Dati registro

insegnamento: Integrazione
corso di studi: Matematica (triennale)
anno accademico: 2005/2006
docenti: Giovanni Alberti (titolare, lezioni), Maria Stella Gelli (esercitazioni)
codice insegnamento: AA132

Lezioni di Giovanni Alberti
  1. 27/02/2005 dalle 11:00 alle 12:00 esercitazione.
    Correzione dell'ultimo scritto.
  2. 27/02/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Descrizione degli argomenti principali del corso e definizione dei dettagli organizzativi.
  3. 01/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Definizione di esponenziale di matrici exp(A) tramite serie. Convergenza della serie e continuità della funzione esponenziale. exp(A+B)=exp(A) exp(B) se A e B commutano.
  4. 01/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Derivata di exp(tA) rispetto ad t. Formula risolutiva per i sistemi lineari del primo ordine con coefficienti costanti, non omogenei. Esempi.
  5. 02/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Calcolo effettivo dell'esponenziale di matrici: metodi (diagonalizzazione, decomposizione come somma di matrici che commutano) e casi fondamentali (matrici diagonali o nilpotenti). Esempi.
  6. 02/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teoremi del confronto per equazioni differenziali ordinarie. Uso dei teoremi del confronto per lo studio qualitativo delle soluzioni.
  7. 06/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema di confronto debole tramite lemma di Gronwall.
  8. 06/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Esempi di equazioni del secondo ordine provenienti dalla meccanica: moto in un potenziale non singolare con e senza attrito, monotonia dell'energia meccanica, intervallo di esistenza delle soluzioni.
  9. 13/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Sistemi lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; risoluzione per diagonalizzazione. Esempi.
  10. 13/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema di Baire: alcune applicazioni ed esercizi.
  11. 16/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Caratterizzazione degli spazi metrici sequenzialmente compatti come spazi completi e totalmente limitati. Equivalenza di compattezza sequenziale e compattezza topologica.
  12. 20/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Completamento di una dimostrazione avanzata dalla lezione precedente. Definizione di famiglia di funzioni equicontinue.
  13. 20/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Compatti nello spazio delle funzioni continue. Teorema di Ascoli-Arzelà.
  14. 23/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Condizioni che garantiscono l'equicontinuità. Teorema di Peano sull'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali con la sola ipotesi di continuità.
  15. 27/03/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Curve in forma parametrica in R^n. Parametrizzazioni regolari. Nozione di spazio tangente ad un insieme in R^n. Spazio tangente ad una curva regolare.
  16. 27/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Lunghezza di una curva come sup della lunghezza delle spezzate inscritte. Formula per il calcolo della lunghezza di una curva C^1.
  17. 29/03/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Integrale di una funzione lungo una curva. Integrale di un campo di vettori. Invarianza dell'integrale rispetto a riparametrizzazioni.
  18. 31/03/2005 dalle 10:00 alle 11:00 lezione.
    Teorema di Gauss-Green (dimostrazione in parte solo accennata).
  19. 03/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Superfici parametrizzate regolari. Piano tangente in un punto.
  20. 03/04/2005 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Area di una superficie, e giustificazione euristica della formula. È possibile una definizione intrinseca di area di una superficie?
  21. 06/04/2005 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Integrazione su superfici parametrizzate regolari. Orientazione, normale, e flusso di un campo di vettori. Teorema di Stokes (cenno di dimostrazione).
  22. 26/04/2006 dalle 10:30 alle 14:00, primo prova in itinere.
  23. 27/04/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema di inversione locale: enunciato e inizio della dimostrazione.
  24. 03/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Conclusione della dimostrazione del teorema di inversione locale.
  25. 04/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Teorema della funzione implicita: enunciato e dimostrazione nel caso di codimensione uno (cenno).
  26. 08/05/2006 dalle 11:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema della funzione implicita (via teorema di invertibilità locale).
  27. 08/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Superfici regolari (senza bordo) in R^n; caratterizzazione del piano tangente. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (enunciato).
  28. 11/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Dimostrazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Come usare questo teorema per trovare i punti di minimo e di massimo.
  29. 15/05/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Applicazioni del metodo dei moltiplicatori di Lagrange: diagonalizzazione delle matrici simmetriche.
  30. 15/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Area del grafico di una funzione scalare e di una superfice regegolare di codimensione 1. Flusso di un campo di vettori attraverso una superfice di codimensione 1. Teorema della divergenza (enunciato).
  31. 22/05/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Due dimostrazioni del teorema della divergenza. I: per i cubi e le unioni di cubi. II: caso generale.
  32. 22/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Potenziale di un campo di vettori. La condizione "delle derivate incrociate" è necessaria per l'esistenza di un potenziale, ed è sufficiente se il dominio è un rettangolo (di dimensione n).
  33. 24/05/2006 dalle 11:00 alle 12:00 esercitazione.
    Calcolo esplicito del potenziale di alcuni campi di vettori.
  34. 24/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    La condizione "delle derivate incrociate" è sufficiente per l'esistenza di un potenziale su un dominio semplicemente connesso.
  35. 25/05/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione. Derivazione dell'equazione di Laplace (in dimensione 3), del calore e delle onde (dimensione spaziale 1).
  36. 25/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Ultimi dettagli sul potenziale (classi di insiemi semplicemente connessi. etc.). Introduzione alla serie di Fourier reale e complessa di una funzione di periodo 2pi.
  37. 29/05/2006 dalle 11:00 alle 12:00 lezione.
    Serie di Fourier. Definizione, e convergenza per le funzioni di classe C^1 e C^1 a tratti.
  38. 29/05/2006 dalle 12:00 alle 13:00 lezione.
    Soluzione dell'equazione delle onde e del calore sulla circonferenza tramite serie di Fourier.