Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

V foglio di compendio alla teoria Note alle lezioni del 11 marzo e del 12 marzo 2002 (V.M.Tortorelli)

1-FORME DIFFERENZIALI CHIUSE ED ESATTE

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Per le principali definizioni, notazioni, e dimostrazioni, non specificate in questa nota si rimanda al libro “Analisi matematica II: Funzioni di piú variabili” J.P.Cecconi-G.Stampacchia, II edizione Liguori 1983 (nel seguito [CS]).

Notazioni: -Se L è una applicazione lineare da R^{m} in R^{n} e v ∈ R^{m} per indicare il risultato di L su v si useranno indifferentemente le seguenti notazioni: Lv, L(v), L[v]. Se L ∈ R^{n}^{∗} si userà anche la notazione < L, v >. Se poi M è un’applicazione lineare da R^{n} in R^{k} la composizione di L ed M si indicherà indifferentemente con: M ∘L, M · L, ML.

- Si indicherà con (u · v) il prodotto scalare canonico tra due elementi u e v di R^{n}. Con e_{i}, 1 ≤ i ≤ n, si indica l’i-esimo elemento della base canonica di R^{n} per cui si abbia (e_{i}, e_{j}) = δ_{ij}.

- Con e^{i}, 1 ≤ i ≤ n, si indica l’i-esimo elemento della base canonica di (R^{n})^{∗}, ovvero il funzionale lineare per cui < e^{i}, e_{k} >= δ_{k}^{i}. Seguendo l’usuale convenzione per la rappresentazione della composizione di applicazioni lineari con il prodotto righe per colonne di matrici conviene considerare le n-ple di numeri reali vettori di R^{n} come matrici “colonna” n × 1, anche se per motivi di comodità tipografica verranno scritte come righe. Le coordinate degli elementi di (R^{n})^{∗} rispetto alla base canonica saranno considerati quindi come matrici “riga” 1 × n.

- Il differenziale della i-esima proiezione, dx_{i}, è la 1-forma differenziale che vale costantemente e^{i}. Ogni 1-forma differenziale ω(x) si può quindi scrivere come ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(x)dx_{i}. Un campo di vettori v(x) determina univocamente l’operatore differenziale f(x) ↦ \frac{∂f}{∂v(x)}(x), sulle funzioni f ∈ C^{∞}. Per questo il campo che vale costantemente e_{i} si scrive \frac{∂}{∂x_{i}}, ed un qualsiasi campo v si identifica con ∑_{i=1}^{n} v_{i}(x)\frac{∂}{∂x_{i}}.

- Le relazioni di equivalenza definite in 45.1-b) [CS] per cammini regolari C^{1} si considererà estesa a tutti i cammini C^{1} e verrà indicata con ∼. Si osserva che in questo caso un cammino regolare a tratti ma non regolare non può essere equivalente ad un cammino regolare nemmeno nel senso di 45.8-2) [CS].

Teorema 0: Sia A un aperto connesso di R^{n}, se f : A → R ha derivate parziali prime nulle allora f è costante su A (cfr. 6.1, 7.8 [CS]).

Corollario 0: Se ω è esatta su A_{1}, ω è esatta su A_{2}, e A_{1} ∩ A_{2} è connesso allora ω è esatta su A_{1} ∪ A_{2}.

Osservazione 1: - Data la 1-forma differenziale ω = in A ed un cammino γ solo C^{1} a tratti si

definisce analogamente al caso dei cammini regolari a tratti: ∫_{γ} ω =: ∫_{a}^{b} < ω(γ(t)), γ′(t) > dt.

- Con la stessa dimostrazione fatta per mostrare l’invarianza del lavoro di una forma differenziale su cammini regolari a tratti che siano equivalenti per cambiamenti di parametrizzazioni regolari a tratti crescenti, si prova che se φ : [a; b] → [c; d] è C^{1} a tratti, φ(a) = c, φ(b) = d, e ove esiste φ′ ≥ 0 allora

∫_{γ} ω = ∫_{γ∘φ} ω

- Si osserva che dato un cammino regolare γ(t) a tratti definito su [a; b] e data φ(s) : [a; b] → [a; b] di classe C^{1}, φ(a) = a, φ(b) = b, con φ′ ≥ 0 e φ′ = 0 esattamente nei punti s per cui non esiste γ′(φ(s)) si ha che γ∘φ è un cammino C^{1} con lo stesso sostegno di γ. Infatti \frac{d^{±}γ∘φ}{ds}(s) = \frac{d^{±}γ}{dt} (φ(s))\frac{dφ}{ds}(s).

Proposizione 1: Per ogni 1-forma ω in A e per ogni cammino γ ∈ C^{1}([a; b], A) si ha:

|∫_{γ} ω| ≤ max_{x∈[γ]} \sqrt{∑_{i−1}^{n} ω_{i}^{2}(x)} ∫_{a}^{b} |γ′(t)| dt

Esempio 1: L’esempio tipico di forma chiusa non esatta su un aperto è

ω = −\frac{y}{x^{2} + y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dy , (x, y) ∈ A = R^{2} \ \{(0, 0)\}.

La forma è chiusa in A poichè su R^{2} \ \{x = 0\} è il differenziale di artan\frac{y}{x}, mentre su R^{2} \ \{y = 0\} è il differenziale di −artan\frac{x}{y}. La forma non è esatta in A, infatti se fosse ω = df, le f(x, −1) ed f(1, y) sarebbero crescenti, e quindi f(−1, −1) < f(1, −1) < f(1, 1), d’altronde f(x, 1) ed f(−1, y) sarebbero decrescenti ottenendo f(−1, −1) > f(−1, 1) > f(1, 1).

Teorema 1: Sia A aperto di R^{n}, e ω 1-forma su A. 1- Sono equivalenti

i) ω è esatta su A

ii) il lavoro di ω su un cammino regolare a tratti in A dipende solo dagli estremi del cammino. iii) il lavoro di ω su un cammino regolare a tratti in A e chiuso è nullo.

2- Nel caso, una primitiva su una componente connessa B di A è data, fissando x_{B} ∈ B, da:

f(x) = ∫_{γ_{x_{B} ,x}} ω , x ∈ B

essendo γ_{x_{B},x} un qualsiasi cammino (in B) congiungente x_{B} ad x.

DIMOSTRAZIONE: Ci si riduce a quella di 48.7, 48.8 [CS], grazie al fatto che un aperto di R^{n} ha un’insieme numerabile di componenti connesse, ed ognuna di esse è un sottoinsieme aperto di R^{n}. Per l’osservazione 1 le curve possono essere prese solo C^{1} a tratti.

Lemma 1: Sia A aperto di R, g(x, t) ∈ C (A × [a; b]) per cui esista \frac{∂g}{∂x}(x, t) ∈ C (A × [a; b]).

Si ha: ∃\frac{d}{dx} ∫_{[a;b]} g(x, t) dt = ∫_{[a;b]} \frac{∂g}{∂x}(x, t) dt.

DIMOSTRAZIONE: Fissato x ∈ A aperto, sia r > 0 \overline{B(x, r)} ⊂ A. Si prova che R_{h}(t) = \frac{g(x+h,t)−g(x,t)}{h} converge uniformemente in t ∈ [a; b], per h → 0 a \frac{∂g}{∂x}(x, t). Quindi si conclude per i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Per il teorema di Lagrange si ha dato h ∈ [−r; r] che vie è θ = θ_{h,t} ∈]0; 1[

|R_{h}(t) − \frac{∂g}{∂x}(x, t)| = |\frac{∂g}{∂x}(x + θ_{t,h}, t) − \frac{∂g}{∂x}(x, t)|

quindi sup_{t∈[a;b]} |R_{h}(t) − \frac{∂g}{∂x}(x, t)| ≤ sup_{{|z−x|≤|h| \atop t∈[a;b]}} |\frac{∂g}{∂x}(z, t) − \frac{∂g}{∂x}(x, t)|

Essendo \frac{∂g}{∂x}(x, t) uniformemente continua sul compatto \overline{B(x, r)} × [a; b] il secondo membro dell’ultima diseguaglianza è infinitesimo per h → 0.

Teorema 2:(Lemma di Poincaré elementare) Sia A aperto stellato di R^{n}, e ω 1-forma C^{1} su A e chiusa. Allora ω è esatta su A.

DIMOSTRAZIONE: cfr 48.9 [CS].

Definizione 1: Si dirà che una forma è localmente esatta su un’ aperto se per ogni punto dell’aperto vi è un intorno su cui la forma ammette primitiva.

Corollario 1: Sia A aperto di R^{n}, e ω 1-forma C^{1} su A. Allora ω è chisua in A se e solo se ω è localmente esatta in A.

Osservazione 2: Le forme differenziali e i campi di vettori su un sottoinsieme A di R^{n} vengono definiti mediante funzioni da A in (R^{n})^{∗} e rispettivamente in R^{n} grazie al fatto che vi è un unico sistema di coordinate canonico dato dal prodotto scalare in R^{n}. Per apprezzare la differenza tra i tre concetti conviene per prima cosa pensare a come agiscono funzioni e forme. È importante notare come diversamente variano una funzione e una forma differenziale al variare della “parametrizzazione” del dominio su cui sono definite.

x = Ψ(z)

B_{z}  \overrightarrow{Ψ}  A_{x}
|  |
f ∘Ψ  df ∘Ψ · dΨ  df  f
↙  ↓  ↓  ↘
R^{n}  R^{m}^{∗}  R^{n}^{∗}  R^{n}

dx ↦ dΨ · dz

dx_{i} ↦ dΨ_{i}(y) = ∑_{j=1}^{m} \frac{∂Ψ_{i}}{∂z_{j}} dz_{j}

R^{m}  B_{z}  \overrightarrow{Ψ}  A_{x}  R^{n}
↑  ↗  |  | ↖  ↑
γ′  γ  Ψ^{♯}ω  ω  Ψ∘γ dΨ∘γ · γ′
|  ↓  ↓  |
I  R^{m}^{∗}  R^{n}^{∗}  I

Ψ^{♯}ω =_{def} ω∘Ψ · dΨ

Ψ^{♯}ω = ∑_{j=1}^{m} (∑_{i=1}^{n} ω_{i}∘Ψ\frac{∂Ψ_{i}}{∂z_{j}} ) dz_{j}

Esempio 2: Si consideri la forma ω = y dx − x dy su R^{2} = A. Si considerino le coordinate polari Ψ : R^{2} → R^{2}, Ψ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). Si ha

x = ρ cos θ , y = ρ sin θ
dx ↦ cos θ dρ − ρ sin θ dθ , dy ↦ sin θ dρ + ρ cos θ dθ
Ψ^{♯}ω = −ρ^{2} dθ

Definizione 2: Se Ψ : B → A è una mappa C^{1} da un aperto B di R^{m} ad un aperto A di R^{n} ed ω una forma differenziale su A si definisce la forma differenziale rimontata (pull-back) di ω mediante Ψ su B come ω∘Ψ · dΨ. Essa viene denotata con Ψ^{♯}ω.

Teorema 3: Sia Ψ : B ⊆ R^{m} → A ⊆ R^{n} differenziabile con continuità. Siano ω 1-forma su A, f funzione differenziabile su A, γ cammino regolare a tratti in B. Si ha:

df ∘Ψ = Ψ^{♯}df , ∫_{γ} Ψ^{♯}ω = ∫_{Ψ∘γ} ω , ω esatta ⟹ Ψ^{♯}ω esatta , ω loc. esatta ⟹ Ψ^{♯}ω loc.esatta

se poi ω ∈ C^{1} , Ψ ∈ C^{2} si ha: ω chiusa ⟹ Ψ^{♯}ω chiusa

Grazie a queste osservazioni e al corollario 0 è un utile esercizio provare la seguente versione del lemma di Poincaré.

Lemma 2: Se ω è localmente esatta, non necessariamente C^{1}, su un aperto A ⊆ R^{2} contenente [0; 1]^{2}, allora ω è esatta su un’aperto contenente Q. DIMOSTRAZIONE traccia: La forma ha primitiva in un aperto contenente un segmento [0; 1] × {s}. Infatti per compattezza del segmento e locale integrabilità della forma si trovano dei rettangoli aperti P_{i} =]t_{i} − δ_{i}; t_{i} + δ_{i}[×] − h + s; s + h[, 1 ≤ i ≤ n ∈ N, 0 ≤ t_{1} < … t_{N} ≤ 1 che ricoprono il segmento, per cui: su ogni P_{i} la forma ω ha primitiva, e ogni P_{i} interseca al più P_{i−1} o P_{i+1} oltre se stesso. Si ha quindi che l’intersezione di P_{1} ∪ … ∪ P_{i} con P_{i+1} è il connesso P_{i} ∩ P_{i+1} e si applica induttivamente il corollario 0 ottenendo che ω è esatta su P_{1} ∪ … ∪ P_{N} =]t_{1} − δ_{1}; t_{N} + δ_{N}[×]s − h; s + h[.

Osservando che [0; 1]^{2} = ⋃_{s∈[0;1]}[0; 1] × {s} per compattezza di [0; 1]^{2} e per quanto sopra dimostrato si ottiene che [0; 1]^{2} si ricopre con un numero finito di rettangoli aperti R_{1}, … R_{M} di eguale base, R_{i} =] − δ; 1 + δ[×]s_{i} − h_{i}; s_{i} + h_{i}[, 0 ≤ s_{1} < … < s_{M} ≤ 1, su ognuno dei quali la forma ω ha primitiva, e che si intersecano solo se uno è il successore dell’altro nella numerazione. Si conclude come sopra.

Teorema 4: Se ω è localmente esatta, non necessariamente C^{1}, su un aperto A stellato allora è esatta su tutto A.

DIMOSTRAZIONE: Si consideri un’arbitraria curva chiusa γ che sia C^{1} da [0; 1] in A, γ(0) = γ(1). Va provato che il lavoro di ω su γ è nullo. A meno di riparametrizzazioni (osservazione 1) si assume che anche γ′(0) = γ′(1), e quindi si assume che γ : R → A sia una funzione C^{1} e 1-periodica.

Sia c un centro del dominio stellato A. Si consideri

Ψ(t, s) ↦ sc + (1 − s)γ(t) , Ψ : R^{2} → A

Ψ è una funzione C^{1}. Si considerino quindi i cammini che danno i lati di [0; 1]^{2}:

σ_{1}(t) = (t, 0) , σ_{2}(s) = (1, s) , σ_{3}(t) = (1 − t, 1) , σ_{4}(s) = (0, 1 − s)

Si definisca il cammino del bordo di [0; 1]^{2} come loro somma:

σ(t) = σ_{1} ⊕ σ_{2} ⊕ σ_{3} ⊕ σ_{4} = \{ \begin{matrix}(t, 0) & t ∈ [0; 1] \\ (1, t − 1) & t ∈ [1; 2] \\ (3 − t, 1) & t ∈ [2; 3] \\ (0, 4 − t) & t ∈ [3; 4] \end{matrix}

Si ha: \{ \begin{matrix}Ψ∘σ_{1} = γ \\ Ψ(σ_{2}(s)) = −Ψ(σ_{4}(s)) = sc + (1 − s)γ(1) \\ Ψ∘σ_{3} ≡ c \end{matrix} .

Si conclude osservando che Ψ^{♯}ω è localmente esatta su [0; 1]^{2}, quindi per il lemma 2 è esatta su [0; 1]^{2} ed ha integrale nullo sul cammino chiuso σ:

∫_{γ} ω = ∫_{Ψ∘σ_{1}} ω = ∫_{Ψ∘σ_{1}} ω + ∫_{Ψ∘σ_{2}} ω + ∫_{Ψ∘σ_{3}} ω + ∫_{Ψ∘σ_{4}} ω =
= ∫_{σ_{1}} Ψ^{♯}ω + ∫_{σ_{2}} Ψ^{♯}ω + ∫_{σ_{3}} Ψ^{♯}ω + ∫_{σ_{4}} Ψ^{♯}ω = ∫_{σ} Ψ^{♯}ω = 0

Osservazione 3: Il metodo usato per dimostrare il teorema 4 consiste nel provare l’asserto in un caso geometrico molto semplice e quindi nello “scaricare” la complessità geometrica che può avere γ sulla maggior complessià analitica che potrebbe avere Ψ^{♯}ω rispetto a ω e quindi usare le regole di calcolo date dal teorema 3.

Definizione 3: Sia A un aperto di R^{n} e siano P, Q ∈ A. Siano γ_{0} e γ_{1} due cammini C^{k} in A aventi come primo estremo P e come secondo estremo Q. Si dice che γ_{0} e γ_{1} sono C^{k}-omotopi in A con estremi fissati se esiste

Γ(t, s)[0; 1] × [0; 1] → A , Γ è restrizione di una funzione C^{k} Γ(0, s) = P , Γ(1, s) = Q t ↦ Γ(t, 0) ∼ γ_{0} , t ↦ Γ(t, 1) ∼ γ_{1}

Una siffatta Γ si chiama omotopia (ad estremi fissati) di classe C^{k} in A tra γ_{0} e γ_{1}. Se k = 0 si dirà solo che i cammini sono omotopi in A ad estremi fissati e che Γ è un’omotopia in A ad estremi fissati tra di essi.

Osservazione 4: La relazione di essere C^{k}-omotopi con estremi fissati è una relazione di equivalenza nelle famiglia dei cammini C^{k} in A con estremi fissati P e Q.

Teorema 5: Sia ω 1-forma differenziale C^{1} chiusa in un aperto A di R^{n}. Siano γ_{0} e γ_{1} due cammini C^{2}-omotopi in A con estremi fissati. Allora

∫_{γ_{0}} ω = ∫_{γ_{1}} ω.

DIMOSTRAZIONE: A meno di una riparametrizzazione regolare si può supporre che i due cammini siano entrambi definiti su [0; 1].

Se Γ è l’omotopia C^{2} con estremi fissati tra di essi si osservi che

\frac{∂Γ_{j}}{∂s} (0, s) = \frac{∂Γ_{j}}{∂s} (1, s) = 0

Si può supporre Γ(t, 0) = γ_{0}(t) e Γ(t, 1) = γ_{1}(t). Coerentemente si denoterà Γ(t, s) con γ_{s}(t).

Sia L(s) = ∫_{γ_{s}} ω = ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ω_{i}(γ_{s}(t))\frac{∂Γ_{i}}{∂t} (t, s) dt.

Per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale (lemma 1) si ha:

\frac{dL}{ds}(s) =

∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂ω_{i}}{∂x_{j}} (γ_{s}(t))\frac{∂Γ_{j}}{∂s} (t, s)\frac{∂Γ_{i}}{∂t} (t, s) dt + ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ω_{i}(γ_{s}(t))\frac{∂^{2}Γ_{i}}{∂s∂t}(t, s) dt =

per il teorema di Schwarz

”  + ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ω_{i}(γ_{s}(t))\frac{∂^{2}Γ_{i}}{∂t∂s}(t, s) dt =

integrando per parti, poichè

\frac{∂Γ_{j}}{∂s} (0, s) = \frac{∂Γ_{j}}{∂s} (1, s) = 0

”  − ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂ω_{i}}{∂x_{j}} (γ_{s}(t))\frac{∂Γ_{j}}{∂t} (t, s)\frac{∂Γ_{i}}{∂s} (t, s) dt =

essendo ω chiusa

”  − ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂ω_{j}}{∂x_{i}} (γ_{s}(t))\frac{∂Γ_{j}}{∂t} (t, s)\frac{∂Γ_{i}}{∂s} (t, s) dt =

∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂ω_{i}}{∂x_{j}} (γ_{s}(t))\frac{∂Γ_{j}}{∂s} (t, s)\frac{∂Γ_{i}}{∂t} (t, s) dt − ∑_{i=1}^{n} ∫_{0}^{1} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂ω_{j}}{∂x_{i}} (γ_{s}(t))\frac{∂Γ_{i}}{∂s} (t, s)\frac{∂Γ_{j}}{∂t} (t, s) dt = 0

Teorema 6: Sia ω 1-forma differenziale localmente esatta in un aperto A di R^{n}. Siano γ_{0} e γ_{1} due cammini C^{1}-omotopi in A con estremi fissati. Allora

∫_{γ_{0}} ω = ∫_{γ_{1}} ω.

DIMOSTRAZIONE: A meno di una riparametrizzazione regolare si può supporre che i due cammini siano entrambi definiti su [0; 1].

Sia Γ è l’omotopia C^{1} con estremi fissati tra di essi. Si può supporre Γ(t, 0) = γ_{0}(t) e Γ(t, 1) = γ_{1}(t). Si procede in maniera analoga a quanto fatto per dimostrare il teorema 4.

Si considerino quindi i cammini che danno i lati di [0; 1]^{2} con orientazione questa volta positiva:

σ_{0}(t) = (t, 0) , σ_{1}(t) = (t, 1) , σ_{2}(s) = (0, s) , σ_{3}(s) = (1, s)

Si ha: \{ \begin{matrix}Γ∘σ_{0} = γ_{0} \\ Γ∘σ_{1} = γ_{1} \\ Γ∘σ_{2} ≡ γ_{0}(0) = γ_{1}(0) \\ Γ∘σ_{3} ≡ γ_{0}(1) = γ_{1}(1) \end{matrix} . Si conclude osservando che Γ^{♯}ω è localmente esatta su [0; 1]^{2}, per il lemma 2 è esatta su [0; 1]^{2} e quindi i suoi integrali lungo σ_{0} ⊕ σ_{3} e lungo σ_{2} ⊕ σ_{1} che sono cammini con gli stessi estremi, sono eguali per il teorema 1:

∫_{γ_{0}} ω = ∫_{Γ∘σ_{0}} ω = ∫_{Γ∘σ_{0}} ω + ∫_{Γ∘σ_{3}} ω = ∫_{σ_{0}} Γ^{♯}ω + ∫_{σ_{3}} Γ^{♯}ω =

= ∫_{σ_{2}} Γ^{♯}ω + ∫_{σ_{1}} Γ^{♯}ω = ∫_{Γ∘σ_{2}} ω + ∫_{Γ∘σ_{1}} ω = ∫_{Γ∘σ_{1}} ω = ∫_{γ_{1}} ω

Definizione 4: Siano γ_{0} e γ_{1} due cammini chiusi e C^{k} in A aperto di R^{n}. Si dice γ_{0} e γ_{1} sono C^{k}-omotopi in A se esiste

Γ(t, s)[0; 1] × [0; 1] → A , Γ è restrizione di una funzione C^{k}(R^{2}, R^{n})
Γ(0, s) = Γ(1, s)
t ↦ Γ(t, 0) ∼ γ_{0} , t ↦ Γ(t, 1) ∼ γ_{1}

Una siffatta Γ si chiama omotopia (di cammini chiusi) di classe C^{k} in A tra γ_{0} e γ_{1}. Se k = 0 si dirà solo che Γ è un’omotopia in A di cammini chiusi, e γ_{0}, γ_{1} si diranno omotopi in A (come cammini chiusi).

Osservazione 5: La relazione di C^{k} omotopia in A è una relazione di equivalenza tra cammini chiusi e C^{k} in A.

Definizione 5: Un aperto A di R^{n} si dice C^{k}-semplicemente connesso se ogni cammino chiuso e C^{k} è C^{k}-omotopo (come cammino chiuso) ad un cammino costante (ad un punto). Invece di C^{0}-semplicemente connesso si dirà solamente “semplicemente connesso”.

Teorema 7: Se un aperto A è C^{1} semplicemente connesso allora ogni forma localmente integrabile in A non necessariamente C^{1} è esatta in A.

DIMOSTRAZIONE: Per il teorema 1 va verificato che per ogni γ̃ cammino chiuso regolare a tratti da [0; 1] in A il lavoro di ω su γ̃ è nullo.

Si consideri una φ : [0; 1] → [0; 1] per cui valgano le condizioni enunciate nell’osservazione 1: φ(0) = 0, φ(1) = 1, φ crescente strettamente, con derivata nulla nei punti s per cui γ̃ non ha derivata in φ(s). Si ha che γ = γ̃∘φ è C^{1} e chiuso. Come sottolineato nell’osservazione 1 il lavoro di ω su γ̃ è eguale a quello su γ. Quindi basta mostrare che quest’ultimo è nullo.

Grazie alla C^{1} semplice connessione di A si consideri un’omotopia in A che sia C^{1} tra γ e un cammino costantemente eguale a c ∈ A:

Γ(t, s); [0; 1] × [0; 1] → A , Γ(0, s) = Γ(1, s) , Γ(t, 0) = γ(t) , Γ(t, 1) ≡ c.

A questo punto ponendo Γ(t, s) = Ψ(t, s) si procede esattamente come per la dimostrazione del teorema 4.

Osservazione 6: - Conviene considerare per n = 3 e k = 2 la condizione (C) di 49.6 [CS]. Come scritta tale condizione non è soddisfatta da nessun aperto. Per rendere tale condizione non vacua va aggiunta l’assunzione che ψ sia restrizione di una funzione C^{2}(R, R^{3}) e T - periodica. Per precisare la differenza tra la nozione data dalla condizione (C) modificata e la definizione 5 si è costretti ad introdurre le seguenti nozioni.

Definizione 4bis: Sia γ : [a; a + T] → A un cammino chiuso in un aperto A di R^{n}. Diremo che γ è C^{k}-chiuso se è restrizione di una funzione C^{k}(R; R^{n}) che sia T -periodica.

Ciò è equivalente a dire che \frac{d^{h}γ}{dt^{h}} (a) = \frac{d^{h}γ}{dt^{h}} (a + T), 0 ≤ h ≤ k.

Siano γ_{0} e γ_{1} due cammini C^{k}-chiusi in A aperto di R^{n}. Si dice che γ_{0} e γ_{1} sono C^{k}-omotopi in A come cammini C^{k}-chiusi se esiste

-Γ(t, s)[0; 1] × [0; 1] → A, Γ è restrizione di una funzione C^{k}(R^{2}, R^{n});

-per ogni s ∈ [0; 1] la funzione t ↦ Γ(t, s) è 1-periodica;

-t ↦ Γ(t, 0) ∼ γ_{0} , t ↦ Γ(t, 1) ∼ γ_{1}. Una siffatta Γ si chiama omotopia di cammini C^{k}-chiusi in A tra γ_{0} e γ_{1}.

Definizione 5bis: Un aperto A di R^{n} si dice semplicemente connesso per cammini C^{k}-chiusi se ogni cammino C^{k}-chiuso in A è C^{k}-omotopo come cammino C^{k}-chiuso ad un cammino costante (ad un punto).

- Nel caso di k = 0 queste nozioni sono equivalenti a quelle delle definizioni 4 e 5. Problema: La condizione 49.6-(C) in [CS], corretta come sopra detto, dovrebbe essere equivalente alla definizione 5bis appena enunciata.

Teorema 7bis: Se un aperto A è C^{2}-semplicemente connesso per cammini C^{2}-chiusi allora ogni forma C^{1} chiusa in A è esatta in A

DIMOSTRAZIONE: il lettore interessato può seguire la traccia data nella dimostrazione di 49.6 [CS] fino a pagina 597 per l’argomento di approssimazione, e quindi usare semplicemente il lemma di Poincaré sulle forme rimontate dalle Ψ_{n}.

Per procedere oltre sono richiesti passi la cui dimostrazione richiede espedienti tecnici basati sul raffinamento della cosìdetta regolarizzazione per convoluzione. Essi possono essere riassunti nel seguente:

Lemma 3: Se due cammini chiusi e C^{k} in A sono omotopi allora sono anche C^{k} omotopi.

Teorema 8: Se γ_{0} è omotopa con estremi fissi a γ_{1} in A e ω è localmente esatta in A allora

∫_{γ_{0}} ω = ∫_{γ_{1}} ω

Teorema 9: Se un aperto A è semplicemente connesso ogni forma localmente esatta in A è integrabile in A.

Vale la pena osservare la seguente importante osservazione di immediata dimostrazione:

Proposizione 2:[Le classi di omotopia sono aperte per la convergenze uniforme] Siano γ, γ̃ : [0; 1] → A due cammini in A aperto di R^{n}. Se

max_{t∈[0;1]} |γ(t) − γ̃(t)| ≤ \frac{δ}{2} , δ =_{def} dist ([γ], R^{n} \ A) .

allora la funzione

Γ : (t, s) ∈ [0; 1] × [0; 1] ⟼ sγ̃(t) + (1 − s)γ(t) ∈ R^{n}

è a valori in A. Quando poi γ, γ̃ abbiano gli stessi estremi e siano C^{k} risulterà una C^{k} omotopia ad estremi fissi tra di essi in A, e quando siano C^{k}-chiusi risulterà una C^{k}-omotopia tra cammini C^{k}-chiusi.

Da questa proposizione, dal teorema 8 sopra enunciato, e dalle proprietà di approssimazione uniforme di funzioni continue con funzioni regolari segue che è ben posta la seguente definizione:

Definizione 6: Data una forma ω localmente esatta in un aperto A , per ogni cammino solo continuo γ : [a; b] → A si definisce:

∫_{γ} ω = lim_{n→∞} ∫_{γ_{n}} ω

ove γ_{n} ∈ C^{1}([a; b], A), γ_{n}(a) = γ(a), γ_{n}(b) = γ(b), e lim_{n→∞} max_{t∈[a;b]} |γ_{n}(t) − γ(t)| = 0. Si osservi che la successione degli integrali è definitivamente costante.