Dati registro

insegnamento: Teoria della Misura
corso di studi: Matematica (specialistica)
anno accademico: 2005-2006
docente: Giovanni Alberti
codice insegnamento: AA523

Lezioni
  1. 29/09/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Definizione di sigma-algebra su un insieme. Boreliani. Funzioni misurabili e funzioni Boreliane. Porprietà principali delle funzioni misurabili.
  2. 03/10/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Misure (numerabilmente additive) su una sigma-algebra. Funzioni semplici ed integrazione delle funzioni misurabili positive. Proprietà di base dell'integrale. Integrazione di funzioni reali e vettoriali.
  3. 03/10/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Teoremi di convergenza monotona, dominata, e lemma di Fatou (con dimostrazione). Controesempi per il teorema di convergenza monotona. Integrazione di funzioni a valori in uno spazio di Banach separabile.
  4. 06/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Misure singolari e misure assolutamente continue. Misura associata ad una funzione positiva. Teorema di decomposizione di Hahn (con dimostrazione). Estensioni.
  5. 13/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Teorema di Radon-Nikodym con dimostrazione nel caso di lambda a.c. rispetto a mu, entrambe finite. Estensione al caso lambda qualunque. Inviluppo superiore ed inferiore di due misure.
  6. 13/10/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Convergenza incondizionata e convergenza assoluta per serie in uno spazio di Banach. Misure vettoriali: variazione totale, massa, teorema di Radon-Nikodym e rappresentazione in termini di misure positive (senza dimostrazioni).
  7. 17/10/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Controesempi per alcuni enunciati delle lezioni precedenti. Misure di Borel. Regolarità interna ed esterna (dimostrata a meno di due lemmi lasciati per il futuro).
  8. 17/10/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Teorema di Lusin (con dimostrazione) e sue varianti.
  9. 20/10/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Funzionale associato ad una misure reale su X spazio topologico. Norma di detto funzionale. Enunciato del teorema di rappresentazione di Riesz e cenno di dimostrazione.
  10. 24/10/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Dimostrazione del Teorema di Riesz. Topologia debole star delle misure e relativa convergenza. Teorema di Banach-Alaoglu e compattezza delle misure. Applicazione: costruzione della misura di Lebesgue su un intervallo.
  11. 24/10/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Sigma-algebre e misure prodotto. Teorema di Fubini (dimostrato solo in un caso semplice). Misure invarianti su un gruppo topologico compatto (misure di Haar).
  12. 31/10/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Una variante funzionale del teorema delle classi monotone. Applicazioni: criterio di identità delle misure, altra costruzione della misura prodotto e Teorema di Fubini. Completamento di una sigma-algebra.
  13. 31/10/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Misure esterne. Gli insiemi misurabili secondo Caratheodory sono una sigma-algebra e la restrizione della misura è sigma-additiva. Per una misura esterna additiva sui distanti i Boreliani sono misurabili secondo C. (Teorema di Caratheodory).
  14. 03/11/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazioni dei risultati sulle misure esterne enunciati nella lezione precedente.
  15. 03/11/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Applicazioni del teorema di Caratheodory: costruzione della misura di Lebesgue; costruzione di una misura a partire da un funzionale positivo, misura di Hausdorff e sue principali proprietà.
  16. 07/11/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Teoremi di ricoprimento e loro scopo generale. Teoremi di ricoprimento di Vitali e di Besicovitch (con dimostrazione quasi completa).
  17. 07/11/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Ricoprimento di un insieme con palle disgiunte a meno di sottoinsiemi insiemi trascurabili (proprietà di Besicovitch).
  18. 10/11/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Esistenza della densità di un insieme rispetto ad una misura con la proprietà di Besicovitch.
  19. 14/11/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Teorema di esistenza dei punti di continuità approssimata (Teorema di Lebesgue) per funzioni L^1 rispetto ad una misura con la proprietà di Besicovitch. Varianti L^p di questo teorema.
  20. 14/11/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    La misura di Hausdorff d-dimensionale coincide su R^d con la misura di Lebesgue (modulo la corretta rinormalizzazione).
  21. 17/11/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Punti di Lebesgue e punti di derivabilitaà per funzioni di una variabile reale. Ricapitolazione delle proprietà della misura di Hausdorff, ed esempi.
  22. 21/11/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Relazione la densità di una misura e la misura di Hausdorff del supporto. Stime dal basso della misura di Hausdorff dell'insieme di Cantor.
  23. 21/11/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Frattali autosimili: costruzione di Hutchinson. Esempi di frattali autosimili.
  24. 24/11/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Insiemi k-rettificabili in R^n: definizione e principali proprietà. Spazio tangente approssimato (solo definizione). Esempi di insiemi non rettificabili.
  25. 01/12/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione dell'esistenza dello spazio tangente approssimato ad un rettificabile. Rettificabilità e densità, formula integralgeometrica (non dimostrata).
  26. 05/12/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Definizione di derivata distribuzionale per funzioni di una variabile. Esempi. Distribuzioni (per sommi capi).
  27. 05/12/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Spazi di Sobolev in una dimensione. Teoremi di compattezza nella topologia debole ed applicazioni al calcolo delle variazioni.
  28. 12/12/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Immersione degli spazi di Sobolev in una dimensione nelle funzioni Hölderiane e nelle continue. Derivabilità quasi ovunque. Funzioni di Sobolev e funzioni assolutamente continue.
  29. 12/12/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Teorema fondamentale del calcolo delle variazioni. Esistenza di soluzioni deboli dell'equazioni Laplace (ellittiche variazionali) via metodo diretto. Esistenza via dualità (Lax-Milgram).
  30. 15/12/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teoria degli spazi di Sobolev in dimensione qualunque: teoremi di estensione, di immersione, di traccia; disuguaglianze tipo Poincaré (quasi senza dimostrazioni).
  31. 19/12/2005 dalle 16:00 alle 17:00 lezione.
    Convoluzione di due funzioni. Stime sulla norma L^p del prodotto di convoluzione. Nuclei regolarizzanti. Derivata (classica e distribuzionale) del prodotto di convoluzione.
  32. 19/12/2005 dalle 17:00 alle 18:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di estensione per spazi di Sobolev (per il semispazio). Controesempi al teorema di immersione. Dimostrazione del teorema di traccia (per il semispazio).
  33. 21/12/2005 dalle 18:00 alle 19:00 lezione.
    Immersione delle funzioni di Sobolev nelle Hölderiane (per p>n). Differenziabilità classica ed approssimata delle funzioni di Sobolev.
  34. 21/12/2005 dalle 19:00 alle 20:00 lezione.
    Teoremi tipo Lusin per funzioni di Sobolev.