Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

VII foglio di compendio alla teoria Note alle lezioni del 17 maggio e del 20 maggio 2002

OSSERVAZIONI SU EQUAZIONI E SISTEMI DIFFERENZIALI LINEARI AUTONOMI ————————————————————————————————————————–

Notazioni: - Con P(z) = z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} … + a_{0}, n ∈ N e a_{n−1}, … a_{0} ∈ C si indica un polinomio di grado n con coefficienti in C. Sia r il numero delle sue radici.

- Se λ ∈ C con m_{λ} ∈ N ∪ {0} si indica la molteplicità di λ come radice di P(z).

- In particolare se λ non è radice di P(z) si ha m_{λ} = 0. Se λ_{1}, … λ_{r} è una numerazione di tutte e sole le radici di P(z) per brevità si usa anche la notazione m_{k} per m_{λ_{k}}, 1 ≤ k ≤ r.

- Se λ ∈ C si indica semplicemente con λ l’operatore di moltiplicazione di una funzione per lo scalare λ. Con D si indica l’operatore di derivazione u ↦ u′. Quindi con P(D) si indica l’operatore differenziale lineare D^{n} + a_{n−1}D^{n−1} + … + a_{0} su C^{∞}(R, C).

- Considerando il prodotto di composizione tra operatori lineari si ha P(D) = ∏_{λ∈C}(D−λ)^{m_{λ}}

Osservazione 1: Nel caso di funzioni di variabile reale a valori complessi valgono le usuali regole di derivazione del prodotto e quindi la regola di integrazione per parti. Inoltre valgono le usuali regole per la primitiva e la derivata dell’esponenziale anche per esponenti con coefficienti complessi.

Lemma 2: Siano q ∈ C[z], λ ∈ C, se φ′(t) = q(t)e^{tλ} allora si ha φ(t) = q̃(t)e^{tλ} ove nel caso λ ≠ 0 si ha degq̃ = degq, nel caso λ = 0 si ha degq̃ = degq + 1.

DIMOSTRAZIONE: Se λ = 0 la prova è diretta per integrazione. Nel caso λ ≠ 0 si procede per induzione su degq. Il caso di costanti è immediato. Per il passo induttivo si integra per parti, come spiegato nell’osservazione, derivando il polinomio, e si applica l’ipotesi induttiva all’integrale del secondo membro: ∫ q′(t)\frac{e^{tλ}}{λ} dt. •

Proposizione 3: Ogni soluzione di P(D)u = 0 è combinazione lineare a coefficienti in C delle n funzioni: t^{h}e^{tλ_{k}}, 0 ≤ h ≤ m_{k} − 1, 1 ≤ k ≤ r.

DIMOSTRAZIONE: La tesi è che ogni soluzione u dell’equazione differenziale P(D)u = 0 è

del tipo ∑_{k=1}^{r} p_{k}(t)e^{tλ_{k}}, p_{k} ∈ C[z], deg p_{k} ≤ m_{k} − 1. Si prova per induzione su degP.

- Se degP = 1 si ha P(D) = D − λ, e tutte le soluzioni di u′ − λu = 0 sono ce^{tλ}, c ∈ C.

- Se P(D) = (D − λ_{1})^{m_{1}} … (D − λ_{r})^{m_{r}}, con degP > 1 si ha:

P(D)u = 0 ⇔ (D − λ_{1})^{m_{1}} … (D − λ_{r})^{m_{r}−1} ((D − λ_{r})u) = 0.

Per ipotesi induttiva (D−λ_{r})u = ∑_{k=1}^{r} q_{k}(t)e^{tλ_{k}} : deg q_{r} ≤ m_{r}−2, deg p_{k} ≤ m_{k}−1 se k ≠ r. Ora u sarà del tipo u^{∗} + ce^{tλ_{r}}, ove u^{∗} è soluzione particolare di : (D − λ_{r})u^{∗} = ∑_{k=1}^{r} q_{k}(t)e^{tλ_{k}}. Moltiplicando per e^{−tλ_{r}}: D(u^{∗}e^{−tλ_{r}}) = ∑_{k=1}^{r} q_{k}(t)e^{t(λ_{k}−λ_{r})}. Se φ′_{k} = q_{k}(t)e^{t(λ_{k}−λ_{r})} si sceglie u^{∗}e^{−tλ_{r}} = ∑_{k=1}^{r} φ_{k}. Per il lemma si ha: u^{∗}e^{−tλ_{r}} = ∑_{k=1}^{r−1} q̃_{k}e^{t(λ_{k}−λ_{r})}+q̃_{r}, degq̃_{r} = degq_{r}+1 ≤ m_{r}−1, degq̃_{k} = degq_{k} ≤ m_{k}−1 se k ≠ r, e quindi u = u^{∗} + ce^{tλ_{r}} = ∑_{k=1}^{r} q̃_{k}e^{tλ_{k}} + ce^{tλ_{r}}. •

Teorema 4: Le n funzioni: t^{h}e^{tλ_{k}}, 0 ≤ h ≤ m_{k} − 1, 1 ≤ k ≤ r sono una base dello spazio delle soluzioni dell’equazione differenziale D^{n}u + a_{n−1}D^{n−1}u + … + a_{0}u = 0.

DIMOSTRAZIONE: Da risultati noti lo spazio delle soluzioni ha dimensione n. • Il lemma 2 può essere specificato con il seguente criterio

Proposizione 5:[Coefficienti indeterminati] Dati p ∈ C[z], p(t) = α_{d}t^{d} + … + α_{0}, μ ∈ C l’equazione differenziale:

P(D)u (t) = p(t)e^{tμ}

ha una soluzione del tipo t^{m_{μ}}q(t)e^{tμ} con q ∈ C[z] e deg q = deg p.

DIMOSTRAZIONE: - Se P(z) = (z − μ)^{n}, si considera l’unico polinomio q̃ tale che D^{n}q̃ = p e q̃(0) = … D^{n−1}q̃(0) = 0. Con n integrazioni da 0 a t si ha:

q̃(t) = \frac{d!}{(d + n)!}α_{d}t^{d+n} + … + \frac{1}{n!}α_{0}t^{n} = t^{n}q(t).

Per un noto lemma P(D)(q̃e^{tμ}) = (D − μ)^{n}(q̃e^{tμ}) = e^{tμ}D^{n}q̃ = pe^{tμ}.

Se μ non è l’unica radice di P si procede per induzione su degP. Se degP = 1 allora P(D) = D − λ. Moltiplicando l’equazione u′ − λu = pe^{tμ} per e^{−tλ} si ottiene (e^{−tλ}u)′ = pe^{t(μ−λ)}. Per il lemma e^{−tλ}u = qe^{t(μ−λ)} con degq = degp essendo λ ≠ μ.

Per il passo induttivo sia P(D) = (D−λ_{1})^{m_{1}} … (D−λ_{r})^{m_{r}}, con degP > 1. Si prende λ_{1} ≠ μ e si sceglie u del tipo desiderato grazie all’ipotesi induttiva in quanto μ ha la stessa molteplicità come radice di P (z) e di (z − λ_{1})^{m_{1}−1} … (z − λ_{r})^{m_{r}}:

\{ \begin{matrix}v′ − λ_{1}v = pe^{tμ} \\ (D − λ_{1})^{m_{1}−1} … (D − λ_{r})^{m_{r}}u = v = q̃e^{tμ} , degp = degq̃ • \end{matrix}

Osservazione 6:[Separazione delle variabili per sistemi] - Data A matrice n×n a coefficienti in C se si cercano le soluzioni non nulle del sistema U′(t) = AU(t) del tipo: U(t) = φ(t)V (cioè U_{h}(t) = φ(t)V_{h}, h ∈ {1, … n} con φ ∈ C^{∞}(R^{,}C) e V ∈ C^{n}), ovvero quelle ove la variabile t ∈ R su cui agisce l’operatore di derivata è “separata ” dalla variabile indice h ∈ {1, … n} su cui agisce la matrice A si ottiene che:

φ′(t)V_{h} = φ(t) ∑_{k=1}^{n} A_{hk}V_{k}

e quindi si ha che φ′ = λφ e AV = λV. Per cui le soluzioni a “variabili separate” sono ce^{tλ}V, c ∈ C arbitrario, λ ∈ C autovalore di A, V ∈ Ker(A − λ) un qualsiasi autovettore corrispondente a λ. Quanto osservato suggerisce un primo passo per trovare un sistema fondamentale di soluzioni per U′ = AU. Indicando con D l’operatore di derivazione ed osservando che gli operatori D ed A commutano:

\begin{matrix}D − A = (D − λ) − (A − λ), \\ D^{m+1} − A^{m+1} = (D − λ)^{m+1} − (A − λ)^{m+1} = (D − A) ∑_{h=0}^{m}(D − λ)^{m−h}(A − λ)^{h} \end{matrix}

Se quindi (D − λ)^{m+1}φ(t) = 0 e (A − λ)^{m+1}V = 0 si ha che la funzione

∑_{h=0}^{m}(D − λ)^{m−h}φ(t)(A − λ)^{h}V

è soluzione del sistema U′ = AU. Osservando che le soluzioni di (D − λ)^{m+1}φ(t) = 0 hanno come base le funzioni t^{k}e^{tλ}, 0 ≤ k ≤ m, e ammettendo una base di C^{n} di Jordan per A si otterrebbe una base dello spazio delle soluzioni. Si enuncia un risultato meno preciso ma nella pratica utile:

Proposizione 7: Data A matrice n×n a coefficienti in C una base dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema U′(t) = AU(t) è del tipo

U^{0}e^{tλ}, …, U^{m−1}(t)e^{tλ}

al variare di λ tra gli autovalori di A, con m eguale alla molteplicità di λ come radice di det(A − z), ed U^{k}(t) vettore le cui componenti sono polinomi di grado minore eguale a k.

(In effetti se λ avesse molteplicità geometrica eguale ad g ≤ m gli U^{k}, 0 ≤ k ≤ g − 1, sarebbero costanti e costituirebbero una base dell’autospazio di autovalore λ. U_{0} sarà sempre costante, e sarà un autovettore di A relativo a λ.)

Proposizione 8:[Caso reale per equazioni] Sia P ∈ R[x] allora una base dello spazio delle soluzioni di P(D)u = 0 è dato dalle n funzioni: t^{k}e^{tα} cos(tβ), t^{k}e^{tα} sin(tβ), 0 ≤ k ≤ m_{λ} − 1, α + iβ radice di P e β ≥ 0.

DIMOSTRAZIONE: -1 Le soluzioni a valori complessi formano uno spazio vettoriale S_{C} su C di dimensione n. 2- Usando ora l’ipotesi che P è a coefficienti reali si ha che le soluzioni a valori reali formano uno spazio vettoriale S_{R} su R di dimensione n: infatti se una funzione è soluzione lo è anche la sua coniugata, e quindi per linearità ed unicità se una soluzione è reale in punto con le sue prime n − 1 derivate è a valori reali. Quindi una base di S_{C} che ha dati iniziali reali è costituita da funzioni a valori reali. Una base di S_{C} costituita da funzioni a valori reali risulta quindi essere una base di S_{R}. 3- Essendo P a coefficienti reali si ha che λ = α + iβ è radice di P se e solo se \overline{λ} = α − iβ lo è, ed hanno la stessa molteplicità. Posto φ_{k,λ}(t) = t^{k}e^{tλ} si ha φ_{k,\overline{λ}} = \overline{φ_{k,λ}}. Si osserva

\{ \begin{matrix}γ_{k,λ} =: \frac{φ_{k,λ}+φ_{k,\overline{λ}}}{2} = t^{k}e^{tα} cos(tβ) \\ σ_{k,λ} =: \frac{φ_{k,λ}−φ_{k,\overline{λ}}}{2i} = t^{k}e^{tα} sin(tβ) \end{matrix} \{ \begin{matrix}φ_{k,λ} = γ_{k,λ} + iσ_{k,λ} \\ φ_{k,\overline{λ}} = σ_{k,λ} + iγ_{k,λ} \end{matrix}

4- Essendo l’insieme \{φ_{k,λ}, φ_{k,\overline{λ}} : 0 ≤ k ≤ m_{λ} − 1, Imλ ≥ 0\} una base di S_{C}, dalla prima relazione si ottiene che {γ_{k,λ}, σ_{k,λ} : 0 ≤ k ≤ m_{λ} − 1, Imλ ≥ 0} è un insieme linearmente indipendente su C. Osservando quindi che ha esattamente n elementi che sono funzioni a valori reali si ha che è una base di S_{R}. •