di alcuni esercizi iniziati nella lezione precedente. Altri esercizi su retratti e retratti di deformazione.
  3. 05/03/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Un aperto convesso C in R^n è omeomorfo ad una palla aperta; la frontiera di C è un retratto di deformazione di R^n meno un punto interno a C. Esempio di retratto che non è un retratto di deformazione. Descrizione dettagliata della (o meglio, di una) curva di Peano, senza svolgere tutti i conti. La sfera meno due punti è omotopicamente equivalente ad una circonferenza (due versioni). Il piano meno due punti è topologicamente equivalente ad un "otto". Ogni arco è omotopo ad una sua riparametrizzazione (che preservi il punto iniziale e finale).
  4. 06/03/2008 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Dimostrazione completa del fatto che se lo spazio X si scrive come unione di due aperti semplicemente connessi la cui intersezione è connessa per archi, allora X è semplicemente connesso. La sfera S^n con n maggiore o uguale a 2 è semplicemente connessa (due dimostrazioni).
  5. 12/03/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Isomorfismo dei gruppi fondamentali con diversi punti-base. Calcolo dei gruppi fondamentali di alcuni spazi a partire da quello della circonferenza (toro, cilindro, nastro di Moebius, etc.). Gruppo fondamentale dello spazio a forma di otto (bouquet di due circonferenze). Il complementare di un insieme finito nello spazio è semplicemente connesso.
  6. 13/03/2008 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Il gruppo fondamentale di un gruppo topologico è sempre abeliano (+ varianti di questo risultato). Esempi di gruppi topologici.
  7. 19/03/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Il teorema fondamentale dell'algebra. La mappa identica su S^n non è mai omotopa ad una costante (dimostrato solo per n=1); alcune conseguenze di questo fatto. Relazione tra il gruppo fondamentale di X e le classi di omotopia delle mappe da S^1 in X. Calcolo del grado di un cammino in S^1 tramite scomposizione in cammini non surgettivi. Esercizi sul grado di un cammino in S^1.
  8. 02/04/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Alcuni esempi significativi di rivestimento: il toro riveste la bottiglia di Klein, la sfera riveste lo spazio proiettivo. Calcolo del gruppo fondamentale dello spazio proiettivo. Ripasso delle superfici classiche ottenute come quozienti del quadrato: cilindro, nastro di Moebius, toro, piano proiettivo, bottiglia di Klein. Cosa succede identificando il bordo del nastro di Moebius o del toro ad un punto, oppure con il bordo di un disco?
  9. 03/04/2008 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esercizi sui rivestimenti. Rimuovendo un punto da un aperto del piano non si ottiene mai uno spazio semplicemente connesso. Caratterizzazione topologica (intrinseca) dei punti del bordo del disco, del nastro di Moebius e del cilindro.
  10. 07/04/2008 dalle 09:00 alle 11:00 esercitazione.
    Gruppo di trasformazioni con azione propriamente discontinua e gruppo fondamentale: enunciato del risultato principale. Applicazione al calcolo di alcuni gruppi fondamentali.
  11. 09/04/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein (vista come quoziente del piano rispetto ad un opportuno gruppo di omeomorfismi). Costruzione dei rivestimenti universali di alcuni spazi (quello ottenuto da uno spazio semplicemente connesso identificando due punti distinti, il bouquet di due circonferenze). Teorema di Borsuk-Ulam (enunciato generale e dimostrazione solo per mappe dalla sfera nella circonferenza).
  12. 16/04/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Alcune conseguenze (enunciati equivalenti) del teorema di Borsuk-Ulam, con dimostrazione. Il gruppo fondamentale di uno spazio con rivestimento universale compatto è finito. Costruzione di uno spazio con gruppo fondamentale isomorfo al gruppo delle permutazioni di n elementi. Esercizi sul calcolo del gruppo fondamentale.
  13. 17/04/2008 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Gruppo libero con un insieme assegnato di generatori. Rappresentazione di un gruppo in termini di generatori e relazioni (casi particolari: Z, Z_n, prodotto diretto di Z per Z, prodotto semidiretto di Z per Z). Enunciato del teorema di van Kampen (senza dimostrazione).
  14. 21/04/2008 dalle 09:00 alle 11:00 esercitazione (tenuta da Francesca Acquistapace).
    Calcolo dei gruppi fondamentali tramite il teorema di van Kampen.
  15. 30/04/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Versione generale del principio del prolungamento analitico. Il principio del prolungamento analitico non vale per le funzioni infinitamente derivabili. Condizione necessaria e sufficiente per l'analiticità di una funzione su R. Costruzione di funzioni infinitamente derivabili e positive il cui luogo di zeri è un chiuso assegnato di R. Il campo dei quozienti delle serie formali. Calcolo del raggio di convergenza di alcune serie di formali. Determinazione del valore esatto di alcune serie di potenze . Altri esercizi sulle serie di potenze e sul principio del prolungamento analitico.
  16. 07/05/2008 dalle 14:00 alle 15:00 esercitazione.
    Diverse dimostrazioni dell'analiticità della funzione 1/x. Determinazione del valore esatto di alcune serie di potenze (somma di x^n/n^2). Dimostrazione della formula del binomio di Newton a partire dalle serie di Taylor.
  17. 08/05/2008 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    L'esponenziale e^z come limite di (1+z/n)^n. Prolungamento analitico di sin x, cos x ed altre funzioni elementari. Esempi di calcolo dell'integrale di alcune forme. Determinazione esplicita della primitiva di una forma esatta.
  18. 14/05/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Esempi fondamentali di forme chiuse ed esatte, calcolo esplicito delle primitive (in opportuni sottoinsiemi connessi del dominio). Condizione necessaria per l'esattezza di una forma chiusa in termini di integrali sui generatori del gruppo fondamentale del dominio: alcuni esempi. Calcolo dell'integrale di alcune forme chiuse ma non esatte.
  19. 15/05/2008 dalle 12:00 alle 13:00 esercitazione.
    Studio delle forme dz/z, dz/z^2. Relazione tra la derivata di una funzione olomorfa e la matrice Jacobiana. L'immagine di una funzione olomorfa non costante ha parte interna non vuota. Determinazione dei punti interni ad un compatto in base all'indice del bordo.
  20. 22/05/2008 dalle 11:00 alle 13:00 esercitazione.
    Relazioni tra f', df, df/dz, df/dx, df/dy per una funzione olomorfa f. Verifica che una funzione data è olomorfa. Una funzione olomorfa su C con crescita p all'infinito è un polinomio di grado minore o uguale a p.
    Determinazione geometrica del raggio di convergenza della serie di Taylor.
    Se |g|<|f| allora Ind(f+g,0)=Ind(f,0). Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra usando l'indice. Stima della distanza di Hausdorff di due compatti a partire dalle parametrizzazioni dei bordi. Una funzione olomorfa su C con parte reale limitata è costante. Estensione per simmetrizzazione di una funzione olomorfa su un disco (meno l'origine) con valori reali sul bordo.
  21. 26/05/2008 dalle 10:00 alle 11:00 esercitazione.
    Esempio di funzione olomorfa sul disco che non può essere estesa ad aperti più grandi (conti lasciati per casa). Applicazione dell'indice: una funzione olomorfa non costante su un aperto connesso è una mappa aperta. Calcolo dei poli e residui di alcune funzioni meromorfe. Esempi di singolarità eliminabili. Calcolo di due sviluppi di Laurent (a partire dalle serie di Taylor classiche).
  22. 28/05/2008 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Esempi fondamentali del calcolo degli integrali tramite il teorema dei residui (tutti quelli sul Cartan tranne uno rimandato alla lezione successiva). Tecniche per il calcolo dei residui in caso di poli semplici.
  23. 29/05/2008 dalle 11:00 alle 13:00 esercitazione.
    Esempi di calcolo del numero di zeri di una funzione olomorfa tramite il teorema di Rouché. Ricapitolazione sulle determinazioni del logaritmo complesso e della radice complessa. Calcolo di un integrale tramite il teorema dei residui.
  24. 30/05/2008 dalle 16:00 alle 18:00 lezione non tenuta per svolgimento della seconda prova in itinere.