Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

VI foglio di esercizi dal 18 dicembre 2001 al 21 gennaio 2002

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Trovare i punti ed i valori di massimo relativo e minimo relativo delle seguenti funzioni sui domini rispettivamente specificati:

f(x, y) = \frac{x^{4}+2x^{3}y}{x^{4}+y^{4}} , y − x^{2} = 0 ; f(x, y) = sin((x − 2)^{2} + y^{2}) , (1 − x)^{3} + y^{2} = 0 ;

f(x, y) = x^{2} + 6xy + 3y^{2} , x^{2} + y^{2} − 2xy = \frac{1}{(x+y−2)^{2}} ;

f(x, y, z) = e^{−(x^{2}−y+z^{2})} , \frac{x^{2}}{4} + y^{2} + 3z^{2} ≤ 1 , (Ex.C.P.S.29.14, 278) ;

f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} , \{ \begin{matrix}(z + 1)^{2} − y^{2} − (x + 3)^{2} = 0 \\ z^{2} + y^{2} − (x + 1)^{2} = 0 \\ z > −3 \end{matrix} ;

f(x, y, z) = (x + 1)^{2} + (y − ε)^{2} + z , \{ \begin{matrix}(1 − x)z = (1 + x)y \\ z^{2} + y^{2} − (x + 1)^{2} = 0 \\ z > −3 \end{matrix} ;

f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + z^{2} , tetraedro di vertici (−1, −1, −1), (1, −1, −1), (0, 1, −1), (0, 0, 1) (Ex.C.P.S.R4.3, 278);

f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + z^{2} , max{|x + 2|, |y + 3|, |z + 4|} = 1 ;

f(x, y, z, w) = x^{2} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{3} + \frac{w^{2}}{4} , \{ \begin{matrix}(x + y + z + w)^{2} + (x − y + z − w)^{2} = 1 \\ (x − y − z + w)^{2} + (x − y − z − w)^{2} = 1 \end{matrix}

————————————————————————————————————————– (*) ESERCIZIO n. 2 È vero che il minimo valore di f(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − x^{2} + y^{2} su (x − R)^{2} + (y − R)^{2} = 2R^{2} è sempre 0? Giustificare la risposta.

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ESERCIZIO n. 3

a) Trovare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo inscritto nell’elissoide x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} = 1.

b) Trovare l’elissoide x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} = 1 di volume massimo per cui a + b + c = M, a, b, c > 0.

c) Trovare la minima distanza tra gli insiemi {x^{2} + y^{2} = 1} ∩ {yz = xz} e {z − y = 0} ∩ {x + y + z = 1}.

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ESERCIZIO n.4 Sia O l’insieme delle matrici ortogonali n × n, e sia f : O ↦ R definita da f(A) = tr A. Si dimostri che esistono unici e si calcolino il massimo e il minimo di f.

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ESERCIZIO n.5 Si identifichi lo spazio M delle matrici n × n con R^{n^{2}}, ordinando in modo lessicografico gli elementi delle matrici.

a) Sia t ↦ A(t) una funzione regolare da ] − 1; 1[ in M tale che A(0) = A e A′(0) = I, ove I è la matrice dell’identità. Si trovi lo sviluppo di Taylor del primo ordine di det A(t) in t = 0.

b) Se Σ = {det(A) = 1} si provi che i vettori X ∈ M tangenti ad A ∈ Σ sono quelli per cui tr A^{−1}X = 0.

c) Si consideri la funzione f : M ↦ R definita da f(A) = det A. Si dimostri che il gradiente di f in A, se f(A) ≠ 0, è dato da:

∇f(A) = detA (^{t}A)^{−1},

dove ^{t}A indica la trasposta di A.

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ESERCIZIO n.6 Si studi la convergenza puntuale ed uniforme delle seguenti successioni e serie di funzioni:

∑_{n=0}^{∞}(1−e^{− \frac{1}{(x−n)^{2}+(y−\sqrt{n})^{2}}} ) ; f_{n}(x, y) = \frac{1}{x^{n} + y^{n} + ny} , x, y > 0 ; ∑_{n=0}^{∞} \frac{|x − y|^{n}}{n!} log(n+x^{2}+y^{2}).

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ESERCIZIO n.7 Dato un vettore x = (x_{1}, … x_{n}), tale che x_{i} > 0 per ogni i e ∑_{i=1}^{n} x_{i} = 1, si definisce H(x) = − ∑_{i=1}^{n} x_{i} log x_{i}. Determinare:

a) Il vettore che massimizza H.

b) Il vettore che massimizza H sotto il vincolo ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = c, dove y = (y_{1}, … y_{n}) è un vettore qualsiasi.

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ESERCIZIO n.8 In un mercato oligopolistico ci sono n aziende che producono lo stesso bene, ognuna in quantità y_{i}. Il prezzo p del bene dipende dalla quantità totale prodotta ∑_{i=1}^{n} y_{i}. Ogni azienda decide di produrre la quantità y_{i} che massimizza il proprio profitto:

f_{i}(y_{i}) = p (∑_{i=1}^{n} y_{i}) y_{i} − cy

dove c è il costo unitario di produzione del bene. Determinare in quali condizioni il mercato è in equilibrio (ogni azienda, cioè, non intende modificare la propria produzione y_{i}). Dimostrare che per n → ∞ il prezzo di equilibrio p converge a c.

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ESERCIZIO n.9

a) Si calcoli la derivata \frac{dy}{dx} nei seguenti casi:

x^{3}y − y^{3}x = a^{2} , sin xy − e^{xy} − x^{2}y = 0 , x^{y} = y^{x} .

b) Si calcolino le derivate specificate per le seguenti relazioni:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = 1 : \frac{∂z}{∂x} ; z^{3} + 3xyz = a^{3} : \frac{∂z}{∂x} ; e^{z} − xy^{2}z = 0 : \frac{∂z}{∂y} .

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ESERCIZIO n.10

a) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}−y^{2}}{2xy} = (u, v): si studi l’immagine di f, si studi al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. Si determini le regioni ove il differenziale è invertibile e quindi le regioni ove la funzione è invertibile.

b) Identificando il piano complesso C con R^{2}, z = x + iy ∼ (x, y), si considerino f(z) = z^{n}, n ∈ N e g(z) = e^{z} come funzioni di due variabili. Se ne studino le immagini e come sono fatte le fibre f^{−1}{w}, g^{−1}{w}. Si determini le regioni ove i differenziali sono invertibili e quindi le regioni ove le funzioni sono invertibili.

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ESERCIZIO n.11

a) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}}{y}, g(x, y) = \binom{x^{3}+xy}{y}: se ne studino le immagini. Si studino le immagini delle regioni ove i differenziali non sono invertibili e come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}, g^{−1}{(u, v)}.

b) Sia f(x, y) = \binom{e^{x+y}−e^{x−y}−k^{2}x}{x+y} = (u, v), k ∈ R: si studi l’immagine di f e al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}. Si determini un intorno di (x, y) = (0, 0) in cui f é iniettiva, ed quindi si calcolino (relativamente a tale intorno) \frac{∂x}{∂u}(0, 0) e \frac{∂^{2}y}{∂u∂v}(0, 0).

c) Sia f : R^{5} → R^{2} f(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, y_{3}) = \binom{2e^{x_{1}}+x_{2}y_{1}−4y_{2}+3}{x_{2} cos x_{1}−6x_{1}+2y_{1}−y_{3}}: si verifichi che in un intorno di (0, 1, 3, 2, 7) la regione determinata dalle equazioni f = (0, 0) é un grafico rispetto alle variabili (y_{1}, y_{2}, y_{3}) e si calcoli \frac{∂x_{1}}{∂y_{2}} (3, 2, 7). É possibile esplicitare (x_{1}, x_{2}) in funzione di (y_{1}, y_{2}, y_{3}) in ogni punto di {f = (0, 0)}?

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ESERCIZIO n.12

a) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}−y^{2}}{xy} = (u, v): si trovi un intorno di P_{0} = (1, 1) in cui f é iniettiva.

b) Si determini lo sviluppo di Taylor al secondo ordine, centrato in U_{0} = (0, 1) = f(1, 1), dell’inversa della funzione f ristretta a tale intorno. (*) c) Dato U si consideri la successione di vettori P_{n+1} = df^{−1}(U_{0})(U −f(P_{n}))+P_{n} =: G(P_{n}). Si trovino α e δ per cui se |U − U_{0}| ≤ α la funzione G risulti una contrazione della palla chiusa di centro P_{0} e raggio δ in se stessa. Si calcoli per tali U il limite di f(P_{n}) per n → ∞. Si calcoli P_{2} nel caso in esame.

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ESERCIZIO n.13 Si provi che se Ω ⊆ R^{n} è un aperto connesso ed f : Ω → R è tale che ∇f(x) = 0 in ogni x ∈ Ω allora f è costante.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.14 Si ricorda che C ⊆ R^{n} è detto convesso se contine interamente i segmenti delimitati dai suoi punti: se x ∈ C, y ∈ C e λ ∈ [0; 1] allora λx + (1 − λ)y ∈ C. Una funzione f : C → R si dice convessa se C è convesso e se λ ∈ [0; 1] allora f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).

a) Sia Ω un aperto convesso di R^{n}, e sia f : Ω ↦ R differenziabile. Dimostrare che f è convessa se e solo se, per ogni x, y ∈ Ω:

⟨∇f(x) − ∇f(y), x − y⟩ ≥ 0

dove ⟨·, ·⟩ rappresenta il prodotto scalare in R^{n}.

b) Nelle stesse ipotesi si deduca che f è convessa se e solo se il suo grafico sta sopra ogni piano tangente ad esso.

c) Se poi f è C^{2} si provi che f è convessa se e solo se Hf(x) è definita non negativa in ogni punto.

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ESERCIZIO n.15

a) Sia f : Ω ⊂ R^{n} → R una funzione strettamente convessa, ove Ω è un aperto convesso. Si dimostri che f ha al più un estremale interno a Ω. Nel caso si tratterebbe di un massimo o di un minimo?

b) Utilizzando il fatto che una funzione convessa a valori reali, definita su un chiuso C limitato convesso è continua si provi che se C = Ω̄, con Ω aperto convesso, allora il massimo di f è assunto su ∂Ω.

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ESERCIZIO n. 16 Si trovino tutte le soluzioni (x, y) ↦ u(x, y) delle seguenti equazioni differenziali alle derivate parziali:

y \frac{∂u}{∂x} − x\frac{∂u}{∂y} = 0 , e^{−x} \frac{∂u}{∂x} + \frac{∂u}{∂y} = 0 , e^{y} \frac{∂u}{∂x} + 2x\frac{∂u}{∂y} = 0 , \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = 1

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ESERCIZIO n. 17 Si risolva, al variare del parametro α, l’equazione:

(y + αx)\frac{∂u}{∂x} − (x + αy)\frac{∂u}{∂y} = 0.

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ESERCIZIO n. 18

a) - Se u ∈ C^{2}(R^{n}) e △u = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}u}{∂x_{i}^{2}} > 0 allora u non ha punti di massimo locale.

- Se u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}), Ω aperto limitato, se △u ≥ 0 allora max\overline{Ω} u = max_{∂Ω} u. (Si consideri x_{0} di massimo su Ω̄ di u e v(x) = u(x) + ε|x − x_{0}|^{2}. Si applichi il precedente punto a v.)

- Si deduca che se △u ≥ 0 allora u non ha punti di massimo locale stretto. b) - Si provi che se Ω é un aperto limitato, f ∈ C(R^{n}), g ∈ C(R^{n}) allora vi é al piú una funzione u definita su \overline{Ω} che risolve:

\{ \begin{matrix}△u(x) = f(x) & x ∈ Ω \\ u(x) = g(x) & x ∈ ∂Ω \\ u ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω) \end{matrix}

- Si provi che per questa eventuale soluzione si ha:

max_{\overline{Ω}} |u| ≤ max_{∂Ω} |g| + \frac{(diamΩ)^{2}}{2n} max_{\overline{Ω}} |f|.

NOTA: Si puó provare:

- se Ω é un connesso aperto, u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}), △u ≥ 0, allora se u assume massimo in \overline{Ω} allora lo assume solo sul bordo ∂Ω oppure u é costante.

- se Ω é un connesso aperto, u ∈ C^{2}(Ω) , △u = 0, allora u non assume ne massimi ne minimi locali interni in Ω a meno che non sia costante.

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ESERCIZIO n. 19 Utilizzando quanto dimostrato nel precedente esercizio si trovino tutte le soluzioni delle equazioni:

\{ \begin{matrix}△u(x, y) = 0 & x^{2} + y^{2} < 1 \\ u(x, y) = (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} )^{2} & x^{2} + y^{2} = 1 \\ u ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{1}(Ω) & Ω = \{x^{2} + y^{2} < 1\} \end{matrix} \{ \begin{matrix}△u(x, y) = 0 & max\{|x|, |y|\} < π \\ u(x, y) = sin x cos y & max\{|x|, |y|\} = π \\ u ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{1}(Ω) & Ω = \{max\{|x|, |y|\} < π\} \end{matrix}