Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

VII foglio di esercizi 21 gennaio 2002

NOTA: per le principali definizioni e altri esercizi riguardo all’argomento si rimanda ai libri di testo: J.P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica II, J.P. Cecconi, L.C Piccinini, G. Stampacchia, Esercizi e problemi di Analisi Matematica II, o al IV foglio di compendio alla teoria pagg. 1-15.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Siano d : X × X → R^{+}, ρ : X × X → R^{+}, δ : Y × Y → R^{+}, distanze sull’insieme X e sull’insieme Y. Si discuta quale delle seguenti funzioni è ancora una distanza.

d_{1}(a, b) = \frac{d(a,b)}{1+d(a,b)} ; d_{2}(a, b) = artan(d(a, b)) ; d_{3}(a, b) = min\{d(a, b), 1\} ;

d_{4}((a, α), (b, β)) = max\{d(a, b); δ(α, β)\} ; d_{5}((a, α), (b, β)) = (d(a, b)^{p} + δ(α, β)^{p})^{\frac{1}{p}} , p ≥ 1 ;

d_{6}(a, b) = max\{d(a, b); ρ(a, b)\} ; d_{7}(a, b) = (d(a, b)^{p} + ρ(a, b)^{p})^{\frac{1}{p}} , p ≥ 1 ;

d_{8}(a, b) = Ψ(d(a, b)), Ψ concava, non negativa, nulla in 0 ; d_{9}(a, b) = χ_{]0;+∞[}(d(a, b)).

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ESERCIZIO n. 2 Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione finita con norme | · |_{V} e | · |_{W}. Si provino le seguenti eguaglianze e quindi che la funzione definita è una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni lineari da V in W.

L ↦ ∥L∥ =_{def} sup_{v∈V \(0)} \frac{|Lv|_{W}}{|v|_{V}} = sup_{|v|_{V} =1} |Lv|_{W} = sup_{0<|v|_{V} ≤1} \frac{|Lv|_{W}}{|v|_{V}} = sup_{0<|v|_{V} ≤1} |Lv|_{W} .

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ESERCIZIO n.3 Si calcolino le norme delle seguenti funzioni lineari, estendendo la definizione negli ultimi due casi:

L(x, y) = ax + by ; L(x, y) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ a & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ; x ∈ R^{n} ↦ Ax ∈ R^{n}, ^{t}AA = I ;

f ∈ C([0; 1]) ↦ ∫_{0}^{1} f(y)dy ∈ R, |g|_{C} = max_{0≤x≤1} |g(x)| ;

f ∈ C([0; 1]) ↦ ∫_{0}^{x} f(y)dy ∈ C([0; 1]), |g|_{C} = max_{0≤x≤1} |g(x)|.

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ESERCIZIO n.4 Se A è una matrice n × n si provi che ∥A∥^{2} = ∥^{t}AA∥. Si mostri che non sempre ∥A∥^{2} = ∥A^{2}∥.