Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

IV foglio di esercizi dal 5 novembre al 16 novembre 2001

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si disegnino in maniera approssimativa i sottoinsiemi dal piano definiti da {(x, y) ∈ R^{2} : f(x, y) = f(a, b) } al variare di f e di (a, b), nei casi seguenti:

x^{2} − y^{2}, (2, −1); y^{3} − x^{2}, (0, 0); (y − x^{2})^{2} − x^{5}, (0, 0); \frac{x−y}{x+y}, (1, 1); cos \frac{x}{y}, (π, 4);

e^{xy}, (2, 0); \frac{x}{x^{2}+y^{2}} , (1, 2); |x| + |y|, (1, 0); max\{|x|, |y|\}, (1, 0); |x|^{p} + |y|^{p}, p ∈ R^{+}, (1, 0);

x^{3} + y^{3} − 3axy , a > 0, (0, 0); \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} , (cos θ, sin θ), θ ∈ R.

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ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo approssimativo i sottoinsiemi di R^{3}:

{(x, y, z) : 2 = 3x + 5y + 7z};

\{(x, y, z) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 121\}; \{(x, y, z) : (2x − 10)^{2} + 9y^{2} + z^{2} ≥ 111\}; {(x, y, z) : x = z^{2} + y^{2}}; {(x, y, z) : x + y + z = 2x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2} − 4zx − 4zy}; {(x, y, z) : x^{2} − y^{2} = z}; {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} − z^{2} ≤ 1}; {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} − z^{2} ≤ −1}; {(x, y, z) : x^{2} − 4y^{2} = 9z^{2}}; {(x, y, z) : 2z^{2} = x^{2} + y^{2}}; \{(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} − 6\sqrt{x^{2} + y^{2}} + 5 = 0\}; {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| = 1}; {(x, y, z) : max{|x|, |y|, |z|} ≤ 1 }; {(x, y, z) : z > −3, z^{2} + y^{2} − (x + 1)^{2} = 0, (z + 1)^{2} − y^{2} − (x + 3)^{2} = 0}; \{(x, y, z) : y tan z = x\}; \{(x, y, z) : e^{z} cos y = cos x\}; \{(x, y, z) : \sqrt{x^{2} + y^{2}} = coshz\}.

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ESERCIZIO n. 3 Se f(x, y) = x^{x^{x^{y}}} + log x(artan(artan(artan(sin(cos(xy) + log(x + y)))))), si calcoli \frac{∂f}{∂y} (1, y). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n.4 Si studino la continuità, la derivabilità nelle diverse direzioni, e la differenziabilità delle seguenti funzioni:

\sqrt{|xy|}; \sqrt{|x|} cos y; ∫\begin{matrix}y \\ 0 \end{matrix} f(t, x)dt, f ∈ C^{1}(R^{2});

f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} ; f(x,y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} ;

f(x,y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{2}}{x^{3}} e^{− \frac{y^{2}}{x^{4}}} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix} .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si studi l’esistenza dei limiti nei domini delle seguenti funzioni, al variare di eventuali parametri, e quando possibile se ne calcoli il valore:

\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} ; \frac{sin(xy)}{x^{2}+y^{2}}; x^{2} log(x^{2} + y^{2}); \frac{x sin y}{y sin x}; \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{4}} ; \frac{sin(x|y|)}{x^{2}+|y|}; \frac{e^{x^{2}y}−x sin(xy)−1}{(x^{2}+y^{2})^{2}} : (x, y) → (0, 0);

\frac{x+y}{3x+2y}; \frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}y^{2}} ; \frac{x^{3}+y^{2}}{x^{3}+y^{3}} ; \frac{y^{2}+x+y}{x^{2}+x+y}; \frac{x^{2}y^{2}}{|x|^{α}+|y|^{α}}; \frac{P (x,y)}{Q(x,y)} : (x, y) → (0, 0), α > 0, P, Q polinomi nulli in (0,0);

\frac{y}{x^{2}−y} : (x, y) → (0, 0); \frac{y}{x^{2}−y} : (x, y) → (0, 0)_{|y|≤|x|};

x − y^{2} : x^{2} + y^{2} → ∞; x − y^{2} : x^{2} + y^{2} → ∞_{2y^{2}≤x}; \frac{x^{2}+y}{x^{2}+y^{2}+2xy} : x^{2} + y^{2} → ∞;

(∗)\frac{x^{α}y^{β}}{x^{2}+y^{4}} , \frac{x^{α}+y^{β}}{x^{2}+y^{4}} : (x, y) → (0, 0), α, β>0.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Tra le seguenti implicazioni si provino quelle valide e si trovi un controesempio per ognuna di quelle false:

1. ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) ⟹ ∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x,y).
2. ∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x,y)=lim_{y→y0} lim_{x→x0} f(x,y) ⟹ ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y).

3. \{ \begin{matrix}∃ lim_{x→x0} lim_{y→y0} f(x, y) = λ_{1} \\ ∃ lim_{y→y0} lim_{x→x0} f(x, y) = λ_{2} \\ ∃ lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x, y) = λ_{3} \end{matrix}  ⟹  λ_{1}=λ_{2}=λ_{3}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.7 Qual’è la massima distanza del pumto (3, 5, 7) dai punti dell’insime {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| ≤ 1}? E dall’insieme {(x, y, z) : (x − 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z − 1)^{2} = 1}?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro (1, 1, 1) e raggio 1 in (1, \frac{1}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}).

(b) Si trovi la retta ortogonale alla regione {(x, y, z) : log(x^{2} + y^{2} + e) = e^{z}} in (0, 0, 1).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l’angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati:

{(x, y, z) : 2x^{4} + 3y^{3} − 4z^{2} = −4}, {(x, y, z) : 1 + x^{2} + y^{2} = z^{2}}, (0, 0, 1); {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} = e^{z}}, {(x, y, z) : x^{2} + z^{2} = e^{y}}, (1, 0, 0); {(x, y, z) : xy = z }, {(x, y, z) : cos(2πxy) = z}, (1, 1, 1).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.10 Dato C ⊆ R^{2} si definisce la funzione distanza da C come segue:

d_{C}(x, y) = inf_{(a,b)∈C} \sqrt{|x − a|^{2} + |y − b|^{2}}

Si descrivano, nei seguenti casi, le regioni del piano ove d_{C} é differenziabile:

(a) C = {(0, 0)}; (b) C = {(−1, 0), (0, 1)}; (c) C = {(−1, 0)} ∪ {(1, b) : b ∈ R}; (d) C = {(−1, 0)} ∪ {(a, b) : (a + 1)^{2} + b^{2} = 1}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 (a) La funzione f(x, y) = \binom{x−yx}{2xy} da R^{2} in se è iniettiva? È surgettiva?

(b) Sia f(x, y) = \binom{x^{2}+y^{2}}{2xy} = (u, v): si studi l’immagine di f, si studi al variare di (u, v) come sono fatte le fibre f^{−1}{(u, v)}.