Dati registro

insegnamento: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali
corso di studi: Matematica (specialistica)
anno accademico: 2002-2003
docente: Giovanni Alberti
codice insegnamento: AA115

Lezioni

1. 25/02/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
   Presentazione del programma corso. Equazione di Laplace e minimizzazione dell'integrale di Dirichlet, esercizi sull'equazione di Eulero-Lagrange e minimi di funzionali (convessi e non).
2. 26/02/2003 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
   Ripasso delle nozioni base di teoria della misura, misure con segno (definizione, variazione, variazione totale), teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym (solo enunciato), densità come limite puntuale, esistenza dei punti di continuità approssimata.
3. 26/02/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
   Ripasso delle nozioni base di analisi funzionale: topologia debole, topologia debole star (di un duale di uno spazio di Banach), teorema di Banach-Alaoglu. Teorema di Riesz: le misure reali sono il duale delle funzioni continue.
4. 04/03/2003 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
   Dimostrazione del teorema di Banach-Alaoglu (solo per duali di separabili). Spazi riflessivi, la topologia debole di uno spazio riflessivo è anche una topologia debole star. Esempi di duali; teorema di Riesz: dualità L^p - L^q (senza dimostrazione).
5. 04/03/2003 dalle 15:00 alle 16:00 esercitazione.
   Svolgimento di alcuni esercizi lasciati dalle lezioni precedenti.
6. 05/03/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
   Dimostrazione del teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym e del teorema di Riesz (dualità L^p-L^q).
7. 11/03/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
   Dimostrazione del Teorema di Riesz (dualità misure-funzioni continue). Esempi di successioni debolmente ma non fortemente convergenti (omogeneizzazione).
8. 18/03/2003 dalle 14:00 alle 15:00 esercitazione.
   Vari esempi di convergenza debole, con dimostrazioni, soluzione di esercizi dati in precedenza.
9. 18/03/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
   Esistenza del minimo di un funzionale su uno spazio di Banach riflessivo via semicontinuità e compattezza (semicontinuità inferiore debole e coercività). Convessità e semicontinuità inferiore forte implicano quella debole.
10. 19/03/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Il teorema di Hahn-Banach come teorema di separazione, dimostrazione del fatto che convesso + chiuso forte implica chiuso debole. Definizione del prodotto di convoluzione (di funzioni L^1) e dimostrazione delle sue principali proprietà.
11. 25/03/2003 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Teoria delle distribuzioni. Osservazioni base: la derivata è l'opposto della sua aggiunta, le funzioni L^1 sono identificate dal funzione integrale associato. Definizione dello spazio delle funzioni test (su R) e delle distribuzioni (su R).
12. 25/03/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Gli spazi C^k e C^infty sono spazi di Fréchet metrizzabili. La topologia sullo spazio delle funzioni test come limite diretto, la topologia delle distribuzioni come limite inverso. Convergenza (debole) delle distribuzioni.
13. 26/03/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Convoluzione di una distribuzione e di una funzione regolare; regolarità del prodotto. Convoluzione di due distribuzioni. Approssimazione di una distribuzione tramite funzioni regolari via convoluzione con nuclei regolarizzanti.
14. 01/04/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Distribuzioni su un aperto di R^n. Definizione di spazio di Sobolev e BV in dimensione qualunque. Esistenza di alcuni semplici problemi di minimo. Outline del resto del corso.
15. 02/04/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Spazi di Sobolev su un intervallo: estensione, immersione nelle funzioni Hölderiane, approssimazione via convoluzione.
16. 15/04/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Esistenza del minimo per certi funzionali integrali via semicontinuità e compattezza. Minimalità ed equazione di Eulero-Lagrange in senso debole. Ulteriore regolarità via boot-strap (solo in dimensione uno).
17. 29/04/2003 dalle 14:00 alle 16:00 esercitazione.
    Discussione e soluzione degli esercizi lasciati per casa.
18. 30/04/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Spazi di Sobolev in dimensione qualunque: definizione e caratterizzazioni. Estensione, approssimazione per convoluzione. Teoremi di immersione (Sobolev, Rellich) senza dimostrazioni. Operatore di traccia. Disuguaglianze tipo Poincaré.
19. 06/05/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Ancora sulle disuguaglianze tipo Poincaré. Convergenza debole negli spazi di Sobolev. Esistenza del minimo per l'energia di Dirichlet via semicontinuità e compattezza. Minimalità ed equazione di Laplace con dato al bordo assegnato.
20. 07/05/2003 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Serie di Fourier (complessa e reale) di una funzione in L^2(-pi,pi). Massimalità del sistema ortogonale (via Stone-Weierstrass). Metodo di separazione delle variabili per equazione del calore e delle onde (solo formale).
21. 07/05/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Caratterizzazione delle funzioni C^infty e delle distribuzioni via serie di Fourier. Serie di Fourier della derivata distribuzionale. Sommabilità degli esponenti di una funzione in W^{1,2}. Convergenza uniforme delle somme parziali.
22. 13/05/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Teorema spettrale (in termini di forme quadratiche coercive su uno spazio V con immersione compatta e densa nello spazio di Hilbert H).
23. 14/05/2003 dalle 14:00 alle 16:00 lezione.
    Altre basi ortonormali su (0,pigreco). Risoluzione dell'equazione delle onde e del calore con condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. Serie di Fourier sul toro N-dimensionale.
24. 20/05/2003 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Trasformata di Fourier come limite delle serie di Fourier. Definizione formale di trasformata ed anti-trasformata per funzioni in L^1(R). Proprietà elementari della trasformata di Fourier e Teorema di inversione (per funzioni regolari).
25. 20/05/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Funzioni rapidamente decrescenti su R (spazio di Schwartz) e distribuzioni temperate. Trasformata di Fourier F per le distribuzioni temperate, e sue proprietà fondamentali. F è un'isometria di L^2(R) in sé.
26. 21/05/2003 dalle 14:00 alle 15:00 lezione.
    Spazio di Schwartz e distribuzioni temperate su R^N, trasformata di Fourier per distribuzioni temperate su R^n. Calcolo della trasformata di Fourier per alcune funzioni semplici.
27. 21/05/2003 dalle 15:00 alle 16:00 lezione.
    Trasformata di Fourier e derivate. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Soluzione fondamentale. Soluzione fondamentale del Laplaciano. Uso della trasformata di Fourier per il calcolo delle soluzioni fondamentali.